Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Então não é trabalhoso, mas (a/b)^2 = 1 + a/b - b/a não deveria ser
provado?
Desenvolvendo da pra ver que é, neste caso tem mais conta pra fazer.
Forte abraço
Douglas Oliveira.
Em 10 de junho de 2015 12:00, Alexandre Antunes
prof.alexandreantu...@gmail.com escreveu:
Bom dia,
Estou no trabalho, mas vou arriscar a minha primeira resposta no grupo.
Desenvolvi os dois lados da expressao.
(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 = 3 + (a/b + b/c + c/a) - (b/a + c/b + a/c)
Como (a/b)^2 = 1 + a/b - b/a
O mesmo para os demais termos
Fica provado a proposição.
O que acham desse trabalhoso caminho?!?!
Em 10/06/2015 09:00, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Ok Mariana.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 21:11, Mariana Groff
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:
Oi Pacini,
Fiz do seguinte modo:
f (x)=x^2-x+1/x=1 = x^3-x^2+1=x = x^3-x^2-x+1=0 =x^2
(x-1)-(x-1)=0 = (x^2-1)(x-1)=0
O que podemos ver que é verdade, analisando ambos os casos: em que x=1
e o caso em que 0 x 1.
Abraços,
Mariana
Em 09/06/2015 20:55, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Oi Mariana,
Determinei o mínimo da função usando a derivada. Não entendi o seu
caminho, pois a função é
f(x) = x^2-x+1/x.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 18:09, Mariana Groff
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:
Oi Pacini,
Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)=1, basta analisarmos
que (x^2-1)(x-1)=0, o que verifica-se pois se x=1, o produto é
claramente
não-negativo e se 0x1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos,
tornando o produto positivo, isso?
Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que
:
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Boa tarde,
Pensei em fazer essa prova por indução ... Ainda não consegui parar para
finalizar.
Achei que era um caminho possível!!!
Em 11/06/2015 14:28, Douglas Oliveira de Lima
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:
Então não é trabalhoso, mas (a/b)^2 = 1 + a/b - b/a não deveria ser
provado?
Desenvolvendo da pra ver que é, neste caso tem mais conta pra fazer.
Forte abraço
Douglas Oliveira.
Em 10 de junho de 2015 12:00, Alexandre Antunes
prof.alexandreantu...@gmail.com escreveu:
Bom dia,
Estou no trabalho, mas vou arriscar a minha primeira resposta no grupo.
Desenvolvi os dois lados da expressao.
(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 = 3 + (a/b + b/c + c/a) - (b/a + c/b + a/c)
Como (a/b)^2 = 1 + a/b - b/a
O mesmo para os demais termos
Fica provado a proposição.
O que acham desse trabalhoso caminho?!?!
Em 10/06/2015 09:00, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Ok Mariana.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 21:11, Mariana Groff
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:
Oi Pacini,
Fiz do seguinte modo:
f (x)=x^2-x+1/x=1 = x^3-x^2+1=x = x^3-x^2-x+1=0 =x^2
(x-1)-(x-1)=0 = (x^2-1)(x-1)=0
O que podemos ver que é verdade, analisando ambos os casos: em que x=1
e o caso em que 0 x 1.
Abraços,
Mariana
Em 09/06/2015 20:55, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:
Oi Mariana,
Determinei o mínimo da função usando a derivada. Não entendi o seu
caminho, pois a função é
f(x) = x^2-x+1/x.
Abraços
Pacini
Em 9 de junho de 2015 18:09, Mariana Groff
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:
Oi Pacini,
Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)=1, basta analisarmos
que (x^2-1)(x-1)=0, o que verifica-se pois se x=1, o produto é
claramente
não-negativo e se 0x1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos,
tornando o produto positivo, isso?
Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:
Oi Mariana,
Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar
que :
{(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} =3, ok ?
Agora façamos o seguinte :
Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x0 o valor mínimo de f é 1.
Donde teremos a desigualdade provada.
Estou certo pessoal ?
Abraços
Pacini
Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano
raphael0...@gmail.com escreveu:
Ah não, desculpa, errei em Cauchy ...
Att.
