[obm-l] Re: [obm-l] triângulo
Oi para todos! Seja d a distância pedida. O triângulo CBM éretângulo porquê ABC é isóceles. Logo a área A de CBM é A =4.3/2 = 6 cm^2.(tomando BM como base) Mas também temos que A = 5.d/2 cm^2.(tomando BC como base). Logo 5d/2 = 6 = 5d = 12 = d = 12/5 = d = 2,4 cm. André T. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 2:53 AM Subject: [obm-l] triângulo Olá pessoal, A questão abaixo caiu na prova da fuvest, ela é composta por dois ítens. (FUVEST) Num triângulo ABC tem-se AB= 6 cm, AC= BC= 5 cm. a) Ache a área do triângulo ABC. b) Sendo M o ponto médio de AB, calcule a distância de M à reta BC. Obs: O item "a" eu não encontrei dificuldade em fazê-lo (foi só aplicar pitágoras), minha dúvida está no item "b", pois estou chegando muito perto do resultado, digo muito perto mesmo, pois o gabarito dá como certo 2,4 cm e estou chegando ao resultado de 2,5. Mas como Matemática é uma ciência exata estou a procura do caminho certo para chegar a resposta certa. Abaixo direi o que fiz e no final farei um comentário: Parti da premissa que M encontra CB no ponto médio de BC (vamos chamar este ponto médio de D) e obtive assim dois triângulos semelhantes: ABC e MBF. Através da semelhança obtemos: AC/MF= AB= MB ,ou seja, 5/MF= 6/3, portanto MF=5/2= 2,5 A partir disso acho que estou errando em minha premissa que foi considerar que o ponto de tangência da reta MF é o ponto médio de BC, pois o enunciado não diz isso, apenas diz para calcular a distância de M à BC, mas eu estava pensando... o ponto B pertence a retá BC, mesmo sendo extremidade, certo? Então uma possível resposta não seria a metade de AB, ou seja, 3 cm?
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes
Title: Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes Caro Eduardo: Obviamente, esta é a solução que vai para o "LIVRO". No entanto, pelo menos para mim, a maior dificuldade que existe em problemas de geometria é determinar a construção auxiliar (no caso, o segmento EF e, por conseguinte, paralelogramo BDFE) que "mata" o problema. Existe alguma maneira sistemática de se buscar estas construções auxiliares ou infelizmente, só podemos contar com a experiência e a esperança de algum "insight" genial? E se, por acaso, existir tal maneira, vocêrecomenda alguma bibliografia em particular? Eu pergunto isso porque tenho observado que muitos problemas (possivelmente todos) que são resolvidos via estas construções auxiliares podem também ser resolvidos via trigonometria, apesar destas soluções serem muito mais longas e deselegantes, envolvendo uma quantidade razoável de álgebra. Minha suspeita é que talvez haja alguma relação profunda e geral entre soluções via construção auxiliar e soluções trigonométricas. Um abraço, Claudio Buffara. - Original Message - From: Eduardo Wagner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 11, 2003 12:27 AM Subject: Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes O problema é: Prove que se um triângulo tem duas bissetrizes internas iguais, então ele é isósceles.Solucao:Desenhe o triangulo ABC e as bissetrizes BD e CE.Construa o paralelogramo BDFE e trace CF.Assinale os angulos:ABC = 2b, ACB = 2c, EFD = b, DFC = x, DCF = y.EF = BD = EC. Logo, b + x = c + y.Suponha que os angulos B e C sejam desiguais,B C, por exemplo, e observe as implicacoes:B Cb cx yDC DFDC BEDBC = b c = EBC (contradicao).Logo, os angulos B e C sao iguais.Abracos,E. Wagner.
Re: Re:[obm-l] IME 96
- Original Message - From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 4:32 AM Subject: Re:[obm-l] IME 96 É dado um tabuleiro quadrado 4x4. Deseja- se atingir o quadrado inferior direito a partir do quadrad o superior esquerdo. Os movimentos permitidos são represen tados pelas setas: De quantas maneiras isto é possível ? Eu estava observando as mensagens anteriores e vi que para esse problema deram uma solução considerando inicialmente 6 caminhos(SEM CONTAR AS DIAGONAIS). O enunciado está vago, pois diz que deve-se partir do quadrado superior esquerdo e chegar ao quadrado inferior direito. Mas isso, na minha opinião, pode ser feito partindo-se de qualquer vértice do quadrado superior esquerdo e chegar a qualquer vértice do quadrado inferior direito, que pode ser feito tanto com 8 caminhos,com 7, como com 6, como com 5 ou como com 4 caminhos inicialmente. Esta é a minha dúvida a respeito da questão. Aproveito para pedir como se resolve a seguinte questão: Sejam Im( 1,2,3,...,m) e In(1,2,...,n), com m menor= n. Quantas são as funções f:Im-In estritamente crescentes? Obrigado Rafael __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Problema 74 da Eureka no. 15
Title: Help Caros colegas da lista: Estou tentando resolver o problema proposto no. 74 da Eureka no. 15: "Ache todas as funções f: R -- R (R: conjunto dos reais) tais que: f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)cos(y) para todos x, y em R." e cheguei a uma solução (descrita abaixo) sob a hipótese de que f é diferenciável em toda a reta. O meu problema agora é: 1. Achar todas as funções que não sejam diferenciáveis em toda a reta mas que satisfaçam a relação do problema, OU 2. Provar que qualquer função que satisfaz a relação é diferenciável em toda a reta. Eu suspeito que a segunda alternativa é verdadeira, mas não consegui provar. Qualquer ajuda será muito apreciada. Um abraço, Claudio. Solução supondo que f é diferenciável em toda a reta: Derivando em relação a x: f'(x+y) + f'(x-y) = 2f'(x)cos(y) Derivando em relação a y: f'(x+y) - f'(x-y) = -2f(x)sen(y) Assim, resolvendo para f'(x+y) e f'(x-y): f'(x+y) = f'(x)cos(y) - f(x)sen(y) (i) f'(x-y) = f'(x)cos(y)+ f(x)sen(y) Fazendo x = 0 em (i): f'(y) = f'(0)cos(y)- f(0)sen(y) Integrando: f(y) = f'(0)sen(y)+ f(0)cos(y) + K Fazendo y = 0: f(0) = f'(0)sen(0) + f(0)cos(0) + K == f(0)= f(0) + K== K = 0 == f(y) = f'(0)sen(y) + f(0)cos(y). Ou seja, f(x) = Asen(x) + Bcos(x), onde A = f'(0) e B = f(0). Usando identidades trigonométricas elementares eu verifiquei que quaisquer que sejam A e B, esta f satisfaz a relação do problema.
