Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes ePermutações pares e ímpares

[JoaoCarlos_Junior]

   
 
  Cláudio \(Prática\)
 
  claudio@praticacorretPara: [EMAIL PROTECTED]   
 
  ora.com.br   cc:
 
  Enviado Por:  Assunto:  [obm-l] Re: [obm-l] 
Determinantes e Permutações   
  [EMAIL PROTECTED] pares e ímpares   
 
  .puc-rio.br  
 
   
 
   
 
  04/02/2003 06:12 
 
  Favor responder a
 
  obm-l
 
   
 
   
 






  Querido Cláudio,



  Obrigado! Com sinceridade, obrigado! O conhecimento real, presente, é

  o  que  possuímos,  fora isto, estamos no passado. Por isso, agradeço sua

  colaboração, com a qual atualizo-me e avanço.

  Cláudio,  não sei a definição de permutações pares e ímpares, não sei

  quando o sinal ? sgn(p) - será positivo ou negativo.

Desta  forma,  gostaria  de receber mais de suas belas explicações.

  Desde já, muito grato, João Carlos.




Caro João Carlos:

A fórmula geral para o determinante de uma matriz A (n x n) é a seguinte:

det(A) = SOMATÓRIO   sgn(p) * A(1,p(1)) * A(2,p(2)) * ... * A(n,p(n))
  p  em  Sn

onde A(i,j) é o elemento da linha i e coluna j, sgn(p) = sinal da
permutação
p (+1 se p é par, -1 se p
é ímopar) e onde a soma é tomada sobre cada permutação p dos números 1, 2,
..., n  (o conjunto de todas estas permutações é comumente denominado Sn)
ou
seja, é uma soma de n! termos, cada um deles igual ao produto de n
elementos
da matriz.

Assim, para n = 4 esta fórmula, apesar de correta (é, de fato, a definição
de determinante) é muito trabalhosa de se aplicar. No entanto, existem
alguns teoremas sobre determinantes - tais como expansão de Laplace ou
sobre
o efeito de operações elementares com linhas e colunas - que permitem que
você reduza o problema ao cálculo de determinantes de ordem menor.

O que deve estar acontecendo é que, com n = 4, o número de termos é = 24
e
talvez você esteja esquecendo algum termo ou trocando algum sinal.

Espero que isso ajude.

Um abraço,
Claudio.


- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, February 03, 2003 4:08 PM
Subject: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares


No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra de
cálculo determinantes por meio de permutações pares e ímpares. Porém, não
estou conseguindo aplicá-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual
a 4. Expliquem-me.


  ATT. João Carlos

=
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[obm-l] Re: [obm-l] Função Iterada

[Paulo Santa Rita]

Ola Claudio e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Eu vou encontrar o problema e a minha solucao enviarei novamente para esta 
lista. Talvez, por te-lo reconstituido de memoria, eu tenha colocado uma 
composicao a mais - deve ser so f(n), f(f(N)) e
f(f(f(N)))- no enunciado abaixo. Peco desculpas a todos.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
4,1016,050203

OBS : Nao vi o problema. Mais tarde, quando estiver com mais tempo, eu vou 
dar uma olhada e envio a solucao.

From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Função Iterada
Date: Tue, 4 Feb 2003 20:35:22 -0200

Caro Paulo:

Acho que o enunciado abaixo não está correto, pois encontrei um
contra-exemplo: N = 4

Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N  1, os 
numeros
f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N, ... sao dois a dois primos entre
si.

N = 4 ==
f(4) = 4^2 + 4 + 1 = 21 ==
f(f(4)) = 21^2 + 21 + 1 = 463  ==
f(f(f(4))) = 463^2 + 463 + 1 = 214.833

Mas MDC( f(4) , f(f(f(4))) ) = MDC( 21, 214.833 ) = 3



Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática?
Escolha 9 subconjuntos de 6 elementos de {1, 2, ..., 36 } tais que, 
qualquer
que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } - a interseção
de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é vazia.

Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução.



Um abraço,
Claudio.


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[obm-l] Nova Página

[bene]

Prezado Luís Lopes,
Veja a nova página (ainda em estruturação) da Olimpíada de Matemática do Rio
Grande do Norte:
www.ufrn.br/olimpiada

Na seção Bibliografia você encontrará um livro muito familiar.
Benedito

- Original Message -
From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, May 20, 2002 12:50 PM
Subject: [obm-l] A property of X55 and X56


Sauda,c~oes,

A CRUX tem alguns arquivos públicos.

Ir no site

http://journals.cms.math.ca/cgi-
bin/vault/public/view/CRUXv23n3/body/HTML/187?template=CRUX

[]'s
Luis

From: yiuatfauedu
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [EMHL] Re: A property of X55 and X56
Date: Thu, 16 May 2002 22:33:47 -


Dear Gilles and Edward:

This was Problem 2137 of Crux Mathematicorum:

http://journals.cms.math.ca/cgi-
bin/vault/public/view/CRUXv23n3/body/HTML/187?template=CRUX
Best regards
Sincerely
Paul

--- In [EMAIL PROTECTED], Gilles Boutte [EMAIL PROTECTED] wrote:
  Dear all Hyacinthists,
 
  Edward Brisse and I worked on the following problem:
 
  Let Ca, Cb, Cc be 3 circles, with the same radius, Ca tangent to AB
and
  AC, Cb tangent to BC and BA, Cc tangent to CA and CB.
 
  There are two such triad, for which the 3 circles are concurrent,
in X55
  and X56 respectively.
 
  This result is knowm as Berzsenyi Triple Circle Concurrency.
 
  We wrote a short note (in French) on this subject. You can download
it
  at http://g.boutte.free.fr/articles/020516.pdf
 
  Would anybody have references to supply us on this problem?
 
  Best regards,
 
  Gilles Boutte




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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares

[RICARDO CHAVES]

Esse tal de signum da permutaçao e voce fazer o produtorio 

From: [EMAIL PROTECTED] 
Reply-To: [EMAIL PROTECTED] 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares 
Date: Wed, 5 Feb 2003 07:10:34 -0400 
 
 
 "Cláudio \(Prática\)" 
 
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 Enviado Por: Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações 
 [EMAIL PROTECTED] pares e ímpares 
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 04/02/2003 06:12 
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 Querido Cláudio, 
 
 
 
 Obrigado! Com sinceridade, obrigado! O conhecimento real, presente, é 
 
 o que possuímos, fora isto, estamos no passado. Por isso, agradeço sua 
 
 colaboração, com a qual atualizo-me e avanço. 
 
 Cláudio, não sei a definição de permutações pares e ímpares, não sei 
 
 quando o sinal ? sgn(p) - será positivo ou negativo. 
 
 Desta forma, gostaria de receber mais de suas belas explicações. 
 
 Desde já, muito grato, João Carlos. 

 O signum euma especie de produtorio com uns termos do tipo p(x)-p(y)/x-y .
 
