[obm-l] Geometria
E aí galerinha blz!!! Gostaria de um help nestas duas questões: Os lados de um triangulo são expressos por X+10, 2X+4 e 20-2X. Sabendo-se que x é um número inteiro, conclui-se que a soma de todos os valores possiveis de x é: Calcular a área de um losango ABCD, inscrito em um semi-círculo de raio R. gabarito: (R².sqrt(3))/2 falow ø_matrix_ø _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] combinatoria
belez.. pessoal, sera que podiam me dar uma ajudinha nessas duas questoes ? Sejam n (n2) pontos em um plano , entre os quais nao ha tres pontos colineares.Qual e´o numero maximo de pontos de intersecçao das retas que contem dois desses pontos? Quantas sao as permutaçoes simples dos numeros 1,2,3,...,n nas quais o elemento que ocupa a k-esima posiçao e´inferior a k+4 para todo k? ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria
1) Basta vc observar a desigualdade triangular seja a,b e c lados de um triangulo tem-se que / b -c/ a b+c então é so'ver as possibilidades 2) Se o losango estar inscrito na semicírculo, então uns dos vertices está sobre o diametroe vc pode obsevar que a única possibidade de construir um losango é se este vertice for o centro da semicircuferencia, desta maneira todos os lados = R tb pode observar que uns dos diametro tb = R logo vc tem 2 triangulos equilatero se a área de umtriângulo equilatero de lado l é igual a l^2*sqr3/4 e l =R tem-se resposta Roberto GomesMatrix Exatas [EMAIL PROTECTED] wrote: E aí galerinha blz!!!Gostaria de um help nestas duas questões:Os lados de um triangulo são expressos por X+10, 2X+4 e 20-2X.Sabendo-se que x é um número inteiro, conclui-se que a soma de todos os valores possiveis de x é:Calcular a área de um losango ABCD, inscrito em um semi-círculo de raio R.gabarito: (R².sqrt(3))/2falowø_matrix_ø_MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
[obm-l] Reuniao de treinamento
Convidamos todos os interessados a participar da reuniao de treinamento para OBM (e outras olimpiadas) hoje, no IMPA, as 14hs. (talvez essa mensagem saia repetida. Se esse for o caso, peco desculpas). Depois eu mando na lista alguns dos problemas discutidos, tanto nessa como nas ultimas reunioes das quais eu participei. E caso a outra mensagem nao tenha chegado, segue abaixo uma solucao para o determinante de Van Der Monde (escrevi certo?). Uma maneira eh provar por inducao em n. Seja f(x1,x2,...,xn) o det de uma matriz definida de modo similar a sua. Para n=1,2 eh obvio. E em geral, note queo determinante eh um polinômio em x1, que se anula para x1=x2, x1=x3, etc ... Logo, Det = f(x2,x3,...,xn)*(x2-x1)(x3-x1)*...*(xn-x1) e aqui voce usa a hipotese de inducao e chega na sua formula. Abracos, Marcio ___ Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria
Os lados de um triangulo são expressos por X+10, 2X+4 e 20-2X. Sabendo-se que x é um número inteiro, conclui-se que a soma de todos os valores possiveis de x é: Bom, o lado 20-2X já nos diz que X deve ser algum inteiro estritamente menor que 10 já que não queremos brincadeira com lados negativos ou nulos Já o lado 2X+4 nos diz que X deve ser estritamente maior que -2 pelos mesmos motivos. Como o problema tem um intervalo tão pequeno (inteiros entre -1e 9) bastaria escrever tudo e checar os que podem pertencer a um triangulo... X + 102X+420-2X 9 2 22 104 20 116 18 128 16 1310 14 141212 151410 16168 17186 18204 19222 Bom, os triangulos que estão ok são os em que X é igual a 2,3,4,5,6,7,8 , cuja soma é 35. Outra alternativa (mais higienica) é escrever as inequações que os valores devem respeitar, do tipo |A+B| C |A-B| (se não me engano é isso). Mas como o intervalo de resultados possíveis é pequeno, prefiro escrever tudo... Will = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] perguntas simplórias (PG)
