Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)

[fabrici...@usp.br]

Aos que gostam de ver demonstrações, segue o link para um PDF com nada 
menos do que 20 provas da divergência da série harmônica.


http://faculty.prairiestate.edu/skifowit/htdocs/harmapa.pdf



Marcelo Salhab Brogliato wrote:

Olá,
também podemos provar que ela diverge usando a integral de 1/x 
(comparação de áreas, ou, mais formalmente, tem um teorema que relaciona 
a serie e a integral em uma desigualdade).

Também tem aquela maneira clássica, e nada trivial:

1/3 + 1/4 > 1/2
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/2
1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 > 1/2
e assim por diante..
(por coincidencia, outro dia mesmo estava falando sobre ela com o Nehab).

É óbvio que Sum 1/2 diverge... e, portanto, a série harmonica diverge.

Pra mostrar que a desigualdade que eu escrevi é sempre válida, temos que 
mostrar que:

Sum{i=1...2^n} 1/(2^n + i) > 1/2

Mas, (agora vem o passo nao trivial, hehehe, que óbviamente eu vi em 
algum lugar a algum tempo atrás):

1/2 = 2^n / 2^(n+1) = Sum{i=1...2^n} 1/(2^n + 2^n)
agora fica claro que a desigualdade é válida, pois
1/(2^n+i) > 1/(2^n + 2^n), para todo i < 2^n..

abraços,
Salhab



2008/12/18 Albert Bouskela mailto:bousk...@msn.com>>

Olá!

 


Bem, pode não ser trivial, mas, também, não é difícil – veja:

 


Qualquer termo da série harmônica, a[i], tem a seguinte propriedade:

 


a[i] < a[i+1] + a[i+2] + … + a[i+n] , sendo "n" um número natural
FINITO. Provar esta propriedade é muito fácil, basta valer-se da
Indução Finita.

 


A continuação é ainda mais fácil:

 


A partir do k-ésimo termo, a série harmônica pode ser escrita assim:

 


a[k] + b[1] + a[k+n+1] + b[2] + ...

 


Sendo:

b[1] = a[k+1] + a[k+2] + ... + a[k+n] > a[k]  para um certo "n"
natural e FINITO.

b[2] = a[k+n+2] + a[k+n+3] + ... + a[k+n+m] > a[k+n+1]  para um
certo "m" natural e FINITO.

 


Nesta nova forma, a série é crescente, logo, é divergente!

 


Sds.,

AB

 


*From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br

[mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br
] *On Behalf Of *Iuri
*Sent:* Thursday, December 18, 2008 6:08 PM
*To:* obm-l@mat.puc-rio.br 
*Subject:* Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)

 


Bom, provar que a série harmonica diverge não é das tarefas mais
fáceis, mas...

Não seria o contrário? Antes de fazer tudo isso de conta que vc fez
no primeiro email, você teria que provar que ela converge.


2008/12/18 Albert Bouskela mailto:bousk...@msn.com>>

Amigos:

 


Reconheço que é por aí, mas também não é tão fácil assim! É
necessário mostrar que  S = 1 +1/2 + 1/3 + ...  diverge, o que, de
modo algum, é óbvio!  

 


Sds.,

AB

 

 


*From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br

[mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br
] *On Behalf Of *Iuri
*Sent:* Thursday, December 18, 2008 4:08 PM
*To:* obm-l@mat.puc-rio.br 
*Subject:* Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)

 


A série harmonica diverge, o que torna quase todas as passagens
desse seu email erradas.

2008/12/18 Albert Bouskela mailto:bousk...@msn.com>>

Amigos:
 
Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica,

aí vai o segundo:

[1]
Considere a seguinte série:
S = 1 +1/2 + 1/3 + ... = soma ( 1/n , n = 1 ... +oo )
 
[2]

Faça a seguinte manipulação:
S/2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... = soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo )
Chame esta equação de [eq A].
 
[3]

É óbvio que:
S = S/2 + 1 + 1/3 + 1/5 + ... = S/2 + soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
Logo:
S/2 = soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
Chame esta equação de [eq B].
 
[4]

Subtraia a [eq A] da [eq B]:
 
[4.1] O lado esquerdo da equação obtida fica assim:

S/2 - S/2 = 0
 
[4.2] Já o lado direito...

soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) - soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo ) =
soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo )
 
Mas...

soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... > 1/2
 
[5]
E, assim, "demonstra-se" que  0 > 1/2 (???) 
 
Onde está o erro?
 
