Re: [obm-l] Por Favor....
. Não consigo achar o diabo da razão: claro, não se trata de uma pg...vc nunca vai achar a razão. 1+2/2+3/4+4/8+5/16. faz o seguinte: 1 = 1 2/2 = 1/2 +1/2 3/4 = 1/4 + 1/4 +1/4 e assim sucessivamente soma coluna por coluna, então vc vai ter q 1+2/2+3/4+4/8+5/16... = (1+1/2+...)+ (1/2 +1/4+..) + (1/4+ 1/8+...) +... = 2 + 1 +1/2 +... = 3 __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail SpamGuard - Read only the mail you want. http://antispam.yahoo.com/tools = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Spam Alert: [obm-l] Por Favor....
At 00:35 22/2/2004, [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém poderia me ajudar nesse problema de P.G infinita. Não consigo achar o diabo da razão: 1+2/2+3/4+4/8+5/16. Grato Junior O ideal neste tipo de questão é dividir toda a expressão pela razão da PG do denominador : S = 1+2/2+3/4+4/8+5/16. (1) S/2 = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 +... (2) Faz (1) -(2) : S/2 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... S/2 = 2 , donde S = 4 . []´s Pacini Nota : 1)é importante observar que há necessidade de mostrar que estas séries são convergentes 2)Na solução do Luiz França houve pequeno engano na conta final 2 +1 + 1/2 +... = 4 e não 3 , ok ?
Re: Spam Alert: [obm-l] Por Favor....
Agradeço ao Sampaio, França e Pacini pela resolução da questão e pelas explicações! Grato Junio -- Junior, 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + ... = 1 + 1 + 3/4 + 1/2 + 5/16 + ... = 1 + (1 + 1/2 + ...) + (3/4 + 5/16 + ...) Calculando o limite da soma para a primeira progressão, sabendo-se que a razão é 1/2 e o primeiro termo é 1: 1/(1-1/2) = 2 Calculando o limite da soma para a segunda progressão, sabendo-se que a razão é 5/16 / 3/4 = 5/12 e o primeiro termo é 3/4: 3/4/(1-5/12) = 9/7 Somando-se: 1 + 2 + 9/7 = 30/7 é o limite da soma dos infinitos termos para a P.G. inicial. Abraços, Rafael de A. Sampaio --- . Não consigo achar o diabo da razão: claro, não se trata de uma pg...vc nunca vai achar a razão. 1+2/2+3/4+4/8+5/16. faz o seguinte: 1 = 1 2/2 = 1/2 +1/2 3/4 = 1/4 + 1/4 +1/4 e assim sucessivamente soma coluna por coluna, então vc vai ter q 1+2/2+3/4+4/8+5/16... = (1+1/2+...)+ (1/2 +1/4+..) + (1/4+ 1/8+...) +... = 2 + 1 +1/2 +... = 3 - Em um e-mail de 22/2/2004 11:03:06 Hora oficial do Brasil, [EMAIL PROTECTED] escreveu: At 00:35 22/2/2004, [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém poderia me ajudar nesse problema de P.G infinita. Não consigo achar o diabo da razão: 1+2/2+3/4+4/8+5/16. Grato Junior O ideal neste tipo de questão é dividir toda a expressão pela razão da PG do denominador : S = 1+2/2+3/4+4/8+5/16. (1) S/2 = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 +... (2) Faz (1) -(2) : S/2 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... S/2 = 2 , donde S = 4 . []´s Pacini Nota : 1)é importante observar que há necessidade de mostrar que estas séries são convergentes 2)Na solução do Luiz França houve pequeno engano na conta final 2 +1 + 1/2 +... = 4 e não 3 , ok ?
