[obm-l] Função trigonometrica.
Bom dia, Se alguém puder me ajudar, agradeço: Dada a função f(x) = arc sec (x/x+1) determine o seu domínio.
[obm-l] Função composta
Outra ajuda: Sendo f( x) = ln x e g ( x ) = tg ( x ) . Determine dom (fog) e dom (gof). Determine fog (x) Obrigada.
Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!
Ola' Douglas, Nehab e colegas da lista, a solucao do Douglas ja' estava bonita, e, com o complemento do Nehab, ficou bem legal ! Eu bem que tentei (tambem) por trigonometria, mas as expressoes que consegui eram de dar medo em assombracao...Parabens aos dois! []'s Rogerio Ponce Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Douglas, Muito legais suas idéias e sua solução. Eu passei perto de sua expressão mas aqui vai uma modesta colaboração para você fechar SUA bonita solução do jeito que você queria... (é só um treinozinho nas nojentas expressões trigonométricas vestibulinas...): Façamos X = (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 Dai, como cos2x = 2(cosx)^2 -1, vem X = (1 + cos2A)/2 + (1+cos2B)/2 + (cosC)^2 X = 1 + [cos(2A) +cos(2B) ]/2 + (cosC)^2 Mas cos(2A) + cos(2B) = 2cos(A+B)cos(A-B) = -2cosC cos(A-B). Substituindo em X: X = 1 - cosC [ cos(A-B) - cosC] = 1 - cosC [ cos(A-B) + cos(A+B) ]. Dai acabou: X= 1 - cosC. [2cosA.cosB] = 1 - 2cosA.cosB.cosC Substituindo este X na expressão que você obteve, você chega na desejada expressão do enunciado que o motivou. 7 - 4 [ (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 ] = 7 - 4 [ 1 - 2cosA.cosB.cosC ] = 3 - 8 cosA.cosB.cosC Um grande abraço, Nehab PS: Nem ouse me incluir na sua linda construção. O mérito é todo seu ! At 22:22 30/7/2007, you wrote: Olá Nehab! Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como eu, vocês gostam muito de geometria. O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em zerar a área do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação. Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar. A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles. Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a idéia abaixo: Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ. Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) - S(XBZ) - S(XYC) S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) = bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2. Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 - ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2 Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original. Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o produto de cossenos. Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a Eureka. Abraços, Douglas Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, querido Ponce Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as áreas independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema. Eu esperava algo do tipo: a razão entre as áreas é o quadrado do produto dos senos dos angulos, ou coisa similar. Embora tendo encontrado várias coisas curiosas sobre o maldito e interessante triângulo, tentando resolver o problema, não encontrei nada simples que merecesse ser publicado. E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado conseguisse alguma expressão simples para a resposta.Resta aguardar que quem propôs o problema informe se sabe alguma coisa (aliás hábito
Re: [obm-l] Qual o sentido de necessariamente nesta questão?
Quero dizer, havera' paz quando o processo se extinguir, o que pode levar ate' 14 dias (ou 14 brigas), no maximo. Exemplificando: uma casa com 2 anoes, uma casa com 3 anoes, ..., uma casa com 15 anoes Perfazendo um total de 119 anoes em 14 casas. []'s Rogerio Ponce Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Wowelster, talvez fosse possivel que os anoes pudessem reproduzir esse processo indefinidamente. Entretanto, necessariamente o processo termina depois de algum tempo, isto e', com certeza a aldeia tera' paz a partir de algum momento. Para haver briga para sempre, teriamos que ter a seguinte distribuicao (empregando o menor numero de anoes): uma casa com 0 anoes (na paz absoluta), uma casa com 1 anao, uma casa com 2 anoes, uma casa com 3 anoes, ... uma casa com 14 anoes, uma casa com 15 anoes (em polvorosa) A casa com 15 anoes se esvazia num dia, e os anoes vao para as outras 15 casas descritas acima. E entao, havera novamente uma casa com 0 anoes, outra com 1 anao, etc., de forma que no dia seguinte teremos mais uma briga, e assim por diante. Mas essa situacao exige um minimo de 120 anoes, de forma que, enquanto nao nascer um anaozinho encrenqueiro, havera' paz na aldeia. []'s Rogerio Ponce wowelster [EMAIL PROTECTED] escreveu: 119 anões vivem em uma aldeia com 120 pequenas casas. Uma casa é dita super-habitada se 15 anões ou mais vivem lá. Todo dia, os anões de uma casa super-habitada têm uma discussão e se mudam para outras (distintas) casas da aldeia. Algum dia, necessariamente, esse processo se encerrará? -- wowelster Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
[obm-l] integral
ola poderiam me ajudar a resolver a seguinte integral integral de ln(secx + tgx) valeu Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
Re: [obm-l] integral
vc tem que fazer por partes ate do lado direito sobrar uma integral parecida com a original. Acho que essa questao e da obm On 7/31/07, antonio ricardo [EMAIL PROTECTED] wrote: ola poderiam me ajudar a resolver a seguinte integral integral de ln(secx + tgx) valeu Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba maishttp://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/.