Uma curiosidade:

soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... =
ln(2) = 0,69 > 1/2

AB
bousk...@msn.com 




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para o Messenger! É GRÁTIS! 

 

 





=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br

Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,
também podemos provar que ela diverge usando a integral de 1/x (comparação
de áreas, ou, mais formalmente, tem um teorema que relaciona a serie e a
integral em uma desigualdade).
Também tem aquela maneira clássica, e nada trivial:

1/3 + 1/4 > 1/2
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/2
1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 > 1/2
e assim por diante..
(por coincidencia, outro dia mesmo estava falando sobre ela com o Nehab).

É óbvio que Sum 1/2 diverge... e, portanto, a série harmonica diverge.

Pra mostrar que a desigualdade que eu escrevi é sempre válida, temos que
mostrar que:
Sum{i=1...2^n} 1/(2^n + i) > 1/2

Mas, (agora vem o passo nao trivial, hehehe, que óbviamente eu vi em algum
lugar a algum tempo atrás):
1/2 = 2^n / 2^(n+1) = Sum{i=1...2^n} 1/(2^n + 2^n)
agora fica claro que a desigualdade é válida, pois
1/(2^n+i) > 1/(2^n + 2^n), para todo i < 2^n..

abraços,
Salhab



2008/12/18 Albert Bouskela 

>  Olá!
>
>
>
> Bem, pode não ser trivial, mas, também, não é difícil – veja:
>
>
>
> Qualquer termo da série harmônica, a[i], tem a seguinte propriedade:
>
>
>
> a[i] < a[i+1] + a[i+2] + … + a[i+n] , sendo "n" um número natural FINITO.
> Provar esta propriedade é muito fácil, basta valer-se da Indução Finita.
>
>
>
> A continuação é ainda mais fácil:
>
>
>
> A partir do k-ésimo termo, a série harmônica pode ser escrita assim:
>
>
>
> a[k] + b[1] + a[k+n+1] + b[2] + ...
>
>
>
> Sendo:
>
> b[1] = a[k+1] + a[k+2] + ... + a[k+n] > a[k]  para um certo "n" natural e
> FINITO.
>
> b[2] = a[k+n+2] + a[k+n+3] + ... + a[k+n+m] > a[k+n+1]  para um certo "m"
> natural e FINITO.
>
>
>
> Nesta nova forma, a série é crescente, logo, é divergente!
>
>
>
> Sds.,
>
> AB
>
>
>
> *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On
> Behalf Of *Iuri
> *Sent:* Thursday, December 18, 2008 6:08 PM
> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Subject:* Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)
>
>
>
> Bom, provar que a série harmonica diverge não é das tarefas mais fáceis,
> mas...
>
> Não seria o contrário? Antes de fazer tudo isso de conta que vc fez no
> primeiro email, você teria que provar que ela converge.
>
>
>  2008/12/18 Albert Bouskela 
>
> Amigos:
>
>
>
> Reconheço que é por aí, mas também não é tão fácil assim! É necessário
> mostrar que  S = 1 +1/2 + 1/3 + ...  diverge, o que, de modo algum, é óbvio!
>
>
>
>
> Sds.,
>
> AB
>
>
>
>
>
> *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On
> Behalf Of *Iuri
> *Sent:* Thursday, December 18, 2008 4:08 PM
> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Subject:* Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)
>
>
>
> A série harmonica diverge, o que torna quase todas as passagens desse seu
> email erradas.
>
> 2008/12/18 Albert Bouskela 
>
> Amigos:
>
> Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai
> o segundo:
>
> [1]
> Considere a seguinte série:
> S = 1 +1/2 + 1/3 + ... = soma ( 1/n , n = 1 ... +oo )
>
> [2]
> Faça a seguinte manipulação:
> S/2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... = soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo )
> Chame esta equação de [eq A].
>
> [3]
> É óbvio que:
> S = S/2 + 1 + 1/3 + 1/5 + ... = S/2 + soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
> Logo:
> S/2 = soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
> Chame esta equação de [eq B].
>
> [4]
> Subtraia a [eq A] da [eq B]:
>
> [4.1] O lado esquerdo da equação obtida fica assim:
> S/2 - S/2 = 0
>
> [4.2] Já o lado direito...
> soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) - soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo ) =
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo )
>
> Mas...
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... > 1/2
>
> [5]
> E, assim, "demonstra-se" que  0 > 1/2 (???)
>
> Onde está o erro?
>
> Uma curiosidade:
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) =
> 0,69 > 1/2
>
> AB
> bousk...@msn.com
>
>
>  --
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> Messenger! É GRÁTIS! 
>
>
>
>
>

RE: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)

[Albert Bouskela]

Olá!

