[obm-l] Como resolvê-las???
sen(2x-a) - Ksen(a)=0 2^x - 3^(1/x)=1 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Valores de aderencia de cos(n)
E pra completar a serie de problemas sobre conjuntos densos em R, aqui vai
mais um problema do livro Curso de Analise - vol. 1 do Elon (cap. IV - ex.
46 da 6a. edicao):
Prove que o conjunto dos valores de aderencia da sequencia x(n) = cos(n) eh
o intervalo fechado [-1,1].
OBS: a eh valor de aderencia de x(n) <==> a eh limite de alguma subsequencia
de x(n).
Sugestao: Use o fato de que se b eh irracional, entao o conjunto {m + n*b;
m,n: inteiros} eh denso em R (o que uma coisa tem a ver com a outra???)
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Fatorial <> Quadrado
Oi Felipe, a pergunta é mais geral do que esta: será que para n > 1 existe m tal que f(m) = g(n)? Duda. From: "Felipe Pina" <[EMAIL PROTECTED]> > > Oi, pessoal: > > > > Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial > 1 eh quadrado > > perfeito que nao use o postulado de Bertrand? > > Sim, uma demonstração bem simples. > > Sejam >f(n) := n^2 >g(n) := n! > > => (DELTA(f))(n) = f(n+1) - f(n) = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1 >(DELTA(g))(n) = g(n+1) - g(n) = (n + 1)! - n! = (n + 1)*(n!) - n! = > n*(n!) > > Então (DELTA(g))(n) - (DELTA(f))(n) = n*(n! - 2) - 1 > > n >=4 => n! >= 24 => n*(n! - 2) >= 4*(24 - 2) = 4*22 = 88 > Ou seja, para n >=4, a função g(n) cresce mais rapidamente que f(n) > Ora, g(4) = 4! = 24 e f(4) = 4^2 = 16 > g(4) > f(4). Logo, de n=4 em diante as funções nao se igualam mais. > Resta apenas checar os pontos antes de 4... > > g(3) = 3! = 6 != 9 = 3^2 = f(3) > g(2) = 2! = 2 != 4 = 2^2 = f(2) > Então f(n) e g(n) são diferentes para todo n > 1. > > -- > Felipe Pina > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatorial <> Quadrado
Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial > 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Sim, uma demonstração bem simples. Sejam f(n) := n^2 g(n) := n! => (DELTA(f))(n) = f(n+1) - f(n) = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1 (DELTA(g))(n) = g(n+1) - g(n) = (n + 1)! - n! = (n + 1)*(n!) - n! = n*(n!) Então (DELTA(g))(n) - (DELTA(f))(n) = n*(n! - 2) - 1 n >=4 => n! >= 24 => n*(n! - 2) >= 4*(24 - 2) = 4*22 = 88 Ou seja, para n >=4, a função g(n) cresce mais rapidamente que f(n) Ora, g(4) = 4! = 24 e f(4) = 4^2 = 16 g(4) > f(4). Logo, de n=4 em diante as funções nao se igualam mais. Resta apenas checar os pontos antes de 4... g(3) = 3! = 6 != 9 = 3^2 = f(3) g(2) = 2! = 2 != 4 = 2^2 = f(2) Então f(n) e g(n) são diferentes para todo n > 1. -- Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias convergentes
Nossa! Eu estava tao fixado em logaritmos, irracionais, fracoes continuas e
casas de pombos que acabei nao vendo o obvio ==> acabei desobedecendo o
axioma numero 2...
Obrigado, Gugu!
Um abraco,
Claudio.
on 16.09.03 20:19, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
> Bem, voce quase ja' provou isso: a monotonicidade mostra que a(n)
> converge a a e b(b) a b com a<=1<=b. Para n grande trocamos um par perto de
> (a,b) por um par perto de (a.b,b) ou por um par perto de (a,a.b). Assim,
> devemos ter a.b=a, donde b=1 ou a.b=b, donde a=1. Assim, a=1 ou b=1. Se a=1
> e b>1, para n grande acabamos caindo sempre no segundo caso, mas ai
> a(n+1)=a(n), e logo a(n) fica constante e menor que 1 a partir desse ponto,
> e logo converge a essa constante menor que 1, contradizendo a=1. O outro
> caso (a<1 e b=1) e' analogo, e portanto devemos ter a=b=1.