Re: [obm-l] integral
ou desse jeito ln (1+senx)-lncosx= ln(sen90+senx)-lncosx=ln2sen(90+x)/2*cos(90-x)/2-lncosx= =ln2 +lnsen(45+x/2)+lncos(45+x/2)-lncosx se resume a um mesmo tipo de integral agora e so achar a formula geral para I lncos(x)dx I lnsenxdx condiçao geral cosx0 -pi/2xpi/2 I lncosx dx= cosx=e^w -senxdx=e^wdw dx=-e^wdw/rq(1-e^2w) ai fica facil a integral se transforma em I -w*e^wdw/rq(1-e^2w) por partes u=w du=dw dv=e^w/rq(1-e^2w)dw v= arcsene^w I lncosx= -w*arcsene^w + I (90-x)tgx dx -warcsene^w +90*lncosx+x*lncosx-I lncosxdx 2ilncosxdx=-warcsene^w+pi/2lncosx +xlncosx On 7/31/07, antonio ricardo [EMAIL PROTECTED] wrote: ola poderiam me ajudar a resolver a seguinte integral integral de ln(secx + tgx) valeu Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba maishttp://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/.
Re: [obm-l] Função trigonometrica.
secy=x/(x+1) cosy=(x+1)/x -1(x+1)/x1 (2x+1)/x0 x0 ou x-1/2 e x0 fazendo a intercessão x-1/2 On 7/31/07, Rejane [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom dia, Se alguém puder me ajudar, agradeço: Dada a função f(x) = arc sec (x/x+1) determine o seu domínio.
Re: [obm-l] Barango Joe e a Esfinge
Ola' pessoal, parece que Barango Joe precisa saber quais as chances do apostador contra um determinado numero X que a banca escolha. E tambem precisa saber quais as chances da banca conseguir esse numero X. De concreto, tanto ele quanto a Esfinge Vegas jogam o Pachang perfeitamente, isto e', quem ficar com a banca sabera' descartar ou manter um numero sorteado de forma a minimizar as chances de ganho do apostador. Repare que somente a banca faz alguma opcao durante o jogo (durante o sorteio de seu numero X) , enquanto o apostador nao toma nenhuma decisao nessa historia. Exemplificando, poderiamos ter uma sequencia assim: 1- O dado fornece 0,25 como 1a opcao para a banca 2- A banca considera que o numero e' muito baixo, e espera conseguir algo melhor nas proximas rodadas. Portanto rejeita o resultado, e pede novo numero. 3- O dado fornece 0,72 para a banca. 4- A banca imagina que conseguira' algo melhor ainda na proxima (e ultima) rodada, e prefere arriscar. Entao descarta esse resultado, e pede novo numero. 5- O dado fornece 0,65 para a banca, que agora tem que ficar com este numero, pois nao tem direito a mais nenhum sorteio. 6- Agora o dado fornece o numero 0,2 para o apostador. Assim, a soma parcial (0,2) do apostador e' inferior ao numero da banca (0,65), e o jogo continua. 7- O dado fornece 0,4 para o apostador. Como a soma parcial (0,2+0,4=0,6) ainda e' inferior ao numero da banca, o jogo continua. 8- O dado fornece 0,5 para o apostador. Agora a soma do apostador (0,6+0,5=1,1) ultrapassou os 0,6 da banca. Mas tambem ultrapassou 1,0, de forma que o apostador perde o jogo. Se o numero sorteado tivesse sido 0,3 , por exemplo, a soma do apostador seria 0,9 e ele ganharia o jogo. Bem, uma das perguntas que precisa ser respondida e' : qual e' a melhor politica para a banca escolher seus numeros ? E, finalmente, qual a melhor decisao para Barango Joe: ser a banca ou o apostador? (dizem que ele quase jogou uma moedinha para tomar essa