 

Bem, pode não ser trivial, mas, também, não é difícil – veja:

 

Qualquer termo da série harmônica, a[i], tem a seguinte propriedade:

 

a[i] < a[i+1] + a[i+2] + … + a[i+n] , sendo “n” um número natural FINITO.
Provar esta propriedade é muito fácil, basta valer-se da Indução Finita.

 

A continuação é ainda mais fácil: 

 

A partir do k-ésimo termo, a série harmônica pode ser escrita assim:

 

a[k] + b[1] + a[k+n+1] + b[2] + ...

 

Sendo:

b[1] = a[k+1] + a[k+2] + ... + a[k+n] > a[k]  para um certo “n” natural e
FINITO.

b[2] = a[k+n+2] + a[k+n+3] + ... + a[k+n+m] > a[k+n+1]  para um certo “m”
natural e FINITO.

 

Nesta nova forma, a série é crescente, logo, é divergente!

 

Sds.,

AB

 

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Iuri
Sent: Thursday, December 18, 2008 6:08 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)

 

Bom, provar que a série harmonica diverge não é das tarefas mais fáceis,
mas...

Não seria o contrário? Antes de fazer tudo isso de conta que vc fez no
primeiro email, você teria que provar que ela converge.




2008/12/18 Albert Bouskela 

Amigos:

 

Reconheço que é por aí, mas também não é tão fácil assim! É necessário
mostrar que  S = 1 +1/2 + 1/3 + ...  diverge, o que, de modo algum, é óbvio!


 

Sds.,

AB

 

 

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Iuri
Sent: Thursday, December 18, 2008 4:08 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)

 

A série harmonica diverge, o que torna quase todas as passagens desse seu
email erradas.

2008/12/18 Albert Bouskela 

Amigos:
 
Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o
segundo:

[1]
Considere a seguinte série:
S = 1 +1/2 + 1/3 + ... = soma ( 1/n , n = 1 ... +oo )
 
[2]
Faça a seguinte manipulação:
S/2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... = soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo )
Chame esta equação de [eq A].
 
[3]
É óbvio que:
S = S/2 + 1 + 1/3 + 1/5 + ... = S/2 + soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
Logo:
S/2 = soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
Chame esta equação de [eq B].
 
[4]
Subtraia a [eq A] da [eq B]:
 
[4.1] O lado esquerdo da equação obtida fica assim:
S/2 - S/2 = 0
 
[4.2] Já o lado direito...
soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) - soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo ) =
soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo )
 
Mas...
soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... > 1/2
 
[5]
E, assim, "demonstra-se" que  0 > 1/2 (???) 
 
Onde está o erro?
 
Uma curiosidade:
soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69
> 1/2

AB
bousk...@msn.com




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Messenger! É GRÁTIS!  

 

 

Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)

[Iuri]

Bom, provar que a série harmonica diverge não é das tarefas mais fáceis,
mas...

Não seria o contrário? Antes de fazer tudo isso de conta que vc fez no
primeiro email, você teria que provar que ela converge.



2008/12/18 Albert Bouskela 

>  Amigos:
>
>
>
> Reconheço que é por aí, mas também não é tão fácil assim! É necessário mostrar
> que  S = 1 +1/2 + 1/3 + ...  diverge, o que, de modo algum, é óbvio!
>
>
>
> Sds.,
>
> AB
>
>
>
>
>
> *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On
> Behalf Of *Iuri
> *Sent:* Thursday, December 18, 2008 4:08 PM
> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Subject:* Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)
>
>
>
> A série harmonica diverge, o que torna quase todas as passagens desse seu
> email erradas.
>
>  2008/12/18 Albert Bouskela 
>
> Amigos:
>
> Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai
> o segundo:
>
> [1]
> Considere a seguinte série:
> S = 1 +1/2 + 1/3 + ... = soma ( 1/n , n = 1 ... +oo )
>
> [2]
> Faça a seguinte manipulação:
> S/2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... = soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo )
> Chame esta equação de [eq A].
>
> [3]
> É óbvio que:
> S = S/2 + 1 + 1/3 + 1/5 + ... = S/2 + soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
> Logo:
> S/2 = soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
> Chame esta equação de [eq B].
>
> [4]
> Subtraia a [eq A] da [eq B]:
>
> [4.1] O lado esquerdo da equação obtida fica assim:
> S/2 - S/2 = 0
>
> [4.2] Já o lado direito...
> soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) - soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo ) =
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo )
>
> Mas...
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... > 1/2
>
> [5]
> E, assim, "demonstra-se" que  0 > 1/2 (???)
>
> Onde está o erro?
>
> Uma curiosidade:
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) =
> 0,69 > 1/2
>
> AB
> bousk...@msn.com
>
>
>
>  --
>
> Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o
> Messenger! É GRÁTIS! 
>
>
>

Re: [obm-l] Questão CHATA ???

