Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
Acho que eu não soube me expressar.
Vejamos:
1) Sim, uma sequencia é um conjunto de números. Ou seja, é uma reunião de
números, só que não é APENAS um conjunto. Este conjunto deve ter outras
propriedades, caso contrário não teria um nome diferente de conjunto.
2) Este conjunto possui algumas propriedades. Um delas é a ORDEM. Isso recai
no que disse o Bruno em outro mail. Se existe ORDEM, eu consigo montar uma
BIJEÇAO entre esta sequencia e o conjunto dos naturais, por exemplo. Assim,
posso afirmar que a1 é o PRIMEIRO termo, a2 o SEGUNDO termo, e assim por
diante. Lembre-se que as funções são definidas de CONJUNTO para CONJUNTO.
3) A questão de ordem, como colocou o Marcelo é explicada da seguinte forma:
Para que dois conjuntos sejam iguais, é necessário que todos os elementos de A
estejam em B e que todos os elementos de B estejam em A. Para o caso dos
conjuntos ordenados, além da lei acima, devemos ter que a ordem deve permanecer
a mesma.
4) Eu não quis dizer que está correto escrever sequencias entre chaves. Eu só
perguntei se por acaso, o indivíduo que escreveu o problema original não se
confundiu com este fato, da existencia de conjuntos e conjuntos ordenados.
Assim, claramente teremos:
i) { a , b , c } = { b , a , c } , pois para os conjuntos escrito
entre chaves, a ordem não é importante.
ii) (a , b , c ) (b , c , a ), pois apesar de possuírem os
mesmos elementos, a ORDEM não é a mesma.
Bem, eu também não sei muito sobre matemática, inclusive, acho até que
minha interpretação de conjunto possa estar errada. Mas segundo o que eu ví até
hoje sobre conjuntos, acho que seria isso mesmo.
Abraços !
Celso
Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Celso,
vejamos por exemplo o conjunto { a, b } e o par ordenado (a, b)
{ a, b } = { b, a }, mas (a, b) != (b, a)
nao conheco conjuntos ordenados... mas, um modo de representar um par
ordenado por conjuntos
seria (a, b) = { a, { a, b } } , neste caso, (a, b) = (c, d) sss a = c e b =
d (usando a igualdade de conjuntos).
uma n-upla ordenada seria: (a1, a2, ... , an) = { a1, { a1, a2 }, {a1, a2,
a3}, ..., {a1, a2, ... , an } } na notacao
de conjuntos!
entendeu?
entao, a notacao de chaves nao seria correta para sequencias, mas sim a
notacao de n-uplas ordenadas.
(1, 2, 3, ..., n)
um abraço,
Salhab
- Original Message -
From: Celso Souza
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 15, 2007 8:25 PM
Subject: Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: Comentários menores: eu
não considero o uso de chaves {} adequado
para uma seqüência, chaves para mim são para conjuntos.
Nicolau,
Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são
conjuntos ORDENADOS. Tal como ocorre com pares ordenados, que são conjuntos
ordenados.
Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam de
ser conjuntos, não ?
Celso
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[obm-l] Aritimetica
Alguem pode me ajudar nessa? Quantos são os números de sete algarismos que são múltiplos de 388 e terminam em 388? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] aritmetica 2
Alguem pode me ajudar? Quantos números entre 10 e 13000, quando lidos da esquerda para a direita, são formados por dígitos consecutivos e em ordem crescente? Exemplificando, 456 é um desses números, mas 7890 não é? a) 75 b) 25 c) 27 d) 28 e) 30 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] aritmetica 2
Quantos números entre 10 e 13000, quando lidos da esquerda para a direita, são formados por dígitos consecutivos e em ordem crescente? Exemplificando, 456 é um desses números, mas 7890 não é? a) 75 b) 25 c) 27 d) 28 e) 30 Engraçado.. eu fiz utilizando o Método Lusitano e só encontrei 22. Ei-los: Começando com 1 12 123 1234 12345 Começando com 2 23 234 2345 Começando com 3 34 345 3456 Começando com 4 45 456 4567 Começando com 5 56 567 5678 Começando com 6 67 678 6789 Começando com 7 78 789 Começando com 8 89 Esqueci de alguém? Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao
