[obm-l] Princípio de Boa Ordenação
Complete os detalhes da seguinte demonstração do princípio de Boa Ordenação: Seja A está contido em N um conjunto que não possui um menor elemento. Considere o conjunto X formado pelos números naturais n tais que 1, 2, ... n não pertence a A. Observe que 1 pertence a X e, alem disso, n pertence a X então todos os elementos de A são maiores do que n + 1. Como n + 1 não pode ser o menor elemento de A. Conclua que n + 1 pertence a X, logo, por indução, segue se que X = N, portanto A é vazio. Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta!
[obm-l] Raiz quadrada e quadrados perfeitos
Prove que se um quadrado perfeito é par então sua raiz quadrada é par e que se um quadrado perfeito é impar sua raiz quadrada é ímpar. Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta!
[obm-l] pesos e blanças como faz ?
Dados n (n = 2 ) objetos de pesos distintos, prove que é possível determinar qual o mais leve e qual o mais pesado fazendo 2n 3 pesagens em uma balança de pratos. É esse o número mínimo de pesagens que permitem determinar o mais leve e o mais pesado ?__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
[obm-l] Trêns infinitos
Todos os quartos do Hotel Georg CAntor estão ocupados, quando chegam os trens T1, T2, ..., Tn,... ( em quantidade infinita ), cada um deles com infinitos passageiros. Que deve fazer o gerente para hospedar todos ? Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta!
[obm-l] Re:[obm-l] Trêns infinitos
Pô, Robério! Ninguém tá te dando atenção... Supondo que todos os infinitos nesse problema sejam enumeráveis, ele deve fazer o seguinte: 1) mover o ocupante do quarto n para o quarto 2^n; 2) em seguida, hospedar o k-esimopassageiro do trem Tm no quarto de número (p_m)^k, onde p_m = m-esimo primo ímpar. Com isso ele consegue hospedar todos os passageiros que chegam e ainda sobra uma infinidade de quartos vazios, pois somento os quartos cujos números são potências de primo estarão sendo ocupados. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 23 Mar 2005 05:20:20 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Trêns infinitos Todos os quartos do Hotel Georg CAntor estão ocupados, quando chegam os trens T1, T2, ..., Tn,... ( em quantidade infinita ), cada um deles com infinitos passageiros. Que deve fazer o gerente para hospedar todos ?
Re:[obm-l] Raiz quadrada e quadrados perfeitos
Basta provar que o quadrado de um par é par e o quadrado de um ímpar é ímpar e observar que: 1) n^2 ímpar == nímpar é equivalente a n par == n^2 par e 2) n^2 par == n par é equivalente a n ímpar == n^2 ímpar. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 23 Mar 2005 05:16:36 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Raiz quadrada e quadrados perfeitosProve que se um quadrado perfeito é par então sua raiz quadrada é par e que se um quadrado perfeito é impar sua raiz quadrada é ímpar. Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta!
Re: [obm-l] Análise
O que é exatamente a recíproca do TVI? Se for algo do tipo Para todo a c b no domínio de f, existe x na imagem de f tal que f(a) x f(b) e x = f(c), é apenas a definição de função crescente (aqui estou usando implicitamente que é estritamente crescente, ou seja x y = f(x) f(y) e que a é diferente de b). Se for outra coisa, avise! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Tue, 22 Mar 2005 23:09:44 -0300, Diogo [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, se puderem me ajudar nesse eu agradeço: Sendo f:[a,b]--R uma função crescente, mostre que, nesse caso, a recíproca do teorema do valor intermediario é válida. Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Análise
Acho que o que ele quer que se prove é: Se f:[a,b] - R é crescente e se, além disso, para cada d em [f(a),f(b)] existir c em [a,b] tal que f(c) = d, então f é contínua em [a,b]. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 23 Mar 2005 08:01:53 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Análise O que é exatamente a "recíproca do TVI"? Se for algo do tipo Para todo a c b no domínio de f, existe x na imagem de f tal que f(a) x f(b) e x = f(c), é apenas a definição de função crescente (aqui estou usando implicitamente que é estritamente crescente, ou seja x y = f(x) f(y) e que a é diferente de b). Se for outra coisa, avise! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Tue, 22 Mar 2005 23:09:44 -0300, Diogo <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Pessoal, se puderem me ajudar nesse eu agradeço: Sendo f:[a,b]--R uma função crescente, mostre que, nesse caso, a recíproca do teorema do valor intermediario é válida. Obrigado