[Fabio Henrique]

eu pensei assim só que eu prensei em relação aos soldados. um arranjo de
distribuir 5 fuzis para 2 soldados
soldado 1 pode receber 5
soldado 2 pode receber 4

5*4=20 , mas esse raciocionio esta errado,. eu entendo pq o seu esta certo ,
mas não pq o meu está errado.

On Thu, Dec 18, 2008 at 1:57 PM, Carlos Nehab  wrote:

>  Oi, gente,
>
> Eu acho que os fusíveis (como diz meu porteiro) são indistinguíveis e a
> questão é apenas saber os quantitativos diferentes de fusis que cada soldado
> diferente (distinguíveis) pode receber.  Não acham?
>
> Nehab
>
> PS: Oi, Ponce, agora sou um cara sério. Virei vovô de um lindo menino:
> Felipe. Saudades.
>
> Rogerio Ponce escreveu:
>
> Oi Fabio,
> conhece o problema sobre quantos pratos possiveis podem ser montados
> com uma salada, de um total de 5 saladas disponiveis, uma carne de um
> total de 3 carnes, um acompanhamento de um total de 5 acompanhamentos
> , e uma sobremesa de um total de 4 sobremesas?
>
> Voce sabe que existem 5*3*5*4=300 pratos possiveis, certo?
>
> Pois o problema dos fuzis e' a mesma coisa:
> Para o primeiro fuzil , existem 2 opcoes de entrega (soldado A ou soldado B)
> Para o segundo fuzil tambem existem 2 opcoes de entrega, e assim por diante.
> Ao final, podemos distribuir os 5 fuzis de 2*2*2*2*2 = 32 formas diferentes.
>
> Entretanto, como cada soldado recebe pelo menos 1 fuzil, devemos
> eliminar a distribuicao em que o soldado A nao recebeu fuzil algum, e
> a distribuicao em que o soldado B nao recebeu fuzil algum.
> O total sera' 32 - 2 = 30 fuzis.
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
>
> 2008/12/18 Fabio Henrique  
> :
>
>
>  Rogerio , vc acertou a resposta é 30. Mas eu nao entendi o seu raciocinio.
>
> 2008/12/18 Bruno França dos Reis  
>
>  Boa Rogério, acabo de ver que cometi um erro na minha segunda solução (eu
> tinha afirmado que eram 32 formas, mas esqueci do detalhe de que cada
> soldado tinha que ter no mínimo um fuzil).
>
> --
> Bruno FRANÇA DOS REIS
>
> msn: brunoreis...@hotmail.com
> skype: brunoreis666
> tel: +33 (0)6 28 43 42 16
> http://www.brunoreis.comhttp://blog.brunoreis.com
>
> e^(pi*i)+1=0
>
>
> 2008/12/18 Rogerio Ponce  
>
>  Ola' pessoal,
> esse enunciado admite varias interpretacoes, pois os fuzis podem ser
> iguais ou diferentes entre si, e a palavra "distribuicao" pode se
> referir ao ato de distribuir (e nesse caso, se os fuzis forem
> diferentes entre si, devemos considerar a ordem em que eles sao
> entregues), ou ao resultado final do "ato de distribuir" (nesse caso,
> a ordem em que os fuzis foram entregues nao importa).
>
> Considerando fuzis diferentes , e apenas o resultado da entrega,
> teriamos a seguinte solucao, por exemplo:
> Cada fuzil tem 2 opcoes para ser entregue.
> Como sao 5 fuzis, ha' 2**5 = 32 opcoes.
> Como nao podemos ter todos os fuzis com o soldado A , ou todos com o
> soldado B, devemos eliminar 2 opcoes desse total.
> Assim, existem 30 formas de distribuicao dos fuzis.
>
> Observem que esta e' apenas uma das interpretacoes possiveis.
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
>
>
> 2008/12/17 Fabio Henrique  
> :
>
>
>  Essa questão é de um concurso que eu fiz e eu nao consigo entender o
> gabarito , espero que me ajudem , sem mais Fábio
>
> "Dois soldados serão designados para uma mesma missão
> e  para  eles  serão  distribuídos  (sem  sobra)  5  fuzis  de  tal
> forma  que  cada  soldado  receba  ao menos  um  fuzil. Essa
> distribuição deverá ser feita de n formas.
> Então, pode-se afirmar que n vale : "
>
> Não vou postar a reposta pois pode interferir na resolução do problema.
> Desde já Obrigado.
>
> --
> Be Free
> Use LINUX
> Linux #244712
>
>
>
>  =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
> emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
>
>  --
> Be Free
> Use LINUX
> Linux #244712
>
>
>
>  =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
> emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
>
>
>  =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=