Re: [obm-l] Correção -Questões
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Saturday 21 February 2004 21:56: [EMAIL PROTECTED] Descupem , o certo para o problema 2 é : 2)Quais os dois últimos algarismos na parte inteira de 10^2047/(10^89 +7). [...] Note que 10^2047 = (10^89)^23. Por isso, 10^2047 = (10^89)^23 (mod 10^89 + 7). Portanto, 10^2047 = (-7)^23 = -7^23 = 10^89 + 7 - 7^23 (mod 10^89 + 7). Como este último número é obviamente positivo e menor do que 10^89 + 7, ele é o resto da divisão de 10^2047 por 10^89 + 7. Por isso, a parte inteira de 10^2047/(10^89 + 7) é igual a N = (10^2047 + 7^23 - 7 - 10^89)/(10^89 + 7). Como queremos os dois últimos algarismos, basta fazer a conta módulo 100. Mas N (mod 100) vale (7^23 - 7)/7 = 7^22 - 1. Como 7^4 = 1 (mod 100), N = 7^22 - 1 = (7^4)^5*7^2 - 1 = 1^5*7^2 - 1 = 7^2 - 1 = 48. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAONoValOQFrvzGQoRAmoHAJ94piJD7r44xvaFR/B6Pwn0y+t7BgCfUDRp DPd58SXO6Ewf1rusPGpLOJg= =EZGe -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] restos
Ola pessoal, Como resolver estes ? 1.Qual o maior numero inteiro quepodemos somar ao dividendo de um divisao, onde o divisor eh 13 e o resto eh 2, sem que o quociente sofra alteracao? 2.Qual o menor numero que dividido por 3, 11, e 51 deixa sempre resto 3? ps: Nao conheco o TCR (teorema chines do resto)
[obm-l] dúvida
OLÁ AMIGOS: COMO EU FAÇO PARA SABER QUANTA CUSTA CADA LIVRO DA COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA ELABORADO PELOS (GÚRUS) DO IMPA. AGUARDO RESPOSTA.
[obm-l] duvidazinha
\OLÁ COLEGAS , PODERIAM AJUDAR NESTE PROBLEMA: 1) numa divisão, o dividendo é igual a 3x²+4, o divisor é igual a x, o quociente é o triplo do divisor e o resto é o maior possível. O número que corresponde `a soma do dividendo com o resto é igual a?
[obm-l] duvida
Um festival de musica lotou uma praça semicircular de 200 m de diametro. Admitindo-se uma ocupação média de 3 pessoas por m^2, qual é o número mais aproximado de pessoas presente? pi=3,14 __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] duvida
Ola Elton, A_s = area do semicirculo r = raio = 100 m n = numero de pessoas A_s = pi*r^2 / 2 = 3,14*100^2 / 2 = 15700 m^2 Como n = A_s*(ocupacao media) = 15700*3 = 47100 pessoas Em uma mensagem de 22/2/2004 17:40:10 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Um festival de musica lotou uma praça semicircular de 200 m de diametro. Admitindo-se uma ocupação média de 3 pessoas por m^2, qual é o número mais aproximado de pessoas presente? pi=3,14
RES: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Olá Rafael. Já que você tocou no assunto e mostrou domínio sobre ele... Poderia esclarecer-me por favor do que se trata o Método de Ferrari? Me interessei em saber sobre isso. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rafael Enviada em: sábado, 21 de fevereiro de 2004 17:29 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo Claro que sim, Pérsio. Cláudio, aliás, enviou uma para lista já. No entanto, não creio que ela seja exatamente o que se possa chamar de trivial, pois envolve alguns artifícios geométricos e a manipulação algébrica de várias expressões. Evidentemente, ainda é mais acessível do que o Método de Ferrari, que torna o problema puramente algébrico, pois o único conceito de Geometria que se usa é a correspondência dos ângulos,amparada pelaTrigonometriatambém. De qualquer forma, com mais ou menos trabalho braçal, chegou-sea mesma solução... Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: persio ca To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 21, 2004 10:55 AM Subject: Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo Será que existe uma solução geometrica trivial para este problema ? Pérsio
RES: Spam Alert: [obm-l] Por Favor....