Raphael
Em 08/06/2015 20:27, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com
escreveu:
MA=MG
LE=(a/b+b/c+c/a)^2=(3cbrt(abc/abc))^2 =9
Por Cauchy
LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9
LE=9=LD
Em 08/06/2015 19:20, Mariana Groff
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:
Boa Noite,
(British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005)
Sejam a,b e c reais positivos.
Prove que
(a/b+b/c+c/a)^2=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
Atenciosamente,
Mariana
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão simples
Boa tarde! Corrigindo, a resposta do gabarito está correta colocando o fator 10^5 para fora da expressão, ´ q = 777*( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77 q = 777*10^5* ( 10^990+ 10^889+...+ 10^6 + 1) +77 a última parcela será 1. Portanto o B está correto Serão 166, 777000, seguidos da sequência 77 ou 777*B*10^5 + 77, com B igual ao proposto no gabarito. Saudações. Em 11 de junho de 2015 09:58, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Bom dia! O final do texto deu erro na formatação. O correto está abaixo: como mdc(9,1001) =1 existe 9^-1 (mod1001) onde 9^-1 ≡ 445 (mod1001) se 9 não dividisse, bastava multiplicar por 445 dos dois lados e a ≡ 445 *7*(10^5-1)≡ 700 (mod1001) Saudações, PJMS Em 11 de junho de 2015 09:54, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Seja um número da forma 1000..01 com n algarismos zeros, e multiplicarmos por um número na forma aaa.a com n+1 algarismos. Teremos como resultado ...a com 2*(n+1) algarismos. Portanto, 777 = 1001*777 logo A = 1001*777 ( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) + 7 o resto será o resto da divisão de 7 por 1001, como 7 = 77*1001 +700 podemos escrever A= 1001*(777 * ( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77) +700 Como 0700 1001 == r = 700 Já q = 777*( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77 Que darão 166 777000 na sequência, seguidos de três algarismos zero e dois algarismos 7, ou seja, q =77700070...7770077 166 pois (995 - 5)/6+1 ou de outra maneira colando 777 em evidência q = 777* (1010...101000)*10^5 +77 A resposta deveria ter no final do número B a seguinte sequência de algarismos 10 ao invés do algarismo 1 destacado em amarelo. ou então usar B da forma exposta e corrigir a potência de 10 em q de 5 para 8. q = 777*B*10^8 + 77 Saudações, PJMS Para achar o resto dava para usar mod., mas para o quociente creio que não. A = 7 + 7*10^1 + 7*10^2 +...+ 7*10^999 + 7*10^1000 Por soma da PG A = 7*(10^1001-1)/9 9A ≡ 7* (10^1001-1) (mod1001) como 10^6 ≡ 1 (mod 1001) temos que 9a ≡ 7*(10^5-1) (mod1001) como 9 | (10^5 -1) (| significa divide) pode-se: a ≡ 7*(1) (mod1001) == a ≡ 700 (mod1001) se 9 não dividisse, como mdc(9,1001) =1 existe 9^-1 (mod1001) onde 9^-1 ≡ 445 (mod1001) bastava multiplicar por 445 dos dois lados e a ≡ 445 *7*(10^5-1)≡ 700 (mod1001) Em 9 de junho de 2015 22:03, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Seja A = 777...77(1001 algarismos). Determine o quociente e o resto da divisão de A por 1001 Eu achei o quociente 777000777000777000...00077 e resto 700 o bloco 777000 reproduzido 111 vezes e mais 77 no final Mas o gabarito dá quociente 777.B.10^5 + 77, sendo B = 10101...1(166 1`s ) Não entendi a resposta do gabarito. Outra coisa: daria pra achar o resto usando congruência? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Função periódica
2015-06-11 8:53 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Seja f : R--- R definida por f(x) = sen(ax) + sen(bx), em que a e b são constantes reais. a) Se a e b são racionais, f é periódica? Sim. b) Vale a recíproca do item anterior? Não. Agradeço por ajuda Sugiro que você tente mostrar o que acontece quando você soma duas funções com períodos diferentes, digamos H e L. Depois, tente mostrar uma condição suficiente para que a soma seja ainda periódica (com, talvez, outro período). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Função periódica