Re: Re:[obm-l] IME 96
Caro Rafael: Não apareceram as setas que você mencionou no primeiro problema. Abraço, Claudio. - Original Message - From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 12:15 PM Subject: Re: Re:[obm-l] IME 96 - Original Message - From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 4:32 AM Subject: Re:[obm-l] IME 96 É dado um tabuleiro quadrado 4x4. Deseja- se atingir o quadrado inferior direito a partir do quadrad o superior esquerdo. Os movimentos permitidos são represen tados pelas setas: De quantas maneiras isto é possível ? Eu estava observando as mensagens anteriores e vi que para esse problema deram uma solução considerando inicialmente 6 caminhos(SEM CONTAR AS DIAGONAIS). O enunciado está vago, pois diz que deve-se partir do quadrado superior esquerdo e chegar ao quadrado inferior direito. Mas isso, na minha opinião, pode ser feito partindo-se de qualquer vértice do quadrado superior esquerdo e chegar a qualquer vértice do quadrado inferior direito, que pode ser feito tanto com 8 caminhos,com 7, como com 6, como com 5 ou como com 4 caminhos inicialmente. Esta é a minha dúvida a respeito da questão. Aproveito para pedir como se resolve a seguinte questão: Sejam Im( 1,2,3,...,m) e In(1,2,...,n), com m menor= n. Quantas são as funções f:Im-In estritamente crescentes? Obrigado Rafael __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: Re:[obm-l] IME 96
Caro Rafael:
Sobre o segundo problema, seja N(m,n) de funções estritamente crescentes
(f.e.c.'s) de Im em In, com m = n.
Se F é uma tal função, então dados x e y em Im, com 1 = x y = m, teremos
F(x) F(y) == F é injetiva == F(Im) tem m elementos.
Pode-se tomar m elementos de In (que tem n elementos) de C(n,m) maneiras
distintas. Para cada um destes subconjuntos de m elementos de In, existe uma
única f.e.c. F cuja imagem é este subconjunto (vamos chamá-lo de X).
F é tal que:
F(1) = menor elemento de X;
F(2) = menor elemento de X - { F(1) };
F(3) = menor elemento de X - { F(1), F(2) }, etc.
Qualquer outra função G tal que G(Im) = X terá alguma transposição (isto é,
existirão x e y em Im, com 1 = x y = m tais que G(x) G(y) - caso
cont'rário, teríamos G = F ).
Assim, existe uma correspondência biunívoca entre f.e.c.'s de Im em In e
subconjuntos de In com m elementos.
Logo, N(m,n) = C(n,m) = n! / ( m! (n-m)! )
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, January 09, 2003 4:32 AM
Subject: Re:[obm-l] IME 96
É dado um tabuleiro quadrado 4x4. Deseja-
se atingir o quadrado inferior direito a partir do quadrad
o superior esquerdo. Os movimentos permitidos são represen
tados pelas setas:
De quantas maneiras isto é possível ?
Eu estava observando as mensagens anteriores e vi que
para esse problema deram uma solução considerando
inicialmente 6 caminhos(SEM CONTAR AS DIAGONAIS). O
enunciado está vago, pois diz que deve-se partir do
quadrado superior esquerdo e chegar ao quadrado inferior
direito. Mas isso, na minha opinião, pode ser feito
partindo-se de qualquer vértice do quadrado superior
esquerdo e chegar a qualquer vértice do quadrado inferior
direito, que pode ser feito tanto com 8 caminhos,com 7,
como com 6, como com 5 ou como com 4 caminhos
inicialmente. Esta é a minha dúvida a respeito da
questão.
Aproveito para pedir como se resolve a seguinte questão:
Sejam Im( 1,2,3,...,m) e In(1,2,...,n), com m menor= n.
