[obm-l] Questões IME (ultra-foda!)
Caros colegas, gostaria da ajuda dos senhores, por obséquio, se não for incomodar muito, para a resolução dos seguintes problemas de vestibulares do IME: (IME 96) Dados os trinômios de segundo grau: y = ax^2 + bx + c(I) y = a´x^2 + b´x + c´ (II) Cosidere, sobre o eixo Ox, os pontos cujas abscissas são as raízes do trinômio (I) e A´B´ os pontos cujas abscissas são raízes do trinômio (II). Determine a relação que deve existir entre os coeficientes a, b, c, a´, b´, c´, de modo que A´B´divida o segmento AB harmonicamente. obs1: O que significa esta divisão harmônica? As extremidades podem ser iguais? ou seria a divisão do segmento em 3? Como divido um segmento em 3 harmonicamente? (IME 96) Determine os números naturais n para os quais existem poliedros convexos de n arestas. obs2: essa eu até fiz, mas gostaria de conferir a resposta. (IME 93) Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC; seja P o ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos vértices B e C determina-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados CA, AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares. obs3: Esta questão tem uma figura, q eu considerei desnecessária. Caso alguém não tenha entendido me diga q eu faço a figura e mando pra lista. Gostaria de aproveitar a oportunidade em q estou abrindo a discussão destes problemas do IME para expressar a minha indignação sobre alguns problemas deste vestibular. Por anos temos visto que o IME não se cansa de colocar questões mal-elaboradas em seu vestibular, no sentido de ter interpretações ambíguas, não só na prova de matemática. Mesmo o aluno mais bem preparado fica confuso frente a algumas questões, que são mal-colocadas realmente. Fico me perguntando qual o objetivo dos professores ao colocar questões confusas no vestibular. Selecionar os melhores candidatos, provavelmente não é, pois as vezes um bom candidato pode ser eliminado porque não soube interpretar uma questão confusa. Gostaria de saber se esta opinião é só minha, ou se mais algum colega da lista compartilha do mesmo sentimento em relação ao vestibular do IME. Alexandre D. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Esferas e Tetraedros
Gostaria de ajuda para a resolução de esferas inscritas e circunscritas a um tetraedro regular de lado conhecido (calcular o raio) Alexandre Daibert = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Mat. = ciência exata?
--- Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Numa lista de discussao de Matematica, a palavra de um ( Grande ? ) Matematico ! *Um certo inglês não concordaria com você. rs. Claro que citar Capra numa lista de matemática pareça meio Off-Topic, mas eu gosto da crítica dele à visão cartesiana que ainda permeia os meios acadêmicos em muitas áreas. A proposito, aqui no Brasil tem havido uma enorme discussao sobre o cultivo e comercializacao da soja transgenica. Os doutores afirmam que e fundamental um Estudo de Impacto Ambiental, para que possamos prever as implicacoes nocivas ou nao da introducao de especies geneticamente modificadas. Ate parece que isto e uma tecnica bem conhecida, facil de fazer ... Em Verdade, nos NAO SABEMOS avaliar com a necessaria precisao os efeitos da introducao de novas especies em ecosistemas especificos, nao obstante SER PREMENTE aprendermos a fazer estes calculos e avaliacoes, sob pena de reiteradamente apreciarmos os desequilibrios que estamos provocando em funcao de nossa ignorancia, que ameacam mesmo a nossa propria sobrevivencia. Todos estes problemas se referem, direta ou indiretamente, a nossa capacidade de avaliar o papel ou funcao que um objeto dotado de aparente intencionalidade vem a desempenhar quando introduzido num sistema dinamico que mantem uma delicada estabilidade ... Vai ocorrer uma catastrofe ? O sistema vai evoluir para uma nova e harmonica estabilidade ? Tai um verdadeiro problema atual, objetivo e tragico ... Nos nao temos a opcao de nao resolve-lo ou de remediar eternamente a sua solucao. Nao e uma brincadeira, nao e diletantismo, nao e prazer. E agora Jose ? Como equaciona-lo ? *Determinando as relações de dominância entre os autovalores de Gaia? rs. Acredito que o problema da soja transgênica, da poluição e da crise de energia e sobretudo econômico. Séculos de ideologia capitalista na cabeça de nossos ancestrais levaram a uma crise noas dias de hoje em que o individualismo e a noção de do it yourself levaram a um esgotamento irracional dos recursos naturais do planeta por um punhado de pessoas, enquanto milhões de seres humanos mal conseguem sobreviver na falta de acesso a esses recursos. O uso irresponsável da soja transgênica é mais um exemplo disso, a busca do aumento de produtividade para se conseguir maiores lucros. E com isso aumentam-se as áreas agrícolas em detrimento das áreas verdes originais e dane-se o meio ambiente. Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questões_IME_(ultra-foda!)