Rafael, neste caso basta observar que a^3-b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2) tomando a=x^3 e b=y^3...temos (x^9-y^9) / (x^3 - y^3) = (x^3-y^3).(x^6 + x^3.y^3+y^6) / (x^3 - y^3) = (x^6 + x^3.y^3+y^6). Valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 10:14 PM Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem. Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6 é o mesmo que (x^9 -y^9) / (x^3 - y^3) . Achei muito impressionante isso. On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o meu link http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf talvez ache legal,,,valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] aritmetica 2
Marcus eh o seguinte vejamos os de dois algarismos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 12, 23,, 89 == 8 números agora os de três algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 123, 234,, 789 == 7 números agora os de quatro algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1234, 2345,, 6789 == 6 números agora os de cinco algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 12345 == 1 número assim o total eh 8+7+6+1=22 números. Cgomes - Original Message - From: Marcus Aurélio [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 16, 2007 8:46 AM Subject: [obm-l] aritmetica 2 Alguem pode me ajudar? Quantos números entre 10 e 13000, quando lidos da esquerda para a direita, são formados por dígitos consecutivos e em ordem crescente? Exemplificando, 456 é um desses números, mas 7890 não é? a) 75 b) 25 c) 27 d) 28 e) 30 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Método da Comparação
Vamos lá...vc dever ter errado contas... p/q = 2/3 e p-q=25/9 == p=(2/3).q e p-q=25/9== p = - 50/9 e q= - 25/3. valew, Cgomes - Original Message - From: Aristeu Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 16, 2007 10:22 AM Subject: [obm-l] Método da Comparação Bom dia amigos e Professores Preciso do Help de vocês na questão abaixo: O quociente de dois números racionais é igual a dois terços (2/3). A diferença entre o primeiro e o segundo número é igual a vinte e cinco nonos 25/9. Quais são os números ? Tentei solucionar mas não deu certo. Obrigado Aristeu = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] aritmetica 2
ta certo sim meu amigo e que eu coloquei as alternativas trocadas...obrigaod o correto seria a) 22 b) 25 c) 27 d) 28 e) 30 -- Mensagem Original -- From: Filipe de Carvalho Hasché [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] aritmetica 2 Date: Fri, 16 Feb 2007 12:11:29 + Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br Quantos números entre 10 e 13000, quando lidos da esquerda para a direita, são formados por dígitos consecutivos e em ordem crescente? Exemplificando, 456 é um desses números, mas 7890 não é? a) 75 b) 25 c) 27 d) 28 e) 30 Engraçado.. eu fiz utilizando o Método Lusitano e só encontrei 22. Ei-los: Começando com 1 12 123 1234 12345 Começando com 2 23 234 2345 Começando com 3 34 345 3456 Começando com 4 45 456 4567 Começando com 5 56 567 5678 Começando com 6 67 678 6789 Começando com 7 78 789 Começando com 8 89 Esqueci de alguém? Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Método da Comparação
Bom dia amigos e Professores Preciso do Help de vocês na questão abaixo: O quociente de dois números racionais é igual a dois terços (2/3). A diferença entre o primeiro e o segundo número é igual a vinte e cinco nonos 25/9. Quais são os números ? Tentei solucionar mas não deu certo. Obrigado Aristeu = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] sem soluções
Oi Arkon...blza? Vamos aos probleminhas... 01. Sejam x= populaçção de Itapipoca. y= população de Pirapipoca. z= população de Itaperoba. w= população de Piraperoba.. Como população de Itapipoca equivale a de Pirapipoca ao quadrado, segue que x=y^2. Ora, nasceram 100 bebês em Itapipoca o que implica que a população desta cidade passou a ser x+100. Como a população de Itapipoca passou a ser de um habitante a mais que o quadrado da população de Itaperoba. , segue que x+100=z^2+1. Nascendo mais 100 pessoas em Itapipoca a sua população vai para (x+100)+100 = x+200 habitantes. Como agora a população de Itapipoca passou a ter o quadrado da população de Piraperoba, segue que x+200=w^2. Temos então o sistema: x=y^2. , x+100=z^2+1. e x+200=w^2. logo substituindo x=y^2 em x+100=z^2+1 e x+200=w^2., obtemos z^2 - y^2 = 99 e w^2 - y^2 = 200 que subtraídas geram w^2 - z^2 = 101. Como w^2 - z^2 = (w-z).