Re: [obm-l] raiz negativa de equação..
On Sun, May 29, 2005 at 09:13:06PM -0300, Vinícius Meireles Aleixo wrote: Me desculpem se este problema ja estiver sido solucionado aqui na lista Qual é a raiz negativa da equação: 2^x - x^2=0 Isto já foi discutido na lista várias vezes sim, mas não achei referência. A raiz é aproximadamente x = -0.746959621230931112044225103148480067. Como 2^0 - 0^2 = 1, 2^(-1) - (-1)^2 = -1/2, é claro que existe pelo menos uma raiz no intervalo [-1,0]. Derivando f(x) = 2^x - x^2 é fácil ver que f'(x) 0 para todo x neste intervalo donde a raiz é única. O valor aproximado da raiz (como acima) pode facilmente ser obtido pelo método de Newton, ou, de forma mais prática, usando maple ou outro software similar (como eu fiz). Este número claramente não é inteiro. Também não pode ser racional pois se x é racional não inteiro então 2^x não é racional, como pode ser provado facilmente a partir do teorema fundamental da aritmética. Este número também não pode ser algébrico irracional pois sabemos pelo teorema de Gelfond-Schneider que se x é algébrico irracional então 2^x não é algébrico. Resumindo, a equação tem exatamente uma raiz -1 e 0 e esta raiz é um número transcendente aproximadamente igual a -0.77. Resta a pergunta se este número pode ser escrito de forma simples em termos de outros transcendentes mais conhecidos (como pi): a resposta é quase certamente não, mas demonstrar que a resposta é não deve ser difícil. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] En: [obm-l] raiz negativa de equação..
Ha dois metodos: - Tentativa e Erro - Metodos Numericos. Bem, ha metodos mais ou menos faceis de se aplicar que dao alguma exatidao. Talvez Newton sirva. --- Vinícius Meireles Aleixo [EMAIL PROTECTED] escreveu: -0,762 Mas como chego aí??? Abraço Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] raiz negativa de equação..
Ola Carissimo Prof Nicolau e demais colegas desta lista ... OBM-L, A resposta abaixo do nosso estimado moderador chega coincidentemente quando um estudante de Matematica da USP me propos o seguinte problema : Para quais valores de K a equacao sen(X) - KX = 0 tem exatamente tres solucoes ? Estes problemas estao de alguma forma relacionados e nao sem ingentes esforcos que consigo me arrancar do desprazer de nao ter conseguido rapidamente encontrar uma solucao fechadinha. OLHANDO RAPIDA,MENTE, eu encontrei : sen(Z1)/Z1 K 1 onde Z1 e a solucao positiva de Z*cos(Z) - sen(Z) = 0 que reside no intervalo aberto (2*pi , 3*pi). E foi esta a resposta que dei para o colega da USP. Alguem consegue melhorar este resultado ? Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 2,1044,300505 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] raiz negativa de equação.. Date: Mon, 30 May 2005 10:06:12 -0300 On Sun, May 29, 2005 at 09:13:06PM -0300, Vinícius Meireles Aleixo wrote: Me desculpem se este problema ja estiver sido solucionado aqui na lista Qual é a raiz negativa da equação: 2^x - x^2=0 Isto já foi discutido na lista várias vezes sim, mas não achei referência. A raiz é aproximadamente x = -0.746959621230931112044225103148480067. Como 2^0 - 0^2 = 1, 2^(-1) - (-1)^2 = -1/2, é claro que existe pelo menos uma raiz no intervalo [-1,0]. Derivando f(x) = 2^x - x^2 é fácil ver que f'(x) 0 para todo x neste intervalo donde a raiz é única. O valor aproximado da raiz (como acima) pode facilmente ser obtido pelo método de Newton, ou, de forma mais prática, usando maple ou outro software similar (como eu fiz). Este número claramente não é inteiro. Também não pode ser racional pois se x é racional não inteiro então 2^x não é racional, como pode ser provado facilmente a partir do teorema fundamental da aritmética. Este número também não pode ser algébrico irracional pois sabemos pelo teorema de Gelfond-Schneider que se x é algébrico irracional então 2^x não é algébrico. Resumindo, a equação tem exatamente uma raiz -1 e 0 e esta raiz é um número transcendente aproximadamente igual a -0.77. Resta a pergunta se este número pode ser escrito de forma simples em termos de outros transcendentes mais conhecidos (como pi): a resposta é quase certamente não, mas demonstrar que a resposta é não deve ser difícil. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] raiz negativa de equação..