Não concordo com vc, pelo contrário acho as provas do IME muito bem elaboradas, não vejo nada de confuso. sobre divisão harmonica e questões com essa de geometria vc poderá encontra no livro Geometria II do Morgado que por sinal, para mim, é uns dos melhores livros de geometria que eu conheço. Roberto GomesAlexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros colegas, gostaria da ajuda dos senhores, por obséquio, se não for incomodar muito, para a resolução dos seguintes problemas de vestibulares do IME:(IME 96)Dados os trinômios de segundo grau:y = ax^2 + bx + c (I)y = a´x^2 + b´x + c´ (II)Cosidere, sobre o eixo Ox, os pontos cujas abscissas são as raízes do trinômio (I) e A´B´ os pontos cujas abscissas são raízes do trinômio (II).Determine a relação que deve existir entre os coeficientes a, b, c, a´, b´, c´, de modo que A´B´divida o segmento AB harmonicamente.obs1: O que significa esta divisão harmônica? As extremidades podem ser iguais? ou seria a divisão do segmento em 3? Como divido um segmento em 3 harmonicamente?(IME 96)Determine os números naturais n para os quais existem poliedros convexos de n arestas.obs2: essa eu até fiz, mas gostaria de conferir a resposta.(IME 93)Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC; seja P o ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos vértices B e C determina-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados CA, AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares.obs3: Esta questão tem uma figura, q eu considerei desnecessária. Caso alguém não tenha entendido me diga q eu faço a figura e mando pra lista.Gostaria de aproveitar a oportunidade em q estou abrindo a discussão destes problemas do IME para expressar a minha indignação sobre alguns problemas deste vestibular. Por anos temos visto que o IME não se cansa de colocar questões mal-elaboradas em seu vestibular, no sentido de ter interpretações ambíguas, não só na prova de matemática. Mesmo o aluno mais bem preparado fica confuso frente a algumas questões, que são mal-colocadas realmente. Fico me perguntando qual o objetivo dos professores ao colocar questões confusas no vestibular. Selecionar os melhores candidatos, provavelmente não é, pois as vezes um bom candidato pode ser eliminado porque não soube interpretar uma questão confusa. Gostaria de saber se esta opinião é só minha, ou se mais algum colega da lista compartilha do mesmo sentimento em relação ao vestibular do IME.Alexandre D.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação
Nossa ! Escrevi uma bobagem enorme ! --- a^2 - 4a = 0 O que, estudando o sinal, só é verdade se 0 = a = 4 -- Esse intervalo é justamente quando a^2 - 4a = 0 !!! Bom, mas deixa pra lá. - Original Message - From: Will [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, October 01, 2003 12:23 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação pensei também na seguinte solução. Vamos chamar ambos os termos de a. XY = X + Y = a Então a equação de segundo grau x^2 -ax +a tem raízes reais, com soma e produto iguais. Fazendo (delta)=0 , temos a^2 - 4a = 0 O que, estudando o sinal, só é verdade se 0 = a = 4 Como (delta) tem que ser um quadrado perfeito, ficamos com a=0, a=1 ou a=4. Descartamos a=1 por razões óbvias... chegamos em a=0 ou a=4, de onde saem as duas respostas que já temos. Will Antes tarde do que nunca... - Original Message - From: Carlos [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, September 30, 2003 8:32 PM Subject: [obm-l] Equação Um aluno me passou uma equação de 1. Grau com duas incôgnitas. Quais os numeros inteiros que atendem a equação abaixo: XY = X + Y Por exemplo (0,0) (2,2) atendem a equação. Teria como ter uma saída algébrica? Agradeço __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Esferas e Tetraedros
on 01.10.03 03:46, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de ajuda para a resolução de esferas inscritas e circunscritas a um tetraedro regular de lado conhecido (calcular o raio) Alexandre Daibert Tem tambem a esfera tangente as arestas... Sugestao: de coordenadas para cada um dos vertices (pondo 3 no plano x,y de preferencia) - por exemplo: A = (0,0,0), B = (a,0,0), C = (a/2,a*raiz(3)/2,0). O vertice D serah um dos dois pontos equidistantes desses 3 (um tem coordenada z positiva e o outro negativa). Facilita se voce perceber que a projecao dele sobre o plano x,y eh justamente o centro H = (A+B+C)/3 do triangulo equilatero ABC, ou seja, D = (a/2,a*raiz(3)/6,z) para algum z. Agora eh soh usar o fato de que |AD| = a. O centro das esferas eh o ponto O = (A+B+C+D)/4 (por que?) Agora fica facil: R(inscrita) = |OH| R(circunscrita) = |OA| R(tangente as arestas) = |OM|, onde M = ponto medio de AB = (A+B)/2. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria II (Mr. Crowley)
on 01.10.03 01:49, paraisodovestibulando at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Pessoal, Aqui vai mais um de trigonometria que naum esta saindo: Sabendo que A + B + C + D = 2.pi, provar que: sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=4.sen((A+B)/2).sen ((B+C)/2).sen((C+A)/2) Grato Mr. Crowley Tah certo isso? Onde entra o D do lado direito? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questões IME (ultra-foda!)