-- 
Be Free
Use LINUX
Linux #244712

RE: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)

[Albert Bouskela]

Amigos:

 

Reconheço que é por aí, mas também não é tão fácil assim! É necessário
mostrar que  S = 1 +1/2 + 1/3 + ...  diverge, o que, de modo algum, é óbvio!


 

Sds.,

AB

 

 

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Iuri
Sent: Thursday, December 18, 2008 4:08 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)

 

A série harmonica diverge, o que torna quase todas as passagens desse seu
email erradas.



2008/12/18 Albert Bouskela 

Amigos:
 
Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o
segundo:

[1]
Considere a seguinte série:
S = 1 +1/2 + 1/3 + ... = soma ( 1/n , n = 1 ... +oo )
 
[2]
Faça a seguinte manipulação:
S/2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... = soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo )
Chame esta equação de [eq A].
 
[3]
É óbvio que:
S = S/2 + 1 + 1/3 + 1/5 + ... = S/2 + soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
Logo:
S/2 = soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
Chame esta equação de [eq B].
 
[4]
Subtraia a [eq A] da [eq B]:
 
[4.1] O lado esquerdo da equação obtida fica assim:
S/2 - S/2 = 0
 
[4.2] Já o lado direito...
soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) - soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo ) =
soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo )
 
Mas...
soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... > 1/2
 
[5]
E, assim, "demonstra-se" que  0 > 1/2 (???) 
 
Onde está o erro?
 
Uma curiosidade:
soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69
> 1/2

AB
bousk...@msn.com





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Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)

[Iuri]

A série harmonica diverge, o que torna quase todas as passagens desse seu
email erradas.


2008/12/18 Albert Bouskela 

>  Amigos:
>
> Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai
> o segundo:
>
> [1]
> Considere a seguinte série:
> S = 1 +1/2 + 1/3 + ... = soma ( 1/n , n = 1 ... +oo )
>
> [2]
> Faça a seguinte manipulação:
> S/2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... = soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo )
> Chame esta equação de [eq A].
>
> [3]
> É óbvio que:
> S = S/2 + 1 + 1/3 + 1/5 + ... = S/2 + soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
> Logo:
> S/2 = soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
> Chame esta equação de [eq B].
>
> [4]
> Subtraia a [eq A] da [eq B]:
>
> [4.1] O lado esquerdo da equação obtida fica assim:
> S/2 - S/2 = 0
>
> [4.2] Já o lado direito...
> soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) - soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo ) =
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo )
>
> Mas...
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... > 1/2
>
> [5]
> E, assim, "demonstra-se" que  0 > 1/2 (???)
>
> Onde está o erro?
>
> Uma curiosidade:
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) =
> 0,69 > 1/2
>
> AB
> bousk...@msn.com
>
>
>
>
> --
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> Messenger! É GRÁTIS! 
>

Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Bouskela..
não podemos dizer que S = 1 + 1/2 + 1/3 +  pq esta serie diverge..
desta maneira, estaria errado em [1].
As demais passagens tbém estariam erradas, pois manipulam S, que sequer
existe.. hehe
É bem parecido com fazer:
S = 1 + 2 + 4 + 8 + 
S = 1 + 2*S
S = -1

abraços,
Salhab


2008/12/18 Albert Bouskela 

>  Amigos:
>
> Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai
> o segundo:
>
> [1]
> Considere a seguinte série:
> S = 1 +1/2 + 1/3 + ... = soma ( 1/n , n = 1 ... +oo )
>
> [2]
> Faça a seguinte manipulação:
> S/2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... = soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo )
> Chame esta equação de [eq A].
>
> [3]
> É óbvio que:
> S = S/2 + 1 + 1/3 + 1/5 + ... = S/2 + soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
> Logo:
> S/2 = soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
> Chame esta equação de [eq B].
>
> [4]
> Subtraia a [eq A] da [eq B]:
>
> [4.1] O lado esquerdo da equação obtida fica assim:
> S/2 - S/2 = 0
>
> [4.2] Já o lado direito...
> soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) - soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo ) =
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo )
>
> Mas...
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... > 1/2
>
> [5]
> E, assim, "demonstra-se" que  0 > 1/2 (???)
>
> Onde está o erro?
>
> Uma curiosidade:
> soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) =
> 0,69 > 1/2
>
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>
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[obm-l] Dois problemas "complexos"

