Re: RES: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO
Esta solucao do Guilherme eu nao conhecia. Este problema e´ de fato o mesmo do livro do Morgado. Ele (o problema, e nao o Morgado) aparece ainda no livro do Coxeter (Geometry Revisited) e ainda em um outro livro que tenho de Selected Problems in Geometry. A primeira vez que o vi (o problema) foi num curso pre-vestibular em que o Prof. Brandao do Impacto me mostrou a seguinte solucao. (mesmo tendo a solucao do Guilherme, talvez valha a pena seguir esta outra solucao pela elegancia da mesma). Trace CD, com D em AB, tal que ACD = 20 (ou seja, esta reta CD é completamente magica, mas ela gera uma serie de resultados interessantes que tornará o problema até mesmo trivial) Do triângulo ACD: CAD = 80, ACD = 20 = ADC = 80 = AC = CD (1) Do triângulo CAP: CAP = 50, ACP = 80 = APC = 50 = AC = CP (2) De (1) e (2): CD = PC, logo o triângulo CDP é isósceles com um ângulo DCP = 60. Com estas condições, o triângulo CDP é de fato um triângulo equilátero e assim: CD = CP, DCP = 60 = CDP = 60, CPD = 60 e ainda CD = CP = DP (3) Além disto, tem-se do mesmo triângulo que: APD = 10 (A) Do triângulo DCQ: CDQ = 100, DCQ = 40 = CQD = 40 = CD = DQ (4) De (1), (2), (3) e (4): AC = CD = CP = DP = DQ (!) Do triângulo DPQ: DP = PQ, PDQ = 40 = DPQ = 70 (B) Por (A) e (B), o ângulo pedido, APQ, é tal que APQ = APD + DPQ = 10 + 70 = 80 Obs: A versão mais comum deste problema pede o ângulo CPQ que naturalmente é igual a 30. Olá a todos! A solução que o Nicolau citou é obtida traçando-se uma paralela QQ´ a AC, onde Q´ pertence ao lado BC. Ligando-se o ponto Q´ ao ponto A, obtemos o ponto D na interseção de AQ´ com CQ. Como o triângulo ACD é equilátero e o triângulo APC é isósceles, verificamos que PC = DC. Logo, o ângulo PDC = 80º e portanto, PDQ´ mede 40º. Do triângulo ACQ´, tiramos que o ângulo AQ´C mede também 40º. Vemos, portanto, que os triângulos DQQ´ e DPQ´ são respectivamente equilátero e isósceles apoiados na mesma base DQ´. Daí tiramos que as alturas são também bissetrizes internas e estão sobre a reta QP. Logo, o ângulo QPD mede 50º pois é a metade de DPQ´ que vale 100º. Como o ângulo APQ é a soma de APD e DPQ, ele mede 30º + 50º = 80º. Eu também estou muito interessado na solução geral para ângulos quaisquer na base, já que esta solução só funciona porque o triângulo APC é isósceles e o triângulo ACD é equilátero. Se mudássemos o ângulo CAP para 45º, por exemplo, já não poderíamos aplicar a mesma solução. Como fazer neste caso? Acredito que seja também uma luz para o problema do Pacini que tinha o título geometria nesta lista. Só consigo resolver utilizando trigonometria e/ou geometria analítica. Um grande abraço, Guilherme Marques. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: quarta-feira, 25 de fevereiro de 2004 19:12 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO Em 25 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Wed, Feb 25, 2004 at 06:45:10PM -0300, Victor Machado wrote: 80. ABC é um triangulo isosceles cujo angulo do vertice ^B = 20o ; P e Q sao pontos respectivamentes dos lados iguais BC e AB tais que o angulo CÂP = 50o e o angulo A^CQ = 60o . Calcular o angulo A^PQ. --- Este problema é um clássico e é bastante difícil. A solução mais tradicional envolve traçar umas retas auxiliares e observar que um monte de triângulos são isósceles e/ou equiláteros. Me deram esse problema quando eu tinha 14 e eu não resolvi, mas fiz o que o professor Nicolau está dizendo, tracei um monte de retas auxiliares e triângulos e fiquei analisando as geometrias das figuras. O que me veio a mente depois de ver a solução, foi se existiria solução no caso geral para ângulos arbitrários e como alguém resolveria isso neste caso. Eu imagino que as técnicas aplicadas para resolver o caso geral não sejam elementares e apelariam para formas modulares ou coisas do gênero. Talvez alguém da lista possa falar a respeito. []s Ronaldo L. Alonso _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