(w+z) segue que w^2 - z^2 = 101 == (w-z).(w+z) = 1 . 101 , pois 101 é primo!!! como w e z são inteiros positivos, visto que representam as quantidades de habitantes de uma cidade, temos que w-z é menor que w+z donde oncluímos que w -z = 1 e que w+z = 101 o que implica que w=51 e z=50. como x+200=w^2. segue que x+200=51^2 == x= 2401 . por outro lado x=y^2, logo 2401=y^2 == y=49. Agora podemos responder o que se pede: a) A soma dos quadrados das populações de Pirapipoca, Itaperoba e Piraperoba supera o triplo da população de Itapipoca em t habitantes. Calcular o valor de t. 49^2+ 50^2+51^2 = 3 x 2401 + t == t =299 b) Calcular a população de Itapipoca. Divida o resultado por 7. A popolação de Itapipoca é de x=2401 habitantes. Logo 2401/7 = 343. Valewmando já já a questão 2 em outro email Cgomes - Original Message - From: arkon To: obm-l Sent: Wednesday, February 14, 2007 10:13 AM Subject: [obm-l] sem soluções Olá feras da lista, enviei anteriormente estas questões para lista, mas não obtive respostas, ainda. Gostaria de saber se foi esquecimento da galera ou se elas são realmente tão cabeludas assim? Se conseguirem resolver mandem as resoluções, por favor. Muito obrigado, antecipadamente. Abraços. A população de Itapipoca equivale a de Pirapipoca ao quadrado. Após o nascimento de 100 bebês, a população de Itapipoca passou a ser de um habitante a mais que o quadrado da população de Itaperoba. Novamente após 100 nascimentos, a população de Itapipoca passou a ter o quadrado da população de Piraperoba. De posse dessas informações e considerando que ninguém morre nesse meio tempo, resolva: a) A soma dos quadrados das populações de Pirapipoca, Itaperoba e Piraperoba supera o triplo da população de Itapipoca em x habitantes. Calcular o valor de x. b) Calcular a população de Itapipoca. Divida o resultado por 7. Um político contrata quatro segurança para poder participar de um showmício de seu partido. Os seguranças localizam-se nos vértices de um quadrado. Sabe-se que três deles estão a 1, 4 e 5 m de seu patrão e sempre mantém esta configuração. De posse dessas informações, resolva: a) Numa emergência em que um dos seguranças fosse atingido por uma bala, os outros deveriam constituir um formato de um triângulo eqüilátero de lado 2 cm, onde o político localizar-se-ia em seu centro. Calcular a distância, em cm, do político aos seguranças nesta ocasião. Despreze a parte fracionária do resultado, caso exista. b) Calcular em m2, a área do quadrado. -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007
Re: [obm-l] lema de gauss
Oi Rafael e demais colegas da lista,
Eu também já vi um execício no qual tinha uma equação do quarto e o cara
conseguiu
Transformá-la em um produto de dois polinomios de segundo grau,afirmando que
utilizou
O chamado teorema de Gauss sem ao menos enunciá-lo . Fiquei intrigado com
isso pois
Achei interessante a fatoração.Não sei que teorema de Gauss é esse,mas
observando a fatoração elaborei as seguintes estratégias não sei se estão
totalmente certas gostaria da opnião dos colegas,com essas estratégias
conseguimos resolver questões interessantes,veja:
P(x)=x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0
P(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
(i) b.d = a_0
(ii)a+c=a_3
(iii)ac=a_2-(d+b)
delta = (-a_3)^2 - 4.1.[a_2-(d+b)] = 4(d+b) + a_3^2 - 4a_2
De (i) achamos todos os inteiros b e d tais que b.d=a_0
Para auxiliar observe os exemplos:
.
Exemplo1:IME-04/05-questão4
x^4-2x^3-11x^2+18x+18=0
{b,d}={1,18}{-1,-18}{2,9}{-2,-9}{3,6}{-3,-6}
delta = 4(d+b)+48 = 4(d+b+12) vamos pegar aqueles que tornam delta quadrado
perfeito {d,b}={-2,-9}
temos o sistema:
a+c=-2 ={a,c}={0,-2}
ac=0
P(x)=(x^2+b)(x^2-2x+d) =-2b=18 =b=-9 logo d=-2
E temos a fatoração: P(x)=(x^2-9)(x^2-2x-2)
..
Exemplo2: IME-04/05-questão4
x^4-12x^3-44x^2-32x-52=0
{b,d}={1,-52}{-1,52}{2,-26}{-2,26}{4,-13}{-4,13}
delta=4(d+b+80) = não dá pra fazer,pois não existe b e d tais que
4(d+b+80)seja quadrado perfeito
Exemplo3:IME-05/06-questão2
P(x)=x^4-6x^3+15x^2-18x+10
{b,d}={1,10}{-1,-10}{2,5}{-2,-5}
delta=4[(d+b)-6] pra ser q.perf= {b,d}={2,5}
a+c=-6 ={a,c}={-4,-2}
ac=8
p(x)=(x^2-4x+b)(x^2-2x+d) = -4d-2b=-18 = 2d+b=9 = d=2, b=5
p(x)=(x^2-4x+5)(x^2-2x+2)
..