Quantas são as funções f:Im-In estritamente crescentes?
Obrigado
Rafael
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[obm-l] Re: [obm-l] PARA LUIS HENRIQUE
Olá JP , estou tentando fazer os exercícios propostos . Ah! e quanto a figura é o seguinte : Eu as desenho no Paint e salvo no formato .gif , que é o de menos kb , e depois anexo ela na mensagem ... : ) Um abraço Rick |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] octodecágono (JP)
Caro amigo JP , li atentamente a questão - do triângulo - mais acho que tem alguma coisa errada , veja só : Você disse que 3BP = PC ( mais não seria 3PC = PB ) , disse também que era para provar que o ângulo ABC = 2.BFP , com isso estaremos querendo provar que o ângulo ABC = 120° , o que seria impossível já que somente os ângulos CAB + ABC = 180°. Me desculpe se eu entendi mal . Quanto a 1° questão , do octodecágono não percebi o que realmente ela deseja . Você consegue resolver esse tipo de problema por trigonometria ? É mais fácil ?Eu gosto muito de resoluções através de desenhos porque aprendi assim, desde a minha época de CN e EPCAr que sempre faço assim , não sabia que por trigonometria sai , você poderia me dar umas dicas? Abraço Rick |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: Re:[obm-l] IME 96
É dado um tabuleiro quadrado 4x4. Deseja- se atingir o quadrado inferior direito a partir do quadrad o superior esquerdo. Os movimentos permitidos são represen tados pelas setas: De quantas maneiras isto é possível ? O enunciado está vago, pois diz que deve-se partir do quadrado superior esquerdo e chegar ao quadrado inferior direito. Mas isso, na minha opinião, pode ser feito partindo-se de qualquer vértice do quadrado superior esquerdo e chegar a qualquer vértice do quadrado inferior direito. Eu não acho que seja para andar pelos vértices, e sim pelo centro do quadrado... andando para um quadrado adjacente ou na diagonal. Assim não tem ambiguidade. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes
Esta foi a sua soluçao para esse problema,que esta na RPM6 ou 7 se eu nao me engano.Ela e bem cearense mas e legal. Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED] wrote: O problema é: Prove que se um triângulo tem duas bissetrizes internas iguais, então ele é isósceles.Solucao:Desenhe o triangulo ABC e as bissetrizes BD e CE.Construa o paralelogramo BDFE e trace CF.Assinale os angulos:ABC = 2b, ACB = 2c, EFD = b, DFC = x, DCF = y.EF = BD = EC. Logo, b + x = c + y.Suponha que os angulos B e C sejam desiguais,B C, por exemplo, e observe as implicacoes:B Cb cx yDC DFDC BEDBC = b c = EBC (contradicao).Logo, os angulos B e C sao iguais.Abracos,E. Wagner.Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Re: [obm-l] octodecágono (JP)
Beleza,vou tentar responder-lhe.Antes o angulo BAC era 60 e 3BP=BC.|Ce tinha que demonstrar que ABC=2*BFP. Fazendo BC=1 sem perda de generalidade,podemos calcular tudo em finçao dos angulos.Seja x o angulo pedido.Logo BE=1(CBE isosceles) DB/sen 80=BC/sen 40,BD=sen 80/sen 40=(2sen 40 cos 40)/sen 40,BD=2*cos 40(lei do seno e 80=2*40). Senos em BED,DB/sen (160-x)=BC/sen x.Logo 2*sen x*cos 40=sen(20+x),ou sen (x+40)+sen(x-40)=sen(x+20).Prostaferizando,da sen (x+40)=2*sen 30*cos (x-10),e como 2*sen 30 =1,temos sen(x+40)=cos(x+80).Analisando as possibilidades vemos que x+40+x+80=180 e x=30. Essa do octodecagono e outro jeito de fazereste problema.Se quiser ver uns exercicios legais de trigonometria va ate o artigo do Shine da Semana Olimpica(site da OBM).Depois te pass0o umas dicas. [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro amigo JP , li atentamente a questão - do triângulo - mais acho quetem alguma coisa errada , veja só :Você disse que 3BP = PC ( mais não seria 3PC = PB ) , disse também queera para provar que o ângulo ABC = 2.BFP , com isso estaremos querendo provarque o ângulo ABC = 120°, o que seria impossível já que somente os ângulosCAB + ABC = 180°.Me desculpe se eu entendi mal .Quanto a 1° questão , do octodecágono não percebi o que realmente eladeseja .Você consegue resolver esse tipo de problema por trigonometria ?É mais fácil ?Eu gosto muito de resoluções através de desenhos porque aprendiassim, desde a minha época de CN e EPCAr que sempre faço assim , não sabiaque por trigonometria sai , você poderia me dar umas dicas?AbraçoRick|-=Rick-C.R.B.=- ||ICQ 124805654 ||e-mail [EMAIL PROTECTED] |--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Re: [obm-l] octodecágono (JP)