> Abracos,
> Gugu
>
>>
>> Oi, pessoal:
>>
>> Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
>> continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
>> positivos} eh denso em R.
>>
>> A demonstracao do Marcio pode ser adaptada para se provar o seguinte:
>>
>> Sejam a, b reais tais que 0 < a < 1 < b e a^m*b^n <> 1, para quaisquer m, n
>> inteiros positivos.
>> Sejam as sequencias (a(k)) e (b(k)) definidas por:
>> a(1) = a; b(1) = b
>> Para n >= 1:
>> a(n)*b(n) < 1 ==> a(n+1) = a(n)*b(n) e b(n+1) = b(n);
>> a(n)*b(n) > 1 ==> a(n+1) = a(n) e b(n+1) = a(n)*b(n).
>> Prove que: lim a(n) = lim b(n) = 1.
>>
>> Levando em conta que a^m*b^n <> 1 para quaisquer inteiros positivos m e n se
>> e somente se log_b(a) eh irracional, nos caimos no problema anterior e
>> acabou...
>>
>> Eu gostaria de ver uma demonstracao mais elementar deste resultado.
>>
>> Por exemplo, eh facil ver que a(n) e b(n) sao monotonas e limitadas. Assim,
>> falta provar que sup(a(n)) = inf(b(n)) = 1.
>>
>> Qulquer dica serah bem-vinda.
>>
>> Um abraco,
>> Claudio.
>>
>> =
>> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> =
>
> =
> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
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Re: [obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos
1) Ache uma formula fechada para somatorio(k^3, k = n até 2n) Sabendo que f(n) := soma(k^2,k=1 ate n) = (1/4)*(n^4 + 2*n^3 + n^2) Obs : Posso dar uma contrução explícita deste expressão, caso queira. e que g(n) := soma(k^3,k=n até 2n) = soma(k^3,k=1 ate 2n) - soma(k^2,k=1 ate n-1) temos que g(n) = f(2n) - f(n-1) = (1/4)*(15*n^4 + 18*n^3 + 3*n^2) -- Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] COMO PERDER AMIGOS E ENGANAR PESSOAS
Oi Turma! Mais uma vez, gostaria que elucidassem o problema abaixo que aborda o controvertido assunto bayesiano, mas não esqueçam do problema do camelo. Ok Certa noite, um motorista de táxi envolveu-se em um acidente, atropelando e fugindo do local. Duas companhias de táxi, a Verde e a Azul, operam na cidade. Você recebe os seguintes dados: 85% dos táxis na cidade são verdes, e 15% são azuis, e no julgamento, uma testemunha identificou o táxi como sendo um táxi da companhia Azul. Entretanto, a corte testou a capacidade da testemunha em identificar táxis sob condições de visibilidade adequadas. Quando apresentada a uma série de táxis, metade dos quais eram azuis e metade dos quais eram verdes, a testemunha realizou identificações corretas em 80% dos casos e errou em 20% dos casos. Qual foi a probabilidade de o táxi envolvido no acidente ter sido o azul ao invés do verde? Se alterarmos a informação para: "apesar das duas companhias serem aproximadamente do mesmo tamanho, 85% dos acidentes com táxis nesta cidade envolvem os táxis verdes, e 15% envolvem táxis azuis". Qual seria a resposta se a testemunha permaneceu a mesma? Um abraço e não esqueçam da minha Caloi WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] penbadu
Olá, Alguém sabe o que aconteceu com o site do Penbadu?? http://www.penbadu.hpg.com.br/ Tá dando 404... Thiago = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias convergentes
Bem, voce quase ja' provou isso: a monotonicidade mostra que a(n)
converge a a e b(b) a b com a<=1<=b. Para n grande trocamos um par perto de
(a,b) por um par perto de (a.b,b) ou por um par perto de (a,a.b). Assim,
devemos ter a.b=a, donde b=1 ou a.b=b, donde a=1. Assim, a=1 ou b=1. Se a=1
e b>1, para n grande acabamos caindo sempre no segundo caso, mas ai
a(n+1)=a(n), e logo a(n) fica constante e menor que 1 a partir desse ponto,
e logo converge a essa constante menor que 1, contradizendo a=1. O outro
caso (a<1 e b=1) e' analogo, e portanto devemos ter a=b=1.
