[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
1 - João atravessa o percurso BT, de 12 km, com velocidade média de 15 km/h, o que significa que ele leva 12/15 * 60 = 48 minutos. Daí, restam 42 minutos para a trajetória CB, a qual João percorre com velocidade média de 10 km/h. Em 42 minutos (ou seja, 42/60 = 7/10 de hora), João percorre uma distância de 7 km, que é o valor de CB. Agora note que o ângulo CBA é suplementar ao ângulo CBT, então os senos são equivalentes. Como o seno é cateto oposto sobre hipotenusa: 0,54 = AC/CB = AC = 0,54 * 7 = 3,78. Alternativa (A), portanto. 2 - Podemos escrever seno de 30 como: sen(30º) = sen(15º + 15º) = sen(15º)cos(15º) + sen(15º)cos(15º) = 2sen(15º)cos(15º) Dividindo esse valor por sen(15º), que é o termo anterior, obtemos 2cos(15º). Alternativa (D). 2012/3/14 Vanessa Nunes de Souza vanessani...@hotmail.com Olá, mas uma vez gostaria da ajuda dos colegas em algumas questões de concurso. 1-João se desloca diariamente de sua casa (ponto C) até o trabalho (ponto T), passando pelo (ponto B) em trajetórias retilíneas, conforme mostra a figura : Desenho em anexo Considere-se que, num determinado dia, João percorreu: - a distância CB, com velocidade média de 10 km/h; - a distância BT = 12 km, com velocidade média de 15 km/h; - toda essa trajetória em 1h30min. Se o seno do ângulo CBT vale 0,54, o segmento CA, perpendicular à reta AT, mede, em km: (A) 3,78 (B) 3,29 (C) 2,56 (D) 2,14 2-A sequência (sen15º, sen30º,...) é uma progressão geométrica. A razão dessa progressão é igual a: (A) (B) 2 (C) sen2° (D) 2cos15° Agradeço quem puder ajudar. Vanessa Nunes
[obm-l] O Jogo do Tiro ao Alvo
Gostaria de colocar a seguinte questão. Seja um jogo de tiro ao alvo, com a parte central do alvo valendo y pontos e a parte externa valendo x pontos, onde x e y são primos entre si e xy. Tiro fora do alvo vale zero pontos. Antes de o jogo começar, é escolhida uma determinada pontuação que os jogadores deverão atingir após vários tiros. Ganha quem atingir exatamente esta pontuação pré-definida, independente do número de tiros que der. Seja N a menor pontuação que se pode pré-definir, a partir da qual todos os números seguintes podem ser escolhidos como pontuação pré-definida. Por exemplo, para x=3 e y=5, note que não podemos escolher como pontuação pré-definida os seguintes números: 1, 2, 4 e 7. Porém, 3, 5, 6 e a partir de 8 inclusive, todos podem ser escolhidos. Assim, neste caso, N=8. Provar que N=(x-1).(y-1) Abs, Manoel DOliveira
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Olá! O enunciado da 2ª questão está completamente errado! sin(30°)/sin(15°) = 2cos(15°) = 1,93 Supondo que o próx. termo da sequência seja sin(60°): sin(60°)/sin(30°) = 2cos(30°) = 1,73 Pior: A função sin é periódica (cresce e decresce periodicamente). Daí nunca poderá formar uma PG! E mais: Toda PG é uma função polinomial, monotonamente crescente para razões maiores do que 1, e decrescente para razões menores do que 1. A função sin não é polinomial! Quem elaborou esta questão??? Albert Bouskela bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Gabriel Merêncio Enviada em: 15 de março de 2012 09:47 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas 1 - João atravessa o percurso BT, de 12 km, com velocidade média de 15 km/h, o que significa que ele leva 12/15 * 60 = 48 minutos. Daí, restam 42 minutos para a trajetória CB, a qual João percorre com velocidade média de 10 km/h. Em 42 minutos (ou seja, 42/60 = 7/10 de hora), João percorre uma distância de 7 km, que é o valor de CB. Agora note que o ângulo CBA é suplementar ao ângulo CBT, então os senos são equivalentes. Como o seno é cateto oposto sobre hipotenusa: 0,54 = AC/CB = AC = 0,54 * 7 = 3,78. Alternativa (A), portanto. 