Em relação a sua primeira dúvida eu acho que é otermo geometrica é devido ao termo central ser a média geometrica dos extremos ex a, aq, aq^2 uma PG de razão q aq = sqr(a*aq^2) Roberto GomesNelson [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá a todos. Tenho duas dúvidas bem ingênuas, peço até desculpas a vocês. Desde já Agradeço. 1º) Qual o porque da referência à geometria naProgressão geométrica? 2º) Na soma dos termos de uma PG infinita, gostaria de saber mais exatamente qual a diferença entresequência convergente e divergente. Grato, Nelson Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
[obm-l]
Estava relendo meu email sobre o determinante de Van der Monde, e acho que ficou um pouco jogada a solucao.. Vou dar um pouco mais de detalhes agora que estou com menos pressa: Primeiramente, note que o determinante eh um polinomio de grau n-1 em x1 (encarando as outras letras como constantes). Por outro lado, colocando x1=xk (k1), nota-se que o determinante fica com duas linhas iguais, e portanto vale zero. Logo, o determinante eh Cte*(x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1), onde Cte independe de x1 (mas pode depender de x2,x3,...,xn). Como a cte independe de x1, ela pode ser encontrada fazendo-se x1 = 0 por exemplo. Nesse caso, o determinante cai, após fatorarmos x2*x3*...*xn (um em cada linha), no VanderMonde para n-1. Logo, x2*x3*...*xn*VanderMonde(x2,x3,...,xn) = Cte*x2*x3*...*xn, e portanto Cte = VanderMonde(x2,x3,...,xn) (o caso em que algum xk vale 0 eh facilmente tratavel). Pronto, acho que agora o email anterior fica mais claro... Abracos, Marcio ___ Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas de Divisibilidade
nao consegui demonstrar.. --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pergunta: Voce quer saber como se demonstra ou jah conhece uma demeonstracao e estah propondo o problema pra lista? on 13.10.03 16:58, Carlos Maçaranduba at [EMAIL PROTECTED] wrote: essa da congruencia foi legal..Valeu.Tente o resto que eu enviei... --- Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] escreveu: - Original Message - From: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, October 12, 2003 6:32 PM Subject: [obm-l] Problemas de Divisibilidade II-Se n 1 e impar = 1^n + 2^n + ... (n -1)^n é divisivel por n. Usando congruências mod n, teremos: 1 == -(n-1) 2 == -(n-2) ... (n-1)/2 == -(n+1)/2 Elevando essas (n-1)/2 congruências ao expoente n (que é ímpar), obteremos: 1^n == -(n-1)^n 2^n == -(n-2)^n ... ((n-1)/2)^n == -((n+1)/2)^n Somando tudo, ficaremos com: 1^n + 2^n + ... + ((n-1)/2)^n == -(n-1)^n - (n-2)^n - ... - ((n+1)/2)^n Ou seja: 1^n + 2^n + ... + (n-2)^n + (n-1)^n == 0 (mod n) O que quer dizer que: n divide 1^n + 2^n + ... + (n-1)^n. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] TEORIA DOS JOGOS
on de encontrar boas referencias sobre este assunto??? --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ok! Nicolau, obrigado mais uma vez pelo Tira-Teima, pois estava aguardando uma resposta que coincidisse com a enviada pelo prof. André Toom-UFPE (CAMPEÃO!) Nobres Colegas! Este assunto que estou enviando, apesar de um pouco indigesto, trata-se de moderníssima disciplina com propriedades matemáticas inéditas. Caso haja algum interessado, gostaria da sua opinião, pois não há resposta no livro! Um quadro deve ser vendido em leilão e os lances começam com $10. B diz que o quadro vale $15; C acha que o quadro vale muito mais. B e C são os únicos interessados potenciais, e B pede a C alguma compensação para deixar de fazer lances. Ignorando os problemas éticos, que quantia poderia C dispor-se a pagar? Prometo! não mais trazer à lista este assunto um tanto offResposta WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Reuniao de treinamento
quando vaiter aqui em So Paulo? Convidamos todos os interessados a participar da reuniao de treinamento para OBM (e outras olimpiadas) hoje, no IMPA, as 14hs. (talvez essa mensagem saia repetida. Se esse for o caso, peco desculpas). Depois eu mando na lista alguns dos problemas discutidos, tanto nessa como nas ultimas reunioes das quais eu participei. E caso a outra mensagem nao tenha chegado, segue abaixo uma solucao para o determinante de Van Der Monde (escrevi certo?).