Abracos,
Gugu
>
>Oi, pessoal:
>
>Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
>continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
>positivos} eh denso em R.
>
>A demonstracao do Marcio pode ser adaptada para se provar o seguinte:
>
>Sejam a, b reais tais que 0 < a < 1 < b e a^m*b^n <> 1, para quaisquer m, n
>inteiros positivos.
>Sejam as sequencias (a(k)) e (b(k)) definidas por:
>a(1) = a; b(1) = b
>Para n >= 1:
>a(n)*b(n) < 1 ==> a(n+1) = a(n)*b(n) e b(n+1) = b(n);
>a(n)*b(n) > 1 ==> a(n+1) = a(n) e b(n+1) = a(n)*b(n).
>Prove que: lim a(n) = lim b(n) = 1.
>
>Levando em conta que a^m*b^n <> 1 para quaisquer inteiros positivos m e n se
>e somente se log_b(a) eh irracional, nos caimos no problema anterior e
>acabou...
>
>Eu gostaria de ver uma demonstracao mais elementar deste resultado.
>
>Por exemplo, eh facil ver que a(n) e b(n) sao monotonas e limitadas. Assim,
>falta provar que sup(a(n)) = inf(b(n)) = 1.
>
>Qulquer dica serah bem-vinda.
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] F(F(x)) = x e combinatoria
Oi Claudio,
Vamos la':
>
>Oi, Artur e Duda:
>
>Esse problema do livro do Elon me sugeriu dois problemas de combinatoria.
>
>1) Seja A um conjunto qualquer e F: A -> A uma funcao tal que, para todo x
>em A vale F(F(x)) = x. F eh chamada uma involucao em A. Eh facil ver que
>toda involucao em A eh uma bijecao.
>
>Se A for finito e |A| = n, entao existem n! bijecoes de A em A.
>
>Pergunta: Qual o numero de involucoes em A?
>
Seja a_n esse numero. Entao a_(n+1)=a_n+n.a_(n-1) (veja para onde vai o
n+1: se fica fixo caimos no caso anterior, senao escolhemos um dos outros n
elementos para permutar com ele e caimos no caso n-1 para o resto).
Considerando f(x)=serie(a_n.x^n/n!), isso da' f'(x)=f(x)+x.f(x), e olhando
para os primeiros valores, temos f(x)=e^(x+x^2/2). Se eu nao errei as
contas, f(n) deve ser assintoticamente algo como raiz(2).(n/e)^(n/2).
Veja A85 na encyclopedia of integer sequences, ou, mais diretamente,
http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eismum.cgi
>*
>
>2) Seja A um conjunto finito com |A| = n (e portanto |P(A)| = 2^n).
>Seja F: P(A) -> P(A) uma funcao tal que, para todos X e Y em P(A):
>F(F(X)) = X
>e
>X contido em Y ==> F(Y) contido em F(X).
>
>Pergunta: Quantas funcoes de P(A) em P(A) existem com essas duas
>propriedades?
Primeiro vou caracterizar tais f. Elas devem ser do tipo que eu descrevi
na minha mnensagem anterior (mesmo no caso infinito): deve existir uma
involucao f de X tal que F(X)={f(y), y nao esta' em X}. Assim, a resposta e'
o mesmo a_n do item anterior. Para provar isso, note primeiro que dado a em
A existe f(a) em A com F({a})=A\{f(a)}. De fato, se F({a}) esta' contido em
A\{c,d}, {a} contem F(A\{c,d}), que contem estritamente F(A\{c}), que contem
estritamente F(A)=vazio (de fato F e' bijecao), absurdo. Como F({a}) esta'
contido estritamente em F({}), segue nossa afirmacao. Como F(X) e' a
intersecao dos F({x}) para x em X, basta provar que f e' involucao, mas se
f(f(a)) nao e' a, como F({f(a)})=A\{f(f(a))}, temos que a pertence a
F({f(a)}), mas entao A\{f(a)}=F({a}) conteria F(F({f(a)}))={f(a)}, absurdo.