decisao...) []'s Rogerio Ponce Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' pessoal, Barango Joe era um sapo de multiplos talentos que habitava a Terra das Chances Diminutas, localizada no alto de uma montanha. Apos sua maioridade, Barango Joe decidiu tentar a vida no Reino das Grandes Oportunidades, localizado no cume da montanha vizinha. Para isso, ele atravessaria a extensa ponte de madeira por cima do Desfiladeiro da Morte. Entretanto, a ponte era guardada pela Esfinge Vegas, eximia jogadora que sempre desafiava os viajantes para algum jogo. O viajante vitorioso tinha a passagem franqueada; e o perdedor era lancado ao abismo. Assim, chegando 'a cabeceira da ponte, Barango Joe foi desafiado para uma partida de Pachang , jogo que lembra o blackJack ou vinte e um, mas e' jogado por 2 oponentes da seguinte maneira: Os jogadores, designados por banca e apostador, utilizam um dado gerador de numeros randomicos reais uniformemente distribuidos no intervalo [0 , 1] Inicialmente, a banca sorteia um numero 'X' . Se nao estiver satisfeita com o numero obtido, pode descarta-lo e entao sortear um novo numero. Este procedimento pode ser executado 2 vezes, isto e', pode haver ate' 3 sorteios na definicao do numero 'X' da banca. Entao, o apostador sorteia quantos numeros forem necessarios ate' que a soma de seus numeros ultrapasse o numero 'X' da banca. Neste momento, se esta soma for inferior a 1, o apostador ganha; caso contrario, perde. Ou seja, para ganhar, o apostador precisa chegar mais proximo de 1 que a banca, sem no entanto estourar o limite de 1. Apos explicar as regras do Pachang, a Esfinge Vegas deu uma opcao ao sapo: - voce prefere ser a banca ou o apostador? O que Barango Joe deveria responder? []'s Rogerio Ponce OBS: utilize lapis, papel, e uma calculadora cientifica simples. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
Re: [obm-l] integral
w=lnsecx+tgx dw= 1/secx+tgx * (-1/cosx^2 *-senx +secx^2)dx= dw= cosxdx cosxe^w-1=rq(1-cosx^2) e^2wcosx^2-2cosxe^w+1=1-cosx^2 cosx^2(e^2w+1)-2cosxe^w=0 cosx= 2e^w/(e^2w+1)=2/(e^w+e^-w)=1/coshw I w *coshw dw u= w du=dw dv=coshwdw v= senhw I ln(sec x+tgx)dx= w*senhw-Isenhwdw= wsenhw-coshw =`(n(secx+tgx) -1/cosx On 7/31/07, antonio ricardo [EMAIL PROTECTED] wrote: ola poderiam me ajudar a resolver a seguinte integral integral de ln(secx + tgx) valeu Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba maishttp://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/.
Re: [obm-l] integral
I ln(secx+ tgx)dx= tgx*ln(secx+tgx) -1/cosx On 7/31/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: w=lnsecx+tgx dw= 1/secx+tgx * (-1/cosx^2 *-senx +secx^2)dx= dw= cosxdx cosxe^w-1=rq(1-cosx^2) e^2wcosx^2-2cosxe^w+1=1-cosx^2 cosx^2(e^2w+1)-2cosxe^w=0 cosx= 2e^w/(e^2w+1)=2/(e^w+e^-w)=1/coshw I w *coshw dw u= w du=dw dv=coshwdw v= senhw I ln(sec x+tgx)dx= w*senhw-Isenhwdw= wsenhw-coshw =`(n(secx+tgx) -1/cosx On 7/31/07, antonio ricardo [EMAIL PROTECTED] wrote: ola poderiam me ajudar a resolver a seguinte integral integral de ln(secx + tgx) valeu Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba maishttp://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/.
