Em dom., 31 de dez. de 2023 às 00:56, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > > Boa noite! > Cláudio, minha preocupação é com a solução em si da equação. > O problema original pede que demonstre que k é um quadrado perfeito. Todas > soluções que vi são baseadas nas relações de Girad ou Vieta's fórmula como > chamam lá fora. > Eu parti do conhecimento de que k tem de ser quadrado perfeito. > Consegui provar que tirando as soluções triviais a=0 ou b=0 ou a=b=1 > b>=raiz(k) > Aí achei a primeira solução para a equação, sem perda de generalidade, > considerei a>b, a=b só ocorre para a=b=1 ou a=b=0. Lá fora acho que nem > consideram 0 natural. Seguem a risca como foi o postulado de Peano.
O enunciado original dizia INTEIRO POSITIVO, e não "natural". Os proponentes da IMO têm uma certa noção dessas pequenas polêmicas, então eles costumam ser bastante verbosos sobre se 0 é considerado ou não parte das soluções. Curiosidade: na França 0 é considerado positivo E negativo ao mesmo tempo. https://mathfour.com/arithmetic/is-zero-positive-or-negative > Então para cada k=w^2 com w>1 > Tem um conjunto com uma sequência infinita de soluções. > Sk={si=(ai,bi,k): i natural e i>=1| s1=(w^3,w,w^2) e si+1=(ai*w^2-bi, ai, > w^2). > Consigo provar que todos termos da sequência são soluções. > Não consigo provar que se há uma solução (a*,b*, k*) então (a*,b*,k*) ou > (b*,a*, k*) pertence a sequência Sk para k=w^2. Ué, você pode imitar a solução do problema original. Se (a*,b*,K) é solução E não está na rota dourada, então é possível encontrar uma solução menor fora da rota dourada também, e assim por diante até chegar na solução minimal. Mas a solução minimal é justo a que inicia a rota dourada, absurdo. > Eu não acho a solução da equação, só do problema como foi pedido, mostrar que > k é um QP, sem no entanto achar todas as soluções > > Cordialmente, > PJMS > > Em sex., 29 de dez. de 2023 09:18, Claudio Buffara > <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >> Dá um Google em "IMO 88". >> Vai ter até vídeo com a solução deste problema. >> >> On Thu, Dec 28, 2023 at 4:35 PM Pedro José <petroc...@gmail.com> wrote: >>> >>> Boa tarde! >>> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar >>> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação: >>> >>> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa restrição >>> para retirar as soluções triviais. >>> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela >>> restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b. >>> O problema era provar que k era um quadrado perfeito. >>> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do >>> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação. >>> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para dar >>> divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter encontrado >>> todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no Universo dos >>> Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1. >>> >>> Agradeço quem puder me orientar. >>> >>> Cordialmente, >>> PJMS >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