Abracos,
Gugu
>
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos
Title: Re: [obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos on 16.09.03 17:48, Henrique P. Sant'Anna Branco at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, Algumas questões: 1) Ache uma formula fechada para somatorio(k^3, k = n até 2n) Sabemos que: Soma(1<=k<=m) k^3 = (1/4)*m^2*(m+1)^2 Assim: Soma(n<=k<=2n) k^3 = = Soma(1<=k<=2n) k^3 - Soma(1<=k<=n-1) k^3 = = (1/4)*(2n)^2*(2n+1)^2 - (1/4)*(n-1)^2*n^2 = = (1/4)*[4n^2*(4n^2 + 4n + 1) - (n^2 - 2n + 1)*n^2] = = (1/4)*[16n^4 + 16n^3 + 4n^2 - n^4 + 2n^3 - n^2] = = (1/4)*(15n^2 + 18n + 3) = = (3/4)*n^2*(n+1)*(5n+1) (se eu nao errei nenhuma conta) * 2) Ache todos os triplos pitagóricos (primitivos e não-primitivos) com (20, y, z). Esse eh meio sacal. A fim de gerar triplos primitivos, use as formulas: a = m^2 + n^2 b = m^2 - n^2 c = 2mn onde m e n sao inteiros positivos de paridades distintas e primos entre si. Com essa formula, gere todos os triplos primitivos onde a, b ou c eh um divisor de 20. Depois, multiplique a, b e c pelo fator apropriado a fim de fazer um deles igual a 20. Isso vai gerar todos os triplos pitagoricos (primitivos e nao primitivos) que tem uma das coordenadas iguais a 20. Um abraco, Claudio.
[obm-l] Numero de involucoes em A
Seja A um conjunto finito com n elementos e F uma involucao em A (ou seja,
uma funcao F:A -> A que obedece a F(F(x)) = x para todo x em A).
Para cada x em A existem duas hipoteses:
1) F(x) = x (x eh um ponto fixo de F)
ou
2) F(x) = y <> x e F(y) = x.
Assim, dada F, podemos particionar A em subconjuntos de 1 ou 2 elementos
tais que, se B eh um desses subconjuntos, entao F(B) = B.
Por outro lado, dada uma particao de A em subconjuntos de 1 ou 2 elementos,
podemos definir F:A -> A tal que:
se {x} eh um subconjunto da particao, entao F(x) = x
e
se {x,y} eh um subconjunto da particao, entao F(x) = y e F(y) = x.
Conclusao: o numero de involucoes em A eh igual ao numero de maneiras de se
particionar A em subconjuntos de 1 ou 2 elementos.
*
Consideremos uma particao de A em p conjuntos unitarios e q conjuntos de 2
elementos (binarios?). Claro que n = p + 2q.
Os p conjuntos unitarios podem ser escolhidos de Binom(n,p) = Binom(n,2q)
maneiras.
Uma vez escolhidos os unitarios, ficamos com n - p = 2q elementos de A para
formar q pares, o que pode ser feito de (2q)!/(2^q*q!) maneiras.
Logo, o numero de particoes de A em p conjuntos unitarios e q conjuntos
binarios eh igual a Binom(n,2q)*(2q)!/(2^q*q!) = n!/(q!*(n-2q)!*2^q)
Agora eh soh somar estes numeros, com q variando de 0 ateh [n/2]:
No. de Involucoes em A = SOMA(0<=q<=[n/2]) n!/(q!*(n-2q)!*2^q).
Alguem sabe determinar uma formula fechada para esta soma?
Com uma planilha eu achei o seguinte:
|A| No. de Involucoes em A
11
22
34
410
526
676
7232
8764
92620
109496
1135696
12140152
13568504
142390480
1510349536
1646206736
17211799312
18962854399
194154972365
2016556644271
2160372347071
Tambem vale conferir o site:
http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eismum.cgi
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Questão de Análise
Oi Artur,
>
>Oi Duda!
>Se X_1,... e X_n estao em P(A), entao cada X_i esta contido s em Uniao =
>X_i.