[obm-l] Tardes de Autografos da SBM
Caros(as) amigos(as) da OBM, A SBM está promovendo durante o 26ª Colóquio Brasileiro de Matemática, que acontece de 30 de julho a 03 de agosto no IMPA, Rio de Janeiro, tardes de autógrafos com alguns dos renomados autores dos seus livros. Local: Hall do auditório Ricardo Mañe, das 14:50 às 15:30. Programação: - Segunda-feira: Geometria Euclidiana Plana - João Lucas Marques Barbosa - Terça-feira: Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies – Manfredo Perdigão do Carmo - Quarta-feira: Introdução às Funções de uma Variável Complexa – Cecília S. Fernandez e Nilson C. Bernardes Jr. - Quinta-feira: Temas e Problemas Elementares e outros livros – Elon Lages Lima - Sexta-feira: Olimpíadas Brasileiras de Matemáticas 9ª a 16ª, Carlos Gustavo Moreira (Gugu) Cordialmente, Nelly Carvajal Secretaria da OBM = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Função trigonometrica.
Saulo Nilson. Mt obrigada. Abç - Original Message - From: saulo nilson To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, July 31, 2007 1:52 PM Subject: Re: [obm-l] Função trigonometrica. secy=x/(x+1) cosy=(x+1)/x -1(x+1)/x1 (2x+1)/x0 x0 ou x-1/2 e x0 fazendo a intercessão x-1/2 On 7/31/07, Rejane [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom dia, Se alguém puder me ajudar, agradeço: Dada a função f(x) = arc sec (x/x+1) determine o seu domínio.
[obm-l] Um numero N com n algarismos....
Ola' pessoal, Uma ajuda Considere um número N com n algarismos e na posição das unidades o número 2. Ao invertemos o 2, colocando-o na posição inicial, encontramos um novo número K, onde K=2N. Qual o valor de N? Pensei em congruencia...seria uma boa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] integral
Acho que tem um erro aqui. A derivada do segundo membro eh (tgx*ln(secx+tgx) -1/cosx)' = (secx)^2* ln(sec x + tan x) + tg x sec x - tg x sec x = (secx)^2* ln(sec x + tan x). Diferente, portanto, do integrando Artur [Artur Costa Steiner] Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de saulo nilson Enviada em: terça-feira, 31 de julho de 2007 14:36 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] integral I ln(secx+ tgx)dx= tgx*ln(secx+tgx) -1/cosx
Re: [obm-l] Um numero N com n algarismos....
Oi, Vitorio, Semelhante a esta (acho que foi a original...) caiu na Olimpíada de Maio de 2001: A solução é armar a conta e fazê-la, mesmo Sara escreveu no quadro negro um número inteiro de menos de 30 algarismos e que termina em 2. Célia apaga o 2 do fim e escreve-o no início. O número que fica é igual ao dobro do número que tinha escrito Sara. Qual o número que Sara escreveu? Solução Do enunciado, temos: ? g f e d c b a 2 x 2 2 ... h g f e d c b a a = 4; colocando o 4 no lugar do a na parcela de cima e continuando a multiplicação, obtemos, b = 8 (2 x 4); assim, continuando o mesmo mecanismo, temos, sucessivamente, c = 6 (2 x 8 = 16, e vai um); d = 3; e = 7; f = 4... Continuando o processo até que ocorra o algarismo 2 pela primeira vez, obtemos o número desejado: 210.526.315.789.473.684 Observe que se não limitarmos o número de algarismos, haverá outras soluções (é só continuar a brincadeira). Abraços, Nehab PS: Onde você viu esta questão? At 15:01 31/7/2007, you wrote: Ola' pessoal, Uma ajuda Considere um número N com n algarismos e na posição das unidades o número 2. Ao invertemos o 2, colocando-o na posição inicial, encontramos um novo número K, onde K=2N. Qual o valor de N? Pensei em congruencia...seria uma boa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um numero N com n algarismos....
Esse problema é mais fácil vc fazer a multiplicação usando as informações que o enunciado dá... o número aparece. Abraço Bruno 2007/7/31, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED]: Ola' pessoal, Uma ajuda Considere um número N com n algarismos e na posição das unidades o número 2. Ao invertemos o 2, colocando-o na posição inicial, encontramos um novo número K, onde K=2N. Qual o valor de N? Pensei em congruencia...seria uma boa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!