on 01.10.03 03:42, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros colegas, gostaria da ajuda dos senhores, por obséquio, se não for incomodar muito, para a resolução dos seguintes problemas de vestibulares do IME: (IME 96) Dados os trinômios de segundo grau: y = ax^2 + bx + c(I) y = a´x^2 + b´x + c´ (II) Cosidere, sobre o eixo Ox, os pontos cujas abscissas são as raízes do trinômio (I) e A´B´ os pontos cujas abscissas são raízes do trinômio (II). Determine a relação que deve existir entre os coeficientes a, b, c, a´, b´, c´, de modo que A´B´divida o segmento AB harmonicamente. obs1: O que significa esta divisão harmônica? As extremidades podem ser iguais? ou seria a divisão do segmento em 3? Como divido um segmento em 3 harmonicamente? O segmento A'B' divide o segmento AB harmonicamente se: AA'/BA' = -AB'/BB' (segmentos orientados, ou seja, AA' = A' - A, etc...) Assim, por exemplo, no eixo x, se: A = 0, B = 1 e A' = x (0 x 1) e B' = y, entao: x/(x-1) = -y/(y-1) == y = x/(2x-1) Repare que: 0 x 1/2 == -infinito y 0 1/2 x 1 == 1 y + infinito lim(x-1/2-) y = -infinito e lim(x-1/2+) y = +infinito. * Sejam A e B as raizes de (I) e A' e B' as de (II): Divisao harmonica == AA'/BA' = -AB'/BB' == (A'-A)/(A'-B) = -(B'-A)/(B'-B) == (A'-A)*(B'-B) = (B'-A)*(B-A') == A'B' + AB - AB' - A'B = BB' + AA' - AB - A'B' == 2A'B' + 2AB = BB' + AA' + AB' + A'B == 2(A'B' + AB) = (A+B)(A'+B') == 2(c'/a' + c/a) = (-b/a)(-b'/a') == 2(ac' + a'c) = bb' Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questões_IME_(ultra-foda!)
Dividir harmonicamente um segmento é "dividi-lo" internamente e externamente na mesma razão. Ex, AB=10, C está sobre AB tal que AC=6, D está depois de B tal que BD=20. Repare que AC/BC = AD/BD. Ou seja, C e D dividem AB harmonicamente numa certa razão(mais a fundo, vc pode provar que representam o pé das bissetrizes internas e externas e daí concluir mais coisas) Não acho que os problemas do ime sejam mal elaborados. Na minha opinião, o que ocorre as vezes(poucas diante de todosos problemas)é que devido a complexidade dos problemas e a necessidade de adaptá-los a uma prova de concurso de nível médio pode deixar o enunciado um pouco estranho ou confuso. Masisso realmente ocorre poucas vezes. []´s Igor Castro - Original Message - From: Roberto Gomes To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, October 01, 2003 8:34 AM Subject: Re: [obm-l] Questões_IME_(ultra-foda!) Não concordo com vc, pelo contrário acho as provas do IME muito bem elaboradas, não vejo nada de confuso. sobre divisão harmonica e questões com essa de geometria vc poderá encontra no livro Geometria II do Morgado que por sinal, para mim, é uns dos melhores livros de geometria que eu conheço. Roberto GomesAlexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros colegas, gostaria da ajuda dos senhores, por obséquio, se não for incomodar muito, para a resolução dos seguintes problemas de vestibulares do IME:(IME 96)Dados os trinômios de segundo grau:y = ax^2 + bx + c (I)y = a´x^2 + b´x + c´ (II)Cosidere, sobre o eixo Ox, os pontos cujas abscissas são as raízes do trinômio (I) e A´B´ os pontos cujas abscissas são raízes do trinômio (II).Determine a relação que deve existir entre os coeficientes a, b, c, a´, b´, c´, de modo que A´B´divida o segmento AB harmonicamente.obs1: O que significa esta divisão harmônica? As extremidades podem ser iguais? ou seria a divisão do segmento em 3? Como divido um segmento em 3 harmonicamente?(IME 96)Determine os números naturais n para os quais existem poliedros convexos de n arestas.obs2: essa eu até fiz, mas gostar! ia de conferir a resposta.(IME 93)Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC; seja P o ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos vértices B e C determina-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados CA, AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares.obs3: Esta questão tem uma figura, q eu considerei desnecessária. Caso alguém não tenha entendido me diga q eu faço a figura e mando pra lista.Gostaria de aproveitar a oportunidade em q estou abrindo a discussão destes problemas do IME para expressar a minha indignação sobre alguns problemas deste vestibular. Por anos temos visto que o IME não se cansa de colocar questões mal-elaboradas em seu vestibular, no sentido de ter interpretações ambíguas, não só na prova de matemática. Mesmo o aluno mais bem preparado fica confuso frente a algumas questões, que s! ão mal-colocadas realmente. Fico me perguntando qual o objetivo dos professores ao colocar questões confusas no vestibular. Selecionar os melhores candidatos, provavelmente não é, pois as vezes um bom candidato pode ser eliminado porque não soube interpretar uma questão confusa. Gostaria de saber se esta opinião é só minha, ou se mais algum colega da lista compartilha do mesmo sentimento em relação ao vestibular do IME.Alexandre D.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
[obm-l] RE: [obm-l] Questões_IME_(ultra-foda!)