>Pelas condicoes dadas, segue-se que F(Uniao X_i) estah contido em cada =
>um
>dos F(X_i). Logo, F(Uniao X_i) estah contido em Interseccao F(X_i). Alem
>disto, temos que Interseccao F(X_i) esta contido em cada um dos F(x_i), =
>o
>que acarreta que cada F(F(X_i)) =3D X_i esteja contido em F(Interseccao
>F(X_i)). Prosseguindo, temos que Uniao X_i esta contido em F(Interseccao
>F(X_i), o que implica que F(F(Interseccao F(X_i)) =3D Interseccao F(X_i)
>esteja contido em F(Uniao X_i), Assim concluimos que F(Uni=E3o
>X_i) =3D Interse=E7=E3o F(X_i) --Ufa! .Interessante observar que isto eh =
>valido
>mesmo para subcolecoes nao numeraveis de P(A).=20
>
>Agora, temos que Interseccao X_i estah contido em cada X_i, de modo que =
>cada
>F(X_i) estah contido em F(Interseccao X_i). Logo, Uniao F(X_i) esta =
>contido
>em F(Interseccao X_i). Alem disto, cada F(X_i) estah contido em Uniao
>F(x_i), de modo que F(Uniao F(X_i)) esta contido em cada um dos =
>F(F(X_i)) =3D
>X_i. Segue-se que F(Uniao F(X_i)) esta contido em Interseccao (X_i), do =
>que
>concluimos que F(Interseccao X_i) esta contido em F(F(Uniao F(X_i))) =3D =
>Uniao
>F(X_i). E assim, segue-se que F(Interse=E7=E3o X_i) =3D Uni=E3o F(X_i), =
>completando
>a prova. Verificamos de novo que isto eh valido mesmo para subcolecoes =
>nao
>numeraveis de P(A).
>
>Das condicoes dadas segue-se que F eh bijetora. Sendo 0 o conjunto =
>vazio,
>temos para todo X de P(A) que 0 estah contido em X e que, portanto, F(X)
>esta contido em F(0). Mas como F eh bijetora, para algum X temos F(X) =
>=3D A,
>de modo que F(0) =3D A. Logo, F(A) =3D F(F(0)) =3D 0. Isto nao prova, =
>mas
>desconfio que F eh a funcao complemento.
Acho que nao e' sempre assim nao: seja f uma involucao de A e F(X)={f(x),
x no complementar de A}. Entao F satisfaz as condicoes do enunciado.
Abracos,
Gugu
>
>Um abraco!
>Artur=20
>
>> Ol=E1 Pessoal!
>>=20
>> Estou resolvendo o livro do Elon de An=E1lise e h=E1 um exerc=EDcio =
>que n=E3o
>> estou
>> conseguindo resolver.
>>=20
>> Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A. Considere uma =
>fun=E7=E3o
>> f:P(A)->P(A) que satisfaz as propriedades: se X est=E1 contido em Y =
>(ambos
>> de
>> P(A)) ent=E3o F(Y) est=E1 contido em F(X); e F(F(X)) =3D X. Mostrar =
>que F(Uni=E3o
>> X_i) =3D Interse=E7=E3o F(X_i) e tamb=E9m F(Interse=E7=E3o X_i) =3D =
>Uni=E3o F(X_i).
>>=20
>> Uma fun=E7=E3o que satisfaz essas condi=E7=F5es =E9 F(X) =3D =
>Complementar X.
