[obm-l] Algebra Linear [u]
Pessoal, gostaria de uma ajuda nesses exercícios. 1. Defina a média u*v entre dois vetores u,v no espaço vetorial E pondo u*v = (1/2)u + (1/2)v. Prove que (u*v)*w = u*(v*w) se, e somente se, u = w. 2. Dados os espaços vetoriais E1, E2, considere o conjunto E = E1 x E2 (produto cartesiano de E1 por E2), cujos elementos são os pares ordenados v = (v1, v2), com v1 pertencente a E1 e v2 pertecente a E2. Defina operações que tornem E um espaço vetorial. Verifique a validez de cada um dos axiomas e mostre que sua definição se estende para o caso de n espaços vetoriais E1, ..., En, ou mesmo de uma sequência infinita E1, E2, ..., En, ... . Qualquer ajuda é bem-vinda. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] AJUDA Questes Capciosas!!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Em Sunday 24 August 2003 17:30, Joo escreveu: 1) Seja f(x) uma funo par e f(-2) = 4. Sabendo que a razo incremental para Xo = 2 e um acrscimo DELTA X = 3 igual a 6. Qual o valor de f(-5)/7 + 2*f(2)? [...] Essa histria toda de razo incremental quer dizer que f(Xo + dX) = f(2+3) = f(5) = 6. Logo f(-5)/7 + 2f(2) = f(5)/7 + 2f(-2) = 6/7 + 8 = 62/7 [...] 6) Seja M uma matriz 4 x 4, tal que det(M) 0 e M3 + 2M2 = 0, onde det(M) = determinante de M. Qual o valor de det(M) ? [...] Como det M != 0, M invertvel. Logo M^3 + 2M^2 = 0 == M + 2I = 0 == M = - -2I == det M = -2 det I = -2. []s, - -- Fbio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.2 (GNU/Linux) iD8DBQE/SVZOalOQFrvzGQoRAtc/AJ9GG4dSiRhvMRjXD84FMDYDUhmj4QCeN7Il 5ngMdJ5O6Ahi3JIOIzucbzE= =dyMY -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] AJUDA Questes Capciosas!!
[...] 6) Seja M uma matriz 4 x 4, tal que det(M) 0 e M3 + 2M2 = 0, onde det(M) = determinante de M. Qual o valor de det(M) ? [...] Como det M != 0, M invertvel. Logo M^3 + 2M^2 = 0 == M + 2I = 0 == M = - -2I == det M = -2 det I = -2. Se M = -2I 4x4 detM = (-2)^4 = 16, no? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] AJUDA Questões Capciosas!!
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Re: [obm-l] Algebra Linear [u]
Domingos, 1. Defina a média u*v entre dois vetores u,v no espaço vetorial E pondo u*v = (1/2)u + (1/2)v. Prove que (u*v)*w = u*(v*w) se, e somente se, u = w. (u*v)*w = [(1/2)u + (1/2)v]*w = 1/2.[(1/2)u + (1/2)v] + 1/2.w = 1/4.u + 1/4.v + 1/2.w do outro lado: u*(v*w) = u*[(1/2)v + (1/2)w] = 1/2.u + 1/4v + 1/4w 1/4.u + 1/4.v + 1/2.w = 1/2.u + 1/4v + 1/4w logo (u*v)*w = u*(v*w) = 1/4.u + 1/2.w = 1/2.u + 1/4w = 1/4.u = 1/4w = u = w Resolvi exatamente dessa forma, mas achei que poderia estar errado. Queria uma opinião. 2. Dados os espaços vetoriais E1, E2, considere o conjunto E = E1 x E2 (produto cartesiano de E1 por E2), cujos elementos são os pares ordenados v = (v1, v2), com v1 pertencente a E1 e v2 pertecente a E2. Defina operações que tornem E um espaço vetorial. Verifique a validez de cada um dos axiomas e mostre que sua definição se estende para o caso de n espaços vetoriais E1, ..., En, ou mesmo de uma sequência infinita E1, E2, ..., En, ... . é bastante coisa pra mostrar e todas elas são razoavelmente simples! a definição é bem simples: soma: (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2) mult. por escalar: lambda*(v1, v2) = (lambda*v1, lambda*v2) É, eu queria realmente se essas definições usuais funcionavam. Eram basicamente essas duvidas, daqui pra frente eu sei que seguir... Agradeço muito. Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Combinatoria Existencial
Oi, Pessoal: Aqui vai um problema de combinatoria existencial (ou seja, o objetivo aqui nao eh calcular o numero de maneiras em que algo pode acontecer, mas provar que algo acontece com certeza) Um torcedor fanatico tem uma colecao de 210 fotografias dos 11 jogadores da selecao brasileira penta-campea mundial. Em cada fotografia aparecem 5 jogadores. Duas fotografias quaisquer tem no minimo 1 jogador em comum e no maximo 4 jogadores em comum. Prove que existe um jogador que aparece em todas as fotografias. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] teorema de dandelin