Re: [obm-l] perguntas simplórias (PG)
OBRIGADO ROBERTO! Embora eu também tenha pensado nisso, valeu! NelsonRoberto Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Em relação a sua primeira dúvida eu acho que é otermo geometrica é devido ao termo central ser a média geometrica dos extremos ex a, aq, aq^2 uma PG de razão q aq = sqr(a*aq^2) Roberto GomesNelson [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá a todos. Tenho duas dúvidas bem ingênuas, peço até desculpas a vocês. Desde já Agradeço. 1º) Qual o porque da referência à geometria naProgressão geométrica? 2º) Na soma dos termos de uma PG infinita, gostaria de saber mais exatamente qual a diferença entresequência convergente e divergente. Grato, Nelson Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
[obm-l] Re: [obm-l] perguntas simplórias (PG); Re: [obm-l] perguntas simpl363rias (PG)n ^
Olá a todos. Tenho duas dúvidas bem ingênuas, peço até desculpas a vocês.
Desde já Agradeço.
Nao hah porque pedir desculpas. E antes de se aprender, todo mundo tem
duvidas ingenuas. Ninguem nasce sabendo
1º) Qual o porque da referência à geometria na Progressão geométrica?
Eu acho que, conforme outros jah disseram, eh porque, numa PG, cada termo, a
partir do segundo, eh a media geometrica entre o anterior e o seguinte. Numa
PA, temos a media aritmetica. Mas talvez, no caso de tais progressoes, haja
explicacoes que desconheco mais ligadas aa geometria e aa aritmetica.
2º) Na soma dos termos de uma PG infinita, gostaria de saber mais exatamente
qual a diferença entre sequência convergente e divergente.
Acho que fica mais facil de entender se os conceitos de sequencia e de serie
forem bem caracterizados. Algumas vezes diz-se que uma sequencia eh uma
sucessao do tipo a1, a2, a3... Embora esta seja uma forma natural de vermos
uma sequencia, tal caracterizacao eh muito imprecisa e obscura. A definicao
formal de sequencia eh, entretanto, bem simples: Eh simplesmente uma funcao
cujo dominio eh o conjunto dos naturais. Mas, como o conjunto N dos
naturais tem, nao apenas na matematica formal, mas em quase tudo na vida, um
papel indexador (eh o mais numeravel de todos os conjuntos numeraveis! - se
eh que se pode dizer que um conjunto eh mais numeravel que outro..), eh
muito conveniente, justamente para enfatizar tal papel, que, ao inves de se
utilizar os classicos () para representar o elemento associado a n,
escreva-se simplesmente a_n, em vez de algo como f(n), para representar o
n-gesimo termo da sequencia.
Dentro deste definicao, toda sequencia tem infinitos termos, pois hah
infinitos numeros naturais. Mas os termos nao tem que ser distintos e eh
perfeitamente possivel que a imagem de uma sequencia (o conjunto dos valores
pela mesma assumidos) seja finito. (A seq. a_n=1 para todo n continua tendo
infinitos termos mas o seu conjunto imagem eh {1}.)
Na grande maioria dos casos, ao se usar o termo sequencia estah se querendo
signficar uma sequencia infinita, definida em N. Entretanto, algumas vezes
usa-se o termo se. finita para siginificar uma funcao definida em um
segmento inicial de N, ou seja, um conjunto do tipo {1,2n}.
Quanto aa sua primeira duvida, convergencia, dizemos que uma sequencia
infinita (para sequencia finitas o conceito nao se aplica) se a mesma
apresentar um limite L. Isto, informalmente, significa que aumentando-se n
podemos tornar a_n tao proximo de L quanto desejarmos. Em termos formais
(considerando-se sequencias em R ou em espacos vetoriais reais): para todo
eps0 arbitrariamente escolhido, existir um natural k =k(eps) (esta ultima
notacao significa que k depende de eps) tal que, se n= k entao |a_n-L|eps.
Assim, PGs de razao q com |q|1 sempre convergem para zero. A seq. (a_n
=1/n, n=1,2...} tambem, pois para qualquer epso podemos escolher k(eps)
como o menor inteiro maior ou igual a 1/eps, tendo-se entao |a_n| eps
para n= k(eps).