Só complementando o e-mail do Pacini, eu aprendi isso aí como PAG(Progressão Aritmética e Geometria), que é uma progressão na qual os numeradores formam uma PA, e os denominadores uma PG. Não sei em qual livro meu professor tomou como base para dar o assunto, mas certamente deve ter em livros que tratam de progressão. ACHO que pra toda PAG é válida a propriedade dita pelo Pacini de Convergência. Não tenho certeza disso. Se alguém da lista puder enviar uma prova eu ficaria bastante grato. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Pacini bores Enviada em: domingo, 22 de fevereiro de 2004 10:59 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br; [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: Re: Spam Alert: [obm-l] Por Favor At 00:35 22/2/2004, [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém poderia me ajudar nesse problema de P.G infinita. Não consigo achar o diabo da razão: 1+2/2+3/4+4/8+5/16. Grato Junior O ideal neste tipo de questão é dividir toda a expressão pela razão da PG do denominador : S = 1+2/2+3/4+4/8+5/16. (1) S/2 = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 +... (2) Faz (1) -(2) : S/2 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... S/2 = 2 , donde S = 4 . []´s Pacini Nota : 1)é importante observar que há necessidade de mostrar que estas séries são convergentes 2)Na solução do Luiz França houve pequeno engano na conta final 2 +1 + 1/2 +... = 4 e não 3 , ok ?
RES: [obm-l] restos
No houve erro no enunciado do 2 problema? Como um numero pode ser dividido por 3 dar resto 3?! Se fosse qualquer outro numero, eu diria que a resposta era o MMC desses 3 numeros + o resto Um abrao, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]com Enviada em: domingo, 22 de fevereiro de 2004 14:57 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: [obm-l] restos Ola pessoal, Como resolver estes ? 1.Qual o maior numero inteiro quepodemos somar ao dividendo de um divisao, onde o divisor eh 13 e o resto eh 2, sem que o quociente sofra alteracao? 2.Qual o menor numero que dividido por 3, 11, e 51 deixa sempre resto 3? ps: Nao conheco o TCR (teorema chines do resto)
Re: [obm-l] restos
Rafael, Para o primeiro problema, sejaD o dividendo eN o maiorinteiro que possa ser somado aD para que o quociente Q não sofra alteração, temos: N / 13 = Q(mod 2) == (N+10) / 13 = Q (mod 12), pois se D = 11, teríamos (Q+1) como quociente.Logo, D = 10. Já quanto ao segundo problema, não entendi uma coisa: como um número dividido por 3 pode deixar resto 3? Se isso estiver certo, significa que a divisão é exata para 3 e deixa resto 3 para 11 e 51 (que é 17*3). Se a divisão é exata para 3, então o menor número é um múltiplo de 3 que deixa resto 3 para 11 e 51.Logo, ommc(3;11;17) = 561 e 561+3 = 564. Verificando: 564 / 3 = 188 (mod 0) 564 /11 = 51 (mod 3) 564 / 51 = 11 (mod 3) Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 22, 2004 2:57 PM Subject: [obm-l] restos Ola pessoal, Como resolver estes ? 1.Qual o maior numero inteiro quepodemos somar ao dividendo de um divisao, onde o divisor eh 13 e o resto eh 2, sem que o quociente sofra alteracao? 2.Qual o menor numero que dividido por 3, 11, e 51 deixa sempre resto 3? ps: Nao conheco o TCR (teorema chines do resto)
Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Douglas, O Método de Ferrari éo que se aplica para resolver uma equação do 4º grau. Demonstrá-lo não é tão simples, mas se você quiser, em PVT, posso enviar para você. Em poucas palavras, primeiramente você elimina da equação o termo em x^3 fazendo uma substituição do tipox =z - a_3/4. Depois disso, da equação incompleta, tenta-se obter um quadrado perfeito e daí a necessidade de se achar um w real que satisfaça a essa condição. Para isso, é preciso resolver uma equação do 3º grau, por exemplo, pelo método de Tartaglia. Tendo completado o quadrado, você poderá extrair as raízes quadradas de ambos os lados da igualdade e chegar a uma quadrática, que, após ser resolvida, dará os valores de z, os quais subtraídos de a_3/4 nos fornecerão as raízes da equação original emx. Esse é o método que utilizei de uma forma mais direta: a partir da