Ola pessoal, Ha algum tempo quando vcs estavam discutindo sobre os mais belos teoremas da matematica algumas pessoas citaram o teorema de dandelin. Oq seria este teorema? Sera q alguem poderia explicar c possivel do q c trata? Um abraço, Leonardo _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de banco de IMO
Eu acho que descobrir isto nao garante pontos no problema.Mas e ai,quero uma demo decente Tente ver se e so isso que morre mesmo... -- Mensagem original -- Nao da pra evitar mais mortes? apenas 1 morte é impossível pois o cara que vai morrer vai atirar e matar outro cara, então pelo menos 2 morrem (não sei se há de fato uma configuração em que apenas 2 morrem, mas certamente é impossível apenas 1 morrer). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] duvida
Numa equação do terceiro grau, o primeiro coeficiente é 1, o segundo é igual a 2, o
terceiro é desconhecido e o último é 8. Sabendo que essa equação tem as três raízes em
P.G., determine as raízes e escreva a equação.
bom, a equação eh: x^3 + 2x^2 + mx + 8 = 0
pelas relações de Girard, tem-se que o produto das raízes é -8:
abc = -8
e como as raízes estão em PG, ac = b^2
b^3 = -8
portanto b = sqrt[3]{-8} = -2
com isso tem-se:
a(-2)c= -8 = ac = 4
a+b+c = -2 = a + c = 0
logo, a e c sao as raizes da equação
y^2 +4 = 0 = a = -2i ; c = 2i
S = {2i , -2, -2i}, que eh uma PG de razao i
ab + ac + bc = m
2i(-2) + 2i(-2i) + (-2)(-2i) = m
-4i + 4 + 4i = m
m = 4
tudo certo, a minha duvida é:
ao invés de dizer que b = sqrt[3]{-8} = -2
por que eu nao poderia dizer que b = sqrt[3]{-8} = 1 + isqrt{3} ou 1 -isqrt{3}
??
grato
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Re: [obm-l] Problema de banco de IMO
Puxa,ja faz tempo que o Fabricio nao aparece Bem,eu estava a conferir as configuraçoes e vi que por voltas de tres morrem.Talvez se tentarmos levar as mortes por distancia as ultimas consequencias(como diria o Tengan)talvez de certo. --- Fabricio Benevides [EMAIL PROTECTED] escreveu: Acho que não é tão simples assim. No problema os gangsters naum atiram em quem querem e sim em quem se encontra mais próximo a ele. E as distâncias entre eles são distintas. No minimo dois morrem. Mas talvez mais de dois precisem morrer. No exemplo abaixo vc teria que mostrar que o cara mais proximo de 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9 e 0 é 5 ou 6. Aleandre Augusto da Rocha [EMAIL PROTECTED] wrote: Correcao: No minimo 2 morrem. imagine a seginte configuracao: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 os gangsters por fora atiram em 5 ou 6, 5 atira em 6 e 6 atira em 5. -Auggy - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] Dez gangsters estao num plano, munidos de suas mais poderosas escopetas de calibre 38.As distancias entre dois gangsters quaisquer sao diferentes.Quando a sirene dispara cada um atira em quem estiver mais proximo.Suponha que as balas sejam transparentes entre si e que o tiro seja dado na cabeça,e seja letal.Quantos caras morrem no minimo? - Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] traducao de um problema
Casa dos Pombos na cabeça!!!Veja na Eureka!2 --- Fabricio Benevides [EMAIL PROTECTED] escreveu: Num grupo de n pessoas sempre que A conhece B também acontece que B conhece A. Prove que existem duas pessoas com o mesmo número de conhecido. niski [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguem poderia traduzir o seguinte problema? Nao consigo entender o que ele quer dizer com acquaintances Assuming that in a group of n people any acquaintaces are mutual, prove that there are two persons with the same number of acquaintances = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] teorema de dandelin
Acompanhe a lista e tu veras algo sobre teoremas belgas.E a mesma coisa... -- Mensagem original -- Ola pessoal, Ha algum tempo quando vcs estavam discutindo sobre os mais belos teoremas da matematica algumas pessoas citaram o teorema de dandelin. Oq seria este teorema? Sera q alguem poderia explicar c possivel do q c trata? Um abraço, Leonardo _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade
Este e muito legal!Se eu nao me engano esta no Mathematical Gems do
Honsberger.Deve ser algo como desigualdade da abertura.Depois eu paro pra
escrever.
