Dada uma matriz qualquer M, vou chamar de M* a conjugada transposta de M (se M for real, M* = transposta de M). Dado um número complexo z, chamarei de z* o conjugado de z. E identificarei números complexos com matrizes 1x1.
Seja k um autovalor de A. Então existe uma matriz coluna nx1 não nula X tal que AX = kX ==> X*A* = k*X* X*AX = X*(kX) = kX*X X*A*X = (k*X*)X = k*X*X Somando estas duas equações, obtemos: X*AX + X*A*X = (k+k*)X*X ==> X*(A + A*)X = 2Re(k)X*X ==> X*IX = 2Re(k)X*X ==> X*X = 2Re(k)X*X ==> (1 - 2Re(k))X*X = 0. Como X <> 0, X*X > 0 ==> Re(k) = 1/2. Ou seja, todos os autovalores de A têm parte real = 1/2. Como A é real, o polinômio característico de A tem coeficientes reais ==> os autovalores de A ou são reais (e iguais a 1/2) ou então podem ser particionados em pares da forma 1/2 + ib, 1/2 - ib (b real), cujo produto é 1/4 + b^2 > 0 ==> det(A) = produto dos autovalores de A > 0. []s, Claudio. On Mon, Feb 18, 2019 at 9:50 PM Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com> wrote: > Pessoal, estou pensando na seguinte questão, consegui alguns resultados, > mas nada concreto. Alguém com uma ideia que possa resolver? > > *Seja A uma matriz real n x n tal que A + A^t = I.* > *Prove que detA > 0.* > > A^t é a transposta de A. > > Muito obrigado! > > Vanderlei > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