Douglas, Você certamente fez a parte difícil da questão e merece 100% dos créditos por isso. Eu tinha feito uma solução por complexos para a questão da Eureka na aula de treinamento da imo, mas a sua é muito mais legal!! Para provar o detalhe final da sua solução, minha estratégia padrão é: Seja a=exp(iA), b=exp(iB), c=exp(iC). Então, abc = -1 e como exp(ix)+exp(-ix) = 2cosx: (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = (1/4)*(a^2 + 1/a^2 + b^2 + 1/b^2 + c^2 + 1/c^2 + 6) = (1/4)*(a^2 + b^2 + c^2 + (bc)^2 + (ab)^2 + (ac)^2+6); 8cosA*cosB*cosC = (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c) = -(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = -(1+a^2+b^2+c^2+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+1). Substituindo uma na outra, 8cosA*cosB*cosC = -(2+4*( (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 - 6), ou seja, (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1 - 2cosAcosBcosC Abraços, Marcio Cohen On 7/30/07, Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Nehab! Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como eu, vocês gostam muito de geometria. O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em zerar a área do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação. Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar. A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles. Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a idéia abaixo: Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ. Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) - S(XBZ) - S(XYC) S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) = bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2. Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 - ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2 Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original. Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o produto de cossenos. Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a Eureka. Abraços, Douglas Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, querido Ponce Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as áreas independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema. Eu esperava algo do tipo: a razão entre as áreas é o quadrado do produto dos senos dos angulos, ou coisa similar. Embora tendo encontrado várias coisas curiosas sobre o maldito e interessante triângulo, tentando resolver o problema, não encontrei nada simples que merecesse ser publicado. E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado conseguisse alguma expressão simples para a resposta.Resta aguardar que quem propôs o problema informe se sabe alguma coisa (aliás hábito pouco praticado em nossa lista é informar a origem dos problemas propostos - e às vezes, a origem é bastante interessante). Eu realmente gosto desta informação pois tenho o hábito (e gosto) de mencionar a origem (e a solução) de qualquer problema que eu proponho, no mínimo para respeitar a história... e o trabalho alheio. Abraços, Nehab At 01:09 29/7/2007, you wrote: Ola' Douglas e colegas da lista, nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas.
Re: [obm-l] Um numero N com n algarismos....
um colega que me deu vou começar agora a pensar nela Oi, Vitorio, Semelhante a esta (acho que foi a original...) caiu na Olimpíada de Maio de 2001: A solução é armar a conta e fazê-la, mesmo Sara escreveu no quadro negro um número inteiro de menos de 30 algarismos e que termina em 2. Célia apaga o 2 do fim e escreve-o no início. O número que fica é igual ao dobro do número que tinha escrito Sara. Qual o número que Sara escreveu? Solução Do enunciado, temos: ? g f e d c b a 2 x 2 2 ... h g f e d c b a a = 4; colocando o 4 no lugar do a na parcela de cima e continuando a multiplicação, obtemos, b = 8 (2 x 4); assim, continuando o mesmo mecanismo, temos, sucessivamente, c = 6 (2 x 8 = 16, e vai um); d = 3; e = 7; f = 4... Continuando o processo até que ocorra o algarismo 2 pela primeira vez, obtemos o número desejado: 210.526.315.789.473.684 Observe que se não limitarmos o número de algarismos, haverá outras soluções (é só continuar a brincadeira). Abraços, Nehab PS: Onde você viu esta questão? At 15:01 31/7/2007, you wrote: Ola' pessoal, Uma ajuda Considere um número N com n algarismos e na posição das unidades o número 2. Ao invertemos o 2, colocando-o na posição inicial, encontramos um novo número K, onde K=2N. Qual o valor de N? Pensei em congruencia...seria uma boa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Um numero N com n algarismos....
Para n algarismos, a solução que me ocorre é a mesma de todos os que já responderam. Mas se o n é dado, há soluções mais diretas, como esta, do Colégio Naval, se não me falha a velhaca: Um número de seis algarismos começa à esquerda pelo algarismo 1. Retirando o 1 inicial e colocando-o à direita do número, o novo número obtido é o triplo do original. Se chamarmos o número de 5 algarismos obtido pela supressão do 1 de x, é só fazer 3(10 + x) = 10x + 1, e o número original é 142857, que aliás é o período de 1/7. Experimentem multiplicar 142857 por 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Depois por (oh, surpresa!!!) 8, 9, ... Números com esta propriedade são chamados de números cíclicos. Os primeiros são os períodos dos inversos de 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97. A minha fonte é o livro do Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, da Dover, mas deve haver muito na internet, estou respondendo meio às pressas. Abraços, olavo. From: vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Um numero N com n algarismos Date: Tue, 31 Jul 2007 15:01:58 -0300 Ola' pessoal, Uma ajuda Considere um número N com n algarismos e na posição das unidades o número 2. Ao invertemos o 2, colocando-o na posição inicial, encontramos um novo número K, onde K=2N. Qual o valor de N? Pensei em congruencia...seria uma boa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Um numero N com n algarismos....