O conceito de série, ou séries infinita, ou soma infinita, eh informalmente
definido como uma soma do tipo S =a_1 +a_2 +a_3... Isto eh muito
impreciso e obscuro. Para entendermos series de forma correta, consideremos
inicialmente uma seq. {a_n} (infinita) conforme anteriormente definimos. A
esta sequencia, associemos uma outra, {S_n}, denominada de sequencia das
somas parciais de {a_n}, definida da segunte forma:
S_1 = a_1
S_n = S_n-1 + a_n para todo natural n=2. Assim , para n=2 temos que S_n =
a1...+a_n, disto decorrendo a denominacao soma parcial. Dizemos entao que
{S_n} eh a serie gerada por {a_n} a qual eh simbolicamente grafada como
Soma a_n ou Soma (n=1, oo) a_n. Soma eh grafada como o classico simbolo de
somatorio, o sigma maiusculo. Quando a sequencia {a_n} estah subtendida e
nao hah margem a ambiguidade, utilizamos simplesmente o termo série.
Logo, uma serie eh um caso especial de sequencia. E dizemos que uma serie
converge se a a sequencia S_n, das somas parciais, for convergente.
Nao dah para eu continuar, aproveitei um tempinho livre no trabalho. Mas
acho que ja dah para vc perceber como uma serie geometrica eh formada e
quando converge. Eh facil demosntrar que converge se q, a razao da PG que da
origem aas somas parciais, tiver |q| 1.
Espero que eu nao tenha sido chato.
Artur
OPEN Internet
@
Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] combinatoria
belez.. pessoal, sera que podiam me dar uma ajudinha nessas duas questoes ? Sejam n (n2) pontos em um plano , entre os quais nao ha tres pontos colineares.Qual e´o numero maximo de pontos de intersecçao das retas que contem dois desses pontos? para n = 3 temos que apenas os 3 pontos são intersecções das retas (que foram um triângulo). para n 3, se tomarmos 4 pontos diferentes, veremos que há 3 pontos de intersecção em todas as retas formadas por eles (use a hípótese de não haver 3 pontos colineares). acredito que dê pra colocar os pontos de forma que a cada 4 pontos diferentes tomados, adicionamos 3 pontos distintos novos pra nossa coleção, se isso for verdade o número é: n + Binom(n, 4)*3 não tenho muita certeza dessa resposta... Quantas sao as permutaçoes simples dos numeros 1,2,3,...,n nas quais o elemento que ocupa a k-esima posiçao e´inferior a k+4 para todo k? para primeira opção temos [1,2,3,4] ... 4 opções para a segunda temos [1,5] - o selecionado primeiro ... 4 opções para a terceira temos [1,6] - o selecionado primeiro e o segundo ... 4 opções ... os últimos 4 elementos são inferiores a sua posição + 4, sendo assim podemos permutar esses 4 elementos livremente... para n 5, temos que a resposta é 4!.4^(n-4) [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 0.9999... = 1 ?
Olá pessoal, Bom, não sou novo na lista, mas não estou muito participativo. Eu estava discutindo em outra lista (não-matemática) que 0.... = 1. Mas os argumentos ainda não foram suficientes para convencer os contrários a esta idéia. Alguém pode me dar algumas referências (livros, links, etc?) Algumas provas que saíram por lá: 0.... = Sum 9/10^n (n=1 - oo) = lim Sum 9/10^n (m - oo) (n=1 - m) = lim .9(1-10^-(m+1))/(1-1/10) (m - oo) = lim .9(1-10^-(m+1))/(9/10) (m - oo) = .9/(9/10) = 1 0.3... * 3 = 0.9... 0.3... = 1/3 1/3 * 3 = 1 x = 0.9 10x = 9.999. 10x - x = 9.9... - x 9x = 9 x = 1 Obrigado, -- Narumi Abe = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas de Divisibilidade
Bom, o do (3+raiz(5))^n + (3-raiz(5))^n ser divisivel por 2^n sai por inducao. Pra n = 0 e n = 1 eh obvio. Suponha que o resultado valha para 0 = k = n-1. Sejam a = 3 + raiz(5) e b = 3 - raiz(5) == a+b = 6 e a*b= 4. Alem disso: a^n + b^n = a*a^(n-1) + b*b^(n-1) + a*b^(n-1) + b*a^(n-1) - a*b^(n-1) - b*a^(n-1) = (a+ b)*(a^(n-1) + b^(n-1)) - a*b*(a^(n-2) + b^(n-2)) = 6*(a^(n-1) + b^(n-1)) - 4*(a^(n-2) + b^(n-2)) = 6*(p*2^(n-1))- 4*(q*2^(n-2)) = 2^n*(3*p - q) == 2^n divide a^n + b^n. Nao tive nenhuma boa ideia pro outro a nao ser usar forca bruta e deduzir a formula pra 1^5+ 2^5 + ... + n^5 (o que eh meio sacal, mas certamente funciona). Um