[obm-l] Re: Geometria Plana
Alguém colocara na lista o exercício que abaixo segue, porém, cometi o equívoco de apagá-lo: Dado um triângulo ABC, as tangentes ao círculo circunscrito a tal triângulo, pelos vértices dos mesmos, interceptam os lados opostos em três pontos distintos. Provar que tais pontos são colineares. A solução que segue é simples, não no sentido de bela, mas devido ao uso de parcos conhecimentos para inferi-la. Dirigindo-me ao original interessado na resolução, digo: Desenhe a figura ou parte dela. Sejam M, N e P esses pontos: M é a intersecção de AC com a tangente ao círculo por B; N é a interseção de BC com a tangente por A, e P é o outro, construído de forma semelhante. Seja X a interseção das tangentes por A e B. Ainda com linguagem, sejam os ângulos: NMB = teta, MNA = alfa, BNP = beta e BPN = delta. Assim: Triângulo MNX, teta + alfa = 2C; Triângulo PNB, beta + delta = 180 ? B e Triângulo MPB, teta + delta = C. Logo, alfa + beta = 180 + C ? B. Como ANB = B ? C, tem-se que alfa + beta + ANB = 180. Logo, M, N e P são colineares. Essa questão suscitou-me outras. Assim, inquiro ao professores e interessados: quais são todas as formas, em geometria plana, de se provar colinearidade de três pontos? Lembro-me de Simpson. Quais as outras? ATT. João Carlos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] geometria
On Thu, Feb 26, 2004 at 02:15:58AM -0300, Douglas Ribeiro Silva wrote: Mas como seria feita a medida desses angulos Nicolau? Já que num triangulo esférico a soma dos ângulos é sempre maior que 180? Pq se fossem os ângulos do plano relativo aos 3 pontos que formam o triangulo seria mais fácil, especialmente no caso do tetraedro, onde A = B = C = 60, mas no caso da esfera eu pelo menos não faço idéia de como se faz. O ângulo entre dois círculos máximos é o ângulo entre os planos que os contêm. No caso do tetraedro regular podemos tomar por vértices os pontos (+-1,+-1,+-1) com o produto das três coordenadas iguais a 1, Assim cada face é perpendicular ao vetor correspondente à face oposta e o ângulo A entre duas faces vizinhas é Pi menos o ângulo entre dois destes vetores. O ângulo entre dois vetores você deve saber calcular, é só usar o produto interno. Aproveitando o problema... Gostaria de saber se há como a generalização dele: Dado um triedro com vértice no centro de uma esfera de raio R, determinar o seu volume em função dos 3 ângulos formados entre as semi-retas que formam o triedro. Acho que seria bem interessante, cheguei a elaborar algumas idéia sobre isso, mas não tive grandes êxitos. Não sei bem o que você quer dizer com o volume do triedro: o triedro tem volume obviamente infinito. O que faz sentido calcular é o ângulo sólido, i.e., a área da interseção do triedro com uma esfera unitária centrada no vértice do triedro. É mais fácil dar uma fórmula para o ângulo sólido em função dos ângulos entre os *planos*, ou seja, os *ângulos* entre os lados do triângulo esférico cuja área queremos calcular: a fórmula é A + B + C - Pi. Esta fórmula é um caso especial de um teorema importante em geometria diferencial, o teorema de Gauss-Bonnet. Note que no caso euclidiano é impossível obter uma fórmula análoga: existem triângulos semelhantes. Isto casa com o fato de A + B + C ser sempre igual a Pi: ao dar os ângulos você só está dando, no fundo, dois números e você precisa de três números para descrever um triângulo (a menos de isometria). O que você está pedindo é uma fórmula para a área de um triângulo esférico em função dos *lados*, uma espécie de versão esférica de sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Eu não conheço mas não é difícil de obter, apenas acho que vai ser uma fórmula feia. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Iezzi - Diferença do módulo das raízes