>>=20
>
>
>--=_NextPart_000_0006_01C37BF4.472A5860
>Content-Type: application/ms-tnef;
> name="winmail.dat"
>Content-Transfer-Encoding: base64
>Content-Disposition: attachment;
> filename="winmail.dat"
>
>eJ8+IjsEAQaQCAAEAAABAAEAAQeQBgAI5AQAAADoAAEIgAcAGElQTS5NaWNy
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>AAbDEcUzBEYQyRLbEdPbCO8J9zsYvw4wNRHCDGDOYwBQCwkBZDM2EVALpgAgT2kgRHVkYQ4hCqIK
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>KHh5wTMAMmJ+ADLiMB8A/klvMnGCbTMgUADASgIE8N8CIG3gWlVvYiEAZneQK1LvbFQHgHehcutV
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>1iGxNjaNlnJy5YyoBmD9M6FBJ5J3V3mFdzl0sgqx/w6wSgOCwQhQAIEEgR6AJ6AnhwNDp4rWZjog
>Ei0+13mnRaAh4HNE4HpoUW0i720
[obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos
Pessoal, Algumas questões: 1) Ache uma formula fechada para somatorio(k^3, k = n até 2n) 2) Ache todos os triplos pitagóricos (primitivos e não-primitivos) com (20, y, z). Grato, Henrique. ___ Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Sequencia inexistente
Oi a todos! Estou aproveitando um rapido intervalo no trabalho para perguntar, jah que neste horario nao dah para pensar em matematica. Eu ontem estava ajudando a filha de um amigo com uns problemas sobre sequencia de numeros reais. Pedia-se para verificar se uma sequencia, dada por algumas condicoes, era convergente. Mas, apos analisarmos, verificamos que, ou porque houve um erro de enunciado, ou porque a questao era capciosa, a tal sequencia nao podia existir. As condicoes que a definiam eram contraditorias, acarretando que, a partir de um k, seus termos fossem positivos e negativos. Dado que a pergunta final era "Eh esta sequencia convergente?" qual seria a resposta logicamente correta? Deveriamos dizer sim, porque se a sequencia nao existe entao, por vacuidade, ela eh convergente? Na linha daquilo que o Nicolau disse uma vez, a afirmacao "todos os dragoes sao verdes" eh verdadeira porque nao existem dragoes. Logo, dragoes e sequencias que nao podem existir sao qualquer coisa. Eu realmente estou com duvidas. Um abraco Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Fatorial <> Quadrado
Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial > 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Mesma pergunta para este aqui: Se P(n) = n-esimo primo (P(1) = 2, P(2) = 3, P(3) = 5, ...), entao prove que para n >= 5, P(n)^2 < P(1)*P(2)*...*P(n-1). Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias convergentes
Oi, pessoal:
Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
positivos} eh denso em R.
O problema das sequencias parece muito bonito, vou tentar resolve-lo. Jah
que vc tocou de novo no outro lindo problema da semana passada, vou
apresentar aqui a prova (e espero que seja mesmo uma prova..) que eu
consegui desenvolver usando o principio da casa dos pombos. Eh parecida com
a que eu enviei sabado para a lista, a arespeito do problema original do
livro do Erlon. Sendo entao A o conjunto acima:
(1) Basta demonstrar que A eh denso em [0, infinito). --- Se r<0, escolhamos
um inteiro positivo k tal que k > |r|. Então, r+k>0 e, para todo eps>o,
existem inteiros positivos n e m tais que r+k-eps < a*n m < r+k+eps.
Segue-se então que r-eps0, A intersecta (0,
eps)---Pois, se x estah em A Inter (0,eps), entao, para todo real r>0, os
termos da sequencia x, 2x, 3xestão todos em A e um deles estah em (r,
r+eps).
(3)Para provar (2) basta demonstrar que existem u1 e u2 em A tais que
|u1-u2|=0, definamos frac(x) como a parte fracionaria de x, ou seja,
0<=frac(x) < 1 e x frac(x) eh o maior inteiro <=x (o piso de x).
Definamos ainda S = {n*a, n natural}. Se provarmos a existencia de s1 e s2
em S que satisfacam a |s1-s2|0 e
dividamos [0, 1] em um numero finito de subintervalos fechados de
comprimento < eps (isto eh sempre possível propriedade Arquimediana do
conjunto dos reais). Eh entao imediato que S eh subconjunto de [0,1]. Alem
disto, S eh infinito. Para provar isto, basta provar que, se n<>p, entao
frac(n*a)<>frac(n*p). Suponhamos assim que n<>p e observemos que n*a = In +
frac(n*a) e p*a = Ip + frac(p*a) , sendo In e Ip inteiros.Se frac(n*a) =
frac(n*p), entao n*a n*p = (n-p)* a = In Ip e a =(In-Ip)/(m-n), do que
concluímos que, contrariamente aa hipotese basica, a eh racional.