Ola Pessoal, Na mensagem abaixo leiam : valores reais positivos de k um Abraco Paulo Santa Rita 2,1103,300505 From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] raiz negativa de equação.. Date: Mon, 30 May 2005 13:46:16 + Ola Carissimo Prof Nicolau e demais colegas desta lista ... OBM-L, A resposta abaixo do nosso estimado moderador chega coincidentemente quando um estudante de Matematica da USP me propos o seguinte problema : Para quais valores de K a equacao sen(X) - KX = 0 tem exatamente tres solucoes ? Estes problemas estao de alguma forma relacionados e nao sem ingentes esforcos que consigo me arrancar do desprazer de nao ter conseguido rapidamente encontrar uma solucao fechadinha. OLHANDO RAPIDA,MENTE, eu encontrei : sen(Z1)/Z1 K 1 onde Z1 e a solucao positiva de Z*cos(Z) - sen(Z) = 0 que reside no intervalo aberto (2*pi , 3*pi). E foi esta a resposta que dei para o colega da USP. Alguem consegue melhorar este resultado ? Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 2,1044,300505 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] raiz negativa de equação.. Date: Mon, 30 May 2005 10:06:12 -0300 On Sun, May 29, 2005 at 09:13:06PM -0300, Vinícius Meireles Aleixo wrote: Me desculpem se este problema ja estiver sido solucionado aqui na lista Qual é a raiz negativa da equação: 2^x - x^2=0 Isto já foi discutido na lista várias vezes sim, mas não achei referência. A raiz é aproximadamente x = -0.746959621230931112044225103148480067. Como 2^0 - 0^2 = 1, 2^(-1) - (-1)^2 = -1/2, é claro que existe pelo menos uma raiz no intervalo [-1,0]. Derivando f(x) = 2^x - x^2 é fácil ver que f'(x) 0 para todo x neste intervalo donde a raiz é única. O valor aproximado da raiz (como acima) pode facilmente ser obtido pelo método de Newton, ou, de forma mais prática, usando maple ou outro software similar (como eu fiz). Este número claramente não é inteiro. Também não pode ser racional pois se x é racional não inteiro então 2^x não é racional, como pode ser provado facilmente a partir do teorema fundamental da aritmética. Este número também não pode ser algébrico irracional pois sabemos pelo teorema de Gelfond-Schneider que se x é algébrico irracional então 2^x não é algébrico. Resumindo, a equação tem exatamente uma raiz -1 e 0 e esta raiz é um número transcendente aproximadamente igual a -0.77. Resta a pergunta se este número pode ser escrito de forma simples em termos de outros transcendentes mais conhecidos (como pi): a resposta é quase certamente não, mas demonstrar que a resposta é não deve ser difícil. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Espacos metricos
Oi pessoal,
Gostaria de uma ajuda com as seguintes demonstracoes:
(1) Um espaco metrico X eh totalmente limitado se, e somente se, toda sequencia
de X contiver uma subsequencia de Cauchy.
Por contraposicao eu consegui demonstrar a parte se, mas estou me perdendo um
pouuco na parte somente, isto, se X eh totalmente limitado, entao toda
sequencia de X contem uma sequencia de Cauchy.
(2) Se x_n eh uma sequencia de Cauchy em um espaco metrico, entao o conjunto
{x_n} eh totalmente limitado. Esta demonstracao nao eh dificil, basta
considerar as definicoes. Mas estou na duvida se a reciproca eh verdadeira.
Obrigada
Sandra
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] raiz negativa de equação..
On Mon, May 30, 2005 at 01:46:16PM +, Paulo Santa Rita wrote: Ola Carissimo Prof Nicolau e demais colegas desta lista ... OBM-L, A resposta abaixo do nosso estimado moderador chega coincidentemente quando um estudante de Matematica da USP me propos o seguinte problema : Para quais valores de K a equacao sen(X) - KX = 0 tem exatamente tres solucoes ? Estes problemas estao de alguma forma relacionados e nao sem ingentes esforcos que consigo me arrancar do desprazer de nao ter conseguido rapidamente encontrar uma solucao fechadinha. OLHANDO RAPIDA,MENTE, eu encontrei : sen(Z1)/Z1 K 1 onde Z1 e a solucao positiva de Z*cos(Z) - sen(Z) = 0 que reside no intervalo aberto (2*pi , 3*pi). E foi esta a resposta que dei para o colega da USP. Alguem consegue melhorar este resultado ? Entendendo que K é real positivo e que as raízes X também são reais e contadas sem multiplicidade a sua solução é correta. Será que a dúvida é se Km = sen(Z1)/Z1 admite uma expressão mais simples? Duvido muito. Temos tan(Z1) = Z1, donde (por Lindemann) Z1 não pode ser racional nem múltiplo racional de pi. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] En: [obm-l] raiz negativa de equação..