On Thu, Feb 26, 2004 at 10:46:17AM -0300, Daniel Silva Braz wrote: Alguém pode me ajudar? Calcule a diferença do módulo das raízes da equação: x^2 + bx + 47 = 0 (as raízes são inteiras) resp. do livro é |x1 - x2| = 46 Se as raízes são dois números inteiros x1 e x2, sabemos que x1x2 = 47. Como 47 é primo, isto só nos deixa dois (ou serão quatro?) casos: x1 = 47, x2 = 1 (ou x1 = 1, x2 = 47) x1 = -47, x2 = -1 (ou x1 = -1, x2 = -47) Em qualquer um destes casos é fácil ver que a resposta do livro está certa. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Iezzi_-_Diferença_do_módulo_das_raízes
--- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] wrote: On Thu, Feb 26, 2004 at 10:46:17AM -0300, Daniel Silva Braz wrote: Alguém pode me ajudar? Calcule a diferença do módulo das raízes da equação: x^2 + bx + 47 = 0 (as raízes são inteiras) resp. do livro é |x1 - x2| = 46 Soh um detalhe, que acabou me passando desapercebido na minha outra mensagem. Voce diz que se pede a diferenca dos modulos das raizes, mas escreve que o livro forneceu como resposta |x1 - x2| = 46 - que eh o modulo da diferenca e nao a diferenca dos modulos. Eu me distrai e escrevi tambem |x1 - x2| = 46, mas foi uma distracao, o que eu quis mesmodizer foi |x1| - |x2| = 46. Tomando por base o enunciado conforme apresentado. Para as raizes, temos 2 possiveis solucoes: 47 e 1, e -47 e -1 (a ordem, neste contexto, nao importa). Logo, se consideramos |x1 - x2| ao inves de |x1| - |x2|, temos duas possibilidades: 46 e 48. Artur __ Do you Yahoo!? Get better spam protection with Yahoo! Mail. http://antispam.yahoo.com/tools = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] geometria
On Thu, Feb 26, 2004 at 12:54:30PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote:
On Thu, Feb 26, 2004 at 02:15:58AM -0300, Douglas Ribeiro Silva wrote:
Aproveitando o problema... Gostaria de saber se há como a generalização
dele: Dado um triedro com vértice no centro de uma esfera de raio R,
determinar o seu volume em função dos 3 ângulos formados entre as
semi-retas que formam o triedro. Acho que seria bem interessante,
cheguei a elaborar algumas idéia sobre isso, mas não tive grandes
êxitos.
Não sei bem o que você quer dizer com o volume do triedro: o triedro
tem volume obviamente infinito. O que faz sentido calcular é o ângulo
sólido, i.e., a área da interseção do triedro com uma esfera unitária
centrada no vértice do triedro.
É mais fácil dar uma fórmula para o ângulo sólido em função dos ângulos
entre os *planos*, ou seja, os *ângulos* entre os lados do triângulo
esférico cuja área queremos calcular: a fórmula é A + B + C - Pi.
Esta fórmula é um caso especial de um teorema importante em geometria
diferencial, o teorema de Gauss-Bonnet. Note que no caso euclidiano
é impossível obter uma fórmula análoga: existem triângulos semelhantes.
Isto casa com o fato de A + B + C ser sempre igual a Pi: ao dar os
ângulos você só está dando, no fundo, dois números e você precisa
de três números para descrever um triângulo (a menos de isometria).
O que você está pedindo é uma fórmula para a área de um triângulo
esférico em função dos *lados*, uma espécie de versão esférica
de sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Eu não conheço mas não é difícil de obter,
apenas acho que vai ser uma fórmula feia.
