Re: [obm-l] Ajuda
Parabéns, também penso assim ! Muito melhor simplicidade e elegância, que uma solução complexa com resoluções enormes !!! Em 20 de fevereiro de 2012 08:00, Carlos Nehab carlos.ne...@gmail.comescreveu: Oi, Julio, Não resisti a dar uma dica, emborao utros colegas já tenham resolvido o problema... Este tipo de exercício, envolvendo circunferências e retas são muito comuns e as pessoas tentam soluções via Geometria Analítica, às vezes chatíssimas. Entretanto, Geometria Analítica também é *Geometria* e uma figurinha (mais um pitagágoras) geralmente resolvem o problema facilmente... Veja, na figura o triângulo retângulo tem lados óbvios (1, 4, 2 2raiz2) e então a tangente de alfa é imediata...Dai as inclinações das duas retas são imediatas... Abraços, Nehab Em 14/02/2012 16:33, Julio Teixeira escreveu: bom dia, estudando me deparei com este exercicio, onde encontrei certa dificuldade e nao consegui resolve-lo, assim peco ajuda em como prosseguir.. Determine a equação de todas as retas que são tangentes à circunferência x² + y² = 2y e passam pelo ponto (0,4). Agradecido desde ja, aguardando retorno.. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = djcfedej.png
Re: [obm-l] Geometria
Ok Ralph , Entendi e obrigado pela clareza na sua explicação. Acredito que este eh o papel do Matemático em expor as suas explicaçoes.Estudarei para chegar a este nível . Abraços Bob Em 20 de fevereiro de 2012 19:08, Ralph Teixeira ralp...@gmail.comescreveu: Oi, Bob. Eu fiz uma hipotese pesada: de que o triangulo ABC de area maxima existe. Entao a primeira frase eh importante: eu supus que ABC JAH EH o triangulo pedido, o de area maxima apoiado nos 3 circulos (bom, para ser exato, UM DOS triangulos de area maxima, eu nunca supus que ele eh unico). Como ele tem area maxima, se voce fixar B e C, o ponto A JAH TEM DE ESTAR na posicao maximizante; analogamente, se voce fixar A e C, o ponto B jah tem que estar na posicao maximizante. Analogamente para C. Ou seja, para este triangulo ABC de area maxima, AO, BO e CO tem de ser alturas. Este foi o raciocinio que eu usei, que depende fundamentalmente do triangulo existir. Ou seja, o que provamos foi: SE ABC eh um triangulo de area maxima, ENTAO O eh o seu ortocentro. ou seja O ser ortocentro eh NECESSARIO para que ABC tenha area maxima. Agora, com meu raciocinio, nao sabemos a veracidade da reciproca, ou seja, nao sabemos a veracidade de: -- SE O eh ortocentro de ABC, ENTAO ABC tem area maxima (serah ???) ou equivalentemente -- O ser ortocentro de ABC eh SUFICIENTE para concluir que ABC tem area maxima (serah ???). Melhorou? Abraco, Ralph Lembrete: dizer que p == q (SE p ENTAO q), eh o mesmo que dizer: p eh SUFICIENTE para q (ou seja, se p acontece, eh garantido que q acontece tambem) que tambem eh o mesmo que dizer: q eh NECESSARIO para p (ou seja, se q nao acontece, nao ha maneira de p ocorrer) 2012/2/20 Bob Roy bob...@globo.com Olá Ralph , Obrigado pela atenção , mas tenho uma dúvida : No momento em que foi fixado o lado BC ( por exemplo) e foi feita a análise de que AO tem como reta suporte a altura relativa a BC , para que tenhamos a área máxima ; como posso garantir que BO e CO ( perpendiculares aos lados AC e BC) farão partes do mesmo triângulo ? É possível existir um triângulo de área máxima com apenas AO um pedaço da altura ? ou seja , sem o ponto O como ortocentro ? Foi isto que vc quis observar com NECESSÁRIA ? Abraços Bob Em 20 de fevereiro de 2012 10:31, Ralph Teixeira ralp...@gmail.comescreveu: Vou supor que o triangulo ABC de area maxima existe (o que eh bem razoavel, e eh verdade, mas nao eh obvio usando soh geometria). Entao seja ABC esse triangulo de area maxima. Fixe o lado BC e pense nas possiveis posicoes de A. Como o triangulo ABC tem area maxima, entao A eh o ponto da circunferencia C1 mais longe de BC que voce puder arrumar. Em outras palavras, a tangente a C1 por A eh paralela a BC. Ou seja, a reta OA (que eh perpendicular aaquela tangente) eh perpendicular a BC. Em suma, AO eh (um pedaco da) altura do triangulo ABC. Analogamente, BO e CO sao perpendiculares aos lados AC e AB. Entao O eh o ortocentro de ABC. (O que a gente provou eh que O ser ortocentro eh condicao NECESSARIA para este triangulo ABC de area maxima, que me parece ser o que a questao queria.) Abraco, Ralph 2012/2/20 Bob Roy bob...@globo.com Olá , Poderiam me ajudar nesta questão ? Considere C1 ,C2 e C3 três circunferências concêntricas de centro O e de raios respectivamentes iguais a :1 , 2 e 3 . Sejam A , B e C pontos sobre C1 , C2 e C3 , respectivamente . Como deve estar o centro O para que a área do triângulo ABC seja máxima ? Agradeço qualquer resposta Bob