Alexandre, De uma olhada no site: http://www.mat.uel.br/geometrica/geome/portoguese/portal/dg/dg-4t.htm Ele vai te dar uma explicacao sobre a divisao harmonica. Consulte tambem o livro do Morgado. Regards, Leandro. Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros colegas, gostaria da ajuda dos senhores, por obséquio, se não for incomodar muito, para a resolução dos seguintes problemas de vestibulares do IME: (IME 96) Dados os trinômios de segundo grau: y = ax^2 + bx + c (I) y = a´x^2 + b´x + c´ (II) Cosidere, sobre o eixo Ox, os pontos cujas abscissas são as raízes do trinômio (I) e A´B´ os pontos cujas abscissas são raízes do trinômio (II). Determine a relação que deve existir entre os coeficientes a, b, c, a´, b´, c´, de modo que A´B´divida o segmento AB harmonicamente. obs1: O que significa esta divisão harmônica? As extremidades podem ser iguais? ou seria a divisão do segmento em 3? Como divido um segmento em 3 harmonicamente? (IME 96) Determine os números naturais n para os quais existem poliedros convexos de n arestas. obs2: essa eu até fiz, mas gostar! ia de conferir a resposta. (IME 93) Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC; seja P o ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos vértices B e C determina-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados CA, AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares. obs3: Esta questão tem uma figura, q eu considerei desnecessária. Caso alguém não tenha entendido me diga q eu faço a figura e mando pra lista. Gostaria de aproveitar a oportunidade em q estou abrindo a discussão destes problemas do IME para expressar a minha indignação sobre alguns problemas deste vestibular. Por anos temos visto que o IME não se cansa de colocar questões mal-elaboradas em seu vestibular, no sentido de ter interpretações ambíguas, não só na prova de matemática. Mesmo o aluno mais bem preparado fica confuso frente a algumas questões, que s! ão mal-colocadas realmente. Fico me perguntando qual o objetivo dos professores ao colocar questões confusas no vestibular. Selecionar os melhores candidatos, provavelmente não é, pois as vezes um bom candidato pode ser eliminado porque não soube interpretar uma questão confusa. Gostaria de saber se esta opinião é só minha, ou se mais algum colega da lista compartilha do mesmo sentimento em relação ao vestibular do IME. Alexandre D. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
[obm-l] RE: [obm-l] Questões_IME_
Alexandre, as questoes do IME sao bem elaboradas e dependem de voce ter coragem de ir ate o final nas questoes. Me enganei no link da Internet. http://www.pro.ufjf.br/desgeo/seg_prop/teoria/divharm.htm Voce so precisaria usar essa formula e manipula-la ate chegar numa relacao entre os coeficientes. Leandro.
[obm-l] Não consigo...Não consigo
Amigos, não consigo chegar na resposta deste problema: Um recipiente cilindrico de eixo vertical, de 84 dm^2 de base, está provido de um orifício de 12 cm^2 praticado na parede lateral, nas proximidades do fundo. A velocidade de escoamento é dada pela fórmula v=0,6s (2 g h)^1/2, onde s é a seção do orifício h, é a altura do nível da água acima do centro do orifício e g=980cm/s^2. Observando-se que o nível baixou de 9 cm em 50 s, achar: a)a altura do nível ao ter início o escoamento; b)o tempo necessário para que o nível baixe até o orifício. Respostas: a) ho=27,2 cmb) 4 min 35 s Obrigado por qualquer ajuda []' _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Espacial - Pirâmides (Mr. Crowley)
Caro amigo, Desenhe sua pirâmide. Trace por A reta paralela a BD. Não é necessário dizer que tal reta está contida no plano da base, mas pode haver quem disso não saiba. Seja B´e C´a interseção dessa reta com BC e DC, respectivamente. Ora, por Menelaus no triângulo VBC, secante B´QM, em que M é o médio de VC e Q, a intersecção de B´M com VB, ver-se-á que QB é metade de VQ. Por simetria, ND é metade de NV, em que N é a intersecção de D´M com VD. Logo, NQ, paralela a BD, tem por medida 2/3 de BD, ou seja, (2/3) *L*(sqrt2)). O triângulo AVC é eqüilátero. Logo, AM é altura de tal triângulo, e, portanto, mede L*sqrt(6)/2. Como AM é altura do triângulo isósceles B´D´M e NQ é paralela a B´D´, então AM é perpendicular a NQ. Logo, a área desejada é ½*NQ*AM, ou seja, sqrt(3)/3* L*L. Salvo correções necessárias de professores ou outros, que são sempre bem-vindas, esta é a resposta. Um abraço, João Carlos. paraisodovestibulando paraisodovestibulando@Para: obm-l [EMAIL PROTECTED] bol.com.brcc: Enviado Por: Assunto: [obm-l] Geometria Espacial - Pirâmides (Mr. [EMAIL PROTECTED] Crowley) puc-rio.br 01/10/2003 00:22 Favor responder a obm-l Olá Pessoal da Lista, Gostaria de deixar meus agradecimentos ao Cláudio e ao Leandro pelas ajudas (valew mesmo). Me ajudem neste exercício: Seja uma pirâmide regular de vértice V e base quadrangular ABCD. O lado da base da pirâmide mede L e a aresta lateral L.sqrt(2). Corta-se a essa pirâmide por um plano que contém o vértice A, é paralelo à reta BD, e contém o ponto médio da aresta VC. Calcule a área da seção determinada pela interseção do plano com a pirâmide. Grato Mr. Crowley __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria II (Mr. Crowley)
Essa eh boazinha...