quer saber???vamo pra lutaSeja s(r)=(x1-y1)+...+(xr-yr)
p(k+1)=0 e p(r)=(x(r)*y(r))^(-1).
Tente ver agora como isto fica...
-- Mensagem original --
Oi, Pessoal:
Sejam {x(1), x(2), ..., x(n)} e {y(1), y(2), ..., y(n)} conjuntos de numeros
reais positivos tais que:
0 x(1)*y(1) x(2)*y(2) ... x(n)*y(n);
e
x(1) + ... + x(k) = y(1) + ... + y(k). para k = 1, 2, ..., n.
Prove que:
1/x(1) + 1/x(2) + ... + 1/x(n) = 1/y(1) + 1/y(2) + ... + 1/y(n),
com igualdade se e somente se x(k) = y(k) para k = 1, 2, ..., n.
Um abraco,
Claudio.
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[obm-l] Trigonometria e Prdutório
Gostaria que me ajudacem, se possível, determinar o valor do seguinte produto. sen(Pi/n)*sen(2Pi/n)*sen(3Pi/n)*...*sen((n-1)Pi/n) Desde já agradeço __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Trigonometria e Prdutório
Gostaria que me ajudacem, se possível, determinar o valor do seguinte produto. sen(Pi/n)*sen(2Pi/n)*sen(3Pi/n)*...*sen((n-1)Pi/n) Desde já agradeço __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Trigonometria e Prdutório
Gostaria que me ajudacem, se possível, determinar o valor do seguinte produto. sen(Pi/n)*sen(2Pi/n)*sen(3Pi/n)*...*sen((n-1)Pi/n) Desde já agradeço __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ciencia de Graca.
Aos interessados ___ Programa Ciencia `as Seis e Meia Palestra: Vida no Universo Palestrante: Gustavo Porto de Mello (Observatorio do Valongo / UFRJ) A questao da existencia de vida extraterrestre e' uma das mais antigas e fascinantes questoes filosoficas e cientificas da Humanidade. Esta permanece ainda altamente especulativa, na medida em que conhecemos apenas um local no Universo que apresenta o fenomeno vida. Recentemente, a descoberta de dezenas de planetas em outras estrelas reacendeu o interesse na discussao da possibilidade de vida em outros corpos do Sistema Solar e tambem em outros sistemas estelares proximos. Nesta palestra discutimos a luz do que conhecemos sobre a evolucao da vida complexa na Terra, quais sao as possibilidades de vida em outros planetas ou satelites, se esta vida poderia ter surgido no passado e depois se extinguido, e porque a Terra parece ter caracteristicas climaticas e de estabilidade tao especiais. Particularmente, apresentamos em detalhes os casos dos planetas Marte e Venus que, mesmo possuindo caracteristicas semelhantes as da Terra, aparentemente fracassaram como sitios viaveis para o desenvolvimento da vida como nos conhecemos. 10 de setembro as 18:30hs Praia do Flamengo 200 / Pilotis Rio de Janeiro RJ 22210-030 tel: (21) 2555-0717 [EMAIL PROTECTED] Entrada Franca. PARA VER MARTE DO RIO FUNDACAO PLANETARIO Desde hoje ate' quinta-feira, entre 20:30 e 22horas, os interessados poderao observar Marte gratuitamente, da Praça dos Telescopios. As observacoes serao precedidas de palestras. A fundacao inaugura hoje tambem a exposicao Marte o planeta vermelho, com fotos e maquetes do astro. Fundacao Planetario: Rua Vice-governador Rubens Berardo, 100 Gavea (De lado da PUC-Rio) Entrada Franca - MUSEU DE ASTRONOMIA E CIENCIAS AFINS Na quarta-feira, a partir das 17:00horas havera palestra sobre Marte, seguida de observacao do planeta. Rua General Bruce, 586 Sao Cristovao Entrada Franca - INFORMACAO QUANTICA Conferencista: Luiz Davidovich (UFRJ) Dia 28 de agosto de 2003 Horario: 17:30 horas Local: Forum de Ciencia e Cultura/UFRJ, Campus da Praia Vermelha, Avenida Pasteur 250, 2º andar, Salao Pedro Calmon. Tel. 21-2295-1595 A palestra e' direcionada para quem se interessa por fisica e pesquisas de vanguarda. O professor falara' sobre informacao quantica como parte da serie de conferencias promovidas pela Copea. Entrada Franca. - Abracos, Nelly.