Como S eh um subconjunto infinito de [0,1] e este foi dividido em um numero
finto de subintervalos de comprimento http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] dica
Olá amigos matemáticos, gostaria de saber onde posso obter na internet materiais de álgebra linear, manual de Latex e de matlab na internet. Se alguém saber por favor me dá um toque. Falou gente __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l]
Agora sim... O primeiro fiz depois de horas(gastei a preova inteira nele!): 1233=12^2+33^2 1200-12^2=33^2-33 12*(100-12)=33^2-33 12*88=33^2-33 (100-88)*88=33^2-33 8800-88^2=33^2-33 8833=88^2+33^2 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> wrote: acho que ja dissemos varias vezes para nao mandara prova nem nada relacionado.Leia o e-mail daNelly--- luis-cu <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: >acabei de voltar da olimpiada de mat, e> gostaria de ajuda > eem algumas questoes, grato> > 1- um numero biquadrado é um numero ABCD, onde> ele é a > soma de AB²+CD²=ABCD> EX: 1233=12²+33²> mostre outro numero biquadrado> > gostaria de uma resoluçao sem ser por> tentativa, tentei > por toria dos numeros,mas nao saiu> > 2-dado um quadrado de lado igual a tres.> divide-se o > quadrado em 9 outros quadrados, cujo sao> pintados de azul > ou vermelho, e a probabilidade é de 1/2> qual a probabilidade de se pintar um quadrado> de uma so > cor e de lado 2?> > a minha deu 1/8, mas acho que esta errado> > 3-de a soma> obs: nao sei como bota elevado, por isso vou> usar 'e', > Xe2, e gostaria que aproveitassem e me> dissessem.> > 2e1/(3e2 +1) + 2e2/(3e4 + 1) + 2e3/(3e8 + 1)> +...+2eN/3e> (2eN) + 1]> > > 4- um conjunto de 15 numeros, o menor igual a> 1, nao a > tres numeros q formem um triangulo. diga quais> os valores > para o maior deles> > obs: nao lembro muito bem como era a questao> > grato> ZANFORLIN> > > >__> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua> tela.> AntiPop-up UOL - É grátis!> http://antipopup.uol.com.br/> > >=> Instruções para entrar na lista, sair da lista> e usar a lista em>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>= ___Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vaidar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muitomais! www.cade.com.br/antizona=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
[obm-l] Sequencias convergentes
Oi, pessoal:
Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
positivos} eh denso em R.
A demonstracao do Marcio pode ser adaptada para se provar o seguinte:
Sejam a, b reais tais que 0 < a < 1 < b e a^m*b^n <> 1, para quaisquer m, n
inteiros positivos.
Sejam as sequencias (a(k)) e (b(k)) definidas por:
a(1) = a; b(1) = b
Para n >= 1:
a(n)*b(n) < 1 ==> a(n+1) = a(n)*b(n) e b(n+1) = b(n);
a(n)*b(n) > 1 ==> a(n+1) = a(n) e b(n+1) = a(n)*b(n).
Prove que: lim a(n) = lim b(n) = 1.
Levando em conta que a^m*b^n <> 1 para quaisquer inteiros positivos m e n se
e somente se log_b(a) eh irracional, nos caimos no problema anterior e
acabou...
Eu gostaria de ver uma demonstracao mais elementar deste resultado.
Por exemplo, eh facil ver que a(n) e b(n) sao monotonas e limitadas. Assim,
falta provar que sup(a(n)) = inf(b(n)) = 1.
Qulquer dica serah bem-vinda.
Um abraco,
Claudio.