abraco, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Tue, 14 Oct 2003 14:17:37 -0300 (ART) Assunto: Re: [obm-l] Problemas de Divisibilidade nao consegui demonstrar.. --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Pergunta: Voce quer saber como se demonstra ou jah conhece uma demeonstracao e estah propondo o problema pra lista? on 13.10.03 16:58, Carlos Maçaranduba at [EMAIL PROTECTED] wrote: essa da congruencia foi legal..Valeu.Tente o resto que eu enviei... --- Cláudio_(Prática) <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: - Original Message - From: "Carlos Maçaranduba" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, October 12, 2003 6:32 PM Subject: [obm-l] Problemas de Divisibilidade II-Se n 1 e impar = 1^n + 2^n + ... (n -1)^n é divisivel por n. Usando congruências mod n, teremos: 1 == -(n-1) 2 == -(n-2) ... (n-1)/2 == -(n+1)/2 Elevando essas (n-1)/2 congruências ao expoente n (que é ímpar), obteremos: 1^n == -(n-1)^n 2^n == -(n-2)^n ... ((n-1)/2)^n == -((n+1)/2)^n Somando tudo, ficaremos com: 1^n + 2^n + ... + ((n-1)/2)^n == -(n-1)^n - (n-2)^n - ... - ((n+1)/2)^n Ou seja: 1^n + 2^n + ... + (n-2)^n + (n-1)^n == 0 (mod n) O que quer dizer que: n divide 1^n + 2^n + ... + (n-1)^n. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 0.9999... = 1 ?
Uma das melhores referencias é o livro do Prof. Elon Lages Lima, Meu professor de matematica, publicado pela SBM. Noas arquivos da lista tbm tem mutio material, pois esta questão é recorrente, acho que pelo menos duas vezes por ano o assunto reaparece :-) []'s Guilherme Pimentel ---Original Message--- From: [EMAIL PROTECTED] Date: terça-feira, 14 de outubro de 2003 22:16:36 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] 0.... = 1 ? Olá pessoal, Bom, não sou novo na lista, mas não estou muito participativo. Eu estava discutindo em outra lista (não-matemática) que 0.... = 1. Mas os argumentos ainda não foram suficientes para convencer os contrários a esta idéia. Alguém pode me dar algumas referências (livros, links, etc?) Algumas provas que saíram por lá: 0.... = Sum 9/10^n (n=1 - oo) = lim Sum 9/10^n (m - oo) (n=1 - m) = lim .9(1-10^-(m+1))/(1-1/10) (m - oo) = lim .9(1-10^-(m+1))/(9/10) (m - oo) = .9/(9/10) = 1 0.3... * 3 = 0.9... 0.3... = 1/3 1/3 * 3 = 1 x = 0.9 10x = 9.999. 10x - x = 9.9... - x 9x = 9 x = 1 Obrigado, -- Narumi Abe = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = . IncrediMail - Email has finally evolved - Click Here
[obm-l] questões dificéis!!!!
olá amigos ajudem aí nestas belezinhas :) 1) sendo a = sqtr[(10+ sqtr(10+ 2.sqtr(5) e b = sqtr[(10+ sqtr(10 - 2.sqtr(5) bom essa questão é ruim de escrever mas ela é assim: raiz quadrada de 10 + raiz quadrada de 10 dentro da raiz anterior mais raiz duas vezes raizz quadrada de cinco dentro da raiz anterior. é uma questão da CN. 2) Se um segmento AB tem 2 cm de comprimento, então a flecha do arco capaz de 135º desse segmento mede? 3)Considere um triângulo retângulo e uma circunferência que passa pelos pontos mé-dios dos seus três lados. Se x, y e z, (x y z) são as medidas dos arcos dessa cir-cunferência, em graus, exteriores ao triângulo, então: (A) z = 360º - y (B) z = x + y (C) x + y + z = 180º (D) x + y = 180º (E) z = 2x + y Dois ciclistas, com velocidades constantes, porém diferentes, deslocam-se em uma estrada retilínea que liga os pontos A e B. Partem de A no mesmo instante e quando al-cançam B, retornam a A, perfazendo o movimento A-B-A-B, uma única vez. Quando o mais veloz alcança o ponto B, pela primeira vez, retorna no sentido de A encontrando o outro a 4 km de B. Quando o mais lento atinge o ponto B, retorna imediatamente e reencontra, no meio do percurso. O outro que está vindo de A. Desprezando-se o tempo gasto em cada mudança no sentido de percurso, a distância entre os pontos A e B, em Km, é igual a (A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16 (E) 18 bs: obrigado pela boa vontade de quem resolver! t+++ _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] questões dificéis!!!!