2 - Podemos escrever seno de 30 como: sen(30º) = sen(15º + 15º) = sen(15º)cos(15º) + sen(15º)cos(15º) = 2sen(15º)cos(15º) Dividindo esse valor por sen(15º), que é o termo anterior, obtemos 2cos(15º). Alternativa (D). 2012/3/14 Vanessa Nunes de Souza vanessani...@hotmail.com Olá, mas uma vez gostaria da ajuda dos colegas em algumas questões de concurso. 1-João se desloca diariamente de sua casa (ponto C) até o trabalho (ponto T), passando pelo (ponto B) em trajetórias retilíneas, conforme mostra a figura : Desenho em anexo Considere-se que, num determinado dia, João percorreu: - a distância CB, com velocidade média de 10 km/h; - a distância BT = 12 km, com velocidade média de 15 km/h; - toda essa trajetória em 1h30min. Se o seno do ângulo CBT vale 0,54, o segmento CA, perpendicular à reta AT, mede, em km: (A) 3,78 (B) 3,29 (C) 2,56 (D) 2,14 2-A sequência (sen15º, sen30º,...) é uma progressão geométrica. A razão dessa progressão é igual a: (A) (B) 2 (C) sen2° (D) 2cos15° Agradeço quem puder ajudar. Vanessa Nunes
[obm-l] onde estou errado (derivadas)
Senhores, (a) pela definição de derivada, limite da raiz incremental existir no ponto ele é derivável, a função maior inteiro [[x]] é derivável em todos os seus pontos (b) mas pelo teorema que diz: se é derivável é contínua, a função maior inteiro [[x]] NÃO é derivável nos pontos inteiros?? Gostaria de uma ajuda. Obrigado Hermann
Re: [obm-l] onde estou errado (derivadas)
Oi, Hermann. A definicao de derivada (do Calculo I), eh esta: lim_(h-0) (f(x+h)-f(x))/h Acho que eh isto que voce quer dizer com limite incremental? Pois bem, quando a gente diz limite quando h vai para zero, note que h pode ir para 0 PELOS DOIS LADOS (positivo ou negativo). Ou seja, a definicao de derivada inclui taxas de variacoes usando pontos aa esquerda ou aa direita do ponto x dado. Se voce tomar f(x)=[x], voce nota que, nos pontos do tipo x=n com n inteiro, o limite de (f(n+h)-f(n))/h nao existe quando h se aproxima de 0 pela esquerda -- o numerador se aproxima de 1 e o denominador se aproxima de 0. Eh verdade que, quando h se aproxima de 0 pela DIREITA, o limite dah 0, mas isto nao basta para a derivada existir. Em suma: lim_(h-0+) ([n+h]-[n])/h=0 lim_(h-0-) ([n+h]-[n])/h=-Infinito Portanto lim_(h-0) ([n+h]-[n])/h nao existe Entao a funcao f(x)=[x] NAO TEM DERIVADA nos inteiros. Ou seja, a letra (b) estah correta. Bom, o que eu falei acima estah correto, mas eu nao sei se era isto que voce estava perguntando... Tomara que eu tenha acertado! Abraco, Ralph 2012/3/15 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br: Senhores, (a) pela definição de derivada, limite da raiz incremental existir no ponto ele é derivável, a função maior inteiro [[x]] é derivável em todos os seus pontos (b) mas pelo teorema que diz: se é derivável é contínua, a função maior inteiro [[x]] NÃO é derivável nos pontos inteiros?? Gostaria de uma ajuda. Obrigado Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] onde estou errado (derivadas)