O D pode ser escrito como funcao de A, B e C e com
isso desaparece do lado direito da identidade.
Lembrem-se que sen(x) eh funcao impar de x e cos(x) eh
funcao par. Entao podemos escrever...
A+B+C+D=2*pi (1)
sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2] (2)
Mas de (1), C+D=2*pi-(A+B), e sen(pi-a)=sen(a), entao
(2) fica...
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[pi-(A+C)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[(A+C)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2] * {cos[(A-B)/2] + cos[(C-D)/2]}=
2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[(A-B+C-D)/4] *
cos[(A-B-C+D)/4]} (3)
De (1), podemos escrever A+C-(B+D) = (A+C) -
(2*pi-A-C) = 2*pi - 2*(C+A) e tambem (A+D)-(B+C) =
2*pi-(B+C)-(B+C) = 2*pi-2*(B+C)
Lembrando que cos(pi/2 - a) = sen(a), (3) fica...
2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[(A-B+C-D)/4] *
cos[(A-B-C+D)/4]}=
2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[pi/2-(C+A)/2] *
cos[pi/2-(B+C)/2]}=
4*sen[(A+B)/2] * sen[(C+A)/2] * sen[(B+C)/2]
--- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
escreveu: on 01.10.03 01:49, paraisodovestibulando
at
[EMAIL PROTECTED]
wrote:
Olá Pessoal,
Aqui vai mais um de trigonometria que naum esta
saindo:
Sabendo que A + B + C + D = 2.pi, provar que:
sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=4.sen((A+B)/2).sen
((B+C)/2).sen((C+A)/2)
Grato
Mr. Crowley
Tah certo isso? Onde entra o D do lado direito?
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[obm-l] Trigonometria II (Corrigido)
Descobri um pequeno erro, já corrigido aqui:
A+B+C+D=2*pi (1)
sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2]
(2)
Mas de (1), C+D=2*pi-(A+B), e sen(pi-a)=sen(a), entao
(2) fica...
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+2*sen[pi-(A+B)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+2*sen[(A+B)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*{cos[(A-B)/2] + cos[(C-D)/2]}=
2*sen[(A+B)/2]*{2*cos[(A-B+C-D)/4]*cos[(A-B-C+D)/4]}(3)
De (1), podemos escrever A+C-(B+D) = (A+C) -
(2*pi-A-C) = 2*pi - 2*(C+A) e tambem (A+D)-(B+C) =
2*pi-(B+C)-(B+C) = 2*pi-2*(B+C)
Lembrando que cos(pi/2 - a) = sen(a), (3) fica...
2*sen[(A+B)/2]*{2*cos[(A-B+C-D)/4]*cos[(A-B-C+D)/4]}=
2*sen[(A+B)/2]*{2*cos[pi/2-(C+A)/2]*cos[pi/2-(B+C)/2]}=
4*sen[(A+B)/2]*sen[(C+A)/2]*sen[(B+C)/2]
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=
RES: [obm-l] Trigonometria (Mr. Crowley)
Boa solução, mas tem um errinho lá embaixo... Eu notei que havia algo errado pois você tinha provado que A=pi/3 -- mas podia ser B ou C, né? II)Demonstrar que tem um ângulo de 60º o triângulo ABC cujos ângulos verificam a relação : sen(3A) + sen(3B) + sen(3C) = 0 (1) Resposta:[...] 2.sin(3(B+C)2). [cos(3(B+C)/2) + cos(3(B-C)/2)] = 0 Finalmente, usando a identidade cos(p) + cos(q)=2cos((p+q)/2).cos((p-q)/2)) para p=3(B+C)/2 e q=3(B-C)/2 obtemos 4.sin(3(B+C)/2).cos(3B).cos(3C) = 0 ou ainda Deveria ser aqui 4 sin(3(B+C)/2)cos(3B/2)cos(3C/2)=0 Mas não importa, o resto da solução é praticamente igual -- só que agora aparecerão os casos B=60 e C=60 também! Abraço, Ralph
Re: [obm-l] Trigonometria II (Mr. Crowley)
on 01.10.03 15:53, Bruno Simões at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Essa eh boazinha...
O D pode ser escrito como funcao de A, B e C e com
isso desaparece do lado direito da identidade.
Voce tem toda a razao! Falha minha.