Ok, vamos obter a fórmula que você quer. Suponha que os lados do triângulo
esférico sejam a, b, c e os ângulos sejam A, B, C. O primeiro passo
é usar a lei dos cossenos esférica:
cos a = cos b cos c + cos A sen b sen c
ou
cos A = (cos a - cos b cos c)/(sen b sen c)
Bem, provavelmente a maioria de vocês nunca viu a lei dos cossenos esférica,
então vamos provar. Podemos supor sem perda de generalidade que o vértice
A é (1,0,0) e que o vértice B é (cos c, sen c, 0). Não é difícil verificar
que o vértice C é (cos b, cos A sen b, +- sen A sen b), onde o sinal
tem a ver com a orientação do triângulo.
Note que a lei dos cossenos euclidiana é um caso limite da lei dos cossenos
esférica. De fato, vamos fazer o triângulo encolher, isto é, ter lados
at, bt, ct onde t tende a 0 por valores positivos. Queremos cos A(0),
o valor limite de cos A(t) quando t tende a zero:
cos A(t) = (cos at - cos bt cos ct)/(sen bt sen ct)
cos A(0) = lim_{t - 0} (cos at - cos bt cos ct)/(sen bt sen ct)
(l'Hopital)
- a sen at + b sen bt cos ct + c cos bt sen ct
= lim_{t - 0} -
b cos bt sen ct + c sen bt cos ct
(continua dando 0/0, vamos usar l'H de novo, mas agora não vai mais
dar 0/0, então vamos jogar fora os termos que ainda dão 0, trocar
os senos por 0 e os cossenos por 1)
- a^2 + b^2 + c^2
=
2bc
Ou a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A(0).
Note ainda que a lei dos cossenos esférica tem um dual.
O dual de um triângulo esférico de vértices A, B, C e lados a, b, c
tem vértices A', B', C' e lados a', b', c' onde A' e perpendicular a a,
B' é perpendicular a b, ..., c' é perpendicular a C.
Note ainda que A' = Pi - a, B' = Pi - b, ..., c' = Pi - C.
Assim
cos a' = cos b' cos c' + cos A' sen b' sen c'
vira
- cos A = cos B cos C - cos a sen B sen C
Mas voltando à sua pergunta, temos
A = arc cos((cos a - cos b cos c)/(sen b sen c))
B = arc cos((cos b - cos c cos a)/(sen c sen a))
C = arc cos((cos c - cos a cos b)/(sen a sen b))
e como
S = A + B + C - Pi
isso nos dá uma fórmula complicada para a área em função de a, b, c.
Talvez exista uma fórmula mais simples, não sei.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Lista Cone Sul
Caros amigos das listas, ATENÇÃO: Prorrogado o prazo para envio da primeira lista da Olimpíada do Cone Sul até o dia 02 de março (para todos os estudantes). Informações: http://www.teorema.mat.br/conesul Abraços, Nelly.
Re: [obm-l] APOSTOL - problemas em trans. linear e matrizes
Fala pessoALL,
Alguém ai pode me ajudar nessa ?? Já tentei de tudo
qto é jeito..mas a coisa não anda..
Let V = {0,1}. Describe all functions T: V - V. There
are four altogether. Label them as T1, T2, T3, T4 and
make a multiplication table showing the composition of
each pair. indicate which functions are one-to-one on
V and give their inverses.
Bem, pelo que eu entendi V é o espaço constituído
somente de dois pontos 0 e 1. Se V fosse algo contínuo a
notação seria diferente. Seria algo do tipo V = [0,1]
ou V = (0,1). Logo, é mais ou menos claro que só existem
4 tipos de transformações de V em V, pois só existem
as 4 combinações abaixo possíveis:
T1: V -- V T(0) = 0 T(1) = 0
T2: V -- V T(0) = 0 T(1) = 1
T3: V -- V T(0) = 1 T(1) = 0
T4: V -- V T(0) = 1 T(1) = 1
Neste caso as funções T2 e T3 são transformações
biunívocas (1-para-1), pois levam V em V. Questão
interessante: qual deve ser a topologia
que devo definir em V para que T2 e T3 sejam homeomorfismos?
Essas transformações não formam um grupo através da
composição, pois T1 e T4 não tem inversa (as transformações
inversas não são funções). Mas esse conjunto sob a composição
possui um grupo {G={T2,T3}, o} onde o é a operação
composição.