 
Caro João Carlos: 
 
A fórmula geral para o determinante de uma matriz A (n x n) é a seguinte: 
 
det(A) = SOMATÓRIO sgn(p) * A(1,p(1)) * A(2,p(2)) * ... * A(n,p(n)) 
 p em Sn 
 
onde A(i,j) é o elemento da linha i e coluna j, sgn(p) = sinal da 
permutação 
"p" (+1 se p é par, -1 se p 
é ímopar) e onde a soma é tomada sobre cada permutação p dos números 1, 2, 
..., n (o conjunto de todas estas permutações é comumente denominado Sn) 
ou 
seja, é uma soma de n! termos, cada um deles igual ao produto de n 
elementos 
da matriz. 
 
Assim, para n = 4 esta fórmula, apesar de correta (é, de fato, a definição 
de determinante) é muito trabalhosa de se aplicar. No entanto, existem 
alguns teoremas sobre determinantes - tais como expansão de Laplace ou 
sobre 
o efeito de operações elementares com linhas e colunas - que permitem que 
você reduza o problema ao cálculo de determinantes de ordem menor. 
 
O que deve estar acontecendo é que, com n = 4, o número de termos é = 24 
e 
talvez você esteja esquecendo algum termo ou trocando algum sinal. 
 
Espero que isso ajude. 
 
Um abraço, 
Claudio. 
 
 
- Original Message - 
From: <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Monday, February 03, 2003 4:08 PM 
Subject: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares 
 
 
No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra de 
cálculo determinantes por meio de permutações pares e ímpares. Porém, não 
estou conseguindo aplicá-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual 
a 4. Expliquem-me. 
 
 
 ATT. João Carlos 
 
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[obm-l] análise de sinais (funções)

[Faelccmm]

(FUVEST) Resolva 2x - 3 + 5*[(1/x) + 1] =1

resp:{x e R| x0}

Obs: Eu tentei resolver mas não cheguei neste resultado, vejam minha resolução e me digam onde errei:
2x-3+(5/x)+5=1
2x-3+(5/x)+5-1=0
2x^2 -3x + 5 + 4x =0 (Nesta etapa eu multipliquei por x)
2x^2 + x + 5=0
A partir disso percebe-se que delta é igual -39, portanto não há raízes reais e a resposta não pode ser :{x e R| x0}.

[obm-l] trigonometria (transformação de arcos)

[Faelccmm]

(UECE) Se P= [(sen 40º)/(sen 20º)] - [(cos 40º)/(cos 20º)], então p^2 - 1 é igual:
Resp: cotg^2 (20º)

Obs: Será que o resultado não é tg^2 (20º)?

ICQ: 337140512

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares

[Eduardo Casagrande Stabel]

Olá Ricardo e demais participantes desta discussão!

Considere o conjunto de todas as permutações de (1234): (1243), (3214), ...
cada permutação dessas pode ser representada com uma bijeção
f:{1,2,3,4}-{1,2,3,4}. Por exemplo, em (1243) a função seria f(1)=1,
f(2)=2, f(3)=4, f(4)=3. Pode-se pensar, então, em construir uma operação com
as permutações, através da composição de funções. Vou dar um exemplo

(1243) é representado por f(1)=1, f(2)=2, f(3)=4, f(4)=3
(3214) é representado por g(1)=3, g(2)=2, g(3)=1, g(4)=4
(1243) * (3241) é representado pela composta h = f o g, h(1)=4, h(2)=2,
h(3)=1, h(4)=3
portanto (1243) * (3241) = (4213)

Das operações tradicionais com funções, se conclui que * é associativa
a*(b*c)=(a*b)*c, não é em geral comutativa, se considerarmos identidade = i
= (1234) temos a * i = i * a = a para todo a e toda permutação tem uma
inversa a^(-1) tal que a * a^(-1) = a^(-1) * a = i.

Vamos definir uma função N:permutações-naturais que conta numa determinada
permutação p, quantos são os pares de números da esquerda para a direita na
permutação estão com o primeiro elemento maior. Em (1234) temos cada par na
ordem certa, portanto N(1234)=0. Em (3241), temos os pares (32), (31), (21),
(41) com o primeiro elemento maior portanto N(3241)=4. Agora temos um
resultado que é simples

LEMA. Cada vez que trocamos dois números de posição numa permutação p e
obtemos uma nova permutação p', o número N(p)-N(p') é ímpar. (por exemplo,
de p=(1234) com N(p) = 0 substituinto 1 e 3, obtemos p'=(3214) com N(p')=3)

Com base neste lema fazemos a seguinte definição, que é consistente

DEFINIÇÃO. Dizemos que uma permutação p é PAR (ÍMPAR) se a quantidade de
trocas que se precisa fazer com seus elementos para se chegar à i =
identidade é PAR (ÍMPAR). Ou o que é no mesmo, p é PAR (ÍMPAR) se N(p) é um
número PAR (ÍMPAR).

O sgn(p) = 1 se p é PAR e -1 se p é ÍMPAR.

Pode-se mostrar que para cada permutação p, existe uma matriz M (reordenação
das colunas da identidade) que seu efeito sobre um vetor da base canônica é
o mesmo que de p sobre o seu índice M(e_i) = e_(f(i)) onde f é a função
associada a p, e que det(M) = sgn(p). A composição de matrizes se relaciona
com a composição de funções, e daí sgn(a*b)=sgn(a)*sgn(b).

Espero ter ajudado!
Eduardo.


From: RICARDO CHAVES

Esse tal de signum da permutaçao e voce fazer o produtorio

From: [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e
ímpares
Date: Wed, 5 Feb 2003 07:10:34 -0400


 Cláudio \(Prática\)

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 Enviado Por: Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Determinantes e Permutações
 [EMAIL PROTECTED] pares e ímpares
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 04/02/2003 06:12
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 Querido Cláudio,



 Obrigado! Com sinceridade, obrigado! O conhecimento real, presente, é

 o que possuímos, fora isto, estamos no passado. Por isso, agradeço sua

 colaboração, com a qual atualizo-me e avanço.

 Cláudio, não sei a definição de permutações pares e ímpares, não sei

 quando o sinal ? sgn(p) - será positivo ou negativo.

 Desta forma, gostaria de receber mais de suas belas explicações.

 Desde já, muito grato, João Carlos.
 O signum e uma especie de produtorio com uns termos do tipo p(x)-p(y)/x-y
.


Caro João Carlos:

A fórmula geral para o determinante de uma matriz A (n x n) é a seguinte:

det(A) = SOMATÓRIO sgn(p) * A(1,p(1)) * A(2,p(2)) * ... * A(n,p(n))
 p em Sn

onde A(i,j) é o elemento da linha i e coluna j, sgn(p) = sinal da
permutação
p (+1 se p é par, -1 se p
é ímopar) e onde a soma é tomada sobre cada permutação p dos números 1, 2,
..., n (o conjunto de todas estas permutações é comumente denominado Sn)
ou
seja, é uma soma de n! termos, cada um deles igual ao produto de n
elementos
da matriz.

Assim, para n = 4 esta fórmula, apesar de correta (é, de fato, a definição
de determinante) é muito trabalhosa de se aplicar. No entanto, existem
alguns teoremas sobre determinantes - tais como expansão de Laplace ou
sobre
o efeito de operações elementares com linhas e colunas - que permitem que
você reduza o problema ao cálculo de determinantes de ordem menor.