Beleza,vou tentar responder-lhe.Antes o angulo BAC era 60 e 3BP=BC.|Ce tinha que demonstrar que ABC=2*BFP. Fazendo BC=1 sem perda de generalidade,podemos calcular tudo em finçao dos angulos.Seja x o angulo pedido.Logo BE=1(CBE isosceles) DB/sen 80=BC/sen 40,BD=sen 80/sen 40=(2sen 40 cos 40)/sen 40,BD=2*cos 40(lei do seno e 80=2*40). Senos em BED,DB/sen (160-x)=BC/sen x.Logo 2*sen x*cos 40=sen(20+x),ou sen (x+40)+sen(x-40)=sen(x+20).Prostaferizando,da sen (x+40)=2*sen 30*cos (x-10),e como 2*sen 30 =1,temos sen(x+40)=cos(x+80).Analisando as possibilidades vemos que x+40+x+80=180 e x=30. Essa do octodecagono e outro jeito de fazereste problema.Se quiser ver uns exercicios legais de trigonometria va ate o artigo do Shine da Semana Olimpica(site da OBM).Depois te pass0o umas dicas. [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro amigo JP , li atentamente a questão - do triângulo - mais acho quetem alguma coisa errada , veja só :Você disse que 3BP = PC ( mais não seria 3PC = PB ) , disse também queera para provar que o ângulo ABC = 2.BFP , com isso estaremos querendo provarque o ângulo ABC = 120°, o que seria impossível já que somente os ângulosCAB + ABC = 180°.Me desculpe se eu entendi mal .Quanto a 1° questão , do octodecágono não percebi o que realmente eladeseja .Você consegue resolver esse tipo de problema por trigonometria ?É mais fácil ?Eu gosto muito de resoluções através de desenhos porque aprendiassim, desde a minha época de CN e EPCAr que sempre faço assim , não sabiaque por trigonometria sai , você poderia me dar umas dicas?AbraçoRick|-=Rick-C.R.B.=- ||ICQ 124805654 ||e-mail [EMAIL PROTECTED] |--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Re: [obm-l] octodecágono (JP)
Beleza,vou tentar responder-lhe.Antes o angulo BAC era 60 e 3BP=BC.|Ce tinha que demonstrar que ABC=2*BFP. Fazendo BC=1 sem perda de generalidade,podemos calcular tudo em finçao dos angulos.Seja x o angulo pedido.Logo BE=1(CBE isosceles) DB/sen 80=BC/sen 40,BD=sen 80/sen 40=(2sen 40 cos 40)/sen 40,BD=2*cos 40(lei do seno e 80=2*40). Senos em BED,DB/sen (160-x)=BC/sen x.Logo 2*sen x*cos 40=sen(20+x),ou sen (x+40)+sen(x-40)=sen(x+20).Prostaferizando,da sen (x+40)=2*sen 30*cos (x-10),e como 2*sen 30 =1,temos sen(x+40)=cos(x+80).Analisando as possibilidades vemos que x+40+x+80=180 e x=30. Essa do octodecagono e outro jeito de fazereste problema.Se quiser ver uns exercicios legais de trigonometria va ate o artigo do Shine da Semana Olimpica(site da OBM).Depois te pass0o umas dicas. [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro amigo JP , li atentamente a questão - do triângulo - mais acho quetem alguma coisa errada , veja só :Você disse que 3BP = PC ( mais não seria 3PC = PB ) , disse também queera para provar que o ângulo ABC = 2.BFP , com isso estaremos querendo provarque o ângulo ABC = 120°, o que seria impossível já que somente os ângulosCAB + ABC = 180°.Me desculpe se eu entendi mal .Quanto a 1° questão , do octodecágono não percebi o que realmente eladeseja .Você consegue resolver esse tipo de problema por trigonometria ?É mais fácil ?Eu gosto muito de resoluções através de desenhos porque aprendiassim, desde a minha época de CN e EPCAr que sempre faço assim , não sabiaque por trigonometria sai , você poderia me dar umas dicas?AbraçoRick|-=Rick-C.R.B.=- ||ICQ 124805654 ||e-mail [EMAIL PROTECTED] |--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: Re:[obm-l] IME 96
Esse do IME e legal.Mas tente fazer isso:se voce sabe a formula dos casos anteriores,tente fazer a dos casos maiores obtendo uma recorrencia. "rafaelc.l" [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Rafael: Não apareceram as setas que você mencionou no primeiro problema. Este problema já apareceu aqui na lista. As setas são 3: para baixo, para a direita e diagonal pra direita.- Original Message - From: "rafaelc.l" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]>> Sent: Thursday, January 09, 2003 4:32 AM Subject: Re:[obm-l] IME 96 É dado um tabuleiro quadrado 4x4. Deseja- se atingir o quadrado inferior direito a partir do quadrad o superior esquerdo. Os movimentos permitidos são represen tados pelas setas: De quantas maneiras isto é possível ?Eu estava observando as mensagens anteriores e vi que para esse problema deram uma solução considerando inicialmente 6 caminhos(SEM CONTAR AS DIAGONAIS). O enunciado está vago, pois diz que deve-se partir do quadrado superior esquerdo e chegar ao quadrado inferior direito. Mas isso, na minha opinião, pode ser feito partindo-se de qualquer vértice do quadrado superior esquerdo e chegar a qualquer vértice do quadrado inferior direito, que pode ser feito tanto com 8 caminhos,com 7, como com 6, como com 5 ou como com 4 caminhos inicialmente. Esta é a minha dúvida a respeito da questão. Aproveito para pedir como se resolve a seguinte questão: Sejam Im( 1,2,3,...,m) e In(1,2,...,n), com m menor= n. Quantas são as funções f:Im-In estritamente crescentes? Obrigado Rafael __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = __E-mail Premium BOLAntivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já!http://email.bol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_[obm-l]_OFF_Topic_-_24º_Colóqio_Brasileiro_de_Matemática