Olhem o período de 1/19. Abraços, olavo. From: vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Um numero N com n algarismos Date: Tue, 31 Jul 2007 20:02:44 -0300 um colega que me deu vou começar agora a pensar nela Oi, Vitorio, Semelhante a esta (acho que foi a original...) caiu na Olimpíada de Maio de 2001: A solução é armar a conta e fazê-la, mesmo Sara escreveu no quadro negro um número inteiro de menos de 30 algarismos e que termina em 2. Célia apaga o 2 do fim e escreve-o no início. O número que fica é igual ao dobro do número que tinha escrito Sara. Qual o número que Sara escreveu? Solução Do enunciado, temos: ? g f e d c b a 2 x 2 2 ... h g f e d c b a a = 4; colocando o 4 no lugar do a na parcela de cima e continuando a multiplicação, obtemos, b = 8 (2 x 4); assim, continuando o mesmo mecanismo, temos, sucessivamente, c = 6 (2 x 8 = 16, e vai um); d = 3; e = 7; f = 4... Continuando o processo até que ocorra o algarismo 2 pela primeira vez, obtemos o número desejado: 210.526.315.789.473.684 Observe que se não limitarmos o número de algarismos, haverá outras soluções (é só continuar a brincadeira). Abraços, Nehab PS: Onde você viu esta questão? At 15:01 31/7/2007, you wrote: Ola' pessoal, Uma ajuda Considere um número N com n algarismos e na posição das unidades o número 2. Ao invertemos o 2, colocando-o na posição inicial, encontramos um novo número K, onde K=2N. Qual o valor de N? Pensei em congruencia...seria uma boa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!
Olá pessoal! Muito obrigado pela colaboração de todos na solução do problema. Enviei a solução para [EMAIL PROTECTED] com as devidas citações ao Nehab e ao Marcio. Obrigado pela dica da estrategia padrao Marcio! Certamente será muito útil em problemas futuros. Por sinal como foi a sua solução para o problema? Fiquei curioso e creio que outros também estão. Alguém saberia me dizer se é esse e-mail([EMAIL PROTECTED]) o correto para enviar as soluções dos problemas propostos da Eureka? Tinha enviado uma outra vez mas não obtive resposta. Abraços, Douglas Ribeiro OBS: Desculpe a ousadia Nehab, mas foi foi mais forte que eu! Em 31/07/07, Marcio Cohen[EMAIL PROTECTED] escreveu: Douglas, Você certamente fez a parte difícil da questão e merece 100% dos créditos por isso. Eu tinha feito uma solução por complexos para a questão da Eureka na aula de treinamento da imo, mas a sua é muito mais legal!! Para provar o detalhe final da sua solução, minha estratégia padrão é: Seja a=exp(iA), b=exp(iB), c=exp(iC). Então, abc = -1 e como exp(ix)+exp(-ix) = 2cosx: (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = (1/4)*(a^2 + 1/a^2 + b^2 + 1/b^2 + c^2 + 1/c^2 + 6) = (1/4)*(a^2 + b^2 + c^2 + (bc)^2 + (ab)^2 + (ac)^2+6); 8cosA*cosB*cosC = (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c) = -(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = -(1+a^2+b^2+c^2+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+1). Substituindo uma na outra, 8cosA*cosB*cosC = -(2+4*( (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 - 6), ou seja, (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1 - 2cosAcosBcosC Abraços, Marcio Cohen On 7/30/07, Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Nehab! Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como eu, vocês gostam muito de geometria. O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em zerar a área do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação. Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar. A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles. Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a idéia abaixo: Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ. Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) - S(XBZ) - S(XYC) S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) = bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2. Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 - ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2 Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original. Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o produto de cossenos. Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a Eureka. Abraços, Douglas Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, querido Ponce Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as áreas independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema. Eu esperava algo do tipo: a razão entre as áreas é o quadrado do produto dos senos dos angulos, ou coisa similar. Embora tendo encontrado várias coisas curiosas sobre o maldito e interessante