construção das raízes, definindo-se certas constantes. Ele é trabalhoso sem sombra de dúvida, mas há casos em que o trabalho nem é tão grande assim. Lembro-me de que a equação que Ferrari recebeu como desafio num dos "duelos matemáticos" de sua época tinha raízes muitíssimo complicadas. E Cardano, como hábil surrupiador da produção intelectual alheia, publicou uns 20 casos de quárticas em Ars Magna, juntamente com os resultados de Tartaglia sobre as cúbicas. Por isso, até hoje, para quem conhece um pouco de história da Matemática, é impossível chamar o método de Tartaglia de método de Cardano-Tartaglia, embora muitos façam isso sem qualquer remorso. Enfim, tenho consciência de que muitos outros matemáticos usam variações do que eles criaram. Eu mesmo, para as cúbicas, prefiro utilizar a fórmula da raiz real de Tartaglia juntamente com as rotações dos complexos no plano de Argand-Gauss. Cada um faz como preferir ou souber, recentemente o Nicolau escreveu uma aula sobre cúbicas em que ele usavatrigonometria principalmente, e certamente isso está bem distante do que Tartaglia e Cardano pensavam na época, embora, hoje, seja o mais útil, prático. É isso. Espero ter ajudado. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Douglas Ribeiro Silva To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 22, 2004 10:02 PM Subject: RES: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo Olá Rafael. Já que você tocou no assunto e mostrou domínio sobre ele... Poderia esclarecer-me por favor do que se trata o Método de Ferrari? Me interessei em saber sobre isso. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva
Re: [obm-l] restos
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sunday 22 February 2004 23:41: OBM-L [EMAIL PROTECTED]] Rafael, Para o primeiro problema, seja D o dividendo e N o maior inteiro que possa ser somado a D para que o quociente Q não sofra alteração, temos: N / 13 = Q (mod 2) == (N+10) / 13 = Q (mod 12), pois se D = 11, teríamos (Q+1) como quociente. Logo, D = 10. Já quanto ao segundo problema, não entendi uma coisa: como um número dividido por 3 pode deixar resto 3? Se isso estiver certo, significa que a divisão é exata para 3 e deixa resto 3 para 11 e 51 (que é 17*3). Se a divisão é exata para 3, então o menor número é um múltiplo de 3 que deixa resto 3 para 11 e 51. Logo, o mmc(3;11;17) = 561 e 561+3 = 564. [...] Posso estar enganado, mas eu acho que o menor múltiplo de 3 que deixa resto 3 quando dividido por 11 e 51 é 3. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAOXFGalOQFrvzGQoRAsZDAJ9vYmeH47jGUia8AzIQyztP2gCZnwCggPwz yxhrG+YI1QGqZNRBkyeKaz0= =coOF -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] (2^x).R.sen[Q/(2^x)]
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[obm-l] Sistemas Dinâmicos Simbólicos.
No mapa logístico F_u (x) = ux(1-x) quando u 4
há um conjunto invariante (conjunto de cantor).
Existe um homeomorfismo entre esse conjunto C e o
conjunto S de todas as sequencias biinfinitas
formadas dois símbolos S = {R,L}^inf
Neste caso a cada sequência biinfinita de símbolos
corresponde a um ponto no conjunto de Cantor, que
por sua vez corresponde a uma órbita no mapa logístico
com um determinado período (pois quando u4 existem
órbitas periódicas de todos os períodos). Ou seja, há
uma correspondência perfeita
entre as órbitas do mapa logístico
e o espaço de sequências acima.
Porém o conjunto de Cantor C tem infinitos pontos e
o espaço de sequências S também (apesar desses conjuntos
serem totalmente desconexos).
Minha pergunta é: Se u2uu3 de tal forma que somente
temos um ponto fixo,2 órbitas de período 2 e 4 órbitas de
período 4 (é isso?) podemos formar um espaço de sequências
S que seja compacto e invariante por deslocamento de tal
modo que a cada ponto desse conjunto corresponda a um
ponto da interação de uma órbita?
Eu acho que sim pois:
pegue os Pontos em uma órbita de período 4:
...LLRR.LLRRLL.. = x
...RLLR.RLLRRL.. = sigma(x)
...RRLL.RRLLRR.. = sigma^2(x)
...LRRL.LRRLLR.. = sigma^3(x)
...LLRR.LLRRLL.. = sigma^4(x) = x
faça-os pertencer a um S. S é compacto e invariante
com deslocamento, logo é um espaço de sequências.