Como se participa? Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá,bom saber que há um colega da minha universidade na lista. No últimoColóquio teve essa ajuda de custo. Quando se fazia a inscrição pelainternet, perguntava se você queria ou não a ajuda. Eu suponho que este ano,vai ter igual.Abraço,Eduardo.From: Marcus Alexandre NunesEu tenho acompanhado esta lista há algum tempo, mas esta é minha primeiraparticipação. Eu ouvi um boato na minha universidade (UFRGS) q existe ajudade custo para alunos que querem participar do Colóquio, mesmo que sejamapenas visitantes. Esta informação procede? Ou melhor, alguém já ouviu algodeste gênero? Ou estou escrevendo bobagem?Obrigado pela atenção.--Marcus Alexandre Nunes[EMAIL PROTECTED]UIN 114153703==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Baltic Way 1990 em Frances
Baltic Way 1990, Riga, Lettonie Durée: 4 heures, par équipes de cinq élèves libres de communiquer Exercice 1 Les entiers sont inscrits, dans un certain ordre, sur la circonférence d'un cercle. Quelle est la plus petite valeur possible de la somme des valeurs absolues des différences entre entiers voisins? Exercice 2 On énumère les carrés d'un papier quadrillé de la manière suivante: Construire un polynôme à deux variables m et n tel que pour tous m, n, le nombre écrit dans le carré de coordonnées soit égal à . Exercice 3 Soient , , et pour tout n entier: Est-il possible que les 1990 premiers termes soient strictement positifs, et que ? Exercice 4 Montrer que, pour tous réels : Exercice 5 Soit une opération donnée qui à tout couple de réels, associe un réel (par exemple ). Construire une équation qui est vraie (pour toutes les valeurs possibles des variables) dès que l'opération est commutative ou associative, mais qui peut être fausse en général. ( est commutative si on a pour tous a et b; elle est associative si on a pour tous a, b, c.) Exercice 6 Soit un quadrilatère ABCD tel que et . Soit P un point extérieur au quadrilatère, tel que A et P soient situés de part et d'autre de la droite et que le triangle DPC soit équilatéral. Montrer que APB est équilatéral. Exercice 7 Le milieu de chaque côté d'un pentagone convexe est relié par un segment au point d'intersection des médianes du triangle formé par les trois autres sommets du pentagone. Montrer que ces cinq segments se rencontrent en un même point. Exercice 8 Soit P un point du cercle circonscrit à un triangle ABC. On sait que les pieds des perpendiculaires abaissées de P sur les droites AB, AC, BC sont alignés (droite de Simson de P). Montrer que les droites de Simson de deux points diamétralement opposés sont perpendiculaires. Exercice 9 Deux triangles isométriques sont inscrits dans une ellipse. Sont-ils nécessairement symétriques par rapport à un axe ou au centre de l'ellipse? Exercice 10 Sur une droite t, on marque un segment AB de longueur 1. Puis, on déplace ce segment dans le plan de telle sorte qu'il reste toujours parallèle à t, que les trajectoires de A et B ne s'intersectent pas et que, finalement, le segment revient sur t. Quelle est la distance maximale à laquelle le point A peut se trouver de sa position initiale? Exercice 11 Montrer que la valeur absolue d'une racine entière d'un polynôme à coefficients entiers ne peut pas dépasser la plus grande des valeurs absolues des coefficients. Exercice 12 Soient m et n des entiers supérieurs ou égaux à 1. Montrer que est divisible par 83 si et seulement si est divisible par 83. Exercice 13 Montrer que l'équation a une infinité de solutions parmi les entiers positifs. Exercice 14 Existe-t-il 1990 nombres premiers entre eux tels que toutes les sommes possibles d'au moins deux de ces nombres sont des entiers composés? (Un entier est dit composé s'il est le produit d'au moins deux nombres premiers, non nécessairement distincts.) Exercice 15 Montrer qu'aucun des nombres , , n'est le cube d'un entier. Exercice 16 Une ligne polygonale est tracée sur un papier quadrillé de telle sorte que ses segments se trouvent sur les lignes du quadrillage. La taille du quadrillage est égale à 1, les longueurs des segments de la ligne polygonale sont tous des nombres impairs. La ligne est refermée. Montrer que le nombre de segments de la ligne est divisible par 4. Exercice 17 Deux tas de bonbons comprennent respectivement 72 et 30 bonbons. Deux élèves