Argh favor trocar o numerador se aproxima de 1 por o numerador se aproxima de -1. Tambem, eu deveria dizer: lim_(h-0-) ([n+h]-[n])/h=+Infinito Agora acho que acertei? :) 2012/3/15 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Oi, Hermann. A definicao de derivada (do Calculo I), eh esta: lim_(h-0) (f(x+h)-f(x))/h Acho que eh isto que voce quer dizer com limite incremental? Pois bem, quando a gente diz limite quando h vai para zero, note que h pode ir para 0 PELOS DOIS LADOS (positivo ou negativo). Ou seja, a definicao de derivada inclui taxas de variacoes usando pontos aa esquerda ou aa direita do ponto x dado. Se voce tomar f(x)=[x], voce nota que, nos pontos do tipo x=n com n inteiro, o limite de (f(n+h)-f(n))/h nao existe quando h se aproxima de 0 pela esquerda -- o numerador se aproxima de 1 e o denominador se aproxima de 0. Eh verdade que, quando h se aproxima de 0 pela DIREITA, o limite dah 0, mas isto nao basta para a derivada existir. Em suma: lim_(h-0+) ([n+h]-[n])/h=0 lim_(h-0-) ([n+h]-[n])/h=-Infinito Portanto lim_(h-0) ([n+h]-[n])/h nao existe Entao a funcao f(x)=[x] NAO TEM DERIVADA nos inteiros. Ou seja, a letra (b) estah correta. Bom, o que eu falei acima estah correto, mas eu nao sei se era isto que voce estava perguntando... Tomara que eu tenha acertado! Abraco, Ralph 2012/3/15 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br: Senhores, (a) pela definição de derivada, limite da raiz incremental existir no ponto ele é derivável, a função maior inteiro [[x]] é derivável em todos os seus pontos (b) mas pelo teorema que diz: se é derivável é contínua, a função maior inteiro [[x]] NÃO é derivável nos pontos inteiros?? Gostaria de uma ajuda. Obrigado Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Mas quem disse que o proximo termo eh sin(60°)? ;) Abraco, Ralph 2012/3/15 Albert Bouskela bousk...@msn.com: Olá! O enunciado da 2ª questão está completamente errado! sin(30°)/sin(15°) = 2cos(15°) = 1,93 Supondo que o próx. termo da sequência seja sin(60°): sin(60°)/sin(30°) = 2cos(30°) = 1,73 Pior: — A função “sin” é periódica (cresce e decresce periodicamente). Daí nunca poderá formar uma PG! E mais: — Toda PG é uma função polinomial, monotonamente crescente para razões maiores do que 1, e decrescente para razões menores do que 1. A função “sin” não é polinomial! Quem elaborou esta questão??? Albert Bouskela bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Gabriel Merêncio Enviada em: 15 de março de 2012 09:47 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas 1 - João atravessa o percurso BT, de 12 km, com velocidade média de 15 km/h, o que significa que ele leva 12/15 * 60 = 48 minutos. Daí, restam 42 minutos para a trajetória CB, a qual João percorre com velocidade média de 10 km/h. Em 42 minutos (ou seja, 42/60 = 7/10 de hora), João percorre uma distância de 7 km, que é o valor de CB. Agora note que o ângulo CBA é suplementar ao ângulo CBT, então os senos são equivalentes. Como o seno é cateto oposto sobre hipotenusa: 0,54 = AC/CB = AC = 0,54 * 7 = 3,78. Alternativa (A), portanto. 2 - Podemos escrever seno de 30 como: sen(30º) = sen(15º + 15º) = sen(15º)cos(15º) + sen(15º)cos(15º) = 2sen(15º)cos(15º) Dividindo esse valor por sen(15º), que é o termo anterior, obtemos 2cos(15º). Alternativa (D). 2012/3/14 Vanessa Nunes de Souza vanessani...@hotmail.com Olá, mas uma vez gostaria da ajuda dos colegas em algumas questões de concurso. 1-João se desloca diariamente de sua casa (ponto C) até o trabalho (ponto T), passando pelo (ponto B) em trajetórias retilíneas, conforme mostra a figura : Desenho em anexo Considere-se que, num determinado dia, João percorreu: - a distância CB, com velocidade média de 10 km/h; - a distância BT = 12 km, com velocidade média de 15 km/h; - toda essa trajetória em 1h30min. Se o seno do ângulo CBT vale 0,54, o segmento CA, perpendicular à reta AT, mede, em km: (A) 3,78 (B) 3,29 (C) 2,56 (D) 2,14 2-A sequência (sen15º, sen30º,...) é uma progressão geométrica. A razão dessa progressão é igual a: (A) (B) 2 (C) sen2° (D) 2cos15° Agradeço quem puder ajudar. Vanessa Nunes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Obrigada Gabriel. Vanessa Nunes Date: Thu, 15 Mar 2012 09:47:12 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas From: gmerencio.san...