Se unir esse espaço com outro espaço formado
pelos pontos de uma outra órbita, então o espaço
formado será também compacto e invariante com deslocamento,
logo será também um espaço de sequências.
Uma outra pergunta é se eu consigo caracterizar a
geometria das órbitas somente através das propriedades
do espaço de sequências. Minha intuição diz que sim também.
Desculpe se estiver sendo muito específico.
Espero ter mais tempo para participar e tentar
resolver outros problemas colocados
na lista.
Obs: Creio que muitas pessoas dessa lista tem interesses
distintos: uns querem discutir álgebra, outros geometria,
etc. Infelizmente é difícil ter tempo para
participar de todos eles,
mas caso a lista cresça muito, talvez fosse interessante
formar subgrupos de dicussão para determinados tópicos.
O problema poderia ser
a baixa participação em determinados tópicos.
Talvez isso já tenha sido sugerido, mas ...
aí está.
[]s Ronaldo L. Alonso
_
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Mais grupos
1) Prove que todo grupo finito eh um subgrupo maximal e nao-normal de algum grupo finito. 1) (G,*) é subgrupo maximal de (G uniao H, *) e G inter H = vazio. 2) (G,*) não é normal a (G uniao H, *) Cláudio Buffara escreveu: Voce parece estar querendo dizer que H eh uma classe lateral de G U H, ou seja, existe x em H tal que G U H = G U x*G (logo, H = x*G). Mas isso implica que G eh um subgrupo de indice 2 de G U H e todo subgrupo de indice 2 eh normal. Parece que vc tem um dom sobrenatural de amplificar pensamentos. E o que eu viajosamente pensava não funciona... Bem, então H não pode ser uma classe lateral de (G U H, *)! Temos ainda um trunfo: G U H é finito, logo temos que acrescentar apenas m elementos a G U H. Seja h_1,h_2,...h_m os elementos distintos a serem acrescentados para qualquer h_i temos três possibilidades: (1) h_i = h_s * h_t ou (2) h_i = g_s * h_t ou (3) h_i = h_t * g_s Agora surge uma questão: Poderiam todos os elementos de H acrescentados cair em (1)? Neste caso, H seria fechado em relação à operação *. Isto é: Se g está em G e h1 está em H então g*h1 tem necessariamente que estar em G. Não pode estar em H, pois se estivesse, então este g seria igual a um h2 (pois H é fechado em relação à *). A mesma coisa ocorre para a situação recíproca: Se G está em G e h2 está em H então h2*g tem necessariamente que estar em G. Não pode estar em H, pois esse caso esse g seria igual a um h1. Concluímos que a situação 1 não existe certo ?? :) Nos resta agora: (2) h_i = g_s * h_t ou (3) h_i = h_t * g_s Como sabemos da observação anterior, não podemos ter todo h_i = g * h_t para um único g (pois neste caso o H todo seria uma classe lateral e G seria subgrupo de índice 2 de G U H). Não podemos ter os dois casos simultaneamente, pois senão o grupo seria abeliano e portanto normal. Logo eu digo que G U H = HG_1 U HG_2 U ... U HG_M sendo que HG_i = h_i * G é uma classe lateral de G U H que não pode ser vazia pela conclusão acima. Como as classes laterais induzem uma partição em G U H então a interseção HG_i inter HG_j é vazia (apenas observando). O mesmo parece acontecer se fizessemos a coisa simétricamente, ou seja: G U H = HG_1 U HG_2 U ... U HG_M sendo que HG_i = g_i * H e a mesma propriedade de interseção se verifica. Estava pensando agora em ir por outros caminhos e usa a não comutatividade isto é HG_1 != GH_1. Como as intersecções são vazias e as duas partições formam G U H então temos que ter GH_1 contido em HG_2 U ... U HG_M. \ e como as classes laterais formam um grupo (grupo quociente) então estendendo GH_1 é um elemento de (G U H) / G que está em (G U H)/ H, fazendo isso para os m elementos GH_m concluímos que os dois grupos são isomórficos. Mas não sei no que isso poderia dar... []s Ronaldo L. Alonso _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