[Albert Bouskela]

[1]
Resolva, analiticamente, a seguinte equação:
 
x^x = i
 
[2]
Demonstre que:
 
/ z^i / <= e^pi
 
Sendo:
"z" um número complexo qualquer; e
/ z^i /  representa o módulo de  z^i .abbousk...@msn.com
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[obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???)

[Albert Bouskela]

Amigos:
 
Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o 
segundo:
[1]
Considere a seguinte série:
S = 1 +1/2 + 1/3 + ... = soma ( 1/n , n = 1 ... +oo )
 
[2]
Faça a seguinte manipulação:
S/2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... = soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo )
Chame esta equação de [eq A].
 
[3]
É óbvio que:
S = S/2 + 1 + 1/3 + 1/5 + ... = S/2 + soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
Logo:
S/2 = soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo )
Chame esta equação de [eq B].
 
[4]
Subtraia a [eq A] da [eq B]:
 
[4.1] O lado esquerdo da equação obtida fica assim:
S/2 - S/2 = 0
 
[4.2] Já o lado direito...
soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) - soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo ) =
soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo )
 
Mas...
soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... > 1/2
 
[5]
E, assim, "demonstra-se" que  0 > 1/2 (???) 
 
Onde está o erro?
 
Uma curiosidade:
soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 > 
1/2
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com até 6,000 fotos!
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Re: [obm-l] Questão CHATA ???

[Carlos Nehab]

Oi, gente,

Eu acho que os fusíveis (como diz meu porteiro) são indistinguíveis e a
questão é apenas saber os quantitativos diferentes de fusis que cada
soldado diferente (distinguíveis) pode receber.  Não acham?

Nehab

PS: Oi, Ponce, agora sou um cara sério. Virei vovô de um lindo menino:
Felipe. Saudades.

Rogerio Ponce escreveu:

  Oi Fabio,
conhece o problema sobre quantos pratos possiveis podem ser montados
com uma salada, de um total de 5 saladas disponiveis, uma carne de um
total de 3 carnes, um acompanhamento de um total de 5 acompanhamentos
, e uma sobremesa de um total de 4 sobremesas?

Voce sabe que existem 5*3*5*4=300 pratos possiveis, certo?

Pois o problema dos fuzis e' a mesma coisa:
Para o primeiro fuzil , existem 2 opcoes de entrega (soldado A ou soldado B)
Para o segundo fuzil tambem existem 2 opcoes de entrega, e assim por diante.
Ao final, podemos distribuir os 5 fuzis de 2*2*2*2*2 = 32 formas diferentes.

Entretanto, como cada soldado recebe pelo menos 1 fuzil, devemos
eliminar a distribuicao em que o soldado A nao recebeu fuzil algum, e
a distribuicao em que o soldado B nao recebeu fuzil algum.
O total sera' 32 - 2 = 30 fuzis.

[]'s
Rogerio Ponce



2008/12/18 Fabio Henrique :
  
  
Rogerio , vc acertou a resposta é 30. Mas eu nao entendi o seu raciocinio.

2008/12/18 Bruno França dos Reis 


  Boa Rogério, acabo de ver que cometi um erro na minha segunda solução (eu
tinha afirmado que eram 32 formas, mas esqueci do detalhe de que cada
soldado tinha que ter no mínimo um fuzil).

--
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

http://www.brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com

e^(pi*i)+1=0


2008/12/18 Rogerio Ponce 
  
  
Ola' pessoal,
esse enunciado admite varias interpretacoes, pois os fuzis podem ser
iguais ou diferentes entre si, e a palavra "distribuicao" pode se
referir ao ato de distribuir (e nesse caso, se os fuzis forem
diferentes entre si, devemos considerar a ordem em que eles sao
entregues), ou ao resultado final do "ato de distribuir" (nesse caso,
a ordem em que os fuzis foram entregues nao importa).