olá amigos ajudem aí nestas belezinhas :) 1) sendo a = sqtr[(10+ sqtr(10+ 2.sqtr(5) e b = sqtr[(10+ sqtr(10 - 2.sqtr(5) bom essa questão é ruim de escrever mas ela é assim: raiz quadrada de 10 + raiz quadrada de 10 dentro da raiz anterior mais raiz duas vezes raizz quadrada de cinco dentro da raiz anterior. é uma questão da CN. 2) Se um segmento AB tem 2 cm de comprimento, então a flecha do arco capaz de 135º desse segmento mede? 3)Considere um triângulo retângulo e uma circunferência que passa pelos pontos mé-dios dos seus três lados. Se x, y e z, (x y z) são as medidas dos arcos dessa cir-cunferência, em graus, exteriores ao triângulo, então: (A) z = 360º - y (B) z = x + y (C) x + y + z = 180º (D) x + y = 180º (E) z = 2x + y Dois ciclistas, com velocidades constantes, porém diferentes, deslocam-se em uma estrada retilínea que liga os pontos A e B. Partem de A no mesmo instante e quando al-cançam B, retornam a A, perfazendo o movimento A-B-A-B, uma única vez. Quando o mais veloz alcança o ponto B, pela primeira vez, retorna no sentido de A encontrando o outro a 4 km de B. Quando o mais lento atinge o ponto B, retorna imediatamente e reencontra, no meio do percurso. O outro que está vindo de A. Desprezando-se o tempo gasto em cada mudança no sentido de percurso, a distância entre os pontos A e B, em Km, é igual a (A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16 (E) 18 bs: obrigado pela boa vontade de quem resolver! t+++ _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l]
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Re: [obm-l] TEORIA DOS JOGOS
Olá Jorge, Olha, não está explícito se C DISSE q valia muito mais. Vou considerar que disse. Se B quer uma compensação para não fazer lances, ele não tem tanto interesse no quadro. Provalvelmente ele quer tirar vantagem da situação e ganhar algum dinheiro em cima. Devemos considerar o seguinte. Se C se dispõe prontamente a pagar uma quantia muito alta, B saberá q ele pode pagar ainda mais e pedirá mais. C (ao menos se deve mostrar disposto a) pagar uma quantia baixa. Outro fato a considerar é que mesmo que B ganhe 1 dólar, a princípio seria vantajoso para ele, pois ele não tirou nenhum dólar do bolso e obteve lucro sem riscos. Agora veja que B para recuperar um x em dinheiro deve comprar o quadro por um preço e posteriormente vendê-lo por um preço x maior do que comprou. Repare que ele não conseguirá comprar o quadro por 15, pois C disse que o quadro valia muito mais. C tende, em uma disputa fazer lances altos em contrapartida aos lances de B. Visto isso, B estaria em desvantagem na disputa, a princípio. logo, se houver leilão: -se B chegar a comprar o quadro, pagará um alto preço por este, pois C está disposto a pagar caro e a disputa será intensa. Em uma posterior revenda, deveria vendê-lo por este preço caro pelo qual comprou mais o x, que é o que C ofereceu, mais um k (o k representaria a vantagem em relação a ter aceitado a proposta indecorosa...) -se C comprar o quadro, ou pagará um alto preço (o q para ele parece razoável) ou pagará um preço baixo, pois a atividade para B pode lhe parecer não interessante logo no princípio do leilão (o que é o mais provável). Repare que o preço mínimo, neste caso, seria um pouco acima de 15. Visto isso, percebemos que a compra do quadro por B se revelará provavelmente desvantajosa. É vantagem para B fazer negócios e ganhar algo em cima (ao menos é mais vantagem que entrar na disputa com a real intenção de comprar o quadro) A compra do quadro por C a um preço baixo é o evento mais provável, visto que B não estaria muito disposto a fazer lances altos. Depois de estudado tudo isto, poderia afirmar que C deve estar disposto a pagar uma quantia menor que 5 dólares. Uma quantia igual a 5 dólares se revelaria excepcionalmente vantajosa para B e nem tão vantajosa para C, pois ele ganharia com isso alguns poucos dólares (menos que cinco provavelmente) que