Só para ilustrar, este caso admite o uso de um método que foi mencionado aqui na lista há pouco tempo, o método do ponto fixo. x^2 - 2^x =0 = x^2 = 2^x Considere a seguinte mudança de variável: y=x^2 = x=+-sqrt(y) A equação fica: y = 2^(+-sqrt(y)) Como vc está procurando a raiz negativa, deve tomar: x=-sqrt(y) = y = 2^(-sqrt(y)) Para aplicar o método, vc vai procurar a convergência da sequência dada por: y[n+1] = 2^(-sqrt(y[n])) Escolhendo uma estimativa inicial y[1]=1, após 15 interações achei: y ~= 0.587774759 x ~= -0.7469 []´s Demétrio --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ha dois metodos: - Tentativa e Erro - Metodos Numericos. Bem, ha metodos mais ou menos faceis de se aplicar que dao alguma exatidao. Talvez Newton sirva. --- Vinícius Meireles Aleixo [EMAIL PROTECTED] escreveu: -0,762 Mas como chego aí??? Abraço Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] teorema chinês do resto
alguem poderia resolver esse sistema? x=3 (mod 17) x=10 (mod 16) x=0 (mod 15) * = (usei como´o símbolo de congruência)Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis Instale Já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Espacos metricos
(1) A demonstração da parte somente tambem nao eh dificil. Seja d a funcao
distancia em X. Como X eh totalmente limitado, podemos cobri-lo com uma
colecao finita de bolas abertas de raio 1. Dentre estas bolas, podemos
escolher uma, B_1, que contem termos x_n para uma infinidade de indices n
(se todas as bolas contivessem x_n para um numero finito de indices n, o
mesmo se verificaria para a sua uniao, de modo que a colecao destas bolas
nao cobriria a totalidade de X). Sendo I_1 o conjunto dos indices n para os
quais x_n pertence a B_1, temos entao que I_1 eh infinito.
De forma indutiva, suponhamos escolhidas bolas abertas B_1,...B_m, de raios
1,1/m, tais que o conjunto I_m, dos indices n para os quais x_n pertence
a B_1 inter B_m, seja infinito. Cobrindo-se X com uma colecao finita de
bolas de raio 1/(m+1), podemos, com base no mesmo argumento anteriormente
apresentado, escolher uma, B_(m+1), tal que I_(m+1) seja infinito. Isto
completa a inducao e demonstra existir uma sequencia (B_m), de bolas abertas
de raio 1/m, tal que os respectivos conjuntos I_m sao infinitos.
Em I_1, escolhamos um indice n_1 (I_1 eh infinito, logo nao eh vazio); em
I_2, escolhamos um indice n_2 n_1 (eh possivel, pois I_2 eh infinito).
Prosseguindo-se indutivamente, geramos uma subsequencia x_n_k de x_n tal
que, para cada k, x_n_k pertence a B1 inter ...B_k. Como (B_1 inter B2 inter
B_m) eh uma sequencia de conjuntos encaixados, para todos i,j=k temos
que x_n_i e x_n_j estao em B_1 inter B2 inter B_k = B_k e que, em
razão disto, d(x_n_i, x_n_j) 2/k. Dado eps 0, podemos escolher k = 2/eps
e teremos d(x_n_i, x_n_j) eps para todos i,j=k. Temos, portanto, que
x_n_k e uma subsequencia de Cauchy.
Nesta demosntração, recorremos varias vezes o Axioma da Escolha.
(De uma conferida na demonstracao, ando tomando uns remedios que prejudicam
o raciocinio e posso estar confundindo bola aberta com bola de sinuca)
(2) A reciproca nao eh verdadeira. Como contra-exemplo, temos qualquer
sequencia x_n em R^m que seja limitada mas nao convergente, como (sen(n)). O
conjunto {x_n} eh limitado e, portanto, totalmente limitado (em R^m, todo
conjunto limitado eh, automaticamente, totalmente limitado). Mas como x_n
nao eh convergente e R^m eh completo, x_n nao eh de Cauchy.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Sandra
Enviada em: segunda-feira, 30 de maio de 2005 12:11
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Espacos metricos
Oi pessoal,
Gostaria de uma ajuda com as seguintes demonstracoes:
(1) Um espaco metrico X eh totalmente limitado se, e somente se, toda
sequencia de X contiver uma subsequencia de Cauchy.
Por contraposicao eu consegui demonstrar a parte se, mas estou me perdendo
um pouuco na parte somente, isto, se X eh totalmente limitado, entao toda
sequencia de X contem uma sequencia de Cauchy.
(2) Se x_n eh uma sequencia de Cauchy em um espaco metrico, entao o conjunto
{x_n} eh totalmente limitado. Esta demonstracao nao eh dificil, basta
considerar as definicoes. Mas estou na duvida se a reciproca eh verdadeira.