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[obm-l] F(F(x)) = x e combinatoria
Oi, Artur e Duda: Esse problema do livro do Elon me sugeriu dois problemas de combinatoria. 1) Seja A um conjunto qualquer e F: A -> A uma funcao tal que, para todo x em A vale F(F(x)) = x. F eh chamada uma involucao em A. Eh facil ver que toda involucao em A eh uma bijecao. Se A for finito e |A| = n, entao existem n! bijecoes de A em A. Pergunta: Qual o numero de involucoes em A? * 2) Seja A um conjunto finito com |A| = n (e portanto |P(A)| = 2^n). Seja F: P(A) -> P(A) uma funcao tal que, para todos X e Y em P(A): F(F(X)) = X e X contido em Y ==> F(Y) contido em F(X). Pergunta: Quantas funcoes de P(A) em P(A) existem com essas duas propriedades? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Kolmogorov
Alguem que entenda de complexidade computacional pode fazer um paralelo entre maquinas de Turing , Complexidade de Kolmogorov, Entropia.Em outras palavras explicar a relação desses conceitos entre si. Pelo que entendi de inicio,são diferentes formas de se encarar um dado problema. --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Depois de muito tempo eu nao deveria mandar um > comentario desse tipo,ja que "o Dirichlet nunca > mandou uma demonstraçao completa de qualquer > problema proposto nesta lista,so manda > referencias inuteis e dicas que nao levam a lugar > nenhum...",entre muitos outros,mas eu nao resisto > em te falar que a demonstraçao de que existem > infinitos primos nas PAs de termo inicial 1 e > razao qualquer pode ser achada no artigo > "polinomios ciclotomicos" do Antonio Caminha > Muniz Neto,do Ceara,no link Semana Olimpica da > OBM,ou mesmo em > www.teorema.mat.br/ciclotomico.pdf > Espero que lhe seja menos inutil... > > --- Frederico Reis Marques de Brito > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > > Pessoal, como todos devem saber dada em toda > > progressão aritméticaem > > que a razão e o termo inicial são coprimos > > existe uma quantidade infinita de > > primos. Este é o conhecido Teorema de > > Dirichlet, cuja demonstração é > > bastante complexa. Alguns casos especiais são > > facilmente demonstrados como > > 4k+3 ou 6k+5 e já foram tratados nesta > > lista. Proponho então a > > demonstração dos seguintes casos: > > 10K +1e4k +1 , especialmente o primeiro > > deles, poias embora conheça > > as demonstrações gostaria de obter provas mais > > simples das de que tenho > > conhecimento. > > Se alguém tiver uma idéia, por favor > > escreva-me. > > > > Abraços, > > Frederico. > > > > > _ > > MSN Messenger: converse com os seus amigos > > online. > > http://messenger.msn.com.br > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista > > e usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > = > > > ___ > Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e > mais preciso. > Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova > busca por imagens! > http://www.cade.com.br > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linera
On Tue, 16 Sep 2003 06:48:21 -0300, nakamuraj <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Antes de mais nada gostaria de agradecer a ajuda que voces estão me
dando.em especial ao Domingos Jr pela ajuda.valeu Domingos.
Gostaria de perguntar o seguinte:
Seja V um espaço vetorial de dimensão n.
a)Um conjunto LI de vetores será necessariamente uma base desse espaço?
ou ainda nem todo conjunto LI de n vetores gera esse espaço de dimensão
n?.
Nao, pode existir algum vetor em V que não é combinação linear dos
vetores deste conjunto LI. Pense em R^3 com sendo V (sobre R) e em {(1,0,0)
,(0,1,0)} como sendo X. É claro que X é LI, mas X não gera R^3 pois não
existem coeficientes a,b pertencentes a R tais que a*(1,0,0) + b*(0,1,0) =
(0,0,1). A propriedade LI significa injetividade da função abaixo :
f : R^m (m-upla de coeficientes reais )-> R^n (espaco vetorial)
f(r_1,r_2,...,r_m) = Somatorio( r_i * x_i, 1<=i<=m )onde m é a
cardinalidade de X (m<=n senao X nao seria LI)
mas isto nao quer dizer que todo vetor em V pode ser escrito como CL
dos m vetores em X (isto seria a sobrejetividade da funcao f).
X é base <=> f é bijetora
b)É possível termos um conjunto de m vetores LD ( m>n) que gere um espaço
de dimensão n?
Sim. Suponha que X seja uma base para V (sempre existe uma base). Entao X
tem n vetores e X gera V. Voce pode acrescentar mais vetores a X e este vai
continuar gerando V pois aqueles n que estavam lá antes já geravam V. O
único problema é que X não será mais uma base ( vc perde a injetividade
acima - X passa a ser LD ).
desde agradeço a colaboração de voces.
joão Nakamura
__
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[]s
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Felipe Pina
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[obm-l] Algebra Linera
Antes de mais nada gostaria de agradecer a ajuda que voces estão me dando.em especial ao Domingos Jr pela ajuda.valeu Domingos. Gostaria de perguntar o seguinte: Seja V um espaço vetorial de dimensão n. a)Um conjunto LI de vetores será necessariamente uma base desse espaço? ou ainda nem todo conjunto LI de n vetores gera esse espaço de dimensão n?. b)É possível termos um conjunto de m vetores LD ( m>n) que gere um espaço de dimensão n? desde agradeço a colaboração de voces. joão Nakamura __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