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 1 - João atravessa o percurso BT, de 12 km, com velocidade média de 15 km/h, o que significa que ele leva 12/15 * 60 = 48 minutos. Daí, restam 42 minutos para a trajetória CB, a qual João percorre com velocidade média de 10 km/h. Em 42 minutos (ou seja, 42/60 = 7/10 de hora), João percorre uma distância de 7 km, que é o valor de CB. Agora note que o ângulo CBA é suplementar ao ângulo CBT, então os senos são equivalentes. Como o seno é cateto oposto sobre hipotenusa: 0,54 = AC/CB = AC = 0,54 * 7 = 3,78. Alternativa (A), portanto. 2 - Podemos escrever seno de 30 como: sen(30º) = sen(15º + 15º) = sen(15º)cos(15º) + sen(15º)cos(15º) = 2sen(15º)cos(15º) Dividindo esse valor por sen(15º), que é o termo anterior, obtemos 2cos(15º). Alternativa (D). 2012/3/14 Vanessa Nunes de Souza vanessani...@hotmail.com Olá, mas uma vez gostaria da ajuda dos colegas em algumas questões de concurso. 1-João se desloca diariamente de sua casa (ponto C) até o trabalho (ponto T), passando pelo (ponto B) em trajetórias retilíneas, conforme mostra a figura : Desenho em anexo Considere-se que, num determinado dia, João percorreu: - a distância CB, com velocidade média de 10 km/h; - a distância BT = 12 km, com velocidade média de 15 km/h; - toda essa trajetória em 1h30min.Se o seno do ângulo CBT vale 0,54, o segmento CA,perpendicular à reta AT, mede, em km:(A) 3,78(B) 3,29(C) 2,56(D) 2,14 2-A sequência (sen15º, sen30º,...) é uma progressão geométrica.A razão dessa progressão é igual a:(A)(B) 2(C) sen2° (D) 2cos15° Agradeço quem puder ajudar.Vanessa Nunes
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Tá bom... o próx. termo é sin(75°) veja o meu e-mail anterior. Te dou um doce se você achar o próximo! :-))) Abraço, Albert Bouskela bousk...@msn.com -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Ralph Teixeira Enviada em: 15 de março de 2012 11:44 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas Mas quem disse que o proximo termo eh sin(60°)? ;) Abraco, Ralph 2012/3/15 Albert Bouskela bousk...@msn.com: Olá! O enunciado da 2ª questão está completamente errado! sin(30°)/sin(15°) = 2cos(15°) = 1,93 Supondo que o próx. termo da sequência seja sin(60°): sin(60°)/sin(30°) = 2cos(30°) = 1,73 Pior: A função sin é periódica (cresce e decresce periodicamente). Daí nunca poderá formar uma PG! E mais: Toda PG é uma função polinomial, monotonamente crescente para razões maiores do que 1, e decrescente para razões menores do que 1. A função sin não é polinomial! Quem elaborou esta questão??? Albert Bouskela bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Gabriel Merêncio Enviada em: 15 de março de 2012 09:47 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas 1 - João atravessa o percurso BT, de 12 km, com velocidade média de 15 km/h, o que significa que ele leva 12/15 * 60 = 48 minutos. Daí, restam 42 minutos para a trajetória CB, a qual João percorre com velocidade média de 10 km/h. Em 42 minutos (ou seja, 42/60 = 7/10 de hora), João percorre uma distância de 7 km, que é o valor de CB. Agora note que o ângulo CBA é suplementar ao ângulo CBT, então os senos são equivalentes. Como o seno é cateto oposto sobre hipotenusa: 0,54 = AC/CB = AC = 0,54 * 7 = 3,78. Alternativa (A), portanto. 