Considerando fuzis diferentes , e apenas o resultado da entrega,
teriamos a seguinte solucao, por exemplo:
Cada fuzil tem 2 opcoes para ser entregue.
Como sao 5 fuzis, ha' 2**5 = 32 opcoes.
Como nao podemos ter todos os fuzis com o soldado A , ou todos com o
soldado B, devemos eliminar 2 opcoes desse total.
Assim, existem 30 formas de distribuicao dos fuzis.

Observem que esta e' apenas uma das interpretacoes possiveis.
[]'s
Rogerio Ponce




2008/12/17 Fabio Henrique :


  Essa questão é de um concurso que eu fiz e eu nao consigo entender o
gabarito , espero que me ajudem , sem mais Fábio

"Dois soldados serão designados para uma mesma missão
e  para  eles  serão  distribuídos  (sem  sobra)  5  fuzis  de  tal
forma  que  cada  soldado  receba  ao menos  um  fuzil. Essa
distribuição deverá ser feita de n formas.
Então, pode-se afirmar que n vale : "

Não vou postar a reposta pois pode interferir na resolução do problema.
Desde já Obrigado.

--
Be Free
Use LINUX
Linux #244712

  

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

  



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Questão CHATA ???

[Rogerio Ponce]

Oi Fabio,
conhece o problema sobre quantos pratos possiveis podem ser montados
com uma salada, de um total de 5 saladas disponiveis, uma carne de um
total de 3 carnes, um acompanhamento de um total de 5 acompanhamentos
, e uma sobremesa de um total de 4 sobremesas?

Voce sabe que existem 5*3*5*4=300 pratos possiveis, certo?

Pois o problema dos fuzis e' a mesma coisa:
Para o primeiro fuzil , existem 2 opcoes de entrega (soldado A ou soldado B)
Para o segundo fuzil tambem existem 2 opcoes de entrega, e assim por diante.
Ao final, podemos distribuir os 5 fuzis de 2*2*2*2*2 = 32 formas diferentes.

Entretanto, como cada soldado recebe pelo menos 1 fuzil, devemos
eliminar a distribuicao em que o soldado A nao recebeu fuzil algum, e
a distribuicao em que o soldado B nao recebeu fuzil algum.
O total sera' 32 - 2 = 30 fuzis.

[]'s
Rogerio Ponce



2008/12/18 Fabio Henrique :
> Rogerio , vc acertou a resposta é 30. Mas eu nao entendi o seu raciocinio.
>
> 2008/12/18 Bruno França dos Reis 
>>
>> Boa Rogério, acabo de ver que cometi um erro na minha segunda solução (eu
>> tinha afirmado que eram 32 formas, mas esqueci do detalhe de que cada
>> soldado tinha que ter no mínimo um fuzil).
>>
>> --
>> Bruno FRANÇA DOS REIS
>>
>> msn: brunoreis...@hotmail.com
>> skype: brunoreis666
>> tel: +33 (0)6 28 43 42 16
>>
>> http://www.brunoreis.com
>> http://blog.brunoreis.com
>>
>> e^(pi*i)+1=0
>>
>>
>> 2008/12/18 Rogerio Ponce 
>>>
>>> Ola' pessoal,
>>> esse enunciado admite varias interpretacoes, pois os fuzis podem ser
>>> iguais ou diferentes entre si, e a palavra "distribuicao" pode se
>>> referir ao ato de distribuir (e nesse caso, se os fuzis forem
>>> diferentes entre si, devemos considerar a ordem em que eles sao
>>> entregues), ou ao resultado final do "ato de distribuir" (nesse caso,
>>> a ordem em que os fuzis foram entregues nao importa).
>>>
>>> Considerando fuzis diferentes , e apenas o resultado da entrega,
>>> teriamos a seguinte solucao, por exemplo:
>>> Cada fuzil tem 2 opcoes para ser entregue.
>>> Como sao 5 fuzis, ha' 2**5 = 32 opcoes.
>>> Como nao podemos ter todos os fuzis com o soldado A , ou todos com o
>>> soldado B, devemos eliminar 2 opcoes desse total.
>>> Assim, existem 30 formas de distribuicao dos fuzis.
>>>
>>> Observem que esta e' apenas uma das interpretacoes possiveis.
>>> []'s
>>> Rogerio Ponce
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> 2008/12/17 Fabio Henrique :
>>> > Essa questão é de um concurso que eu fiz e eu nao consigo entender o
>>> > gabarito , espero que me ajudem , sem mais Fábio
>>> >
>>> > "Dois soldados serão designados para uma mesma missão
>>> > e  para  eles  serão  distribuídos  (sem  sobra)  5  fuzis  de  tal
>>> > forma  que  cada  soldado  receba  ao menos  um  fuzil. Essa
>>> > distribuição deverá ser feita de n formas.
>>> > Então, pode-se afirmar que n vale : "
>>> >
>>> > Não vou postar a reposta pois pode interferir na resolução do problema.
>>> > Desde já Obrigado.
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>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

Re: [obm-l] Questão CHATA ???