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise
Neste caso, como f é crescente, só pode ter descontinuidades de primeira espécie (saltos). Mas neste caso, a hipótese dada (ou seja, para todo d em [f(a), f(b)] existe c em [a, b] tal que f(c) = d implica que não pode haver saltos (pois neste caso, ao cara do meio do salto não corresponderia c algum, já que f é crescente). Daí f é contínua pois não possui saltos nem outras descontinuidades mais complicadas. Uma observação legal é que pode-se ter funções que sejam descontínuas mas que tenham a Propriedade do Valor Intermediário(PVI). Os melhores exemplos que eu conheço são dados pelo teorema que diz que a derivada de qualquer função tem a PVI; tome agora a função f(x) = x^2 * sen(1/x), cuja derivada é 2x*sen(1/x) - cos(1/x) para x != 0 e f'(0) = 0. Ela tem a PVI, mas não é contínua no zero. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Wed, 23 Mar 2005 09:00:44 -0300, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Acho que o que ele quer que se prove é: Se f:[a,b] - R é crescente e se, além disso, para cada d em [f(a),f(b)] existir c em [a,b] tal que f(c) = d, então f é contínua em [a,b]. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 23 Mar 2005 08:01:53 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Análise O que é exatamente a recíproca do TVI? Se for algo do tipo Para todo a c b no domínio de f, existe x na imagem de f tal que f(a) x f(b) e x = f(c), é apenas a definição de função crescente (aqui estou usando implicitamente que é estritamente crescente, ou seja x y = f(x) f(y) e que a é diferente de b). Se for outra coisa, avise! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Tue, 22 Mar 2005 23:09:44 -0300, Diogo wrote: Pessoal, se puderem me ajudar nesse eu agradeço: Sendo f:[a,b]--R uma função crescente, mostre que, nesse caso, a recíproca do teorema do valor intermediario é válida. Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questõ de raiz quadrada
Robÿe9rio Alves escreveu: Escreva as implicações lógicas que correspondem à resolução da equação rsqt x + 6 = x, veja quais são reversíveis e explique o aparecimento de raízes estranhas. Faça o mesmo com a equação rsqt x + 7 = x. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ Vamos lá, sqrt(x) + 6 = x = (1) = sqrt(x) = x - 6 = (2) = (sqrt(x))² = (x - 6)² = (3) = x = x² - 12x + 36 = (4) = x² - 13x + 36 = 0 = (5) = x = 9 ou x = 4= (6) Observe que x = 4 não é raiz da equação original. Veja que de (2) para (3) não há uma equivalência, mas apenas uma implicação, ou seja, de (2) concluo (3) mas de (3) concluo (2) ou concluo sqrt(x) = 6 - x. Daí vem o aparecimento da raiz estranha igual a 4. Agora, você faz com a outra. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] creio OFF TOPIC: Eureka 21 no site da SBM
Por obsequio, respondam-me os que sabem: qual a data prevista para inclusao da revista eureka 21 no site da SBM? ATT. Joao Carlos
[obm-l] [OFF-TOPIC] Indicacao livro Construcoes Geometricas
Pessoal, Por acaso alguem conhece um livro bom de Construcoes Geometricas? Pode ser nacional ou importado.. Já tentei o da SBM (colecao professor de matematica) mas me parece que esta esgotado... qualquer indicacao sera bem vinda... obrigado! []s daniel -- A essência da Matemática reside na sua liberdade. (G. Cantor) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] [OFF-TOPIC] Indicacao livro Construcoes Geometricas
Daniel! Tem um livro da editora da Unicamp, chama Geometria Euclidiana plana e construções Geométricas, da Eliane Rezende e Maria Lucia Queiroz. É um bom livro . Carmen - Original Message - From: Daniel S. Braz [EMAIL PROTECTED] To: OBM-L obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, March 23, 2005 12:08 PM Subject: [obm-l] [OFF-TOPIC] Indicacao livro Construcoes Geometricas Pessoal, Por acaso alguem conhece um livro bom de Construcoes Geometricas? Pode ser nacional ou importado.. Já tentei o da SBM (colecao professor de matematica) mas me parece que esta esgotado... qualquer indicacao sera bem vinda... obrigado! []s daniel -- A essência da Matemática reside na sua liberdade. (G. Cantor) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Cálculo no R^n
Gostaria de uma ajuda no problema abaixo: Seja f: U -- R^n , U aberto de R^m, diferenciável numa vizinhança de um ponto p pertencente a U e tal que dado e = epsilon 0, existe d = delta 0 tal que: || x - p || d == || df_x (h) - df_p (h)|| e.|| h || . Mostre que as derivadas parciais de f são contínuas em p. Notação: df_x (h) é o mesmo que a diferencial de f em x aplicada em h (h estah em R^m). grato desde já, éder.__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