O que deve estar acontecendo é que, com n = 4, o número de termos é = 24
e
talvez você esteja esquecendo algum termo ou trocando algum sinal.

Espero que isso ajude.

Um abraço,
Claudio.


- Original Message -
From:
To:
Sent: Monday, February 03, 2003 4:08 PM
Subject: [obm-l] Determinantes e Permutações pares e ímpares


No volume 3, A Matemática do Ensino Médio da SBM, p. 137, há regra de
cálculo determinantes por meio de permutações pares e ímpares. Porém, não
estou conseguindo aplicá-la para matrizes quadradas de ordem maior ou igual
a 4. Expliquem-me.


 ATT. João Carlos

=
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[obm-l] Remador

[elton francisco ferreira]

Um remador, remando contra a correnteza de um rio, a
cada 100m de um percurso retilínio dá um parada para
descansar, e acaba retornando 20m levados pela
correnteza. Se gasta 30s para cada 10m remados e 1 min
para descanso, mantendo esse ritmo até o final, em
quanto tempo atingirá a marca dos 1700m remados?

a) 1h e 36min
b) 1h e 46min
c) 1h e 50min
d) 2h e 5min
e) 2h e 25min  


___
Busca Yahoo!
O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
http://br.busca.yahoo.com/
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[obm-l] Permutações pares e ímpares

[Cláudio \(Prática\)]

Caro João Carlos:

Uma explicação simplista seria a seguinte:

Considere o conjunto In = {1,2,3,...,n}

Uma permutação de In nada mais é do que uma bijeção de In em In. No entanto,
do ponto de vista notacional, é conveniente representar uma permutação como
sendo uma matriz 2 x n, onde a primeira linha é:

1   2   3   4   ...   n-1   n

e a segunda linha, a permutação desejada dos elementos de In, tal como por
exemplo:

2   3   1   4   ...   n-1  n

(ou seja, uma permutação que leva 1 em 2, 2 em 3, 3 em 1, e fixa os demais
elementos de In)

A fim de verificar a paridade da permutação, você só precisa ligar pontos,
ou seja, traçar n linhas ligando números iguais nas linhas superior e
inferior (de forma que no máximo duas das linhas traçadas se interceptem num
mesmo ponto). Se o número de pontos de interseção for par, a permutação será
par, caso contrário será ímpar.

Assim, a permutação do exemplo é par (2 pontos de interseçao: 1-1 com 2-2, e
1-1 com 3-3).

Outros exemplos  (em I5):
1   2   3   4   5
5   4   3   2   1 ==   10 pontos de interseção  == PAR

1   2   3   4   5
2   3   1   5   4 ==   3 pontos de interseção  ==  ÍMPAR

1   2   3   4   5
5   1   2   4   3==   5 pontos de interseção  == ÍMPAR

Uma explicação mais detalhada deverá envolver alguns conceitos simples tais
como ciclos e transposições.
Por exemplo, você pode dar uma olhada em
http://www.fc.up.pt/mp/clomp/chapter4.pdf  - um arquivo pdf que trata disso
tudo. Existem várias outras referências on-line, mas são em inglês. Se você
quiser eu posso te indicar.

Espero ter ajudado.

Um abraço,
Claudio.


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O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

Re: [obm-l] geometria espacial

[Nicolau C. Saldanha]

On Wed, Feb 05, 2003 at 10:25:56AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Oá pessoal,
 
 Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta de 12 gomos 
 exatamente iguais. A área da superfície total de cada gomo é dada por:
 
 resp: (4*pi*R^2)/3
 Obs: A resposta não seria  (pi*R^2)/3 ? Pois se há 12 gomos então a área 
 superficial de casa gomo é igual a (área superficial total da esfera)/(12). 
 Será que o gabarito está errado novamente?
 

Você precisa contar também a área dos dois semicírculos onde um gomo
encosta em outro e com isso você chega na resposta do gabarito.

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

[obm-l] Re: [obm-l] análise de sinais (funções)

[Cláudio \(Prática\)]

Quando você multiplicou por x, você deveria ter 
separado os casos x  0 e x  0. No segundo caso, a desiguladade muda de 
sentido.

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Wednesday, February 05, 2003 1:26 
  PM
  Subject: [obm-l] análise de sinais 
  (funções)
  (FUVEST) Resolva 2x - 3 
  + 5*[(1/x) + 1] =1 resp:{x e R| x0} Obs: Eu tentei 
  resolver mas não cheguei neste resultado, vejam minha resolução e me digam 
  onde errei: 2x-3+(5/x)+5=1 2x-3+(5/x)+5-1=0 2x^2 -3x + 5 + 
  4x =0 (Nesta etapa eu multipliquei por x) 2x^2 + x + 5=0 A 
  partir disso percebe-se que delta é igual -39, portanto não há raízes reais e 
  a resposta não pode ser :{x e R| x0}. 

Re: [obm-l] geometria espacial

[Cláudio \(Prática\)]

Área do Gomo = 1/12 da Área da Esfera 
+2 * Área do Semicírculo = 1/12 * 4*Pi*R^2 + 2 * Pi*R^2/2 = 4/3 * 
Pi*R^2

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Wednesday, February 05, 2003 1:25 
  PM
  Subject: [obm-l] geometria espacial
  Oá pessoal, Uma 
  laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta de 12 gomos 
  exatamente "iguais". A área da superfície total de cada gomo é dada por: 
  resp: (4*pi*R^2)/3 Obs: A resposta não seria (pi*R^2)/3 ? 
  Pois se há 12 gomos então a área superficial de casa gomo é igual a (área 
  superficial total da esfera)/(12). Será que o gabarito está errado novamente? 
  

[obm-l] Re: [obm-l] trigonometria (transformação de arcos)

[Cláudio \(Prática\)]

sen40 = 2*sen20*cos20

cos40 = 2*(cos20)^2 - 1

Substituindo estes valores em P, 
teremos:

P = (2*sen20*cos20)/(sen20) - 
(2*(cos20)^2-1)/cos20 ==

P = 2*cos20 - 2cos20 + 
1/cos20 = 1/cos20 ==

P^2 - 1 = 1/(cos20)^2 - 1 
= ( 1 - (cos20)^2 ) / (cos20)^2 = (sen20)^2 / (cos20)^2 = 
(tg20)^2.

Você está certo.

Meu conselho: joga fora este gabarito urgente 
!!!

Um abraço,
Claudio.

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Wednesday, February 05, 2003 1:28 
  PM
  Subject: [obm-l] trigonometria 
  (transformação de arcos)
  (UECE) Se 
  P= [(sen 40º)/(sen 20º)] - [(cos 40º)/(cos 20º)], então p^2 - 1 é igual: 
  Resp: cotg^2 (20º) Obs: Será que o resultado não é tg^2 (20º)? 
  ICQ: 337140512 

Re: [obm-l] Remador

[Cláudio \(Prática\)]

Rema 10 m em 30 s == Rema 100 m em 300 s
Volta 20 m em 60 s.