Exemplo4:IME-01/02-questão9
sqrt(5-sqrt(5-x)) = x
elevando ao quadrado temos a seguinte equação do quarto grau:
x^4-10x^2+x+20=0
{b,d}={1,20}{-1,-20}{2,10}{-2,-10}{4,5}{-4,-5}
cuidado quando a_3=0!
a+c=a_3=0
ac=a_2-(b+d)
temos: a^2-Soma.a+Produto=0 = a^2=-P
ac=a_2-(b+d) deve ser negativo e -P=-ac deve ser quad.perfeito
ac = -10-(b+d) logo {b,d}={-5,-4} e temos o sistema a+c=0={a,c}={-1,1}
ac=-1
p(x)=(x^2-x+b)(x^2+x+d) =-d+b=1 =d=-5 , b=-4
p(x)=(x^2-x-4)(x^2+x-5)
Abraços,Ricardo J.F.
- Original Message -
From: Rafael [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 15, 2007 9:55 PM
Subject: Re: [obm-l] lema de gauss
Na verdade eu queria mesmo saber como que o lema de gauss ajuda na
fatoracao de um polinomio, pois nesse exercicio se voce resolver do
jeito tradicional (quadrando a equacao) voce chega numa equacao de 4
grau que pelo lema de gauss vira uma fatoracao de dois polinomios de
grau2. Como assim ???
Mas ja que comecaram a resolver o exercicio... Carlos, ja vi alguem
falar sobre provar a convergencia daquela serie, mas nao estou
familiarizado (ainda nao) com a manipulacao algebrica de convergencia
e divergencia. Acho que sei o que que significa, se ela vai parar em
algum valor ou se ela nao chega a valor algum, mas nunca fiz um
exercicio que tivesse que provar a convergencia de uma serie.
Salhab, porque voce tomou 5-x = x^2 ??? provavelmente ha uma parte do
exercicio que voce enxergou e eu ainda nao. poderia me dizer qual é?
P.S.: A solucao que eu tinha visto ate entao era essa que usa o tal de
de lema de gauss, e outra que chama sqrt(5-x) de y e comeca a
desenvolver o sistema.
Obrigado
On 2/15/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá,
observe que, se 5-x = x^2, temos:
sqrt(5-sqrt(5-x)) = sqrt(5-x) = x
resolvendo, obtemos: x^2 + x - 5 = 0 ... x = [-1 +- sqrt(21)]/2
queremos o resultado positivo, entao: x = [sqrt(21) - 1] / 2
espero ter ajudado,
abraços,
Salhab
- Original Message -
From: Rafael [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 15, 2007 5:27 PM
Subject: [obm-l] lema de gauss
Ha um tempo atras apareceu na lista um problema do ime mais ou menos
assim:
sqrt(5-sqrt(5-x)) = x
Um dos participantes da lista sugeriu o lema de gauss para resolver a
questao.
O que seria exatamente esse lema de gauss e mais importante ainda:
Como ele pode me ajudar a resolver essa questao ( ja que pelo pouco
que entendi ele nao é um algoritmo para fatorar polinomios) ???