[Fabio Henrique]

Rogerio , vc acertou a resposta é 30. Mas eu nao entendi o seu raciocinio.

2008/12/18 Bruno França dos Reis 

> Boa Rogério, acabo de ver que cometi um erro na minha segunda solução (eu
> tinha afirmado que eram 32 formas, mas esqueci do detalhe de que cada
> soldado tinha que ter no mínimo um fuzil).
>
> --
> Bruno FRANÇA DOS REIS
>
> msn: brunoreis...@hotmail.com
> skype: brunoreis666
> tel: +33 (0)6 28 43 42 16
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> http://www.brunoreis.com
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> e^(pi*i)+1=0
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>
> 2008/12/18 Rogerio Ponce 
>
> Ola' pessoal,
>> esse enunciado admite varias interpretacoes, pois os fuzis podem ser
>> iguais ou diferentes entre si, e a palavra "distribuicao" pode se
>> referir ao ato de distribuir (e nesse caso, se os fuzis forem
>> diferentes entre si, devemos considerar a ordem em que eles sao
>> entregues), ou ao resultado final do "ato de distribuir" (nesse caso,
>> a ordem em que os fuzis foram entregues nao importa).
>>
>> Considerando fuzis diferentes , e apenas o resultado da entrega,
>> teriamos a seguinte solucao, por exemplo:
>> Cada fuzil tem 2 opcoes para ser entregue.
>> Como sao 5 fuzis, ha' 2**5 = 32 opcoes.
>> Como nao podemos ter todos os fuzis com o soldado A , ou todos com o
>> soldado B, devemos eliminar 2 opcoes desse total.
>> Assim, existem 30 formas de distribuicao dos fuzis.
>>
>> Observem que esta e' apenas uma das interpretacoes possiveis.
>> []'s
>> Rogerio Ponce
>>
>>
>>
>>
>> 2008/12/17 Fabio Henrique :
>> > Essa questão é de um concurso que eu fiz e eu nao consigo entender o
>> > gabarito , espero que me ajudem , sem mais Fábio
>> >
>> > "Dois soldados serão designados para uma mesma missão
>> > e  para  eles  serão  distribuídos  (sem  sobra)  5  fuzis  de  tal
>> > forma  que  cada  soldado  receba  ao menos  um  fuzil. Essa
>> > distribuição deverá ser feita de n formas.
>> > Então, pode-se afirmar que n vale : "
>> >
>> > Não vou postar a reposta pois pode interferir na resolução do problema.
>> > Desde já Obrigado.
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>> > Be Free
>> > Use LINUX
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>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Retificando questão enviada

[Marcelo Costa]

Agradeço  o retrno, mas estou procurando uma solução *algébrica*, será que
alguém tem?


2008/12/15 alexmay nunes soares 

> Considere a expressão E = ((a)^1/3 + (b)^1/3 + (c)^1/3)^3,  verifique que
> para a = 4, b = -2 e c = 1 temos que E = 9*( (2)^1/3 - 1 )^1/3, logo os
> valores de a, b e c são respectivamente
> 4/9, -2/9 e 1/9, de onde vemos que a + b+ c = 1/3
>
> --- Em *dom, 14/12/08, Marcelo Costa * escreveu:
>
> De: Marcelo Costa 
> Assunto: [obm-l] Retificando questão enviada
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Domingo, 14 de Dezembro de 2008, 9:43
>
>
> Se ( (2)^1/3 - 1 )^1/3 é escrito sob a forma de (a)^1/3 + (b)^1/3 + (c)^1/3
> onde a, b e c são números racionais, o valor da soma a + b + c é igual a :
>
> a) 1/9
> b) 2/9
> c) 1/3
> d) 1
> e) 2
>
> Obrigado e desulpe-me pelo erro.
> --
> "Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo"
> Galileu Galilei
>
>
> --
> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 
> 10-
> Celebridades-
> Música-
> Esportes
>



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"Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo"
Galileu Galilei