Resultado: Avança 80m em 360 s. == Avança 1600 m em 20*360 = 7200 s.

Ao chegar aos 1600 m (depois do último recuo de 20 - ou seja, o máximo que
ele atingiu foi a marca dos 1620 m) ele rema mais 100m em 300s, chegando aos
1700m.

Logo, tempo total = 7200 + 300 = 7500 s = 2 horas 5 minutos  == alternativa
(d)

- Original Message -
From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, February 05, 2003 2:44 PM
Subject: [obm-l] Remador


Um remador, remando contra a correnteza de um rio, a
cada 100m de um percurso retilínio dá um parada para
descansar, e acaba retornando 20m levados pela
correnteza. Se gasta 30s para cada 10m remados e 1 min
para descanso, mantendo esse ritmo até o final, em
quanto tempo atingirá a marca dos 1700m remados?

a) 1h e 36min
b) 1h e 46min
c) 1h e 50min
d) 2h e 5min
e) 2h e 25min


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Re: [obm-l] Livro Geometria

[Frederico Reis Marques de Brito]

Sobre os livros Geometria I e II e Álgebra I , tentei em vão falar no fone 
indicado pelo Morgado ( até rimou... ). Mas o telefone está programado para 
não receber ligações. Gostaria de saber os tópicos abordados nesses livros, 
os preços e se há alggum site ou algum representante da editora em Belo 
Horizonte. Aproveito para esclarecer uma dúvida conceitual. O que vem a ser 
um quadrilátero cíclico?
Desde já deixo aqui meus agradecimentos.
Frederico.




From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria
Date: Fri, 17 Jan 2003 15:05:29 -0200

Agradecemos as referencias elogiosas do Paulo.
Corrijo as declaraçoes do Wagner:
1) o Geometria 1 eh um bom livro. Claro que, por tratar de conceitos
mais basicos e se dirigir basicamente a um leitor que seja um bom aluno
de SETIMA SERIE, sempre os autores (e leitores mais adiantados) acharao
que se poderia dar um tratamento axiomaticamente mais rigoroso; mas o
objetivo era fazer um livro de Geometria para vestibulares dificeis e
concursos de admissao a escolas militares, extremamente procuradas na
epoca; ainda hoje eh um bom livro para IME, ITA, Colegio Naval, etc.
2) Geometria 1, Geometria 2 e Algebra 1 podem ser pedidos a
FCZ Livros
Rua Carneiro Ribeiro 22 loja A
21050-570  Maria da GraçaRio de JaneiroRJ
Telefax  (21) 2581-2873
Morgado

Paulo Santa Rita wrote:

 Ola Leonardo e demais
 colegas desta lista ... OBM-L,

 Foi esse livro que despertou meu interesse pela Matematica.

 Voce teve a mesma impressao que eu tive, quando o li pela primeira
 vez, apos adquiri-lo em um sebo ( sebo = livraria de livros usados ).
 Muitas vezes me perguntei o que o tornava tao interessante e diferente
 dos outros ...

 Me parece que e porque os autores ( Eduardo Wagner e Augusto Morgado )
 nao perdem tempo provando coisas simples e evidentes, partindo
 imediatamente a exposicao de fatoss espetaculares e inusitadas, que
 dificilmente imaginariamos que ocorrem.

 Quando um matematico explica um fenomeno inusitado ( por exemplo : o
 circulo de nove pontos ) ele aguca nossa inteligencia e nos vemos
 claramente que a Matemaica nao se resume a provas de fatos evidentes
 e, portanto, desmotivadoras ( por exemplo : prove que 1+1=2 ).

 Um Matematico adulto pode apreciar o formalismo, mas uma mente nova
 geralmente nao aprecia estas coisas ... Prove a uma crianca algo que
 ela duvida e nao suspeia e voce vai conquistar o interesse dela ... me
 parece que e esse simples detalhe que diferencia as grandes obras da
 mesmice e mediocridade que campeia na imensa maioria das obras
 didaticas da matematica ...

 As Olimpiadas de Matematica, que todos nos gostamos e admiramos e
 pelas quais fazemos verdadeiros sacrificios e uma continuacao de tudo
 isso ... Por que elas fazem sucesso ? Simplesmente porque as pessoas
 inteligentes odeiam coisas rotineiras e burocraticas, que sao os
 aspectos tipicos do ensino comum ...

 Neste sentido, o Livro a que voce se refere, o Geometria II dos Prof
 Wagner e Morgado, se nao foi o marco inicial e corajoso de uma
 revolucao pedagogica, foi, ao menos, o alvorecer de tudo isso. E nos
 somos felizardos por termos em nossa lista estes dois Prof's que
 iniciaram esta revolucao : Wagner e Morgado.

 Seria excelente que estes Profs dessem continuidade ao que comecaram
 com tanto brilho e eficiencia !

 Para que esta mensagem nao fique totalmente fora de nossa tradicao,
 aqui vai uma joia do Geometria II :

 1)Sejam a, b, c e d os lados de um quadrilatero ciclico.
 Mostre qua a area S desse quadrilatero pode ser expressa como :
 S=Raiz_Quadrada((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)) onde p e o semi-perimetro.

 2)Se o quadrilatero e incritivel e circunscritivel, entao :
 S=Raiz_Quadrada(abcd)

 PROBLEMA : Se ABC e um triangulo e C o circulo inscrito nele, sejam
 C1, C2 e C3 as tres partes da area do triangulo que nao pertencem ao
 circulo. Calcule cada uma, separadamente, em funcao dos lados do
 triangulo.

 Um Abraco a Todos
 Paulo Santa Rita
 6,,170103




 From: Leonardo Borges Avelino [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: [obm-l] Livro Geometria
 Date: Thu, Jan 16, 2003, 10:07 PM


 Caros amigos:

  Estava na casa de meu amigo e ele me mostrou um livro
 impressionante, que
 se chama: Geometria II dos prof.s Eduardo Wagner, Augusto Morgado e
 Miguel.
 Pergunta:

 Onde consigo este livro? e (desculpem-me se a pergunta for idiota) se
 existe o Geometria I?


 Valeu!!
 Leonardo Borges



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Re: [obm-l] Livro Geometria

[A. C. Morgado]

Houve um acidente com um caminhao que destruiu parte da rede telefonica 
(ah!, a Telemar!) da rua da livraria. Escreva uma carta ou aguarde uns dias.
Morgado


Frederico Reis Marques de Brito wrote:



Sobre os livros Geometria I e II e Álgebra I , tentei em vão falar no 
fone indicado pelo Morgado ( até rimou... ). Mas o telefone está 
programado para não receber ligações. Gostaria de saber os tópicos 
abordados nesses livros, os preços e se há alggum site ou algum 
representante da editora em Belo Horizonte. Aproveito para esclarecer 
uma dúvida conceitual. O que vem a ser um quadrilátero cíclico?
Desde já deixo aqui meus agradecimentos.
Frederico.