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de frações
Admito que eu fiz de tudo menos racionalizar as frações, hehe Alias, sqrt(x+2005) - sqrt(x+1) = 2, pode ser resolvida pelo mesmo método (multiplique por sqrt(x+2005)+sqrt(x+1)) dásqrt(x+2005) + sqrt(x+1) = 1002Resolvendo o sistema sqrt(x+1) = 500x = 24 Valeu Date: Mon, 20 Feb 2012 21:18:19 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de frações From: samuelcarvalho...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Multiplique o numerador e o denominador de cada termo da soma, que são do tipo 1/(sqrt(x+k)+sqrt(x+k+2)) com k ímpar, por (sqrt(x+k)-sqrt(x+k+2)). Assim você racionaliza os termos, deixando eles nesta forma: (sqrt(x+k) - sqrt(x+k+2))/(-2). Então: y = [sqrt(x+1) - sqrt(x+3) + sqrt(x+3) - sqrt(x+5) + ...+ sqrt(x+2003) - sqrt(x+2005)]/(-2) Cancelando os termos iguais no numerador da soma, temos: y = (sqrt(x+2005) - sqrt(x+1))/2 E resolvendo y=1, obtemos x=24. Em 20 de fevereiro de 2012 20:19, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Seja y = 1/(sqrt(x+1) + sqrt(x+3)) + 1/(sqrt(x+3) + sqrt(x+5)) + ...+ 1/(sqrt(x+2003) + sqrt(x+2005)) A soma dos algarismos da solução (em x) da equação y = 1 é a) 41 b) 42c) 43 d) 44 e)45
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo
Valeu Bernardo, pelo jeito que eu tinha feito usava até derivada, assim é muito mais prático Fazendo y = kx, temos (3k²+k+2)x² +(-20k - 11)x + 40 = 0Delta = -80 k²+280 k-199 Como x e y são reais, Temos Delta=0, ou seja, os valores máximos e mínimos de k são as raízes da equação!Logo a soma é -b/a = 7/2 Valeu Bernardo []'s, João Date: Tue, 21 Feb 2012 08:45:20 +0100 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com x, y0 que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o valor de a + b é igual a : a) 3 b) sqrt(10)c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14) Mais um problema de retas tangentes! Repare que a equação acima é de uma elipse, eu espero que ela esteja bem longe da origem. Desta forma, y/x é a inclinação de uma reta passando pela origem, e os valores máximos e mínimos correspondem às inclinações das tangentes (isso supondo que a elipse não contém um quadrante inteiro, mas nesse caso y/x = +- infinito, e não tem um N.D.A. na questão). Daí, você pode substituir y = k*x na equação, e fazer como antes : Delta = 0. Vai dar uma equação provavelmente do segundo grau (tem k^2 tanto no A quanto no B) e a soma das raízes você nem precisa resolver a equação! P.S.: Não é tão difícil de ver que (0,0) não está contido na elipse: quando você substitui, dá 40, que é 0, logo está do lado de fora. Isso funciona que nem num círculo, você calcula x² + y², se for maior que R², está do lado de fora, se for menor, do lado de dentro. O que é importante é que o sinal na frente do coeficiente de segundo grau (homogêneo) seja positivo (como no caso do círculo) para você poder usar isso. Pensando de outra forma, você vê que (x,0) também não está, porque 2x² - 11x + 40 tem discriminante 11² - 4*2*40 = 121 - 320 0, nem (0,y), mais uma vez porque 3y² - 20y + 40 tem discriminante 400 - 4*3*40 = 4*(100 - 120) 0. Assim, a elipse está contida em um único quadrante, e tudo que eu falei lá em cima é realmente verdade ;) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo
Percebi que aqui na lista preferem a forma sqrt( ) em vez de ( )^1/2 ! Algum motivo especial? 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Valeu Bernardo, pelo jeito que eu tinha feito usava até derivada, assim é muito mais prático Fazendo y = kx, temos (3k²+k+2)x² +(-20k - 11)x + 40 = 0 Delta = -80 k²+280 k-199 Como x e y são reais, Temos Delta=0, ou seja, os valores máximos e mínimos de k são as raízes da equação! Logo a soma é -b/a = 7/2 Valeu Bernardo []'s, João Date: Tue, 21 Feb 2012 08:45:20 +0100 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com x, y0 que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o valor de a + b é igual a : a) 3 b) sqrt(10) c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14) Mais um problema de retas tangentes! Repare que a equação acima é de