2 - Podemos escrever seno de 30 como: sen(30º) = sen(15º + 15º) = sen(15º)cos(15º) + sen(15º)cos(15º) = 2sen(15º)cos(15º) Dividindo esse valor por sen(15º), que é o termo anterior, obtemos 2cos(15º). Alternativa (D). 2012/3/14 Vanessa Nunes de Souza vanessani...@hotmail.com Olá, mas uma vez gostaria da ajuda dos colegas em algumas questões de concurso. 1-João se desloca diariamente de sua casa (ponto C) até o trabalho (ponto T), passando pelo (ponto B) em trajetórias retilíneas, conforme mostra a figura : Desenho em anexo Considere-se que, num determinado dia, João percorreu: - a distância CB, com velocidade média de 10 km/h; - a distância BT = 12 km, com velocidade média de 15 km/h; - toda essa trajetória em 1h30min. Se o seno do ângulo CBT vale 0,54, o segmento CA, perpendicular à reta AT, mede, em km: (A) 3,78 (B) 3,29 (C) 2,56 (D) 2,14 2-A sequência (sen15º, sen30º,...) é uma progressão geométrica. A razão dessa progressão é igual a: (A) (B) 2 (C) sen2° (D) 2cos15° Agradeço quem puder ajudar. Vanessa Nunes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc- rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] [obm-l] O Sexo dos Matemáticos
Um pouco de lógica. Três matemáticos estavam reunidos numa sala. Se um deles é do sexo masculino, um dos outros dois tem cabelos claros e o outro escuros. Se um deles é do sexo feminino, os outros dois têm a mesma cor de cabelo. O que podemos concluir a respeito do sexo dos matemáticos? Abs, Manoel DOliveira
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
2012/3/15 Albert Bouskela bousk...@msn.com: Tá bom... o próx. termo é sin(75°) — veja o meu e-mail anterior. Te dou um doce se você achar o próximo! :-))) Você sabe que eu gosto de análise, né? Complexa é melhor ainda. sin(pi/2 + I* arcsinh(1/8 * 1/sin(pi/12)^2) está na PG, assim como sin(pi/2 + I*arcsin(1/16 * 1/sin(pi/12)^3)), etc, etc. Ah, e se você acha arcsinh feio (porque o resto é bonitinho, mesmo o seno de 15° que eu não expandi pra economizar espaço), é só um logaritmo de uma raiz de uma equação de segundo grau, então é bem explícito ;) Observações: 1) a função seno nos complexos tem exatamente o mesmo problema da exponencial, ou seja, arco seno não é bem definido, da mesma forma que o logaritmo, afinal de contas, ela continua sendo 2pi periódica! Assim, não apenas esses valores, mas infinitos mais (como acima) fazem parte da seqüência. O mais estranho é que começa no eixo real, e termina numa vertical imaginária sobre pi/2. 2) Aliás, assimptoticamente, os argumentos estarão em PA, porque afinal de contas sin(pi/2 + iy) = sinh(y) que é quase igual à exponencial exp(y)/2, ainda mais quando y - infinito, e como os termos da PG também formam uma função exponencial a*exp(k*n), tudo fica bonitinho. Exercício: calcular o erro da falsa PA das ordenadas imaginárias no resto da seqüência, e encontrar o limite log(erro_n)/n (ou seja, a velocidade do decaimento, e a dica é que a ordem é exponencial, o que é de se esperar). O primeiro que responder esse exercício ganha o doce do Bouskela :). Abraços reais e imaginários, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] onde estou errado (derivadas)