[obm-l] Lugar Geométrico
Boa noite, gente. Estava observando uma figura que me sugeriu uma parábola e pensei na seguinte questão: Dada uma parábola e sua diretriz, determine o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos perpendiculares à diretriz e que têm, como extremidades, a diretriz e a parábola. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Raiz quadrada e quadrados perfeitos
Podemos também fazer da seguinte maneira: Seja 2k o tal quadrado perfeito par. Daí, todos os expoentes dos fatores primos de k são números pares, exceto o expoente do fator 2. Portanto o expoente do 2 não pode ser 0 (o expoente deve ser ímpar) e dever ser um ímpar maior ou igual a 1. Então o número 2k possui certamente o fator 2 elevado a um exponte par. Logo, raiz de 2k também é par. Para um quadrado perfeito ímpar é ainda mais simples, visto que na sua decomposição em fatores primos não pode figurar o fator 2. Um abraço Paulo Cesar On Wed, 23 Mar 2005 07:09:48 -0300, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Basta provar que o quadrado de um par é par e o quadrado de um ímpar é ímpar e observar que: 1) n^2 ímpar == n ímpar é equivalente a n par == n^2 par e 2) n^2 par == n par é equivalente a n ímpar == n^2 ímpar. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Wed, 23 Mar 2005 05:16:36 -0300 (ART) Assunto:[obm-l] Raiz quadrada e quadrados perfeitos Prove que se um quadrado perfeito é par então sua raiz quadrada é par e que se um quadrado perfeito é impar sua raiz quadrada é ímpar. Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Trêns infinitos
Já que o papo é sobre o famoso Hotel de Hilbert, ou de Cantor, alguém se lembra daquela parte da história sobre os Jardins do Infinito e as Árvores do Infinito? Até onde me lembro, tinha algo a ver com um tipo de infinito diferente do infinito dos Naturais (um infinito não enumerável, suponho). Abraços à todos da lista Paulo Cesar On Wed, 23 Mar 2005 07:02:30 -0300, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Pô, Robério! Ninguém tá te dando atenção... Supondo que todos os infinitos nesse problema sejam enumeráveis, ele deve fazer o seguinte: 1) mover o ocupante do quarto n para o quarto 2^n; 2) em seguida, hospedar o k-esimo passageiro do trem Tm no quarto de número (p_m)^k, onde p_m = m-esimo primo ímpar. Com isso ele consegue hospedar todos os passageiros que chegam e ainda sobra uma infinidade de quartos vazios, pois somento os quartos cujos números são potências de primo estarão sendo ocupados. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Wed, 23 Mar 2005 05:20:20 -0300 (ART) Assunto:[obm-l] Trêns infinitos Todos os quartos do Hotel Georg CAntor estão ocupados, quando chegam os trens T1, T2, ..., Tn,... ( em quantidade infinita ), cada um deles com infinitos passageiros. Que deve fazer o gerente para hospedar todos ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Prática: PG alternante?
Ninguém sabe alguma aplicação prática ou situação onde seja útil uma PG alternante? Será que só a definimos para tornar a definição de PG mais geral? Um abraço, Guilherme. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Guilherme Enviada em: terça-feira, 22 de março de 2005 18:38 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Prática: PG alternante? Olá, pessoal! Desculpem colocar esta dúvida aqui, mas um aluno me perguntou hoje se existe alguma aplicação prática que envolva PG alternante (q0). Eu não soube responder. Alguém conhece alguma? Um abração, Guilherme Marques. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Lugar Geométrico
Boa noite, Marcio. Vc. obterá uma parábola com o dobro do parâmetro da primitiva e vértice à meia distância do vértice e diretriz da mesma (óbvio). Se precisar podemos equacionar. Abraços Wilner --- Marcio M Rocha [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa noite, gente. Estava observando uma figura que me sugeriu uma parábola e pensei na seguinte questão: Dada uma parábola e sua diretriz, determine o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos perpendiculares à diretriz e que têm, como extremidades, a diretriz e a parábola. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Lugar Geométrico