O elemento neutro desse grupo é T2 (transformação identidade) e e o
elemento inverso de T2 é T3.
Se definirmos uma topologia no conjunto
então temos um grupo topológico, olha que legal!
A tábua de composição é dada abaixo.
o | T1 T2 T3 T4
---
T1 | T1 T1 T1 T1
T2 | T1 T2 T3 T4
T3 | T1 T3 T2 T4
T4 | T1 T4 T4 T4
Grande Abraço.
Ronaldo L. Alonso
__
Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora:
http://br.yahoo.com/info/mail.html
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
--
_
Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams?
Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br
Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Um Problema Interessante
Pessoal , será que podem me ajudar a resolver esse probleminha? " Sejam A e B matrizes reais nxn tais que AB + A + B = 0. Prove que AB=BA". abs. RivaldoYahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] Um Problema Interessante
On Thu, Feb 26, 2004 at 08:06:33PM -0300, Danilo notes wrote: Sejam A e B matrizes reais nxn tais que AB + A + B = 0. Prove que AB=BA. (A+I)(B+I) = AB + A + B + I = I Como A e B são quadradas isto implica em (A+I)^(-1) = (B+I) donde (A+I) e (B+I) comutam donde A e B comutam. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] APOSTOL - problemas em trans. linear e matrizes
T1: V -- V T(0) = 0 T(1) = 0
T2: V -- V T(0) = 0 T(1) = 1
T3: V -- V T(0) = 1 T(1) = 0
T4: V -- V T(0) = 1 T(1) = 1
Neste caso as funções T2 e T3 são transformações
biunívocas (1-para-1), pois levam V em V.
Não entendi direito essa questão. A T3 leva o 1 no vetor 0. Pelo Teorema do
Nucleo e da Imagem, sendo T: V - V, então T é inversível = Ker(T) = {0}.
Mas, nesse caso, Ker(T3) = {0,1}.
Também achei estranho o fato de transformações lineares levarem o vetor nulo
em um outro vetor não-nulo...
Alguém explica?
Grato,
Henrique.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
E o Teorema das raízes racionais diz que, se um polinômio p(x) = a_0 + a_1*x
+ a_2*x^2 + ... + a_n*x^n admitir raízes racionais, p/q, p será divisor de
a_0 e q será divisor de a_n.
Pelo seu problema temos que p = {+-1, +-3} e q = {+-1, +-2, +-4}.
Agora você vai testando as combinações... Por exemplo: x = 1 == 4 + K + 3 =
0 == K = -7.
Pra K = -7, você tem como raízes x_1 = 1 e x_2 = 3/4.
Agora é só continuar...
Abraços,
Henrique.
- Original Message -
From: Victor Machado [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 26, 2004 8:12 PM
Subject: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Olá amigos da Lista, queria lhes agradecer pelas resolucoes enviadas.
Mas gostaria de outra :
(CN-2003) Dada a equação do 2º grau na incógnita x : 4x^2 + Kx + 3 = 0.
Quantos são os valores inteiros possíveis do parâmetro K, tais que essa
equação só admita raízes racionais?
Falaram-me que o exercicio sairia facil pelo teoremas das raizes racionais,
mas nao o conheco... entao peco-lhes : poderiam por a resolucao junto com
uma pequena teoria sobre esse teorema ?