De qualquer jeito, serah que nao tem uma forma mais facil de provar essas
identidades, por exemplo usando complexos? Eh que estas transformacoes
trigonometricas sao de chorar...
Como diria o medico: problema de prostataferese dah no saco.
Um abraco e desculpem a infamia,
Claudio.
Lembrem-se que sen(x) eh funcao impar de x e cos(x) eh
funcao par. Entao podemos escrever...
A+B+C+D=2*pi (1)
sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2] (2)
Mas de (1), C+D=2*pi-(A+B), e sen(pi-a)=sen(a), entao
(2) fica...
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[(C+D)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[pi-(A+C)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] +
2*sen[(A+C)/2]*cos[(C-D)/2]=
2*sen[(A+B)/2] * {cos[(A-B)/2] + cos[(C-D)/2]}=
2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[(A-B+C-D)/4] *
cos[(A-B-C+D)/4]} (3)
De (1), podemos escrever A+C-(B+D) = (A+C) -
(2*pi-A-C) = 2*pi - 2*(C+A) e tambem (A+D)-(B+C) =
2*pi-(B+C)-(B+C) = 2*pi-2*(B+C)
Lembrando que cos(pi/2 - a) = sen(a), (3) fica...
2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[(A-B+C-D)/4] *
cos[(A-B-C+D)/4]}=
2*sen[(A+B)/2] * {2*cos[pi/2-(C+A)/2] *
cos[pi/2-(B+C)/2]}=
4*sen[(A+B)/2] * sen[(C+A)/2] * sen[(B+C)/2]
--- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
escreveu: on 01.10.03 01:49, paraisodovestibulando
at
[EMAIL PROTECTED]
wrote:
Olá Pessoal,
Aqui vai mais um de trigonometria que naum esta
saindo:
Sabendo que A + B + C + D = 2.pi, provar que:
sen(A)+sen(B)+sen(C)+sen(D)=4.sen((A+B)/2).sen
((B+C)/2).sen((C+A)/2)
Grato
Mr. Crowley
Tah certo isso? Onde entra o D do lado direito?
=
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[obm-l] obm-?
E aí amigos da lista! Tem alguém desta lista que estuda em Santa Catarina? []'s __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Trigonometria (Mr. Crowley)
Valeu Ralph ! Eu fiz a solucao direta no computador sem escrever no papel, dai nao havia percebido isso. Obrigado pela observacao final. Eu mandei uma outra solucao de outro problema do CROWLEY mas acho que estava errada. O Claudio Buffara apresentou uma solucao bem melhor...Depois vou descobrir onde errei. O problema e que as vezes estou sem papel e caneta aqui do meu lado e cometo esses erros. Leandro. Los Angeles, USA. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Ralph Teixeira Sent: Wednesday, October 01, 2003 1:14 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RES: [obm-l] Trigonometria (Mr. Crowley) Boa solução, mas tem um errinho lá embaixo... Eu notei que havia algo errado pois você tinha provado que A=pi/3 -- mas podia ser B ou C, né? II)Demonstrar que tem um ângulo de 60º o triângulo ABC cujos ângulos verificam a relação : sen(3A) + sen(3B) + sen(3C) = 0 (1) Resposta:[...] 2.sin(3(B+C)2). [cos(3(B+C)/2) + cos(3(B-C)/2)] = 0 Finalmente, usando a identidade cos(p) + cos(q)=2cos((p+q)/2).cos((p-q)/2)) para p=3(B+C)/2 e q=3(B-C)/2 obtemos 4.sin(3(B+C)/2).cos(3B).cos(3C) = 0 ou ainda Deveria ser aqui 4 sin(3(B+C)/2)cos(3B/2)cos(3C/2)=0 Mas não importa, o resto da solução é praticamente igual -- só que agora aparecerão os casos B=60 e C=60 também! Abraço, Ralph
[obm-l] Duvidas
Me ajudem!! 1)Quantos numeros de tres algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 ,2,3,4,5 e 6, incluindo sempre o algarismo 5. 2)Num baralho comum (52 cartas) , quantas escolhas de 5 cartas podemos fazer de modo que cada escolha pelo menos 3 figura( 12 cartas no toal sao figuras)? __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvidas
matduvidas48 wrote: Me ajudem!! 1)Quantos numeros de tres algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 ,2,3,4,5 e 6, incluindo sempre o algarismo 5. Ha 3 modos de escolher a casa do 5, depois ha 5x4=20 modos de preencher as casas restantes. A resposta eh 3x20 = 60 2)Num baralho comum (52 cartas) , quantas escolhas de 5 cartas podemos fazer de modo que cada escolha pelo menos 3 figura( 12 cartas no toal sao figuras)? Ha tres casos: a) 3 figuras e 2 nao-figuras: C(12,3)xC(40,2) b) 4 figuras e 1 nao-figura: C(12,4)x40 c) 5 figuras: C(12,5) Some as tres parcelas __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Sequencias de Cauchy
Gostaria que alguém esclarecesse a segunite dúvida. Seja (X,d) um espaço métrico e x_n uma seqüência satisfazendo d( x_(n+1), x_n ) - 0. Sejam m e n inteiros positivos diferentes... spg, m n - x_m - x_n = x_m - x_(m-1) + x_(m-1) - x_(m-2) + x_(m-2) - + x_(n+1) - x(n) Usando a desigualdade triangular... - 0 = d( x_m, x_n ) = d( x_m, x_(m-1)) + d( x_(m-1), x_(m-2)) + + d( x_(n+1) , x(n) ) Por que não posso concluir que x_n é Cauchy se cada termo do lado direito fica arbitrariamente pequeno ? Se fosse o caso da implicação ser verdadeira, teríamos que a série harmônica seria convergente, mas não estou conseguindo entender onde está a falha no raciocínio... Obrigado, Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Enigma difícil
Amigos, um aluno me perguntou e su não soube responder. Se alguém puder, me ajude por favor. Um homem está a uma certa distância de um canhão. Após o disparo, a bala explode a frente do homem. Qual a condição para que o homem escute o disparo do canhão e o barulho da explosão simultaneamente?