2012/3/15 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Argh favor trocar o numerador se aproxima de 1 por o numerador se aproxima de -1. Oi Ralph! Eu não diria o numerador se aproxima, parece mágico, e, convenhamos, ninguém faz h - 0 com h 12345. Assim, eu diria para 0 h 1, o numerador É IGUAL A 0, e para -1 h 0, IGUAL a -1.. Não que faça muita diferença, claro, mas já que você resolveu mandar um mail a mais, eu pensei em colaborar :) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Olá, Ralph! Jogo a toalha! Você merece o doce! Devo, não nego, pagarei quando puder! Mas eu posso me justificar (só pra não ficar coberto de vergonha!): Qdo. vi a questão, vi assim: [ sin(15°), sin(30°)... ] e, não, [ sin(15°), sin(30°), ... , ]. A diferença é sutil, reconheço! Entretanto, embora correta, a questão me induziu ao erro e isto não é correto! Afinal, qualquer cristão (sou materialista dialético!), ao olhar para [ sin(15°), sin(30°), ... ], enxerga [ sin(15°), sin(30°), sin(60°)... ]. Repare que a questão refere-se a uma PG, então o termo PG ficou martelando na minha cabeça! Bem, ao ler isto aí de cima, soa como uma desculpa pra lá de esfarrapada é verdade! Contudo, há um fato incontrastável (palavra bonita!): eu erraria a questão! Mas eu tenho todos (todos!) os conhecimentos necessários para resolvê-la fácil e rapidamente! Mesmo assim eu erraria! Só posso concluir que questão esteja mal formulada. Abraço, Albert Bouskela bousk...@msn.com -Mensagem original- De: ralp...@gmail.com [mailto:ralp...@gmail.com] Em nome de Ralph Teixeira Enviada em: 15 de março de 2012 13:02 Para: bousk...@msn.com Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas Oi, Bouskela. Os termos sao sin15 sin30 2sin30cos15 4sin30(cos15)^2 8sin30(cos15)^3 ... :P Concordo contigo que fica dificil fazer uma P.A. com um bando de senos (bom, especialmente com os argumentos em P.A. ou P.G.) -- voce demonstrou isso ali em cima. Mas eles colocaram ... no terceiro termo. Ninguem falou que os termos sao um bando de senos, muito menos de senos de arcos em P.A. Eles disseram que eh uma P.G., e que os dois primeiros termos sao (raiz(6)-raiz(2))/4 e 1/2, soh isso. Alias, acho que eh o contrario -- o PONTO da questao eh exatamente que nao se faz uma P.G. simplesmente botando P.G. ou P.A. nos argumentos dos senos. Note a resposta errada (C) -- se algum aluno achar que sina.sinb = sin(ab), ele marca sin2 como resposta, e acha que a P.G. eh sin15, sin30, sin60, sin120, sin240 -- que, como voce disse seria absurdo. Em suma, acho que a questao estah corretissima, e ela estah tentando ensinar exatamente o que voce afirma corretamente. Ela concorda contigo! Abraco, Ralph P.S.: Quero meu doce! ;) 2012/3/15 Albert Bouskela bousk...@msn.com: Tá bom... o próx. termo é sin(75°) veja o meu e-mail anterior. Te dou um doce se você achar o próximo! :-))) Veja o e-mail que enviei ao Bernardo (está abaixo) Abraço, Albert Bouskela bousk...@msn.com E-mail enviado ao Bernardo: Olá! O que quis dizer é: PG: [ a, a(r), a(r^2), a(r^3) ... a(r^n) ] , um polinômio de grau n (estou me referindo a uma PG finita). sin: [ sin(arg1), sin(arg2), sin(arg3) ... sin(argn) ] , sendo argi = argumento de índice i. Daí, é necessário (necessário para este problema, é claro!) encontrar uma equação recursiva entre argi e argi+1 que satisfaça à: sin(argi) = a(r^k) , para i=a...b e k=c...d , a e b inteiros, assim como também c e d. Veja que se pode fazer k=1...n sem perda de generalidade. Não é possível encontrar esta equação recursiva, porque [ sin(arg1), sin(arg2), sin(arg3) ... sin(argn) ] não é um polinômio para qualquer i (inteiro). É claro que poderíamos fazer: [ sin(15°), sin(30°), sin(75°) ] . Realmente uma PG! Mas não é este o enunciado do problema!!! E mais: O próximo (4°) termo desta PG é maior do que 1 (igual a 1,87). Portanto, já não pode ser expresso como o seno de um ângulo. O enunciado do problema (tal como está!) não faz sentido. É mais fácil ver