RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol
Caro Júlio César Saldaña, Muito obrigado pela resolução. Tenho ainda uma dúvida. É quanto ao trecho abaixo: ... o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5 ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6. Um abraço do Paulo Argolo. From: saldana...@pucp.edu.pe To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Date: Thu, 31 Mar 2011 09:31:00 -0500 Favor analisar esta solução: Para saber qual é o mínimo número de pontos necessário para ficar nos quatro primeiros, investiguemos qual é o máximo número de pontos que pode ter o quinto colocado. Para chegar nessa situação, suponhamos que os 5 primeiros colocados ganharam todos os jogos contra os outros 7. Então tem pelo menos 21 pontos cada. Faltam distribuir os pontos disputados no 10 jogos que esse 5 jogaram entre eles. O máximo número de pontos a ser distribuídos é 3x10 = 30, assim, o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5 ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6. Isto corresponde a cada um ter ganho 2 jogos dos 10 disputados, o qual é perfeitamente possível. Nesse caso os cinco primeiros colocados tem 21+6=27. Ou seja ter 27 pontos, não garante ficar nos 4 primeiros (pode ficar quinto), e além de mais o máximo número de pontos do quinto colocado é 27. Portanto o mínimo número de pontos que garantem ficar nos 4 primeiros é 28. Rpta: 28 Me avisem se tem algo errado o falta justificar algum passo com maior rigor. Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 30 Mar 2011 22:17:44 + Asunto : [obm-l] Problema de futebol Caríssimos colegas, Gostaria de obter, se possível for, uma resolução da questão abaixo: QUESTÃO: Um torneio de futebol é disputado por 12 times.Na primeira fase,cada time enfrenta os demais uma única vez e obtém 1 ponto quando empata e 3 pontos quando vence. A segunda fase do torneio será disputada somente pelos 4 times que obtiverem mais pontos na primeira fase — havendo necessidade, será adotado algum critério de desempate (saldo de gols, por exemplo) para definir quais serão esses 4 times. Qual é o número mínimo de pontos que garante a um time sua classificação para a segunda fase, independentemente do critério de desempate que seja adotado? Abraços! Paulo Argolo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol
Esses 5 times, jogam (5x4/2 = 10) jogos, e o máximo número de pontos a ganhar é 10x3 = 30 no total. O quinto colocado consegue o maior número de pontos quando os 5 times obtém o mesmo número de pontos 30/5 = 6. Porque se algum consegue mais de 6 pontos, então algum vai conseguir menos de 6, ou seja com certeza o quinto colocado teria menos de 6. Por isso o máximo número de pontos do quinto colocado é 6. Se o quinto colocado consegue mais de 6, então já no é quinto (hehe). Será que me falta rigor na demonstração? Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Fri, 1 Apr 2011 10:45:38 + Asunto : RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Caro Júlio César Saldaña, Muito obrigado pela resolução. Tenho ainda uma dúvida. É quanto ao trecho abaixo: \ ... o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5 ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6.\ Um abraço do Paulo Argolo. From: saldana...@pucp.edu.pe To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Date: Thu, 31 Mar 2011 09:31:00 -0500 Favor analisar esta solução: Para saber qual é o mínimo número de pontos necessário para ficar nos quatro primeiros, investiguemos qual é o máximo número de pontos que pode ter o quinto colocado. Para chegar nessa situação, suponhamos que os 5 primeiros colocados ganharam todos os jogos contra os outros 7. Então tem pelo menos 21 pontos cada. Faltam distribuir os pontos disputados no 10 jogos que esse 5 jogaram entre eles. O máximo número de pontos a ser distribuídos é 3x10 = 30, assim, o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5 ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6. Isto corresponde a cada um ter ganho 2 jogos dos 10 disputados, o qual é perfeitamente possível. Nesse caso os cinco primeiros colocados tem 21+6=27. Ou seja ter 27 pontos, não garante ficar nos 4 primeiros (pode ficar quinto), e além de mais o máximo número de pontos do quinto colocado é 27. Portanto o mínimo número de pontos que garantem ficar nos 4 primeiros é 28. Rpta: 28 Me avisem se tem algo errado o falta justificar algum passo com maior rigor. Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 30 Mar 2011 22:17:44 + Asunto : [obm-l] Problema de futebol Caríssimos colegas, Gostaria de obter, se possível for, uma resolução da questão abaixo: QUESTÃO: Um torneio de futebol é disputado por 12 times.Na primeira fase,cada time enfrenta os demais uma única vez e obtém 1 ponto quando empata e 3 pontos quando vence. A segunda fase do torneio será disputada somente pelos 4 times que obtiverem mais pontos na primeira fase havendo necessidade, será adotado algum critério de desempate (saldo de gols, por exemplo) para definir quais serão esses 4 times. Qual é o número mínimo de pontos que garante a um time sua classificação para a segunda fase, independentemente do critério de desempate que seja adotado? Abraços! Paulo Argolo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol
Está tudo certo, Julio Saldaña. Não falta rigor a sua demonstração. Compreendi perfeitamente. Mais uma vez, muito obrigado. Um abraço! Paulo Argolo -- From: saldana...@pucp.edu.pe To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Date: Fri, 1 Apr 2011 07:55:17 -0500 Esses 5 times, jogam (5x4/2 = 10) jogos, e o máximo número de pontos a ganhar é 10x3 = 30 no total. O quinto colocado consegue o maior número de pontos quando os 5 times obtém o mesmo número de pontos 30/5 = 6. Porque se algum consegue mais de 6 pontos, então algum vai conseguir menos de 6, ou seja com certeza o quinto colocado teria menos de 6. Por isso o máximo número de pontos do quinto colocado é 6. Se o quinto colocado consegue mais de 6, então já no é quinto (hehe). Será que me falta rigor na demonstração? Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Fri, 1 Apr 2011 10:45:38 + Asunto : RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Caro Júlio César Saldaña, Muito obrigado pela resolução. Tenho ainda uma dúvida. É quanto ao trecho abaixo: \ ... o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5 ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6.\ Um abraço do Paulo Argolo. From: saldana...@pucp.edu.pe To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Date: Thu, 31 Mar 2011 09:31:00 -0500 Favor analisar esta solução: Para saber qual é o mínimo número de pontos necessário para ficar nos quatro primeiros, investiguemos qual é o máximo número de pontos que pode ter o quinto colocado. Para chegar nessa situação, suponhamos que os 5 primeiros colocados ganharam todos os jogos contra os outros 7. Então tem pelo menos 21 pontos cada. Faltam distribuir os pontos disputados no 10 jogos que esse 5 jogaram entre eles. O máximo número de pontos a ser distribuídos é 3x10 = 30, assim, o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5 ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6. Isto corresponde a cada um ter ganho 2 jogos dos 10 disputados, o qual é perfeitamente possível. Nesse caso os cinco primeiros colocados tem 21+6=27. Ou seja ter 27 pontos, não garante ficar nos 4 primeiros (pode ficar quinto), e além de mais o máximo número de pontos do quinto colocado é 27. Portanto o mínimo número de pontos que garantem ficar nos 4 primeiros é 28. Rpta: 28 Me avisem se tem algo errado o falta justificar algum passo com maior rigor. Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 30 Mar 2011 22:17:44 + Asunto : [obm-l] Problema de futebol Caríssimos colegas, Gostaria de obter, se possível for, uma resolução da questão abaixo: QUESTÃO: Um torneio de futebol é disputado por 12 times.Na primeira fase,cada time enfrenta os demais uma única vez e obtém 1 ponto quando empata e 3 pontos quando vence. A segunda fase do torneio será disputada somente pelos 4 times que obtiverem mais pontos na primeira fase — havendo necessidade, será adotado algum critério de desempate (saldo de gols, por exemplo) para definir quais serão esses 4 times. Qual é o número mínimo de pontos que garante a um time sua classificação para a segunda fase, independentemente do critério de desempate que seja adotado? Abraços! Paulo Argolo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol
Para mim, o raciocinio do Julio parece correto. Se o quinto colocado consegue mais de 6, então já não é quinto (hehe). Sim, você usou uma versão do princípio da casa dos pombos. Acho que fica mais fácil de explicar por contradição: se o 5o tivesse mais que 6, os 5 primeiros teriam mais que 6 cada um, então eles teriam mais de 30 pontos juntos entre si, absurdo. De fato, o pedaço que me fez piscar foi outro: Isto corresponde a cada um ter ganho 2 jogos dos 10 disputados, o qual é*perfeitamente possível *. Hmmm Ah, sim: por assim dizer, ponha os 5 times sentados numa mesa circular, e faça cada um ganhar dos dois times imediatamente à sua direita. Perfeitamente possível. :) (A menos que um deles tenha vendido os direitos de TV pelo clube dos 5, mas o outros tenha feito diretamente uma negociação octa-lateral com os outros 7... ah, problema errado.) Abraço, Ralph 2011/4/1 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe: Esses 5 times, jogam (5x4/2 = 10) jogos, e o máximo número de pontos a ganhar é 10x3 = 30 no total. O quinto colocado consegue o maior número de pontos quando os 5 times obtém o mesmo número de pontos 30/5 = 6. Porque se algum consegue mais de 6 pontos, então algum vai conseguir menos de 6, ou seja com certeza o quinto colocado teria menos de 6. Por isso o máximo número de pontos do quinto colocado é 6. Se o quinto colocado consegue mais de 6, então já no é quinto (hehe). Será que me falta rigor na demonstração? Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Fri, 1 Apr 2011 10:45:38 + Asunto : RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Caro Júlio César Saldaña, Muito obrigado pela resolução. Tenho ainda uma dúvida. É quanto ao trecho abaixo: \ ... o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5 ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6.\ Um abraço do Paulo Argolo. From: saldana...@pucp.edu.pe To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Date: Thu, 31 Mar 2011 09:31:00 -0500 Favor analisar esta solução: Para saber qual é o mínimo número de pontos necessário para ficar nos quatro primeiros, investiguemos qual é o máximo número de pontos que pode ter o quinto colocado. Para chegar nessa situação, suponhamos que os 5 primeiros colocados ganharam todos os jogos contra os outros 7. Então tem pelo menos 21 pontos cada. Faltam distribuir os pontos disputados no 10 jogos que esse 5 jogaram entre eles. O máximo número de pontos a ser distribuídos é 3x10 = 30, assim, o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5 ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6. Isto corresponde a cada um ter ganho 2 jogos dos 10 disputados, o qual é perfeitamente possível. Nesse caso os cinco primeiros colocados tem 21+6=27. Ou seja ter 27 pontos, não garante ficar nos 4 primeiros (pode ficar quinto), e além de mais o máximo número de pontos do quinto colocado é 27. Portanto o mínimo número de pontos que garantem ficar nos 4 primeiros é 28. Rpta: 28 Me avisem se tem algo errado o falta justificar algum passo com maior rigor. Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 30 Mar 2011 22:17:44 + Asunto : [obm-l] Problema de futebol Caríssimos colegas, Gostaria de obter, se possível for, uma resolução da questão abaixo: QUESTÃO: Um torneio de futebol é disputado por 12 times.Na primeira fase,cada time enfrenta os demais uma única vez e obtém 1 ponto quando empata e 3 pontos quando vence. A segunda fase do torneio será disputada somente pelos 4 times que obtiverem mais pontos na primeira fase — havendo necessidade, será adotado algum critério de desempate (saldo de gols, por exemplo) para definir quais serão esses 4 times. Qual é o número mínimo de pontos que garante a um time sua classificação para a segunda fase, independentemente do critério de desempate que seja adotado? Abraços! Paulo Argolo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol
Muito obrigado Ralph, estou tomando nota desses dois pontos. Acho que assim fica melhor justificada a resolução Abraços Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Fri, 1 Apr 2011 13:58:50 -0300 Asunto : Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Para mim, o raciocinio do Julio parece correto. Se o quinto colocado consegue mais de 6, então já não é quinto (hehe). Sim, você usou uma versão do princípio da casa dos pombos. Acho que fica mais fácil de explicar por contradição: se o 5o tivesse mais que 6, os 5 primeiros teriam mais que 6 cada um, então eles teriam mais de 30 pontos juntos entre si, absurdo. De fato, o pedaço que me fez piscar foi outro: \Isto corresponde a cada um ter ganho 2 jogos dos 10 disputados, o qual é*perfeitamente possível *.\ Hmmm Ah, sim: por assim dizer, ponha os 5 times sentados numa mesa circular, e faça cada um ganhar dos dois times imediatamente à sua direita. Perfeitamente possível. :) (A menos que um deles tenha vendido os direitos de TV pelo clube dos 5, mas o outros tenha feito diretamente uma negociação octa-lateral com os outros 7... ah, problema errado.) Abraço, Ralph 2011/4/1 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe: Esses 5 times, jogam (5x4/2 = 10) jogos, e o máximo número de pontos a ganhar é 10x3 = 30 no total. O quinto colocado consegue o maior número de pontos quando os 5 times obtém o mesmo número de pontos 30/5 = 6. Porque se algum consegue mais de 6 pontos, então algum vai conseguir menos de 6, ou seja com certeza o quinto colocado teria menos de 6. Por isso o máximo número de pontos do quinto colocado é 6. Se o quinto colocado consegue mais de 6, então já no é quinto (hehe). Será que me falta rigor na demonstração? Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Fri, 1 Apr 2011 10:45:38 + Asunto : RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Caro Júlio César Saldaña, Muito obrigado pela resolução. Tenho ainda uma dúvida. É quanto ao trecho abaixo: \ ... o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5 ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6.\ Um abraço do Paulo Argolo. From: saldana...@pucp.edu.pe To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Date: Thu, 31 Mar 2011 09:31:00 -0500 Favor analisar esta solução: Para saber qual é o mínimo número de pontos necessário para ficar nos quatro primeiros, investiguemos qual é o máximo número de pontos que pode ter o quinto colocado. Para chegar nessa situação, suponhamos que os 5 primeiros colocados ganharam todos os jogos contra os outros 7. Então tem pelo menos 21 pontos cada. Faltam distribuir os pontos disputados no 10 jogos que esse 5 jogaram entre eles. O máximo número de pontos a ser distribuídos é 3x10 = 30, assim, o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5 ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6. Isto corresponde a cada um ter ganho 2 jogos dos 10 disputados, o qual é perfeitamente possível. Nesse caso os cinco primeiros colocados tem 21+6=27. Ou seja ter 27 pontos, não garante ficar nos 4 primeiros (pode ficar quinto), e além de mais o máximo número de pontos do quinto colocado é 27. Portanto o mínimo número de pontos que garantem ficar nos 4 primeiros é 28. Rpta: 28 Me avisem se tem algo errado o falta justificar algum passo com maior rigor. Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 30 Mar 2011 22:17:44 + Asunto : [obm-l] Problema de futebol Caríssimos colegas, Gostaria de obter, se possível for, uma resolução da questão abaixo: QUESTÃO: Um torneio de futebol é disputado por 12 times.Na primeira fase,cada time enfrenta os demais uma única vez e obtém 1 ponto quando empata e 3 pontos quando vence. A segunda fase do torneio será disputada somente pelos 4 times que obtiverem mais pontos na primeira fase havendo necessidade, será adotado algum critério de desempate (saldo de gols, por exemplo) para definir quais serão esses 4 times. Qual é o número mínimo de pontos que garante a um time sua classificação para a segunda fase, independentemente do critério de desempate que seja adotado? Abraços! Paulo Argolo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/
[obm-l] conjuntos, difícil
Seja (M,d) um espaço métrico. Denote por K(M) ao conj. de todos os subconj.
Compactos de M e defina a distância por:
h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y) r e para cada y
em B, existe x em A tq d(x,y) r}
Provar que (K(M) é espaço métrico).
i) h(A,B) = h(B,A) (consegui fazer).
ii) h(A,B) 0 se A B e h(A,A) = 0 (aqui usei o fato de de os conj serem
compactos em um espaço métrico, então Hausdorff, portanto esses conj são fech.)
esse item também consegui fazer.
Agora vem o problemático (para mim)
iii) h(A,C) = h(A,B) + h(B,C) para todos A,B,C pertencenta à K(M).
Queria pedir um socorro nesta última afirmação, não estou conseguindo fazer.
Obrigado.