é a diferença que ocorreria em um provável lance final do leilão (pouco mais de $15 como visto) - $15 O razoável aos dois seria algo em torno de $3, pois B ganharia de graça $3, ganhando C algo a mais que $3 [lance final - 13]. Repare que os $3 são iguais ao X a que nos referimos no início do problema. Quanto maior, menor a vantagem de B entrar no leilão Quantias mais baixas poderiam ser oferecidas a B. Como em toda a negociação, nunca começamos mostrando todo o nosso potencial, até aonde podemos chegar. Logicamente, C deveria começar propondo $1,5 ou $2 dólares para tentar persuadir B a aceitar um valor menor, tendo como limite de valor de aceitação os $3 dólares. Não sei se está correto, mas sinceramente é o que eu faria em uma situação dessas Quanto as desculpas pelo envio deste problema e considerá-lo muito off, sinceramente eu discordo e acho q problemas deste tipo são muito enriquecedores para a lista. Aliás, vc teria algum endereço com material em português sobre este assunto? Se tiver eu agradeço enormemente. Abraços, Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ok! Nicolau, obrigado mais uma vez pelo Tira-Teima, pois estava aguardando uma resposta que coincidisse com a enviada pelo prof. André Toom-UFPE (CAMPEÃO!) Nobres Colegas! Este assunto que estou enviando, apesar de um pouco indigesto, trata-se de moderníssima disciplina com propriedades matemáticas inéditas. Caso haja algum interessado, gostaria da sua opinião, pois não há resposta no livro! Um quadro deve ser vendido em leilão e os lances começam com $10. B diz que o quadro vale $15; C acha que o quadro vale muito mais. B e C são os únicos interessados potenciais, e B pede a C alguma compensação para deixar de fazer lances. Ignorando os problemas éticos, que quantia poderia C dispor-se a pagar? Prometo! não mais trazer à lista este assunto um tanto offResposta WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] perguntas simplórias (PG)
Prezado e dileto colega, Sem querer ser chato, mas acho q um questionamento foi algo do tipo, pq o termo geomtrica. Pq a mdia geomtrica teria este nome? (foi o q eu entendi) Para falar verdade tb jah refleti sobre isso e acho q eh porque na geometria em vrios casos ocorre esta mdia geomtrica Por exemplo, considere 3 esferas tangentes uma a uma (com a esfera central tangente a duas). Isto tudo inscrito em um tringulo (com os lados congruentes tangentes s 3 circunferncias) O raio da do meio eh a mdia geomtrica da maior e da menor. Considere uma esfera incrita num tringulo, inscrita numa esfera, inscrita num tringulo, incrita numa esfera, inscrita num tringulo, inscrita numa esfera, inscrita num tringulo ... os lados dos tringulos e os raios das esferas formam duas PGS A altura em um tringulo retngulo (relativa ao ngulo reto) eh a mdia geomtrica das projees dos catetos sobre a hipotenusa. Considere a figura abaixo: Os lados dos quadrados esto em PG Acho que o motivo inspirados do nome progresso geomtrica e mdia geomtrica seria esse (acho mas no tenho certeza, so s reflexes filosficas...) Algum discorda de mim? Se eu estiver falando besteira tudo bem, podem chingar, pq eu sempre falo bobagem nesta lista e sou severamente repreendido soh pq eu sou burro e ignorante (hehehehehe) Abraos, Alexandre Daibert Roberto Gomes escreveu: Em relao a sua primeira dvida eu acho que otermo geometrica devido ao termo central ser a mdia geometrica dos extremos ex a, aq, aq^2 uma PG de razo q aq = sqr(a*aq^2) Roberto Gomes Nelson [EMAIL PROTECTED] wrote: Ol a todos. Tenho duas dvidas bem ingnuas, peo at desculpas a vocs. Desde j Agradeo. 1) Qual o porque da referncia geometria naProgresso geomtrica? 2) Na soma dos termos de uma PG infinita, gostaria de saber mais exatamente qual a diferena entresequncia convergente e divergente. Grato, Nelson Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! inline: PG.JPG
Re: [obm-l] questõesdificéis!!!!