Obrigado
--
Rafael
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
RE: [obm-l] Aritimetica
Os numeros que vc procura sao da forma x*1000 + 388, onde x tem 4 algarismos. Como 1000 nao e multiplo de 388 prara que a soma seja e necessario que x seja multiplo de 388. Logo a sua pergunta se resume a: Quantos multiplos de 388 tem 4 algarismos? 1000/388 = 2.alguma_coisa 1/388 = 25.alguma_coisa Logo os multiplos de 388 com 4 algarismos sao: 3*388,4*388,...,25*388. 23 numeros ao todo. From: Marcus Aurélio [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Aritimetica Date: Fri, 16 Feb 2007 08:59:46 -0200 Alguem pode me ajudar nessa? Quantos são os números de sete algarismos que são múltiplos de 388 e terminam em 388? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Mortgage rates as low as 4.625% - Refinance $150,000 loan for $579 a month. Intro*Terms https://www2.nextag.com/goto.jsp?product=10035url=%2fst.jsptm=ysearch=mortgage_text_links_88_h27f6disc=yvers=743s=4056p=5117 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ajuda urgente 2
como eu faço? Num certo país, as distâncias entre todas as cidades são distintas duas a duas. Certo dia, de todas as cidades parte um avião, dirigindo-se para a cidade mais próxima. Qual o número máximo de aviões que podem pousar numa cidade? a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao
Tem razao, Carlos. Andei estudando um pouco mais sobre fatoracao e polinomios e encontrei nesse site: http://www.oma.org.ar/omanet/misc/00-04.htm a identidade(posso chamar isso de identidade?) de fatoracao do (x^n - y^n) que voce e o autor devem ter tido em mente ao fazer o exercicio. Ja aprendi como mexer com as raizes complexas da unidade (nunca tinha me dado conta que os complexos poderiam ser tao poderosos) e entendi o raciocinio por tras da fatoracao daquele polinomio. Obrigado pela ajuda e aproveitando a mensagem, poderia me dizer o que voce acha do livro de trigonometria e complexos do morgado (se voce conhecer ele , claro) ?? On 2/16/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael, neste caso basta observar que a^3-b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2) tomando a=x^3 e b=y^3...temos (x^9-y^9) / (x^3 - y^3) = (x^3-y^3).(x^6 + x^3.y^3+y^6) / (x^3 - y^3) = (x^6 + x^3.y^3+y^6). Valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 10:14 PM Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem. Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6 é o mesmo que (x^9 -y^9) / (x^3 - y^3) . Achei muito impressionante isso. On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o meu link http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf talvez ache legal,,,valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ajuda urgente 2
Marcus...a resposta é 5. Veja Suponha que há uma cidade A onde aterrissam pelo menos 6 aviões, vindos das cidades B, C, D, E, F e G. Então como o avião vindo de B veio para A, segue que BCAB, como o avião vindo de C veio para A, segue que BCAC, daí BC é o maior lado s do triângulo ABC. Analogamente CD, DE, EF, FG,GA são os maiores lados dos triângulos CAD, DAE, EAF, FAG, GAB. logo, BÂC, CÂD, DÂE, EÂF, FÂG, GÂB são os maiores ângulos dos trângulos BAC,CAD, DAE, EAF, FAG, GAB. Daí, BÂC60° CÂD60° DÂE60° EÂF60° FÂG60° GÂB60° então BÂC+ CÂD+ DÂE+ EÂF+ FÂG+ GÂB360°. Mas isto é um absurdo, já que BÂC+ CÂD+ DÂE+ EÂF+ FÂG+ GÂB=360°. Então em nenhuma cidade podem aterrissar mais do que 5 aviões Valew, Cgomes - Original Message - From: Marcus Aurélio [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 16, 2007 12:37 PM Subject: [obm-l] ajuda urgente 2 como eu faço? Num certo país, as distâncias entre todas as cidades são distintas duas a duas. Certo dia, de todas as cidades parte um avião, dirigindo-se para a cidade mais próxima. Qual o número máximo de aviões que podem pousar numa cidade? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livro de Arthur Engel
Este livro eh uma obra prima...eu o adoroveja tb o IMO Compendium na www.amazon.com eu comprei recentemente tb aconselho..eh uma bíblia da IMO Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 16, 2007 1:30 PM Subject: [obm-l] Livro de Arthur Engel Boa tarde a todos, Seria o livro Problem Solving Strategies de Arthur Engel um bom lugar para comecar a se acostumar com questoes de nivel mais elevado (isto é, migrar dos exercicios mecanizados que o ensino medio vicia para os que exigem um conhecimento e criatividade maior, tipico de olimpiadas) ??? (A descricao desse livro me agradou , pois parece que ele tem solucao da maioria dos exercicios, o que sem duvida é algo muito util.) -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Res: [obm-l] Notacao na Lista de Discussao
On Thu, Feb 15, 2007 at 12:17:32PM -0800, Paulo Henrique Souza Lima wrote: Oi Pessoal, Antes de mais nada, queria dizer que sou novo na lista e estou gostando muito das mensagens que tenho recebido. Aproveitando a mensagem do Nicolau e a minha dificuldade em entender algumas notacoes matematicas da lista, gostaria de saber se voces sentem a necessidade de padronizar uma notacao matematica para a lista. A maioria de voces conhece o latex? E' um compilador de textos matematicos padrao na area cientifica. O que vcs acham? Poderiamos criar uma pagina com instrucoes sobre o padrao de notacao usado na lista para ser usado tanto para os atuais quanto para os novos usuarios. A regra nesta lista é usar texto simples e notações humanamente legíveis em texto simples. Eu uso LaTeX (e gosto) mas acho inadequado para esta lista pois muitos não conhecem e não tem interesse em aprender. E mesmo para quem já conhece, uma fórmula em LaTeX é em geral mais difícil de ler do que uma fórmula em texto simples. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
On Thu, Feb 15, 2007 at 08:25:07PM -0300, Celso Souza wrote:
Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: Comentários
menores: eu não considero o uso de chaves {} adequado para uma seqüência,
chaves para mim são para conjuntos.
Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são
conjuntos ORDENADOS.
Uma seqüência é uma função com domínio N = {0,1,2,3,...}
ou outro conjunto parecido, como Z ou N-{0}.
Uma função pode ser identificada com um conjunto de pares ordenados.
Será que é isso que você quer dizer?
Tal como ocorre com pares ordenados, que são
conjuntos ordenados.
Não. Um conjunto ordenado é um conjunto no qual está definida uma relação
de ordem. Um par ordenado não é nada disso. O que se pode fazer é definir
(a,b) = {{a},{a,b}}. A razão para fazer isso é que em teoria dos conjuntos
qualquer coisa é um conjunto. Mas em outras áreas da matemática é melhor
pensar que existem vários tipos de objetos: números, conjuntos,
pares ordenados, funções, ...
Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam
de ser conjuntos, não ?
Só são conjuntos no sentido técnico acima. O que você certamente não pode
é identificar a seqüência (a_0, a_1, a_2, ...) com o conjunto
{a_0, a_1, a_2, ...} pois o conjunto não percebe repetições nem ordem.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] lema de gauss
Boa tarde Ricardo,
Nao sou a pessoa certa pra dizer se essa estrategia esta totalmente
certa, mas é verdade que ela é bem interessante. Vou pegar algumas
equacoes de 4 grau que eu conheco as raizes e comecar a brincar com
elas usando a estrategia que voce ensinou.
Obrigado.
PS: A duvida continua... li o conceito do lema de gauss.
Definitivamente ele nao é um algoritmo de fatoracao.
Porque ele ele foi usado entao como justificativa para a fatoracao do polinomio
x^4-10x^2+x+20=0 para p(x)=(x^2-x-4)(x^2+x-5) ???
On 2/16/07, Ricardo J.F. [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Rafael e demais colegas da lista,
Eu também já vi um execício no qual tinha uma equação do quarto e o cara
conseguiu
Transformá-la em um produto de dois polinomios de segundo grau,afirmando que
utilizou
O chamado teorema de Gauss sem ao menos enunciá-lo . Fiquei intrigado com
isso pois
Achei interessante a fatoração.Não sei que teorema de Gauss é esse,mas
observando a fatoração elaborei as seguintes estratégias não sei se estão
totalmente certas gostaria da opnião dos colegas,com essas estratégias
conseguimos resolver questões interessantes,veja:
P(x)=x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0
P(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
(i) b.d = a_0
(ii)a+c=a_3
(iii)ac=a_2-(d+b)
delta = (-a_3)^2 - 4.1.[a_2-(d+b)] = 4(d+b) + a_3^2 - 4a_2
De (i) achamos todos os inteiros b e d tais que b.d=a_0
Para auxiliar observe os exemplos:
.
Exemplo1:IME-04/05-questão4
x^4-2x^3-11x^2+18x+18=0
{b,d}={1,18}{-1,-18}{2,9}{-2,-9}{3,6}{-3,-6}
delta = 4(d+b)+48 = 4(d+b+12) vamos pegar aqueles que tornam delta quadrado
perfeito {d,b}={-2,-9}
temos o sistema:
a+c=-2 ={a,c}={0,-2}
ac=0
P(x)=(x^2+b)(x^2-2x+d) =-2b=18 =b=-9 logo d=-2
E temos a fatoração: P(x)=(x^2-9)(x^2-2x-2)
..
Exemplo2: IME-04/05-questão4
x^4-12x^3-44x^2-32x-52=0
{b,d}={1,-52}{-1,52}{2,-26}{-2,26}{4,-13}{-4,13}
delta=4(d+b+80) = não dá pra fazer,pois não existe b e d tais que
4(d+b+80)seja quadrado perfeito
Exemplo3:IME-05/06-questão2
P(x)=x^4-6x^3+15x^2-18x+10
{b,d}={1,10}{-1,-10}{2,5}{-2,-5}
delta=4[(d+b)-6] pra ser q.perf= {b,d}={2,5}
a+c=-6 ={a,c}={-4,-2}
ac=8
p(x)=(x^2-4x+b)(x^2-2x+d) = -4d-2b=-18 = 2d+b=9 = d=2, b=5
p(x)=(x^2-4x+5)(x^2-2x+2)
..