Agradeco desde ja
Victor
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] dúvida
2) Qual a taxa necessária para que um capital, colocado a juros simples, decuplique de valor em 7 anos? a)50% ao mês b)1284/7% ao ano c)1426/7% ao ano d)12/7% ao mês e) 12% ao mês
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Bem, fazendo uma analise rápida, a equação terá raízes racionais se raiz de deltaforracional Delta = k^2 - 4.4.3 = x^2 - (k+x)(k-x)= 4.4.3 = 48 Bem, daih, pra cada A.B=48 que vc tiver.. vc tem um valor de k(note que assim x e k sempre serão racionais, soh resolver o sistema).. como o prb pede Quantos valores servem... é melhor vc deve olhar pro números de divisores de 48(tem uma formulado mto conhecida pra isso)ao invés de tentar achar todos e depois contar.. espero que dê certo essa contagem.. Espero que tenha ajudado um pouco... Igor de Castro- www.cnaval.cjb.net - Original Message - From: Victor Machado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 26, 2004 8:12 PM Subject: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau Olá amigos da Lista, queria lhes agradecer pelas resolucoes enviadas. Mas gostaria de outra : (CN-2003) Dada a equação do 2º grau na incógnita x : 4x^2 + Kx + 3 = 0. Quantos são os valores inteiros possíveis do parâmetro K, tais que essa equação só admita raízes racionais? Falaram-me que o exercicio sairia facil pelo teoremas das raizes racionais, mas nao o conheco... entao peco-lhes : poderiam por a resolucao junto com uma pequena teoria sobre esse teorema ? Agradeco desde ja Victor
RE: [obm-l] MAIS DIVERSÃO!
eu vi ...
sejam E1={ C disse que B disse que A disse a verdade};
E2={A disse a verdade}.
meu erro foi calcular P(E1 inter E2) quando, na verdade, o pedido foi
P(E2/E1).
analizando do mesmo modo como antes, vemos que:
E1={(m, m, v) (m, v, m) (v, m, m) (v, v, v)}
E1 inter E2={(v, m, m) (v, v, v)}
logo P(E2/E1) = P(E1 inter E2)/P(E1)
=[(1/3)(2/3)^2+(1/3)^3 ]
{[(2/3)^2](1/3)+(2/3)(1/3)(2/3)+(1/3)(2/3)^2+(1/3)^3}
= 5/13Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote:
O erro do Guilherme foi nao escluir do espaco amostral combinacoes absurdas dada a afirmacaopor exemplo:V V F teoricamente seria 1/3*1/3*2/3 = 2/27Mas se C falou a verdade entao B realmente disse que A falou a verdade;e se B falou a verdade entao A so pode ter falado a verdade portanto V V F e absurdo.As outras combinacoes absurdas sao:V F V (2/27)F V V (2/27)F F F (8/27)27 - 2 - 2 - 2 - 8 = 13From: [EMAIL PROTECTED]Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] MAIS DIVERSÃO!Date: Sat, 21 Feb 2004 18:16:09 -0300Valeu! Adenilson e demais foliões!Caro Guilherme, obrigado pela atenção de resposta, pois a sua resolução foi amais resumida e elegante que tenho recebido ao longo dos anos. Falta
sòmentedescobrirmos seu erro, já que a resposta correta é 5/13. Enquanto aguardamosajuda dos colegas, vamos ao probleminha abaixo:Lança-se uma moeda três vezes. Se você obtiver menos de três caras, receberá,em dólares, o número de caras obtidas. Se conseguir três caras, poderá lançarum dado e receberá, também em dólares, o número de pontos feitos. Qual é o seuvalor esperado, neste jogo?Aquele abraço!WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=_Stay informed on Election 2004 and the race to Super Tuesday. http://special.msn.com/msn/election2004.armx=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] Um Problema Interessante
Ah sim... Lembre-se também que a matriz identidade é idempotente. Logo, I^n = I. Henrique. Pessoal , será que podem me ajudar a resolver esse probleminha? Sejam A e B matrizes reais nxn tais que AB + A + B = 0. Prove que AB=BA. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um Problema Interessante
