Se não me engano, a referência básica de álgebra linear é o livro do Elon. Mas é um livro escrito por um matemático, e que adota o ponto de vista de transformações lineares e não de matrizes (que são mencionadas em uns 2 ou 3 capítulos só).
Sobre o seu problema, acho que X teria que ser uma matriz triangular superior com zeros na diagonal (mas isso tem que ser provado). Só que, nesse caso, X^2 terá, no máximo, uma entrada não nula (a do canto superior direito X(1,3)) e, portanto, não poderá ser igual a A. Assim, se a primeira afirmação acima for verdadeira, só n = 1 serve. []s, Claudio. On Tue, Feb 19, 2019 at 5:44 PM Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com> wrote: > OuMuito obrigado, Cláudio e demais colegas! > Eu pensava que usava "apenas" fatos mais simples. Vi a indicação do artigo > e vou ler, mas queria saber se vocês indicam algum livro ou material para > estudar essas coisas mais "sofisticadas". > > Imagino que na seguinte questão também seja necessário usar autovalores. > Muito obrigado! > > Considere a matriz > A = 0 1 2 > 0 0 1 > 0 0 0 > Para quantos números naturais n existe uma matriz X tal que X^n = A? > a) 1 > b) 2 > c) 3 > d) infinitos > > > > > Em ter, 19 de fev de 2019 15:23, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com escreveu: > >> On Tue, Feb 19, 2019 at 7:45 AM Claudio Buffara >> <claudio.buff...@gmail.com> wrote: >> > >> > Toda matriz tem um autovalor. De fato, uma matriz nxn tem n >> autovalores, que podem não ser reais e nem todos distintos. >> >> Tem um detalhe que não afeta a validade da sua demonstração, mas acho >> importante ressaltar. A definição de autovalores que dá n autovalores >> para uma matriz nxn é "algébrica", e não vem necessariamente com n >> autovetores associados (que são ditos "geométricos"). Isso acontece >> com matrizes nilpotentes, por exemplo, e de forma mais geral em blocos >> de Jordan (como o artigo mostra). O importante (que vem justamente de >> Jordan) é que para cada autovalor k (SEM multiplicidade, portanto >> podendo ser menos do que n) sempre tem pelo menos um autovetor X >> correspondente, e daí você pode usar o seu raciocínio para mostrar que >> Re(k) = 1/2. Daí você volta para a álgebra, e vê que as >> multiplicidades (algébricas) dos autovalores conjugados são iguais. >> (Talvez até seja possível mostrar que se M é real, as multiplicidades >> geométricas de autovalores conjugados também são iguais, mas neste >> caso não precisa) >> >> > Dá uma olhada nesse artigo aqui: >> https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/awards/Axler-Ford-1996.pdf >> >> Muito bom!! Vou usar nas minhas aulas de Álgebra Linear. Uma coisa, >> entretanto: não vi a demonstração (nem o enunciado) do fato geométrico >> "há pelo menos um autovetor de verdade para cada autovalor" (e não >> apenas autovetores generalizados). Não é difícil com tudo o que já >> tem no artigo: por exemplo, (T - lambda * I)^k v = 0 mas não com k-1 >> implica que w = (T - lambda I)^{k-1} v é um autovetor "normal" de T. >> >> > []s, >> > Claudio. >> > >> > >> > On Tue, Feb 19, 2019 at 9:23 AM Rodrigo Ângelo <drigo.ang...@gmail.com> >> wrote: >> >> >> >> Oi, Claudio >> >> >> >> Nesse caso, como a gente sabe que A tem um auto valor k? >> >> >> >> Atenciosamente, >> >> Rodrigo de Castro Ângelo >> >> >> >> >> >> Em seg, 18 de fev de 2019 às 22:25, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> >> >>> Dada uma matriz qualquer M, vou chamar de M* a conjugada transposta >> de M (se M for real, M* = transposta de M). >> >>> Dado um número complexo z, chamarei de z* o conjugado de z. >> >>> E identificarei números complexos com matrizes 1x1. >> >>> >> >>> Seja k um autovalor de A. >> >>> Então existe uma matriz coluna nx1 não nula X tal que AX = kX ==> >> X*A* = k*X* >> >>> X*AX = X*(kX) = kX*X >> >>> X*A*X = (k*X*)X = k*X*X >> >>> >> >>> Somando estas duas equações, obtemos: >> >>> X*AX + X*A*X = (k+k*)X*X ==> >> >>> X*(A + A*)X = 2Re(k)X*X ==> >> >>> X*IX = 2Re(k)X*X ==> >> >>> X*X = 2Re(k)X*X ==> >> >>> (1 - 2Re(k))X*X = 0. >> >>> >> >>> Como X <> 0, X*X > 0 ==> Re(k) = 1/2. >> >>> >> >>> Ou seja, todos os autovalores de A têm parte real = 1/2. >> >>> Como A é real, o polinômio característico de A tem coeficientes reais >> ==> >> >>> os autovalores de A ou são reais (e iguais a 1/2) ou então podem ser >> particionados em pares da forma 1/2 + ib, 1/2 - ib (b real), cujo produto é >> 1/4 + b^2 > 0 ==> >> >>> det(A) = produto dos autovalores de A > 0. >> >>> >> >>> []s, >> >>> Claudio. >> >>> >> >>> >> >>> >> >>> >> >>> On Mon, Feb 18, 2019 at 9:50 PM Vanderlei Nemitz < >> vanderma...@gmail.com> wrote: >> >>>> >> >>>> Pessoal, estou pensando na seguinte questão, consegui alguns >> resultados, mas nada concreto. Alguém com uma ideia que possa resolver? >> >>>> >> >>>> Seja A uma matriz real n x n tal que A + A^t = I. >> >>>> Prove que detA > 0. >> >>>> >> >>>> A^t é a transposta de A. >> >>>> >> >>>> Muito obrigado! >> >>>> >> >>>> Vanderlei >> >> >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