prennent, chacun leur tour, des bonbons dans l'un des tas. À chaque fois, le nombre de bonbons pris dans un tas doit être un multiple du nombre de bonbons dans l'autre tas. Est-ce que celui qui joue en premier, ou bien celui qui joue en second, peut toujours s'arranger pour prendre le dernier bonbon de l'un des deux tas? Exercice 18 Des entiers entre 1 et 101 sont inscrits dans chacune des cases d'une grille carrée , de telle sorte que chaque entier est utilisé 101 fois. Montrer qu'il existe soit une colonne, soit une ligne contenant au moins 11 nombres différents. Exercice 19 Quel est le plus grand nombre possible de sous-ensembles de tels que l'intersection de deux quelconques (distincts) de ces sous-ensembles soit constituée d'un ou plusieurs entiers consécutifs? Exercice 20 Un exercice de créativité: proposer un problème de compétition original, ainsi que sa solution. Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] 24° Torneio Das Cidades()Frances
Le vingt-quatrième Tournoi des Villes Épreuve de printemps, 1ères -- terminales, version d'entraînement. (Le total des points est calculé à partir des trois problèmes pour lesquels vous en avez obtenu le plus, les points des sous-questions d'un même problème s'ajoutent. Les points sont indiqués entre crochets.) John et Mary choisissent chacun un nombre entier positif et le communiquent à Bill, qui écrit la somme de ces deux nombres sur un papier, et leur produit sur un autre. Il montre alors l'un de ces papiers à John et Mary qui y voient le nombre sans savoir s'il s'agit de la somme ou du produit. John regarde le nombre et déclare qu'il ne peut pas en déduire le nombre qu'a choisi Mary. Ayant entendu cela, Mary dit qu'elle ne sait pas non plus quel nombre a choisi John. Quel était le nombre choisi par Mary? [4points] Un contrôle a eu lieu dans une classe. On sait qu'au moins les deux tiers des questions de ce contrôle étaient difficiles: pour chacune de ces questions difficiles, au moins les deux tiers des élèves n'ont pas su répondre. On sait aussi qu'au moins les deux tiers des élèves ont bien réussi le contrôle: chacun d'eux a su répondre à au moins deux tiers des questions. Est-ce possible? [1 point] La réponse à la question précédente serait-elle la même si l'on remplaçait partout deux tiers par trois quarts? [1point] La réponse à la première question serait-elle la même si l'on remplaçait partout deux tiers par sept dixièmes? [2points] On considère un ensemble fini de droites, deux à deux non parallèles, qui découpent le plan en plusieurs parties. On place un point A dans l'une de ces parties. Montrer qu'il existe un point B tel que, pour chacune des droites, A et B ne sont jamais du même côté, si et seulement si la partie qui contient A n'est pas bornée. [5points] Soient trois nombres de l'intervalle ouvert . Démontrer l'inégalité [5points] On considère une suite infinie de nombres entiers positifs telle que le successeur de x est obtenu en ajoutant à x l'un de ses chiffres non nuls. Montrer que dans cette suite apparaît nécessairement un nombre pair. [5points] Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] ngulos e Lados Inteiros
Title: Help Prove que: 1.As medidas dosângulos agudos de um triângulo pitagórico (triângulo retângulo cujos lados têm medida inteira) não são inteiras (quando expressos em graus). Para pensar: Pode haver um triângulo pitagórico cujos ângulos agudos têm medida racional? 2. Se os lados de um triângulo têm medida inteira e um de seus ângulostem medida inteira, então esse ângulo mede 60, 90 ou 120 graus. 3. Se um triângulo tem os três lados e os três ângulos com medida inteiraentão ele éequilátero.
Re: [obm-l] corpo ordenado completo
Mas isso nao e nenhum problema virtualmente dificil.Toda aatematica e construida no "se isto entao aquilo".Logo a ideia mesmo e axiomatizar os reais e ver onde vamos parar com isso.Eu ja escrevi um sketch de construir corpos ordenados completos a partir dos racionais,o Processo de Cantor-Cauchy ou Truque de Cauchy.Sera que alguem sabe o Corte de Dedekind? "Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED] wrote: On Tue, Jan 07, 2003 at 08:29:13PM -0300, Bruno Lima wrote: No livro do Elon, Curso de analise vol1, no cap 3 ele enuncia o seguinte axioma: " Existe um corpo ordenado completo " , pra mim isso nao tem cara de axioma. Nao da pra provar esse fato ?? Ou seja, provar que o conjunto dos reais 'e corpo ordenado completo??De certa forma você tem razão: na teoria dos conjuntos usual você podeconstruir o conjunto dos números reais(e as operações +, * e a relação de ordem )e aí não é difícil demonstrar que o que você acaba de construir satisfaztodas aquelas propriedades que o