Exemplo4:IME-01/02-questão9
sqrt(5-sqrt(5-x)) = x
elevando ao quadrado temos a seguinte equação do quarto grau:
x^4-10x^2+x+20=0
{b,d}={1,20}{-1,-20}{2,10}{-2,-10}{4,5}{-4,-5}
cuidado quando a_3=0!
a+c=a_3=0
ac=a_2-(b+d)
temos: a^2-Soma.a+Produto=0 = a^2=-P
ac=a_2-(b+d) deve ser negativo e -P=-ac deve ser quad.perfeito
ac = -10-(b+d) logo {b,d}={-5,-4} e temos o sistema a+c=0={a,c}={-1,1}
ac=-1
p(x)=(x^2-x+b)(x^2+x+d) =-d+b=1 =d=-5 , b=-4
p(x)=(x^2-x-4)(x^2+x-5)
Abraços,Ricardo J.F.
- Original Message -
From: Rafael [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 15, 2007 9:55 PM
Subject: Re: [obm-l] lema de gauss
Na verdade eu queria mesmo saber como que o lema de gauss ajuda na
fatoracao de um polinomio, pois nesse exercicio se voce resolver do
jeito tradicional (quadrando a equacao) voce chega numa equacao de 4
grau que pelo lema de gauss vira uma fatoracao de dois polinomios de
grau2. Como assim ???
Mas ja que comecaram a resolver o exercicio... Carlos, ja vi alguem
falar sobre provar a convergencia daquela serie, mas nao estou
familiarizado (ainda nao) com a manipulacao algebrica de convergencia
e divergencia. Acho que sei o que que significa, se ela vai parar em
algum valor ou se ela nao chega a valor algum, mas nunca fiz um
exercicio que tivesse que provar a convergencia de uma serie.
Salhab, porque voce tomou 5-x = x^2 ??? provavelmente ha uma parte do
exercicio que voce enxergou e eu ainda nao. poderia me dizer qual é?
P.S.: A solucao que eu tinha visto ate entao era essa que usa o tal de
de lema de gauss, e outra que chama sqrt(5-x) de y e comeca a
desenvolver o sistema.
Obrigado
On 2/15/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá,
observe que, se 5-x = x^2, temos:
sqrt(5-sqrt(5-x)) = sqrt(5-x) = x
resolvendo, obtemos: x^2 + x - 5 = 0 ... x = [-1 +- sqrt(21)]/2
queremos o resultado positivo, entao: x = [sqrt(21) - 1] / 2
espero ter ajudado,
abraços,
Salhab
- Original Message -
From: Rafael [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 15, 2007 5:27 PM
Subject: [obm-l] lema de gauss
Ha um tempo atras apareceu na lista um problema do ime mais ou menos
assim:
sqrt(5-sqrt(5-x)) = x
Um dos participantes da lista sugeriu o lema de gauss para resolver a
questao.
O que seria exatamente esse lema de gauss e mais importante ainda:
Como ele pode me ajudar a resolver essa questao ( ja que pelo pouco
que entendi ele nao é um algoritmo para fatorar polinomios) ???
Obrigado
Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
On Fri, Feb 16, 2007 at 07:58:19AM -0300, Celso Souza wrote:
Acho que eu não soube me expressar.
Vejamos:
1) Sim, uma sequencia é um conjunto de números. Ou seja, é uma reunião de
números, só que não é APENAS um conjunto. Este conjunto deve ter outras
propriedades, caso contrário não teria um nome diferente de conjunto.
Como já foi dito, não. Uma seqüência pode ser identificada com um conjunto
de pares ordenados mas não com um conjunto de números.
2) Este conjunto possui algumas propriedades. Um delas é a ORDEM. Isso
recai no que disse o Bruno em outro mail. Se existe ORDEM, eu consigo
montar uma BIJEÇAO entre esta sequencia e o conjunto dos naturais, por
exemplo. Assim, posso afirmar que a1 é o PRIMEIRO termo, a2 o SEGUNDO
termo, e assim por diante. Lembre-se que as funções são definidas de
CONJUNTO para CONJUNTO.
Isto não reflete corretamente o conceito de seqüência.
Uma seqüência pode ter elementos repetidos, como
(1,0,2,0,3,4,0,5,6,0,7,8,9,10,0,11,12,0,13,14,15,16,0,17,18,0,19,20,21,...)