isto através dos outros argumentos que apresentei: sin(30°)/sin(15°) = 2cos(15°) = 1,93 Supondo que o próx. termo da sequência seja sin(60°): sin(60°)/sin(30°) = 2cos(30°) = 1,73 1,93 é diferente de 1,73 (não vou colocar ! para não ficar parecendo o fatorial de 1,73). Supondo que o próx. termo da sequência seja sin(45°), também não forma uma PG! A função sin é periódica (cresce e decresce periodicamente). Daí nunca poderá formar uma PG! Toda PG é monotonamente crescente para razões maiores do que 1, e monotonamente decrescente para razões menores do que 1. Albert Bouskela bousk...@msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] [obm-l] Parece Impossível
Uma excelente questão de lógica. Quatro estudantes de lógica M, N, C e D estavam jogando cartas. No final, M resolveu brindar os colegas com uma brincadeira. Sacou do baralho 16 cartas e mostrou a todos. As cartas sacadas foram as seguintes: 4, Q e A de COPAS 2, 3, 4, 7, 8 e J de ESPADAS 4, 5, 6, Q e K de PAUS 5 e A de OUROS M, então, juntou as 16 cartas, embaralhou e retirou aleatoriamente uma carta deste bolo, sem mostrar para ninguém. Porém, M falou para C o valor da carta que tinha nas mãos, sem contudo dizer o naipe, e falou para D apenas o naipe da carta. Depois disto, tivemos a seguinte conversação, ouvida por todos: M: Vocês sabem qual a carta que tenho nas mãos? C: Eu não sei qual é a carta D: Eu sabia que você não saberia dizer qual era a carta C: Então, agora, eu sei qual é a carta D: Agora, eu também sei N, que a tudo ouvia com atenção e depois de pensar um pouco, deduziu corretamente a carta que M tinha nas mãos. Como isto é possível? Abs, Manoel DOliveira
RE: [obm-l] [obm-l] Parece Impossível
Pense assim, Se C não sabe qual é a carta é porque o valor informado por M pode ser de mais de um naipe Cartas possíveis: 4, 5, A, Q Se D sabia que C não saberia qual é a carta é porque o naipe de D só tem cartas que ocorrem mais de uma vez Cartas possíveis: 4, Q, A de copas, 5, A de ouros Se C agora sabe a carta é porque só de ele saber qual era o naipe (copas ou ouros) já foi o bastante para ele saber qual é a carta, ou seja a carta dele não pode ser A (já que está nos 2 naipes) Cartas possíveis: 4, Q de copas, 5 de ouros Se D agora sabe qual é a carta é porque só de saber que o A não era possível já é o bastante para ele descobrir o naipe, ou seja, só restou uma carta possível para o naipe de D, logo a carta é 5 de ouros []'sJoão From: dol...@mac.com Subject: [obm-l] [obm-l] Parece Impossível Date: Thu, 15 Mar 2012 14:19:23 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br Uma excelente questão de lógica. Quatro estudantes de lógica M, N, C e D estavam jogando cartas. No final, M resolveu brindar os colegas com uma brincadeira. Sacou do baralho 16 cartas e mostrou a todos. As cartas sacadas foram as seguintes: 4, Q e A de COPAS 2, 3, 4, 7, 8 e J de ESPADAS 4, 5, 6, Q e K de PAUS 5 e A de OUROS M, então, juntou as 16 cartas, embaralhou e retirou aleatoriamente uma carta deste bolo, sem mostrar para ninguém. Porém, M falou para C o valor da carta que tinha nas mãos, sem contudo dizer o naipe, e falou para D apenas o naipe da carta. Depois disto, tivemos a seguinte conversação, ouvida por todos: M: Vocês sabem qual a carta que tenho nas mãos? C: Eu não sei qual é a carta D: Eu sabia que você não saberia dizer qual era a carta C: Então, agora, eu sei qual é a carta D: Agora, eu também sei N, que a tudo ouvia com atenção e depois de pensar um pouco, deduziu corretamente a carta que M tinha nas mãos. Como isto é possível? Abs,Manoel DOliveira