Elon enumera no capítulo que você leu, i.e.,você pode demonstrar que construiu um corpo ordenado completo.O ponto de vista do Elon (conforme ele tenta explicar no livro) é o de queeste tipo de construção não deveria ser estudada neste momento, que o estudantedeveria considerar como um fato que não será demonstrado que existe um corpoordenado completo. É neste sentido que a afirmação é um axioma (algo que nãonos propomos a demonstrar). Note que o Elon (e a maioria dos autores de livros de análise) supõe a teoriados conjuntos como entendida "intuitivamente", usa livremente conjuntos eoutros objetos relacionados (como funções) sem nunca ter sequer tentadoaxiomatizar a teoria dos conjuntos. Até onde vai o rigor matemático dependedos interesses e da situaçãor. Você pode, é claro, discordar das escolhasdo Elon ou de qualquer outro autor quanto a este tipo de avaliação sem queisto signifique desrespeitar o autor, é um pouco uma questão de gosto.Neste caso você deveria estudar mais teoria de conjuntos(ou lógica matemática).[]s, N.PS: O mesmo problema acontece com os axiomas para os naturais.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: Re:[obm-l] IME 96
Uma forma de proceder seria contar o número de caminhos que passam por um número específico de quadrados. Assim, o menor caminho passa por três quadrados (excluindo o superior esquerdo mas incluindo o inferior direito) - é o da diagonal e é o único caminho desse comprimento. Chamemos de N(k), o número de caminhos de comprimento k. Assim, N(1) = N(2) = 0 e N(3) = 1. Já o caminho mais comprido não usa nenhuma diagonal e mede 6. Além disso, N(6) = C(6,3) = 20. Justificativa: cada caminho de comprimento 6 pode ser representado por uma sequência do tipo L L B L B B (L = para o lado, B = para baixo, D = pela diagonal), onde existem 3 L's e 3 B's ( e nenhum D). O número de tais sequências é C(6,3). O número total de caminhos é, portanto, N = N(3) + N(4) + N(5) + N(6). Já conhecemos N(3) e N(6). N(5) é o número de caminhos que usa apenas uma diagonal. Exemplos: B B L D L, ou então L D B L B. Todos estes caminhos seriam compostos de 1 D, 2 L's e 2 B's == N(5) = 5 * C(4,2) = 5 * 6 = 30 N(4) é o número de caminhos que usa duas diagonais. Exemplos: L D D B; D L D B. Todos os caminhos têm 2 D's, 1 L e 1 B == N(4) = C(4,2) * 2 = 6 * 2 = 12. Assim, N = 1 + 12 + 30 + 20 = 63 caminhos distintos. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Juliana Freire [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 6:00 PM Subject: Re: Re:[obm-l] IME 96 É dado um tabuleiro quadrado 4x4. Deseja- se atingir o quadrado inferior direito a partir do quadrad o superior esquerdo. Os movimentos permitidos são represen tados pelas setas: De quantas maneiras isto é possível ? O enunciado está vago, pois diz que deve-se partir do quadrado superior esquerdo e chegar ao quadrado inferior direito. Mas isso, na minha opinião, pode ser feito partindo-se de qualquer vértice do quadrado superior esquerdo e chegar a qualquer vértice do quadrado inferior direito. Eu não acho que seja para andar pelos vértices, e sim pelo centro do quadrado... andando para um quadrado adjacente ou na diagonal. Assim não tem ambiguidade. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] matrizes
Olá pessoal, Como eu posso resolver esta questão que caiu na PUC-SP: (PUC-SP) Sejam as matrizes A=[ (a11=1) (a12= 3) (a21=4) e (a22= -3)] e X (matriz coluna)= [(a11=x) e (a21=y) tal que A*X= 3x é : A resposta é uma matriz coluna igual a [(a11=3 e (a21=2)] Obs: O que eu pude observar, e que deve ser a chave para a resolução foi que quando eu estava tentando resolver eu multipliquei A por X obtive AX= [(a11=x) (a12=y) (a21=4x) e (a22= -3x)] e a segunda coluna se anula se fosse somada.
Re: [obm-l] geometria plana
Vou tentar descrever direitinho.Essa saiu até facilemente. Vamos aplicar o Teorema da Bissetriz interna duas vezes.Lembrando: Num triângulo ABC,seja AD a bissetriz do ângulo Â,D sobre BC.Então vale: BD/AB = CD/AC Beleza? Então consideremos agoranossa situação.Chamemos AS de x e CS de 7-x.Pelo TBI: x/6 = (7-x)/8 (*) Condidere agora o triângulo CBS.Novamente: 8/BI = (7-X)/IS == BI/IS = 8(7-x) (**) Só que de (*),por uma propriedade das proporções: x/6 = (7-x)/8 = (x+7-x)/(6+8) = 7/14 = 1/2 Ou seja, 8/(7-x)=1/2 (***).Comparando (***) e (**),temos o resultado desejado. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 8:06 PM Subject: [obm-l] geometria plana Olá pessoal, Imaginem um triângulo de base BC=8, AB= 6, AC= 7. Sendo BS bissetriz do ângulo B ( o ponto S pertence à AC) e CI bissetriz do ângulo C (o ponto I é o ponto de intersecção das bissetrizes). Como eu posso provar que a razão BI/IS vale 2 ?