From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria
Date: Fri, 17 Jan 2003 15:05:29 -0200

Agradecemos as referencias elogiosas do Paulo.
Corrijo as declaraçoes do Wagner:
1) o Geometria 1 eh um bom livro. Claro que, por tratar de conceitos
mais basicos e se dirigir basicamente a um leitor que seja um bom aluno
de SETIMA SERIE, sempre os autores (e leitores mais adiantados) acharao
que se poderia dar um tratamento axiomaticamente mais rigoroso; mas o
objetivo era fazer um livro de Geometria para vestibulares dificeis e
concursos de admissao a escolas militares, extremamente procuradas na
epoca; ainda hoje eh um bom livro para IME, ITA, Colegio Naval, etc.
2) Geometria 1, Geometria 2 e Algebra 1 podem ser pedidos a
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Rua Carneiro Ribeiro 22 loja A
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Morgado

Paulo Santa Rita wrote:

 Ola Leonardo e demais
 colegas desta lista ... OBM-L,

 Foi esse livro que despertou meu interesse pela Matematica.

 Voce teve a mesma impressao que eu tive, quando o li pela primeira
 vez, apos adquiri-lo em um sebo ( sebo = livraria de livros usados ).
 Muitas vezes me perguntei o que o tornava tao interessante e diferente
 dos outros ...

 Me parece que e porque os autores ( Eduardo Wagner e Augusto Morgado )
 nao perdem tempo provando coisas simples e evidentes, partindo
 imediatamente a exposicao de fatoss espetaculares e inusitadas, que
 dificilmente imaginariamos que ocorrem.

 Quando um matematico explica um fenomeno inusitado ( por exemplo : o
 circulo de nove pontos ) ele aguca nossa inteligencia e nos vemos
 claramente que a Matemaica nao se resume a provas de fatos evidentes
 e, portanto, desmotivadoras ( por exemplo : prove que 1+1=2 ).

 Um Matematico adulto pode apreciar o formalismo, mas uma mente nova
 geralmente nao aprecia estas coisas ... Prove a uma crianca algo que
 ela duvida e nao suspeia e voce vai conquistar o interesse dela ... me
 parece que e esse simples detalhe que diferencia as grandes obras da
 mesmice e mediocridade que campeia na imensa maioria das obras
 didaticas da matematica ...

 As Olimpiadas de Matematica, que todos nos gostamos e admiramos e
 pelas quais fazemos verdadeiros sacrificios e uma continuacao de tudo
 isso ... Por que elas fazem sucesso ? Simplesmente porque as pessoas
 inteligentes odeiam coisas rotineiras e burocraticas, que sao os
 aspectos tipicos do ensino comum ...

 Neste sentido, o Livro a que voce se refere, o Geometria II dos Prof
 Wagner e Morgado, se nao foi o marco inicial e corajoso de uma
 revolucao pedagogica, foi, ao menos, o alvorecer de tudo isso. E nos
 somos felizardos por termos em nossa lista estes dois Prof's que
 iniciaram esta revolucao : Wagner e Morgado.

 Seria excelente que estes Profs dessem continuidade ao que comecaram
 com tanto brilho e eficiencia !

 Para que esta mensagem nao fique totalmente fora de nossa tradicao,
 aqui vai uma joia do Geometria II :

 1)Sejam a, b, c e d os lados de um quadrilatero ciclico.
 Mostre qua a area S desse quadrilatero pode ser expressa como :
 S=Raiz_Quadrada((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)) onde p e o semi-perimetro.

 2)Se o quadrilatero e incritivel e circunscritivel, entao :
 S=Raiz_Quadrada(abcd)

 PROBLEMA : Se ABC e um triangulo e C o circulo inscrito nele, sejam
 C1, C2 e C3 as tres partes da area do triangulo que nao pertencem ao
 circulo. Calcule cada uma, separadamente, em funcao dos lados do
 triangulo.

 Um Abraco a Todos
 Paulo Santa Rita
 6,,170103




 From: Leonardo Borges Avelino [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: [obm-l] Livro Geometria
 Date: Thu, Jan 16, 2003, 10:07 PM


 Caros amigos:

  Estava na casa de meu amigo e ele me mostrou um livro
 impressionante, que
 se chama: Geometria II dos prof.s Eduardo Wagner, Augusto Morgado e
 Miguel.
 Pergunta:

 Onde consigo este livro? e (desculpem-me se a pergunta for idiota) se
 existe o Geometria I?


 Valeu!!
 Leonardo Borges



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[obm-l] gabarito

[Faelccmm]

É verdade claudio, dá vontade de jogar fora este gabarito :-) mas com a ajuda de vcs me auxiliando nos exercícios que eu não sei, e eu mesmo fazendo os que já sei terminei dois cadernos de exercícios do fascículo, só faltam mais 2. Eu não quero largar ele agora, pois como comecei quero terminar, não só por isso mas também pela culpa de fazer outros exercícios e ver estes sem solução. Valeu pela sua colaboração e de todos da lista, um abraço!

[obm-l] OffTopic RE: [obm-l] trigonometria (transformação de arcos)

[João Gilberto Ponciano Pereira]

Sugiro alterar o nome da lista de: OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática
para: LGE - Lista do Gabarito Errado.

-Original Message-
From: A. C. Morgado [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
Sent: Wednesday, February 05, 2003 4:41 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] trigonometria (transformação de arcos)


Voce esta certo. Seu gabarito, como sempre, errado.

[EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED]  wrote:


(UECE) Se  P= [(sen 40º)/(sen 20º)] - [(cos 40º)/(cos 20º)], então p^2 - 1 é
igual: 
Resp: cotg^2 (20º) 

Obs: Será que o resultado não é tg^2 (20º)? 

ICQ: 337140512


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Re: [obm-l] Livro Geometria

[Cláudio \(Prática\)]

Quadrilátero Cíclico é aquele que é inscritível numa circunferência (ou
seja, os seus quatro vértices pertencem a uma mesma circunferência).

- Original Message -
From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, February 05, 2003 4:06 PM
Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria




Sobre os livros Geometria I e II e Álgebra I , tentei em vão falar no fone
indicado pelo Morgado ( até rimou... ). Mas o telefone está programado para
não receber ligações. Gostaria de saber os tópicos abordados nesses livros,
os preços e se há alggum site ou algum representante da editora em Belo
Horizonte. Aproveito para esclarecer uma dúvida conceitual. O que vem a ser
um quadrilátero cíclico?
Desde já deixo aqui meus agradecimentos.
Frederico.




From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria
Date: Fri, 17 Jan 2003 15:05:29 -0200

Agradecemos as referencias elogiosas do Paulo.
Corrijo as declaraçoes do Wagner:
1) o Geometria 1 eh um bom livro. Claro que, por tratar de conceitos
mais basicos e se dirigir basicamente a um leitor que seja um bom aluno
de SETIMA SERIE, sempre os autores (e leitores mais adiantados) acharao
que se poderia dar um tratamento axiomaticamente mais rigoroso; mas o
objetivo era fazer um livro de Geometria para vestibulares dificeis e
concursos de admissao a escolas militares, extremamente procuradas na
epoca; ainda hoje eh um bom livro para IME, ITA, Colegio Naval, etc.
2) Geometria 1, Geometria 2 e Algebra 1 podem ser pedidos a
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Rua Carneiro Ribeiro 22 loja A
21050-570  Maria da GraçaRio de JaneiroRJ
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Morgado

Paulo Santa Rita wrote:

  Ola Leonardo e demais
  colegas desta lista ... OBM-L,
 
  Foi esse livro que despertou meu interesse pela Matematica.
 