claudio.buffara escreveu: Seja a parabola y = 2ax^2 e a reta y = 2bx + 2c. O ponto medio de um segmento vertical ligando os pontos (x,2bx+2c) da reta e (x,2ax^2) da parabola eh (x,ax^2+bx+c). Logo, o LG desses pontos medios eh uma parabola. Repare que a reta nao precisa ser a diretriz e, de fato, nao precisa nem ser paralela a diretriz. Soh nao pode ser perpendicular a esta. []s, Claudio. *De:* [EMAIL PROTECTED] *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Cópia:* *Data:* Wed, 23 Mar 2005 20:47:35 -0300 *Assunto:* [obm-l] Lugar Geométrico Boa noite, gente. Estava observando uma figura que me sugeriu uma parábola e pensei na seguinte questão: Dada uma parábola e sua diretriz, determine o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos perpendiculares à diretriz e que têm, como extremidades, a diretriz e a parábola. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Jóia, tá claro. É um probleminha muito sem graça... []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Análise
Jah que ninguem se aventura, aqui vai: Seja d pertencente a (f(a),f(b)). Seja (d - eps,d + eps) um intervalo aberto centrado em d e contido em (f(a),f(b)). Seja c em (a,b) tal que f(c) = d (c a e c b, pois f(a) d f(b) e f eh crescente e, portanto, injetiva). Dados u e v tais que d - eps u d v d + eps, existem r e s em (a,b) tais que f(r) = u e f(s) = v. Como f eh crescente, deve ser r c s. Seja delta = min(c-r,s-c), de modo que (c - delta,c + delta) estarah contido em (u,v). Se x eh tal que c - delta x c + delta, entaor x s e, portanto: d - eps u = f(r) f(x) v = f(s) d + eps. Ou seja, c - delta x c + delta implica que d - eps f(x) d + eps == f eh continua em c. O caso em qued = f(a) oud = f(b) eh tratado de forma analoga, tomando-se o intervalo [d,d + eps) ou (d - eps,d] conforme o caso. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 23 Mar 2005 09:00:44 -0300 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Acho que o que ele quer que se prove é: Se f:[a,b] - R é crescente e se, além disso, para cada d em [f(a),f(b)] existir c em [a,b] tal que f(c) = d, então f é contínua em [a,b]. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 23 Mar 2005 08:01:53 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Análise O que é exatamente a "recíproca do TVI"? Se for algo do tipo Para todo a c b no domínio de f, existe x na imagem de f tal que f(a) x f(b) e x = f(c), é apenas a definição de função crescente (aqui estou usando implicitamente que é estritamente crescente, ou seja x y = f(x) f(y) e que a é diferente de b). Se for outra coisa, avise! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Tue, 22 Mar 2005 23:09:44 -0300, Diogo <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Pessoal, se puderem me ajudar nesse eu agradeço: Sendo f:[a,b]--R uma função crescente, mostre que, nesse caso, a recíproca do teorema do valor intermediario é válida. Obrigado
[obm-l] Círculo e elipse
Oi, pessoal. Vamos ver se esse é um pouco melhor... Estou segurando um CD diante dos meus olhos, de modo que, ao olhá-lo, vejo um círculo. Agora passo a rotacioná-lo em torno de seu diâmetro. É possível provar que a figura que passo a ver é uma elipse? []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] limite
Como calcular limite (x tendendo a pi/3) de {(2cosx) -1}/3x- pi , sem usar l´hospital?
Abraços
Re: [obm-l] Círculo e elipse
Acho que esse é mais fácil ainda, mas talvez mais interessante: trata-se da aplicação mais simples dos ângulos de Euler. Seja a equação canônica da circunferência no plano xOy' como x^2+y'^2=R^2 Supondo uma rotação de b em torno do diâmetro em y'=0 (eixo Ox)para o plano xOy, temos y=y'.cos b ou y=sqrt(R^2-x^2).cos b . Elevando ao quadrado e simplificando teremos [(x^2/R^2)+(y^2/R^2.cos^2(b)]=1 I.e. o eixo maior da elipse é o próprio R e o menor a sua projeção no plano xOy. Poderiamos olhar como figuras de Lissajous, mas isso é mais para Física, e a noite já está alta. []'s Wilner --- Marcio M Rocha [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal. Vamos ver se esse é um pouco melhor... Estou segurando um CD diante dos meus olhos, de modo que, ao olhá-lo, vejo um círculo. Agora passo a rotacioná-lo em torno de seu diâmetro. É possível provar que a figura que passo a ver é uma elipse? []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] limite
Com uma mudança de variável x = y + (pi/3) vc.
obtém lim p/y - 0 de [cosy - sqrt(3).seny -1]/3y]
ou de {-y.sen^2(y)/[(cosy+1).3y^2]}-sqrt(3).seny/3y
Assim o limite será -sqrt(3)/3
[]'s
Wilner
--- eritotutor [EMAIL PROTECTED] wrote:
Como calcular limite (x tendendo a pi/3) de
{(2cosx) -1}/3x- pi , sem usar l´hospital?
Abraços
__
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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