Re: [obm-l] Sequencias de Cauchy
Porque o numero de termos eh arbitrariamente grande. - Original Message - From: Felipe Pina [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, October 01, 2003 11:32 PM Subject: [obm-l] Sequencias de Cauchy Gostaria que alguém esclarecesse a segunite dúvida. Seja (X,d) um espaço métrico e x_n uma seqüência satisfazendo d( x_(n+1), x_n ) - 0. Sejam m e n inteiros positivos diferentes... spg, m n - x_m - x_n = x_m - x_(m-1) + x_(m-1) - x_(m-2) + x_(m-2) - + x_(n+1) - x(n) Usando a desigualdade triangular... - 0 = d( x_m, x_n ) = d( x_m, x_(m-1)) + d( x_(m-1), x_(m-2)) + + d( x_(n+1) , x(n) ) Por que não posso concluir que x_n é Cauchy se cada termo do lado direito fica arbitrariamente pequeno ? Se fosse o caso da implicação ser verdadeira, teríamos que a série harmônica seria convergente, mas não estou conseguindo entender onde está a falha no raciocínio... Obrigado, Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questões confusas e vestibular do IME
Aos colegas que discordaram de mim quando eu disse que as questões do IME algumas vezes são confusas, peço que me enviem a formalização para o seguinte problema da prova de 1997: (IME 1997) Resolva o sistema abaixo: x^y = y^x y=ax onde, a diferente de 1 e a0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Esferas e Tetraedros
Pra falar a verdade o q eu queria saber mesmo eh o porque do (A + B + C + D)/4 É o baricentro? desculpe minha ignorância em geometria espacial, eh a parte q eu menos sei na matemática (acho q deu pra perceber) mas o baricentro do tetraedro regular eh igual a 1/4 da altura? Como provar isso (de preferência fora da analítica)? Claudio Buffara escreveu: on 01.10.03 03:46, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de ajuda para a resolução de esferas inscritas e circunscritas a um tetraedro regular de lado conhecido (calcular o raio) Alexandre Daibert Tem tambem a esfera tangente as arestas... Sugestao: de coordenadas para cada um dos vertices (pondo 3 no plano x,y de preferencia) - por exemplo: A = (0,0,0), B = (a,0,0), C = (a/2,a*raiz(3)/2,0). O vertice D serah um dos dois pontos equidistantes desses 3 (um tem coordenada z positiva e o outro negativa). Facilita se voce perceber que a projecao dele sobre o plano x,y eh justamente o centro H = (A+B+C)/3 do triangulo equilatero ABC, ou seja, D = (a/2,a*raiz(3)/6,z) para algum z. Agora eh soh usar o fato de que |AD| = a. O centro das esferas eh o ponto O = (A+B+C+D)/4 (por que?) Agora fica facil: R(inscrita) = |OH| R(circunscrita) = |OA| R(tangente as arestas) = |OM|, onde M = ponto medio de AB = (A+B)/2. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões_IME_(ultra-foda!)