= De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] questões dificéis olá amigos ajudem aí nestas belezinhas :) 1) sendo a = sqtr[(10+ sqtr(10+ 2.sqtr(5) e b = sqtr[(10+ sqtr(10 - 2.sqtr(5) bom essa questão é ruim de escrever mas ela é assim: raiz quadrada de 10 + raiz quadrada de 10 dentro da raiz anterior mais raiz duas vezes raizz quadrada de cinco dentro da raiz anterior. é uma questão da CN. Faltou a pergunta ... 2) Se um segmento AB tem 2 cm de comprimento, então a flecha do arco capaz de 135º desse segmento mede? O Arco capaz será um arco de um quarto de círculo e AB é o lado do quadrado inscrito no círculo cujo raio mede sqrt(2), portanto a flecha (segmento que liga o ponto médio da corda AB com o ponto médio do Arco AB - que é o arco capaz de 135°) mede sqrt(2) - 1 3)Considere um triângulo retângulo e uma circunferência que passa pelos pontos mé-dios dos seus três lados. Se x, y e z, (x y z) são as medidas dos arcos dessa cir-cunferência, em graus, exteriores ao triângulo, então: (A) z = 360º - y (B) z = x + y (C) x + y + z = 180º (D) x + y = 180º (E) z = 2x + y Sem figura acho q vai ser dificil explicar .. a resposta é letra B .. Dois ciclistas, com velocidades constantes, porém diferentes, deslocam-se em uma estrada retilínea que liga os pontos A e B. Partem de A no mesmo instante e quando al-cançam B, retornam a A, perfazendo o movimento A-B-A-B, uma única vez. Quando o mais veloz alcança o ponto B, pela primeira vez, retorna no sentido de A encontrando o outro a 4 km de B. Quando o mais lento atinge o ponto B, retorna imediatamente e reencontra, no meio do percurso. O outro que está vindo de A. Desprezando-se o tempo gasto em cada mudança no sentido de percurso, a distância entre os pontos A e B, em Km, é igual a (A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16 (E) 18 Seja 2x a distância de A até B. Ao mesmo tempo que o mais veloz corre 2x + 4 o mais lento corre 2x - 4; Ao mesmo tempo que o mais veloz corre 5x o mais lento corre 3x daí temos que (2x+4)/(2x-4) = 5/3, portanto 2x vale 16 - letra D bs: obrigado pela boa vontade de quem resolver! t+++ _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 0.9999... = 1 ?
Uma boa idéia é consultar os links: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200108/msg00046.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.24/msg00076.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.24/msg00074.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00152.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00153.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00169.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00163.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00165.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.23/msg00079.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.23/msg00111.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.23/msg00140.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00275.html Eu reuni, já faz um tempo, este conjunto de respostas ao problema. Foram as melhores, na minha opinião. Dá para perder uma tarde, lendo tudo o que foi dito só nessas mensagens. Ô questãozinho insistente esta! Abraço, Duda. From: Guilherme Pimentel To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, October 14, 2003 11:19 PM Subject: Re: [obm-l] 0.... = 1 ? Uma das melhores referencias é o livro do Prof. Elon Lages Lima, Meu professor de matematica, publicado pela SBM. Noas arquivos da lista tbm tem mutio material, pois esta questão é recorrente, acho que pelo menos duas vezes por ano o assunto reaparece :-) []'s Guilherme Pimentel ---Original Message--- From: [EMAIL PROTECTED] Date: terça-feira, 14 de outubro de 2003 22:16:36 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] 0.... = 1 ? Olá pessoal, Bom, não sou novo na lista, mas não estou muito participativo. Eu estava discutindo em outra lista (não-matemática) que 0.... = 1. Mas os argumentos ainda não foram suficientes para convencer os contrários a esta idéia. Alguém pode me dar algumas referências (livros, links, etc?) Algumas provas que saíram por lá: 0.... = Sum 9/10^n (n=1 - oo) = lim Sum 9/10^n (m - oo) (n=1 - m) = lim .9(1-10^-(m+1))/(1-1/10) (m - oo) = lim .9(1-10^-(m+1))/(9/10) (m - oo) = .9/(9/10) = 1 0.3... * 3 = 0.9... 0.3... = 1/3 1/3 * 3 = 1 x = 0.9 10x = 9.999. 10x - x = 9.9... - x 9x = 9 x = 1 Obrigado, -- Narumi Abe = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = . IncrediMail - Email has finally evolved - Click Here = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