  Voce teve a mesma impressao que eu tive, quando o li pela primeira
  vez, apos adquiri-lo em um sebo ( sebo = livraria de livros usados ).
  Muitas vezes me perguntei o que o tornava tao interessante e diferente
  dos outros ...
 
  Me parece que e porque os autores ( Eduardo Wagner e Augusto Morgado )
  nao perdem tempo provando coisas simples e evidentes, partindo
  imediatamente a exposicao de fatoss espetaculares e inusitadas, que
  dificilmente imaginariamos que ocorrem.
 
  Quando um matematico explica um fenomeno inusitado ( por exemplo : o
  circulo de nove pontos ) ele aguca nossa inteligencia e nos vemos
  claramente que a Matemaica nao se resume a provas de fatos evidentes
  e, portanto, desmotivadoras ( por exemplo : prove que 1+1=2 ).
 
  Um Matematico adulto pode apreciar o formalismo, mas uma mente nova
  geralmente nao aprecia estas coisas ... Prove a uma crianca algo que
  ela duvida e nao suspeia e voce vai conquistar o interesse dela ... me
  parece que e esse simples detalhe que diferencia as grandes obras da
  mesmice e mediocridade que campeia na imensa maioria das obras
  didaticas da matematica ...
 
  As Olimpiadas de Matematica, que todos nos gostamos e admiramos e
  pelas quais fazemos verdadeiros sacrificios e uma continuacao de tudo
  isso ... Por que elas fazem sucesso ? Simplesmente porque as pessoas
  inteligentes odeiam coisas rotineiras e burocraticas, que sao os
  aspectos tipicos do ensino comum ...
 
  Neste sentido, o Livro a que voce se refere, o Geometria II dos Prof
  Wagner e Morgado, se nao foi o marco inicial e corajoso de uma
  revolucao pedagogica, foi, ao menos, o alvorecer de tudo isso. E nos
  somos felizardos por termos em nossa lista estes dois Prof's que
  iniciaram esta revolucao : Wagner e Morgado.
 
  Seria excelente que estes Profs dessem continuidade ao que comecaram
  com tanto brilho e eficiencia !
 
  Para que esta mensagem nao fique totalmente fora de nossa tradicao,
  aqui vai uma joia do Geometria II :
 
  1)Sejam a, b, c e d os lados de um quadrilatero ciclico.
  Mostre qua a area S desse quadrilatero pode ser expressa como :
  S=Raiz_Quadrada((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)) onde p e o semi-perimetro.
 
  2)Se o quadrilatero e incritivel e circunscritivel, entao :
  S=Raiz_Quadrada(abcd)
 
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  C1, C2 e C3 as tres partes da area do triangulo que nao pertencem ao
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  From: Leonardo Borges Avelino [EMAIL PROTECTED]
  To: [EMAIL PROTECTED]
  Subject: [obm-l] Livro Geometria
  Date: Thu, Jan 16, 2003, 10:07 PM
 
 
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  se chama: Geometria II dos prof.s Eduardo Wagner, Augusto Morgado e
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Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia

[Cláudio \(Prática\)]

Caro Matteus:

Infelizmente tenho que admitir que o algoritmo abaixo está furado. Ele
produz uma sequência crescente de números da forma desejada, mas não todos
eles - de fato, ele produz a sequência 1, 2, 4, 8, 16,.

Eu pensei um pouco mais sobre o problema e cheguei à conclusão de que é bem
mais difícil do que eu imaginava.

Por exemplo, com o caso mais simples - nos. da forma 2^a * 3^b, a sequência
será:

N   1   2   3   4   6   8   9  12  16  18  24  27  32  36  48  54  64  72
a0   1   0   2   1   3   0241305241
63
b0   0   1   0   1   0   2102130213
02

Repare que a sequência de pares (a,b) que produzem todos os N em ordem
crescente não parece obedecer nenhuma lei de formação óbvia.

Por enquanto, só o que dá pra sugerir é um algoritmo extremamente
ineficiente que toma cada número natural, remove os fatores 2, 3 e 5 e, se
estes forem os únicos fatores, adiciona este número à sequência. Em seguida
toma o número natural seguinte, e assim por diante.

Problema interessante. Vou pensar mais um pouco.

Um abraço,
Claudio

- Original Message -
From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, February 04, 2003 8:37 AM
Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia


Caro Matteus:

O algoritmo abaixo cria uma sequência X tal que X(1) = 1 ( = 2^0 * 3^0 *
5^0 ) e X(N) = N-ésimo inteiro positivo da forma 2^a * 3^b * 5^c. A
ordenação é a usual  (m  n == X(m)  X(n) )

Input N
a = 0
b = 0
c = 0
K = 1
(***) X(K) = 1
P = 2^(a+1) * 3^b * 5^c
Flag = 1
Se P  2^a * 3^(b+1) * 5^c  então  ( P = 2^a * 3^(b+1) * 5^c   e   Flag =
2 )
Se P  2^a * 3^b * 5^(c+1)  então  ( P = 2^a * 3^b * 5^(c+1)   e   Flag =
3 )
Se Flag = 1  então  a = a+1
Se Flag = 2  então  b = b+1
Se Flag = 3  então  c = c+1
K = K+1
Se K = N  então  Retorna para (***)
Fim

Espero que isso ajude.

Um abraço,
Claudio.

- Original Message -
From: matteus barreto [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, February 03, 2003 6:04 PM
Subject: [obm-l] k-esimo numero da sequencia



Sera que alguem  poderia me sugerir, se nao uma forma
fechada, um passo a passo (um algoritmo) para se
encontrar o k-esimo numero da sequencia:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15..., ou seja, os
números da forma (2^a)*(3^b)*(5^c), com a, b, c
pertencentes ao conjunto dos inteiros nao negativos.
Ja pensei bastante a respeito mas sem resultados mais concludentes.

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[obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Cláudio \(Prática\)]

Caro Artur:

Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas dos se
e somente se) eu me deparei com uma dúvida:

Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I.
É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que:
f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ?
Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio.

Um abraço,
Claudio.

- Original Message -
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, February 05, 2003 6:09 AM
Subject: [obm-l] Função uniformemente diferenciável


Aos amigos que curtem Análise Real proponho o seguinte problema, que
acho bastante interessante. Antes, porém, lembro o conceito não muito
difundido de função uniformemente diferenciável. Dizemos que f é
uniformemente diferenciável em um intervalo I se, dado qualquer eps0,
existir d0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0  |x-y|  d, então
|[f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x)| eps. Observamos aqui a similaridade com
continuidade uniforme. O delta depende apenas do eps, vale dizer, um
mesmo delta é bom para todos os elementos do intervalo.