uma elipse, eu espero que ela esteja bem longe da origem. Desta forma, y/x é a inclinação de uma reta passando pela origem, e os valores máximos e mínimos correspondem às inclinações das tangentes (isso supondo que a elipse não contém um quadrante inteiro, mas nesse caso y/x = +- infinito, e não tem um N.D.A. na questão). Daí, você pode substituir y = k*x na equação, e fazer como antes : Delta = 0. Vai dar uma equação provavelmente do segundo grau (tem k^2 tanto no A quanto no B) e a soma das raízes você nem precisa resolver a equação! P.S.: Não é tão difícil de ver que (0,0) não está contido na elipse: quando você substitui, dá 40, que é 0, logo está do lado de fora. Isso funciona que nem num círculo, você calcula x² + y², se for maior que R², está do lado de fora, se for menor, do lado de dentro. O que é importante é que o sinal na frente do coeficiente de segundo grau (homogêneo) seja positivo (como no caso do círculo) para você poder usar isso. Pensando de outra forma, você vê que (x,0) também não está, porque 2x² - 11x + 40 tem discriminante 11² - 4*2*40 = 121 - 320 0, nem (0,y), mais uma vez porque 3y² - 20y + 40 tem discriminante 400 - 4*3*40 = 4*(100 - 120) 0. Assim, a elipse está contida em um único quadrante, e tudo que eu falei lá em cima é realmente verdade ;) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo
Por mim tanto faz, mas acho que as vezes o pessoal opta por sqrt(x) por ser mais limpo Ex: Digamos sqrt( 2 + sqrt(3) ) e ( 2 + (3)^(1/2) )^(1/2) Na minha opinião o primeiro é mais fácil de enxergarMas isso é comigo, heheAcho que tanto faz na verdade, desde que dê para entender []'s , João Date: Tue, 21 Feb 2012 11:22:02 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo From: bardoni...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Percebi que aqui na lista preferem a forma sqrt( ) em vez de ( )^1/2 ! Algum motivo especial? 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Valeu Bernardo, pelo jeito que eu tinha feito usava até derivada, assim é muito mais prático Fazendo y = kx, temos (3k²+k+2)x² +(-20k - 11)x + 40 = 0 Delta = -80 k²+280 k-199 Como x e y são reais, Temos Delta=0, ou seja, os valores máximos e mínimos de k são as raízes da equação! Logo a soma é -b/a = 7/2 Valeu Bernardo []'s, João Date: Tue, 21 Feb 2012 08:45:20 +0100 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com x, y0 que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o valor de a + b é igual a : a) 3 b) sqrt(10)c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14) Mais um problema de retas tangentes! Repare que a equação acima é de uma elipse, eu espero que ela esteja bem longe da origem. Desta forma, y/x é a inclinação de uma reta passando pela origem, e os valores máximos e mínimos correspondem às inclinações das tangentes (isso supondo que a elipse não contém um quadrante inteiro, mas nesse caso y/x = +- infinito, e não tem um N.D.A. na questão). Daí, você pode substituir y = k*x na equação, e fazer como antes : Delta = 0. Vai dar uma equação provavelmente do segundo grau (tem k^2 tanto no A quanto no B) e a soma das raízes você nem precisa resolver a equação! P.S.: Não é tão difícil de ver que (0,0) não está contido na elipse: quando você substitui, dá 40, que é 0, logo está do lado de fora. Isso funciona que nem num círculo, você calcula x² + y², se for maior que R², está do lado de fora, se for menor, do lado de dentro. O que é importante é que o sinal na frente do coeficiente de segundo grau (homogêneo) seja positivo (como no caso do círculo) para você poder usar isso. Pensando de outra forma, você vê que (x,0) também não está, porque 2x² - 11x + 40 tem discriminante 11² - 4*2*40 = 121 - 320 0, nem (0,y), mais uma vez porque 3y² - 20y + 40 tem discriminante 400 - 4*3*40 = 4*(100 - 120) 0. Assim, a elipse está contida em um único quadrante, e tudo que eu falei lá em cima é realmente verdade ;) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sair da lista
Gostaria de sair da lista, como faço? http://www.lmgtfy.com/?q=sair+da+lista+obm-l -- ,= ,-_-. =. [o] Alessandro Madruga Correia ((_/)o o(\_)) Viaconnect -- Suporte Técnico +55 (54) 4009 3444 `-'(. .)`-' A fé move montanhas, mas eu prefiro a dinamite. \_/
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo
sqrt() lembra o comando LaTeX, e as pessoas não pensam tanto em expoente fracionário. 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Por mim tanto faz, mas acho que as vezes o pessoal opta por sqrt(x) por ser mais limpo Ex: Digamos sqrt( 2 + sqrt(3) ) e ( 2 + (3)^(1/2) )^(1/2) Na minha opinião o primeiro é mais fácil de enxergar Mas isso é comigo, hehe Acho que tanto faz na verdade, desde que dê para entender []'s , João Date: Tue, 21 Feb 2012 11:22:02 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo From: bardoni...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Percebi que aqui na lista preferem a forma sqrt( ) em vez de ( )^1/2 ! Algum motivo especial? 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Valeu Bernardo, pelo jeito que eu tinha feito usava até derivada, assim é muito mais prático Fazendo y = kx, temos (3k²+k+2)x² +(-20k - 11)x + 40 = 0 Delta = -80 k²+280 k-199 Como x e y são reais, Temos Delta=0, ou seja, os valores máximos e mínimos de k são as raízes da equação! Logo a soma é -b/a = 7/2 Valeu Bernardo []'s, João Date: Tue, 21 Feb 2012 08:45:20 +0100 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com x, y0 que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o valor de a + b é igual a : a) 3 b) sqrt(10) c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14) Mais um problema de retas tangentes! Repare que a equação acima é de uma elipse, eu espero que ela esteja bem longe da origem. Desta forma, y/x é a inclinação de uma reta passando pela origem, e os valores máximos e mínimos correspondem às inclinações das tangentes (isso supondo que a elipse não contém um quadrante inteiro, mas nesse caso y/x = +- infinito, e não tem um N.D.A. na questão). Daí, você pode substituir y = k*x na equação, e fazer como antes : Delta = 0. Vai dar uma equação provavelmente do segundo grau (tem k^2 tanto no A quanto no B) e a soma das raízes você nem precisa resolver a equação! P.S.: Não é tão difícil de ver que (0,0) não está contido na elipse: quando você substitui, dá 40, que é 0, logo está do lado de fora. Isso funciona que nem num círculo, você calcula x² + y², se for maior que R², está do lado de fora, se for menor, do lado de dentro. O que é importante é que o sinal na frente do coeficiente de segundo grau (homogêneo) seja positivo (como no caso do círculo) para você poder usar isso. Pensando de outra forma, você vê que (x,0) também não está, porque 2x² - 11x + 40 tem discriminante 11² - 4*2*40 = 121 - 320 0, nem (0,y), mais uma vez porque 3y² - 20y + 40 tem discriminante 400 - 4*3*40 = 4*(100 - 120) 0. Assim, a elipse está contida em um único quadrante, e tudo que eu falei lá em cima é realmente verdade ;) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: Problema
Entendi a solução do problema. Minha dúvida estava errada.
2012/2/19 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
Oi, bom dia.
No problema 2 do nível universitário da XXXII olimpíada brasileira de
matemática que está na Eureka! 34, por que se existem Np pares ordenados
(x, y), onde x, y pertence a {0, 1, 2, ..., p-1} e o número K = 5x^2 + 7y^2
- 1 é divisível por p, se p for 143 = 11.13, então o número de pares
ordenados é N11.N13? N11 não são os pares em que K é divisível apenas por
11 e N13 apenas por 13? Multiplicando os dois, temos os números de pares
em que K é divisível por 143? Por quê?
Obrigado
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Henrique
--
Henrique
[obm-l] Não consegui fazer , preciso de ajuda!!
Não consegui fazer , gostaria de uma ajuda!!! Obrigado!! Dado um quadrilatero ABCD , tal que sua diagonal AC seja bissetriz BAD, toma-se um ponto M no lado CD e traca-se o segmento BM que intercepta AC em F, em seguida traca-se o segmento DF que intercepta BC em N, mostrar que AC tambem é bissetriz do angulo MAN! Att: Douglas Oliveira
[obm-l] Canguru matemático
Se a+b+c=7 e 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c) =7/10,quanto vale a/(b+c) +b/(a+c) + c/(a+b)? Fiz muitas contas e não cheguei ao resultado.Alguem ajuda? Obrigado.
[obm-l] Re: [obm-l] Canguru matemático
Não entendi o título do e-mail, mas ok. Divida a expressão a+b+c=7 por a+b, por exemplo. On Wed, Feb 22, 2012 at 1:06 AM, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com wrote: Se a+b+c=7 e 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c) =7/10,quanto vale a/(b+c) +b/(a+c) + c/(a+b)? Fiz muitas contas e não cheguei ao resultado.Alguem ajuda? Obrigado. -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