Realmente, ocorrem poucas vezes, mas acho q o IME deveria tomar mais cuidado com isso, pois sendo a prova de apenas 10 questões uma questão mal colocada pode prejudicar de maneira substancial um candidato (prejudica mais aliás, os bons candidatos). Alexandre D. Igor Castro escreveu: Dividir harmonicamente um segmento é dividi-lo internamente e externamente na mesma razão. Ex, AB=10, C está sobre AB tal que AC=6, D está depois de B tal que BD=20. Repare que AC/BC = AD/BD. Ou seja, C e D dividem AB harmonicamente numa certa razão (mais a fundo, vc pode provar que representam o pé das bissetrizes internas e externas e daí concluir mais coisas) Não acho que os problemas do ime sejam mal elaborados. Na minha opinião, o que ocorre as vezes(poucas diante de todos os problemas) é que devido a complexidade dos problemas e a necessidade de adaptá-los a uma prova de concurso de nível médio pode deixar o enunciado um pouco estranho ou confuso. Mas isso realmente ocorre poucas vezes. []´s Igor Castro - Original Message - *From:* Roberto Gomes mailto:[EMAIL PROTECTED] *To:* [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] *Sent:* Wednesday, October 01, 2003 8:34 AM *Subject:* Re: [obm-l] Questões_IME_(ultra-foda!) Não concordo com vc, pelo contrário acho as provas do IME muito bem elaboradas, não vejo nada de confuso. sobre divisão harmonica e questões com essa de geometria vc poderá encontra no livro Geometria II do Morgado que por sinal, para mim, é uns dos melhores livros de geometria que eu conheço. Roberto Gomes */Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED]/* wrote: Caros colegas, gostaria da ajuda dos senhores, por obséquio, se não for incomodar muito, para a resolução dos seguintes problemas de vestibulares do IME: (IME 96) Dados os trinômios de segundo grau: y = ax^2 + bx + c (I) y = a´x^2 + b´x + c´ (II) Cosidere, sobre o eixo Ox, os pontos cujas abscissas são as raízes do trinômio (I) e A´B´ os pontos cujas abscissas são raízes do trinômio (II). Determine a relação que deve existir entre os coeficientes a, b, c, a´, b´, c´, de modo que A´B´divida o segmento AB harmonicamente. obs1: O que significa esta divisão harmônica? As extremidades podem ser iguais? ou seria a divisão do segmento em 3? Como divido um segmento em 3 harmonicamente? (IME 96) Determine os números naturais n para os quais existem poliedros convexos de n arestas. obs2: essa eu até fiz, mas gostar! ia de conferir a resposta. (IME 93) Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC; seja P o ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos vértices B e C determina-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados CA, AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares. obs3: Esta questão tem uma figura, q eu considerei desnecessária. Caso alguém não tenha entendido me diga q eu faço a figura e mando pra lista. Gostaria de aproveitar a oportunidade em q estou abrindo a discussão destes problemas do IME para expressar a minha indignação sobre alguns problemas deste vestibular. Por anos temos visto que o IME não se cansa de colocar questões mal-elaboradas em seu vestibular, no sentido de ter interpretações ambíguas, não só na prova de matemática. Mesmo o aluno mais bem preparado fica confuso frente a algumas questões, que s! ão mal-colocadas realmente. Fico me perguntando qual o objetivo dos professores ao colocar questões confusas no vestibular. Selecionar os melhores candidatos, provavelmente não é, pois as vezes um bom candidato pode ser eliminado porque não soube interpretar uma questão confusa. Gostaria de saber se esta opinião é só minha, ou se mais algum colega da lista compartilha do mesmo sentimento em relação ao vestibular do IME. Alexandre D. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = *Yahoo! Mail http://br.rd.yahoo.com/s/c/m/?http://mail.yahoo.com.br* - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! http://br.rd.yahoo.com/s/c/m/?http://br.yahoo.com/info/mail.html
Re: [obm-l] Enigma_difícil
Oi Fábio, A condição é que a bala do canhão tenha a mesma velocidade do som. um abraço, CamiloFábio_Bernardo [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos, um aluno me perguntou e su não soube responder. Se alguém puder, me ajude por favor. Um homem está a uma certa distância de um canhão. Após o disparo, a bala explode a frente do homem. Qual a condição para que o homem escute o disparo do canhão e o barulho da explosão simultaneamente?Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
[obm-l] Proporção áurea. Qual o motivo do nome?
Estava mexendo em uma página q falava sobre proporção áurea e me deparei com o seguinte: Sejam as grandezas a e b; a sua soma a + b nos fornece o termo requerido: (a + b)/a = a/b que é uma proporção célebre e que se funda na seção ou corte de ouro. Como assim??? Qual a origem do termo proporção áurea? O que o corte do ouro tem a ver com isso? Gostaria de aproveitar e abrir algum tipo de discussão sobre o tema. Já ouvi falar que alguma coisa na Monalisa do Da Vinci tem a ver com proporção áurea, não me lembro direito. Alguém sabe dizer??? Alexandre Daibert = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questões_confusas_e_vestibular_do_IME
Oi Alexandre, Não acompanhei muito bem a sua discussão e não sei exatamente o nível de formalização que você deseja. De qualquer forma, creio que não haja grandes problemas para resolver essa questão. Vamos ver. Aplica logaritmo na primeira equação e reza pra x e y serem maiores que 0.Você chegará então a : y logx = x logy Substituindo a segunda equação, vem: ax logx = x log(ax) = alogx = log(ax) (lembre-se de que estamos supondo x0) Então: a logx =loga + logx = (a - 1)logx = log a = x = a ^ [1/(a- 1)] = y = a ^ [a/(a- 1)] e, felizmente, x e y 0. umabraço, Camilo Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] wrote: Aos colegas que discordaram de mim quando eu disse que as questões do IME algumas vezes são confusas, peço que me enviem a formalização para o seguinte problema da prova de 1997:(IME 1997)Resolva o sistema abaixo:x^y = y^xy=axonde, a diferente de 1 e a0=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