Mostre que f uniformemnte diferenciável em um intervalo I se, e somente
se, f' for uniformemente contínua em I.

Ah, outra conclusão simples mas interessante. Mostre que se f for
diferenciável em I, então f' é limitada em I se, e somente se, f
satisfizer neste intervalo à condicão de Lipschitz. Lembro que f
satisfaz à condicão de Lipschitz em I se existir uma constante K0 tal
que |f(x) - f(y)| = K |x-y| para todos x e y em I.

Ah, para terminar, espero não estar sendo chato... É imediato que se f
satisfizer à condicão de Lipschitz em I então f é uniformemente contínua
em I. Basta fazer delta = eps/K. Mas a recíproca não é verdadeira. Um
contra exemplo interessante é f(x) = raiz(x) em [0, 1].

Abraços.
Artur

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[obm-l] restorno: estudo de sinais

[Faelccmm]

Olá pessoal,

Eu enviei esta questão:

(FUVEST) Resolva 2x - 3 + 5*[(1/x) + 1] =1 

resp:{x e R| x0} 

Obs: Eu tentei resolver mas não cheguei neste resultado, vejam minha resolução e me digam onde errei: 
2x-3+(5/x)+5=1 
2x-3+(5/x)+5-1=0 
2x^2 -3x + 5 + 4x =0 (Nesta etapa eu multipliquei por x) 
2x^2 + x + 5=0 
A partir disso percebe-se que delta é igual -39, portanto não há raízes reais e a resposta não pode ser :{x e R| x0}. 

Obs: Vocês me disseram que o erro foi que ao invés de 2x^2 + x + 5=0 o certo seria (2x^2 + x + 5)/ x=0, portanto temos que x# 0, mas o discriminante é negativo e sendo assim todo x pertencente a R terá f(x)=2x^2 + x + 5= e nunca negativo como na resolução. Me dêem uma luz nesta análise de sinais!

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Salvador Addas Zanata]

Oi Claudio,

Seja I=[a,b] e z em I. 

Defina G(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y) uma funcao de 2 variaveis em
IxI da seguinte forma:

Se xy, nao ha problema.

Se x=y, G(x,x)=f'(x).



Eh claro que G eh continua, porque f eh derivavel,  G(x,x)=f'(x) e 
G(x,y)=G(y,x).

Vamos supor que {min f' em I}  f'(z)  {max f' em I}.

Nesse caso existe (x0,y0) e (x1,y1) tais que:

1) G(x0,y0)f'(z)G(x1,y1).

2) x0y0 e x1y1.

 
Una agora os pontos (x0,y0) e (x1,y1) por uma reta. Como essa reta nao
cruza a diagonal, pelo teorema do valor intermediario segue o que voce
quer. O ponto crucial eh garantir que a reta nao cruza a diagonal.


Abraco,

Salvador






On Wed, 5 Feb 2003, Cláudio (Prática) wrote:

 Caro Artur:
 
 Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas dos se
 e somente se) eu me deparei com uma dúvida:
 
 Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I.
 É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que:
 f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ?
 Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio.
 
 Um abraço,
 Claudio.
 
 - Original Message -
 From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Wednesday, February 05, 2003 6:09 AM
 Subject: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
 
 
 Aos amigos que curtem Análise Real proponho o seguinte problema, que
 acho bastante interessante. Antes, porém, lembro o conceito não muito
 difundido de função uniformemente diferenciável. Dizemos que f é
 uniformemente diferenciável em um intervalo I se, dado qualquer eps0,
 existir d0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0  |x-y|  d, então
 |[f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x)| eps. Observamos aqui a similaridade com
 continuidade uniforme. O delta depende apenas do eps, vale dizer, um
 mesmo delta é bom para todos os elementos do intervalo.
 
 Mostre que f uniformemnte diferenciável em um intervalo I se, e somente
 se, f' for uniformemente contínua em I.
 
 Ah, outra conclusão simples mas interessante. Mostre que se f for
 diferenciável em I, então f' é limitada em I se, e somente se, f
 satisfizer neste intervalo à condicão de Lipschitz. Lembro que f
 satisfaz à condicão de Lipschitz em I se existir uma constante K0 tal
 que |f(x) - f(y)| = K |x-y| para todos x e y em I.
 
 Ah, para terminar, espero não estar sendo chato... É imediato que se f
 satisfizer à condicão de Lipschitz em I então f é uniformemente contínua
 em I. Basta fazer delta = eps/K. Mas a recíproca não é verdadeira. Um
 contra exemplo interessante é f(x) = raiz(x) em [0, 1].
 
 Abraços.
 Artur
 
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RE: [obm-l] restorno: estudo de sinais

[João Gilberto Ponciano Pereira]

(2x^2 + x + 5)/ x=0
 
O numerador vai ser positivo para qualquer x. Logo, o denominador vai
determinar a desigualdade...
x positivo, a desigualdade é falsa.
x=0, indeterminado
x negativo, a desigualdade é verdadeira.
 

 
 
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
Sent: Wednesday, February 05, 2003 4:57 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] restorno: estudo de sinais


Olá pessoal, 

Eu enviei esta questão: 

(FUVEST) Resolva 2x - 3 + 5*[(1/x) + 1] =1 

resp:{x e R| x0} 

Obs: Eu tentei resolver mas não cheguei neste resultado, vejam minha
resolução e me digam onde errei: 
2x-3+(5/x)+5=1 
2x-3+(5/x)+5-1=0 
2x^2 -3x + 5 + 4x =0 (Nesta etapa eu multipliquei por x) 
2x^2 + x + 5=0 
A partir disso percebe-se que delta é igual -39, portanto não há raízes
reais e a resposta não pode ser :{x e R| x0}. 

Obs: Vocês me disseram que o erro foi que ao invés de 2x^2 + x + 5=0  o
certo seria  (2x^2 + x + 5)/ x=0, portanto temos que x# 0, mas o
discriminante é negativo e sendo assim todo x pertencente a R terá f(x)=2x^2
+ x + 5= e nunca negativo como na resolução. Me dêem uma luz nesta análise
de sinais! 


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[obm-l] Mximos e Mnimos SEM DERIVADAS

[Thyago Alexandre Kufner]

Olá colegas da lista

Recebi o seguinte exercício de um aluno:

Sendo x um nº positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21

Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero ...

Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: tem como chegar ao
resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO?