Re: [obm-l] geometria plana
Droga...Cometi um erro na passagem "Ou seja, 8/(7-x)=1/2 (***).Comparando (***) e (**),temos o resultado desejado." Como vc mesmo pode ver,é 8/(7-x)=2.Foi mal aí. - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 8:14 PM Subject: Re: [obm-l] geometria plana Vou tentar descrever direitinho.Essa saiu até facilemente. Vamos aplicar o Teorema da Bissetriz interna duas vezes.Lembrando: Num triângulo ABC,seja AD a bissetriz do ângulo Â,D sobre BC.Então vale: BD/AB = CD/AC Beleza? Então consideremos agoranossa situação.Chamemos AS de x e CS de 7-x.Pelo TBI: x/6 = (7-x)/8 (*) Condidere agora o triângulo CBS.Novamente: 8/BI = (7-X)/IS == BI/IS = 8(7-x) (**) Só que de (*),por uma propriedade das proporções: x/6 = (7-x)/8 = (x+7-x)/(6+8) = 7/14 = 1/2 Ou seja, 8/(7-x)=1/2 (***).Comparando (***) e (**),temos o resultado desejado. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 8:06 PM Subject: [obm-l] geometria plana Olá pessoal, Imaginem um triângulo de base BC=8, AB= 6, AC= 7. Sendo BS bissetriz do ângulo B ( o ponto S pertence à AC) e CI bissetriz do ângulo C (o ponto I é o ponto de intersecção das bissetrizes). Como eu posso provar que a razão BI/IS vale 2 ?
Fw: [obm-l] trigonometria
Pode. Tambémsão soluções sin(alfa)=10com cos(alfa)=24, e sin(alfa)=85com cos(alfa)=204. Paramostrar que estas duas soluções também são válidas, veja que 10/24=85/204=5/12. JF - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 6:07 PM Subject: [obm-l] trigonometria Olá pessoal, Vejam a questão: O ângulo alfa é agudo e tg(alfa)= 5/12. Calcule sen(alfa) e cos(alfa). (...) Obs: Minha dúvida é : Se tg=sen/cos, a resposta não poderia ser sen (alfa)=5 (já que ele é o numerador) e cos (alfa)= 12 já que é o numerador
[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_[obm-l]_OFF_Topic_-_24º_Colóqio_Brasileiro_de_Matemática
No site do Impa, você pode obter informações http://w3.impa.br/~coloquio/CBM24/index.html. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 5:29 PM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_[obm-l]_OFF_Topic_-_24º_Colóqio_Brasileiro_de_Matemática Como se participa? Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá,bom saber que há um colega da minha universidade na lista. No últimoColóquio teve essa ajuda de custo. Quando se fazia a inscrição pelainternet, perguntava se você queria ou não a ajuda. Eu suponho que este ano,vai ter igual.Abraço,Eduardo.From: Marcus Alexandre NunesEu tenho acompanhado esta lista há algum tempo, mas esta é minha primeiraparticipação. Eu ouvi um boato na minha universidade (UFRGS) q existe ajudade custo para alunos que querem participar do Colóquio, mesmo que sejamapenas visitantes. Esta informação procede? Ou melhor, alguém já ouviu algodeste gênero? Ou estou escrevendo bobagem?Obrigado pela atenção.--Marcus Alexandre Nunes[EMAIL PROTECTED]UIN 114153703! =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>= Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] corpo ordenado completo
On Tue, Jan 07, 2003 at 08:29:13PM -0300, Bruno Lima wrote: No livro do Elon, Curso de analise vol1, no cap 3 ele enuncia o seguinte axioma: Existe um corpo ordenado completo , pra mim isso nao tem cara de axioma. Nao da pra provar esse fato ?? Ou seja, provar que o conjunto dos reais 'e corpo ordenado completo?? De certa forma você tem razão: na teoria dos conjuntos usual você pode construir o conjunto dos números reais (e as operações +, * e a relação de ordem ) e aí não é difícil demonstrar que o que você acaba de construir satisfaz todas aquelas propriedades que o Elon enumera no capítulo que você leu, i.e., você pode demonstrar que construiu um corpo ordenado completo. O ponto de vista do Elon (conforme ele tenta explicar no livro) é o de que este tipo de construção não deveria ser estudada neste momento, que o estudante deveria considerar como um fato que não será demonstrado que existe um corpo ordenado completo. É neste sentido que a afirmação é um axioma (algo que não nos propomos a demonstrar). Note que o Elon (e a maioria dos autores de livros de análise) supõe a teoria dos conjuntos como entendida intuitivamente, usa livremente conjuntos e outros objetos relacionados (como funções) sem nunca ter sequer tentado axiomatizar a teoria dos conjuntos. Até onde vai o rigor matemático depende dos interesses e da situaçãor. Você pode, é claro, discordar das escolhas do Elon ou de qualquer outro autor quanto a este tipo de avaliação sem que isto signifique desrespeitar o autor, é um pouco uma questão de gosto. Neste caso você deveria estudar mais teoria de conjuntos (ou lógica matemática). []s, N. PS: O mesmo problema acontece com os axiomas para os naturais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Equações diferenciais
Hi ALL, O que garante que todas as equações diferenciais sujeitas a uma condição inicial possuem apenas uma solução? Gostaria de algo formal, pois a noçao intuitiva eu tenho. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] trigonometria
Olá pessoal, Vejam a questão: O ângulo alfa é agudo e tg(alfa)= 5/12. Calcule sen(alfa) e cos(alfa). Eu não estou com dúvidas de como resolver esta questão pois através da relação derivada sec^2(x)=1 + tg^2(x) eu descobri a secante e através desta descobri o cos. A partir daí, descobri o sen pela relação fundamental sen^2 (x) + cos^2 (x) =1 Obs: Minha dúvida é : Se tg=sen/cos, a resposta não poderia ser sen (alfa)=5 (já que ele é o numerador) e cos (alfa)= 12 já que é o numerador