Sejam A e B matrizes reais nxn tais que AB + A + B = 0. Prove que AB=BA. Soma a identidade dos dois lados... AB + A + B + I = I == (A + I)(B + I) = I Isso implica que A + I é a inversa de B + I e, como são quadradas, elas comutam. Então temos (A + I)(B + I) = (B + I)(A + I) == A + B + AB + I = B + A + BA + I == AB = BA Acho que é isso... Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Olá amigos da Lista, queria lhes agradecer pelas resolucoes enviadas. Mas gostaria de outra : (CN-2003) Dada a equação do 2º grau na incógnita x : 4x^2 + Kx + 3 = 0. Quantos são os valores inteiros possíveis do parâmetro K, tais que essa equação só admita raízes racionais? Falaram-me que o exercicio sairia facil pelo teoremas das raizes racionais, mas nao o conheco... entao peco-lhes : poderiam por a resolucao junto com uma pequena teoria sobre esse teorema ? Agradeco desde ja Victor
[obm-l] OBM Universitária
Caros colegas, Queria pedir àqueles que participam da OBM Universitária (e também aos professores presentes na lista) que me orientassem quanto a um programa de estudos (se possível, detalhado) para a realização desta prova. Por favor, ajudem-me também a escolher os livros. Também peço sugestão em relação às páginas da internet com material especializado (teoria e exercícios). Desde já eu agradeço! Wallace Alves Martins = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Iezzi - Diferença do módulo das raízes
Oi, retificando minha ultima mensagem - me distraih de novo. As raizes sao 47 e 1 ou -47 e -1. Tem sempre o mesmo sinal. Logo |x1 - x2| = 46 sempre. Mas vale a observacao de que falou-se em |x1 - |x2| enao em |x1 - x2|. Artur __ Do you Yahoo!? Get better spam protection with Yahoo! Mail. http://antispam.yahoo.com/tools = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Iezzi - Diferença do módulo das raízes
Alguém pode me ajudar? Calcule a diferença do módulo das raízes da equação: x^2 + bx + 47 = 0 (as raízes são inteiras) resp. do livro é |x1 - x2| = 46 __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] dúvidazinha
olá amigos: poderiam ajudar neste problema. seja f(x)= (e^x - e^-x) /(e^x+ e^-x) definida em R. se g fora função inversa de f, o valor de e^g(7/25) será: a)4/3 b)7e/25 c)log(base "e") elevado a (25/7) d)e^(7/25)² e)NDA 2) Calcule o valor da expressão S = log2(tga) + log2(tgb) , sabendo que a e b, são ângulos agudos internos de um triângulo retângulo.
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Victor,
O teorema das raízes racionais (TRR), diz: Seja F(x) = a_0*x^n +
a_1*x^(n-1) + ... + a_n = 0, se p/q for raiz de F(x) = 0 de coeficientes
inteiros, então p será divisor de a_n e q será divisor de a_0. Obs.: p/q é
fração irredutível.
Para a equação 4x^2 + kx + 3 = 0, sendo D(n) o conjunto dos divisores de n,
D(3) = {-1,+1,-3,+3}
D(4) = {-1,+1,-2,+2,-4,+4}
As raízes racionais: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/4, -1/4, 3, -3, 3/2, -3/2,
3/4, -3/4
x = 1 == k = -7
x = -1 == k = 7
x = 1/2 == k = -8
x = -1/2 == k = 8
x = 1/4 == k = -13
x = -1/4 == k = 13
x = 3 == k = -13
x = -3 == k = 13
x = 3/2 == k = -8
x = -3/2 == k = 8
x = 3/4 == k = -7
x = -3/4 == k = 7
Logo, existem 6 valores de k para os quais a equação possui raízes
racionais: -13,-8,-7,7,8,13.
Só um comentário final, esse é bem o perfil dos exercícios da maioria das
instituições militares: pouca criatividade e muitas contas. E caso você se
poupe de alguma das contas, chutando, certamente erra. Além disso, ainda
há uma redundância no enunciado: se as raízes devem ser racionais, para que
exigir k inteiro ou vice-versa? k é coeficiente da equação e, para raízes
racionais, ele será necessariamente inteiro, algo que é garantido pelo TRR.
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: Victor Machado
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 26, 2004 8:12 PM
Subject: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Olá amigos da Lista, queria lhes agradecer pelas resolucoes enviadas.
Mas gostaria de outra :
(CN-2003) Dada a equação do 2º grau na incógnita x : 4x^2 + Kx + 3 = 0.
Quantos são os valores inteiros possíveis do parâmetro K, tais que essa
equação só admita raízes racionais?
Falaram-me que o exercicio sairia facil pelo teoremas das raizes racionais,
mas nao o conheco... entao peco-lhes : poderiam por a resolucao junto com
uma pequena teoria sobre esse teorema ?
Agradeco desde ja
Victor
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