Proponho esta discussão por causa do seguinte artigo:

http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf

Aguardo resposta

Atenciosamente
Prof. Thyago
WebMaster cursinho.hpg.com.br

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Re: [obm-l] restorno: estudo de sinais

[Josimar]

Você errou quando multiplicou ambos os membros da 
igualdade por x, sem se preoculpar se x0 ou x0, pois para cada caso vc 
terá umadesigualdade diferente.
Você está correto quando diz que se no trinômio do 
numerador a0 e delta0, então onumerador será sempre 
positivo,para todo x real. Logo, se x0, vc terá numerador positivo e 
denominador negativo o que dá quociente negativo.
TESTE x=-1 ou x = - 20.
[]s, Josimar

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Wednesday, February 05, 2003 5:57 
  PM
  Subject: [obm-l] restorno: estudo de 
  sinais
  Olá pessoal, Eu 
  enviei esta questão: (FUVEST) Resolva 2x - 3 + 5*[(1/x) + 1] =1 
  resp:{x e R| x0} Obs: Eu tentei resolver mas não cheguei 
  neste resultado, vejam minha resolução e me digam onde errei: 
  2x-3+(5/x)+5=1 2x-3+(5/x)+5-1=0 2x^2 -3x + 5 + 4x =0 
  (Nesta etapa eu multipliquei por x) 2x^2 + x + 5=0 A partir disso 
  percebe-se que delta é igual -39, portanto não há raízes reais e a resposta 
  não pode ser :{x e R| x0}. Obs: Vocês me disseram que o erro foi 
  que ao invés de 2x^2 + x + 5=0 o certo seria (2x^2 + x + 5)/ 
  x=0, portanto temos que x# 0, mas o discriminante é negativo e sendo assim 
  todo x pertencente a R terá f(x)=2x^2 + x + 5= e nunca negativo como na 
  resolução. Me dêem uma luz nesta análise de sinais! 

Re: [obm-l] Mximos e Mnimos SEM DERIVADAS

[A. C. Morgado]

Resolva a equaçao ao contrario. Dah
5x^2 +(21-E)x +16 =0
10x= E-21 (+_) sqrt [(21-E)^2 - 320]
Portanto, (21-E)^2 - 320 deve ser maior ou igual 0.
Daih, E (menor ou igual) 21-sqrt320   ou  E (maior ou igual) 21 +sqrt 320
Eh facil ver ( se x positivo, E21; se x0, E21)  que os primeiros 
valores ocorrem para x negativo e os segundos, para x positivo.
A resposta eh  21 + sqrt320.

Thyago Alexandre Kufner wrote:

Olá colegas da lista

Recebi o seguinte exercício de um aluno:

Sendo x um nº positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21

Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero ...

Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: tem como chegar ao
resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO?

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Aguardo resposta

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[obm-l] Re: [obm-l] Mximos e Mnimos SEM DERIVADAS

[Daniel]

- Original Message -
From: Thyago Alexandre Kufner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, February 05, 2003 7:28 PM
Subject: [obm-l] Máximos e Mínimos SEM DERIVADAS


 Olá colegas da lista

 Recebi o seguinte exercício de um aluno:

 Sendo x um nº positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21

 Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero ...

 Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: tem como chegar ao
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[obm-l] Re: [obm-l] Mximos e Mnimos SEM DERIVADAS

[Daniel]

Sobre a questão de Máximos e Mínimos sem derivadas:

Primeiro peço desculpa pois esbarrei no botão e acabei
enviando um e-mail vazio, mas quanto a questão acima tenho algumas opinões:
Achei o artigo bem interessante, no entanto o desigualde das
médias não é um assunto abordado no ensino médio comum, aquela fatoração
(a^3 + b^3 ...) também não.
Outro ponto importante é o tempo, afinal, para fazer aqueles
algebrismos que o autor mencionou, exergar os termos corretos, são processos
demorados, não nos exemplos simples, mas no mais complicados, e o fato é que
no vestibular não há tempo para isso.
Acredito que ensinar um aluno do ensino médio interessado em
exatas a calcular limites (não pela definição), derivar, regras de derivação
e noções bem básicas de integral, não é o fim do mundo e será de extremo
auxílio durante o curso, principalmente o de física e uma ferramenta rápida
e geral para o vestibular.
Por tudo isto acredito que o livro de Iezzi, volume 8 é bem
adequado.
São estes os comentários de um estudante que acaba de entrar na
faculdade, espero não ter falado muita besteira.

Daniel O. Costa

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[obm-l] Livros que desenvolvam raciocínio espacial

[fabio fortes]

Sei que boa parte é talento, mas gostaria de saber se
alguém conhece livros que trabalhem raciocínio
espacial. Não somente geometria espacial, mas também
questões que usualmente caem em testes de QI e de
lógica.
Obrigado

__
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[obm-l] Re: [obm-l] Livros que desenvolvam raciocínio espacial

[Daniel]

Não sei se os professores e alunos da lista concordam, mas dois
livros que me ajudaram bastante com matemática olímpica (problemas de
raciocínio) são do Prof. Jonofon Serates (não sei se está correto), são dois
volumes, chama-se Raciocínio Lógico.

Daniel
- Original Message -
From: fabio fortes [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, February 05, 2003 8:17 PM
Subject: [obm-l] Livros que desenvolvam raciocínio espacial


 Sei que boa parte é talento, mas gostaria de saber se
 alguém conhece livros que trabalhem raciocínio
 espacial. Não somente geometria espacial, mas também
 questões que usualmente caem em testes de QI e de
 lógica.
 Obrigado

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[obm-l] Re: [obm-l] Somatório

[André]

S(n) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n
S(n+1) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n +(n-1)*(n+1)

S(n+1) - S(n) = (n-1)*(n+1) = n^2 - 1

Assim,

S(4) - S(3) = 3^2 - 1
S(5) - S(4) = 4^2 - 1
S(6) - S(5) = 5^2 - 1
...
S(n) - S(n-1) = (n-1)^2 - 1

Somando as equacoes acima , tem-se:

S(n) - S(3) = [ 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2] - (n-3)

Sabe-se que: 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2 = (n-1)*n*(2*n-1)/6

Logo:

S(n) = 3 + (n-1)*n*(2*n-1)/6 - 5 - n +3 = (n-1)(2*n^2 - n -6)/6

S(n) = (n-2)*(n-1)*(2*n+3)/6

Isto eh tudo.

Andre A.





- Original Message -
From: cfgauss77 [EMAIL PROTECTED]
To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08 PM
Subject: [obm-l] Somatório


 Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se
 possível.

   1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n2.

  Desde já agradeço!


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Re: [obm-l] Máximos_e_Mínimos_SEM_DERIVADAS

[Helder Suzuki]

 --- Thyago Alexandre Kufner [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
Olá colegas da lista
 
 Recebi o seguinte exercício de um aluno:
 
 Sendo x um nº positivo determine o menor valor de
 E= 5x + 16/x + 21
 
 Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero
 ...
 
 Mas o que quero propor para a lista é o seguinte:
 tem como chegar ao
 resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO?
 
 Proponho esta discussão por causa do seguinte
 artigo:
 

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vejamos
y = 5x + 16/x + 21

multiplicando tudo por x, temos que
xy = 5x^2 + 21x + 16
=
5x^2 + (21-y)x + 16 = 0

Como X é real, o delta não pode ser menor que zero.
portanto:

Delta = (y-21)^2 - 16*5 = 0
y^2 - 42y + 441 - 16*4 = 0
y^2 - 42y + 347 = 0

se voce resolver essa inequação vc encontrará os
intervalos em que não há raiz de números negativos: os
invevalos em que y existe.
(você vai encontrar algo como y = ... e y = ..., daí
fica fácil ver o máximo e mínimo locais)

___
Busca Yahoo!
O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
http://br.busca.yahoo.com/
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