Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este problema... Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de que a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e). Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente) correto. Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e, e L = e ==> (e^(1/e))^e = e. Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e].
[]s, Claudio. On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> wrote: > A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: > a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) > e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual > limite. > > Se a(n) convergir para L, então x^L = L. > > Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). > > Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), a > sequência parece convergir para 2. > > O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I > de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = > limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. > Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2)) > = 2, e 4 não pertence a f(I). > > O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... > > Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). > Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), > para L = e. > ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 = > 0 para L = e ) > Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). > Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. > Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à > imagem de f. > > []s, > Claudio. > > > > On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores <pacinibo...@gmail.com> wrote: > >> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas >> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma >> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é >> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver >> errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a >> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis >> para "k", enquanto há apenas um valor para "x". >> >> A minha pergunta : Estou errando em algo ? >> >> Pacini >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