A imagem da seqüência (ou seja, o conjunto dos valores que ela assume)
é {0,1,2,3,4,5,...} mas nenhuma ordem neste conjunto traduz o fato de
que 0 aparece nas posições acima.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao
Como Todos os livros da coleção do professor de Matemática da SBM ele tb é muito legal...se vc não tem vale a pena adquiri-lo. Ele trata num tamanho adequado uma boa introdução à Trigonometria básica. Um outro que eu gosto muito é o Temas e Problemas ( o capítulo de trigonometria aplicada é ótimo!!! e não podia ser difente...obra do Wagner um dos mais didáticos prof. que já conheci!...vale a pena conferir. Se quiser algo mais forte, ou mais olímpico dá uma olhada no livro 103 trigonometry problems o Titu Andreenscu...é um primor! valew Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 16, 2007 1:22 PM Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao Tem razao, Carlos. Andei estudando um pouco mais sobre fatoracao e polinomios e encontrei nesse site: http://www.oma.org.ar/omanet/misc/00-04.htm a identidade(posso chamar isso de identidade?) de fatoracao do (x^n - y^n) que voce e o autor devem ter tido em mente ao fazer o exercicio. Ja aprendi como mexer com as raizes complexas da unidade (nunca tinha me dado conta que os complexos poderiam ser tao poderosos) e entendi o raciocinio por tras da fatoracao daquele polinomio. Obrigado pela ajuda e aproveitando a mensagem, poderia me dizer o que voce acha do livro de trigonometria e complexos do morgado (se voce conhecer ele , claro) ?? On 2/16/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael, neste caso basta observar que a^3-b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2) tomando a=x^3 e b=y^3...temos (x^9-y^9) / (x^3 - y^3) = (x^3-y^3).(x^6 + x^3.y^3+y^6) / (x^3 - y^3) = (x^6 + x^3.y^3+y^6). Valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 10:14 PM Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem. Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6 é o mesmo que (x^9 -y^9) / (x^3 - y^3) . Achei muito impressionante isso. On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o meu link http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf talvez ache legal,,,valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date:
[obm-l] FW: [obm-l] ajuda série
Favor desconsiderar este exercício.
From: carlos martins martins [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] ajuda série
Date: Fri, 16 Feb 2007 13:51:33 -0300
Alguém poderia me ajudar a resolver:
calcule a reduzida s_{n} da série soma{n=2,...,n=oo} \frac{n-1}{n!} e
mostrar que seu limite é 1.
Obrigado.
_
Mande torpedos SMS do seu messenger para o celular dos seus amigos
http://mobile.msn.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
_
Mande torpedos SMS do seu messenger para o celular dos seus amigos
http://mobile.msn.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
Ai, essa doeu ate em mim :)
Melhoras
Abracos
Ricardo
- Original Message -
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, February 16, 2007 2:18 PM
Subject: Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
On Fri, Feb 16, 2007 at 07:58:19AM -0300, Celso Souza wrote:
Acho que eu não soube me expressar.
Vejamos:
1) Sim, uma sequencia é um conjunto de números. Ou seja, é uma reunião
de
números, só que não é APENAS um conjunto. Este conjunto deve ter outras
propriedades, caso contrário não teria um nome diferente de conjunto.
Como já foi dito, não. Uma seqüência pode ser identificada com um conjunto
de pares ordenados mas não com um conjunto de números.
2) Este conjunto possui algumas propriedades. Um delas é a ORDEM. Isso
recai no que disse o Bruno em outro mail. Se existe ORDEM, eu consigo
montar uma BIJEÇAO entre esta sequencia e o conjunto dos naturais, por
exemplo. Assim, posso afirmar que a1 é o PRIMEIRO termo, a2 o SEGUNDO
termo, e assim por diante. Lembre-se que as funções são definidas de
CONJUNTO para CONJUNTO.
Isto não reflete corretamente o conceito de seqüência.
Uma seqüência pode ter elementos repetidos, como
(1,0,2,0,3,4,0,5,6,0,7,8,9,10,0,11,12,0,13,14,15,16,0,17,18,0,19,20,21,...)
A imagem da seqüência (ou seja, o conjunto dos valores que ela assume)
é {0,1,2,3,4,5,...} mas nenhuma ordem neste conjunto traduz o fato de
que 0 aparece nas posições acima.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
--
No virus found in this incoming message.
Checked by AVG Free Edition.
Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.37/682 - Release Date: 12/2/2007
___
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Equações ITA
As equações x³ + ax² + 18 = 0 e x³ + nbx + 12 = 0, onde a e b são constantes reais e n um inteiro têm duas raízes comuns. Determine nb. -- Bjos, Bruna