Obrigada
Sandra
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[obm-l] Re: [obm-l] teorema chinês do resto
Da primeira, x = 3 + 17k. Na segunda, 3+17k = 10 (mod 16) = k = 7 (mod 16) = k = 7 + 16t = x = 3 + 17(7 + 16t) = 122 + 17*16t Na terceira, 122 + 17*16t = 0 (mod 15) = 2 + 2*1*t = 0 (mod15) = t = -1 (mod 15) = t = -1 + 15s = x = 122 + 17*16*(-1 + 15s) = x = -150 + 17*16*15s, ou x = 3930 (mod 4080) (todas as variáveis acima são inteiras) - Original Message - From: Guilherme Neves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 30, 2005 1:45 PM Subject: [obm-l] teorema chinês do resto alguem poderia resolver esse sistema? x=3 (mod 17) x=10 (mod 16) x=0 (mod 15) * = (usei como´o símbolo de congruência) Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis Instale Já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] raiz negativa de equação..
Veja RPM n°03, pag. 18 há um artigo do Elon que explica detalhadamente como achá-la. Cgomes - Original Message - From: Vinícius Meireles Aleixo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 29, 2005 9:13 PM Subject: [obm-l] raiz negativa de equação.. Me desculpem se este problema ja estiver sido solucionado aqui na lista Qual é a raiz negativa da equação: 2^x - x^2=0 Abraços Vinícius Meireles Aleixo-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] raiz negativa de equação..
Ola Prof Nicolau e demais colegas desta lista ... OBM-L, Perfeito. Era essa a dúvida. Alguem poderia conhecer uma substituicao inteligente... Como (x/2)*cos(x/2)=1 - SOMATORIO(FUNCAO(Bernoulli)) pensei em colocar o valor de Z1 de uma forma mais elelgante, como uma serie de numeros de Bernboulli. Mas no final das contas, so conseguiria transformar um problema de calculo numerico em outro. Nao vale a pena num problema tao elementar. Um Abracao Paulo Santa Rita 2,1659.300505 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] raiz negativa de equação.. Date: Mon, 30 May 2005 12:22:34 -0300 Entendendo que K é real positivo e que as raízes X também são reais e contadas sem multiplicidade a sua solução é correta. Será que a dúvida é se Km = sen(Z1)/Z1 admite uma expressão mais simples? Duvido muito. Temos tan(Z1) = Z1, donde (por Lindemann) Z1 não pode ser racional nem múltiplo racional de pi. []s, N. _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Resultado da Cone Sul e Provas.
Caros amigos da lista, Resultado Brasileiro na Olimpíada do Cone Sul 2005. BRA1: Edson Augusto Bezerra Lopes - Medalha de Prata BRA2: Guilherme Rodrigues Nogueira de Souza - Medalha de Ouro BRA3: Henrique Pondé de Oliveira Pinto - Medalha de Ouro BRA4: Rafael Tupynambá Dutra - Medalha de Prata As provas já estão no nosso arquivo de provas. www.obm.org.br/provas.htm Abraços, Nelly = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] teorema chinês do resto
marcio valeu ai a resolucao.. mas o q eu tava precisando era uma resolucao usando ao pé da letra desse teorema chines do resto.. se vc ou alguem puder me ajudar agradeco -l] teorema chinês do restoDate: Mon, 30 May 2005 14:18:39 -0300Da primeira, x = 3 + 17k.Na segunda, 3+17k = 10 (mod 16) = k = 7 (mod 16) = k = 7 + 16t = x = 3 + 17(7 + 16t) = 122 + 17*16tNa terceira, 122 + 17*16t = 0 (mod 15) = 2 + 2*1*t = 0 (mod15) = t = -1 (mod 15) = t = -1 + 15s = x = 122 + 17*16*(-1 + 15s) = x = -150 + 17*16*15s, ou x = 3930 (mod 4080)(todas as variáveis acima são inteiras) - Original Message - From: Guilherme Neves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 30, 2005 1:45 PM Subject: [obm-l] teorema chinês do resto alguem poderia resolver esse sistema? x=3 (mod 17) x=10 (mod 16) x=0 (mod 15) * = (usei como´o símbolode congruência)-- Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis Instale Já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis Instale Já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria
Oi Brunno Desculpe, mais você precisa estudar umpouco mais... Use a definição de logarítmo e escreva cos a em função de a/2. Dica: o resultado é 100. Wilner --- Brunno Fernandes [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal poderiam me ajudar com essa questão Sabendo que log[(1-cosa )/(1+cosa)]=4 podemos afirmar que tg(a/2) é igual a a-)1 b-)raiz10 c-)10 d-)10^2 e-)10^4 Um abraço Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Português na madrugada
E eu preciso estudar um pouco da Língua Portuguêsa (bem, não é bem língua mas escrita). Desculpa: deve ser o horário,,, Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