Re: [obm-l] teorema de dandelin
On Mon, Aug 25, 2003 at 03:14:14PM +, leonardo mattos wrote: Ola pessoal, Ha algum tempo quando vcs estavam discutindo sobre os mais belos teoremas da matematica algumas pessoas citaram o teorema de dandelin. Oq seria este teorema? Sera q alguem poderia explicar c possivel do q c trata? Acho que é o teorema belga, aquele que leva o Wagner a fazer os desenhos no quadro de que o Morgado falou. Se é mesmo isso, o assunto foi tratado meio tangencialmente nesta lista. O objetivo é provar que a interseção de um plano com um cone é uma das três curvas abaixo: * sejam dados dois pontos fixos F1 e F2 no plano (os focos) e um número real positivo 2c: a curva é o conjunto dos pontos P tais que a soma das distâncias PF1 e PF2 é igual a 2c; * sejam dados dois pontos fixos F1 e F2 no plano e um número real positivo 2c: a curva é o conjunto dos pontos P tais que o módulo da diferença entre as distâncias PF1 e PF2 é igual a 2c; * sejam dado um ponto fixo F (o foco) e uma reta r no plano: a curva é o conjunto dos pontos P tais que as distâncias PF e Pr são iguais. O primeiro tipo de curva se chama elipse, o segundo hipérbole e o terceiro parábola. O círculo é um caso especial de elipse (F1 = F2) e a parábola é um caso limite de elipse ou de hipérbole. Estas curvas todas são chamadas de cônicas. Imagine um cone circular reto e um plano cortando o cone em uma curva simples fechada com toda a cara de ser uma elipse: vamos provar que esta curva é mesmo uma elipse. Não é difícil ver que há duas esferas tangentes ao plano e ao cone: cada uma destas esferas tangencia o cone em um círculo inteiro que está claramente contido em um plano perpendicular ao eixo do cone. Chame os círculos de C1 e C2 e os pontos de tangência entre as esferas e o plano de F1 e F2. Seja P um ponto da interseção. A distância PF1 é igual à distância PC1 já que ambos segmentos tangenciam a esfera. Analogamente PF2 = PC2. Mas PC1 + PC2 é a distância entre os dois círculos, que é claramente constante. Os outros casos são análogos. Claro, com uma figura fica bem melhor. Toda a graça parece ser fazer isso de forma que Euclides entendesse, sem usar geometria analítica nenhuma. Usando geometria analítica, e sabendo que as curvas acima são exatamente as de grau 2, temos também a demonstração que eu dei em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200308/msg00263.html e que repito abaixo: Por mim a demonstração certa consiste em observar que o cone tem equação de grau 2 (x^2 + y^2 = z^2) e rodar ou transladar não altera o grau. Tomar a interseção com um plano, digamos o plano z=0, já que rodamos, também não altera o grau (só estamos eliminando os termos que envolvem z). Logo a interseção é uma curva de grau 2 e já sabemos o que estas curvas são. Wagner e eu já debatemos os méritos relativos das duas demonstrações. Acho que nossos pontos de vista ficaram claros nas mensagens que se seguem á minha, já citada acima. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] teorema de dandelin
O Teorema de Dandelin eh aquela que trata das chamadas conicas, ou seja das curvas que se obtem ao se seccionar um cone retocom um plano. Se o plano for paralelo ao eixo do cone, obtemos uma parabola; se for paralelo a uma de suas geratrizes, obtemos uma hiperbole;e se cortar toda a supeficie lateral do cone, obtemos uma elipse(que eh um circulo se o plano for perpendicular ao eixo do cone). A demonstracao eh muito bonita e pode ser encontrada nos bons livros de geometria.AbracosArtur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