Seja f : R--- R definida por f(x) = sen(ax) + sen(bx), em que a e b são constantes reais. a) Se a e b são racionais, f é periódica? b) Vale a recíproca do item anterior? Agradeço por ajuda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão simples
Seja um número da forma 1000..01 com n algarismos zeros, e multiplicarmos por um número na forma aaa.a com n+1 algarismos. Teremos como resultado ...a com 2*(n+1) algarismos. Portanto, 777 = 1001*777 logo A = 1001*777 ( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) + 7 o resto será o resto da divisão de 7 por 1001, como 7 = 77*1001 +700 podemos escrever A= 1001*(777 * ( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77) +700 Como 0700 1001 == r = 700 Já q = 777*( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77 Que darão 166 777000 na sequência, seguidos de três algarismos zero e dois algarismos 7, ou seja, q =77700070...7770077 166 pois (995 - 5)/6+1 ou de outra maneira colando 777 em evidência q = 777* (1010...101000)*10^5 +77 A resposta deveria ter no final do número B a seguinte sequência de algarismos 10 ao invés do algarismo 1 destacado em amarelo. ou então usar B da forma exposta e corrigir a potência de 10 em q de 5 para 8. q = 777*B*10^8 + 77 Saudações, PJMS Para achar o resto dava para usar mod., mas para o quociente creio que não. A = 7 + 7*10^1 + 7*10^2 +...+ 7*10^999 + 7*10^1000 Por soma da PG A = 7*(10^1001-1)/9 9A ≡ 7* (10^1001-1) (mod1001) como 10^6 ≡ 1 (mod 1001) temos que 9a ≡ 7*(10^5-1) (mod1001) como 9 | (10^5 -1) (| significa divide) pode-se: a ≡ 7*(1) (mod1001) == a ≡ 700 (mod1001) se 9 não dividisse, como mdc(9,1001) =1 existe 9^-1 (mod1001) onde 9^-1 ≡ 445 (mod1001) bastava multiplicar por 445 dos dois lados e a ≡ 445 *7*(10^5-1)≡ 700 (mod1001) Em 9 de junho de 2015 22:03, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Seja A = 777...77(1001 algarismos). Determine o quociente e o resto da divisão de A por 1001 Eu achei o quociente 777000777000777000...00077 e resto 700 o bloco 777000 reproduzido 111 vezes e mais 77 no final Mas o gabarito dá quociente 777.B.10^5 + 77, sendo B = 10101...1(166 1`s ) Não entendi a resposta do gabarito. Outra coisa: daria pra achar o resto usando congruência? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão simples
Bom dia! O final do texto deu erro na formatação. O correto está abaixo: como mdc(9,1001) =1 existe 9^-1 (mod1001) onde 9^-1 ≡ 445 (mod1001) se 9 não dividisse, bastava multiplicar por 445 dos dois lados e a ≡ 445 *7*(10^5-1)≡ 700 (mod1001) Saudações, PJMS Em 11 de junho de 2015 09:54, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Seja um número da forma 1000..01 com n algarismos zeros, e multiplicarmos por um número na forma aaa.a com n+1 algarismos. Teremos como resultado ...a com 2*(n+1) algarismos. Portanto, 777 = 1001*777 logo A = 1001*777 ( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) + 7 o resto será o resto da divisão de 7 por 1001, como 7 = 77*1001 +700 podemos escrever A= 1001*(777 * ( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77) +700 Como 0700 1001 == r = 700 Já q = 777*( 10^995+ 10^889+...+ 10^11 + 10^5) +77 Que darão 166 777000 na sequência, seguidos de três algarismos zero e dois algarismos 7, ou seja, q =77700070...7770077 166 pois (995 - 5)/6+1 ou de outra maneira colando 777 em evidência q = 777* (1010...101000)*10^5 +77 A resposta deveria ter no final do número B a seguinte sequência de algarismos 10 ao invés do algarismo 1 destacado em amarelo. ou então usar B da forma exposta e corrigir a potência de 10 em q de 5 para 8. q = 777*B*10^8 + 77 Saudações, PJMS Para achar o resto dava para usar mod., mas para o quociente creio que não. A = 7 + 7*10^1 + 7*10^2 +...+ 7*10^999 + 7*10^1000 Por soma da PG A = 7*(10^1001-1)/9 9A ≡ 7* (10^1001-1) (mod1001) como 10^6 ≡ 1 (mod 1001) temos que 9a ≡ 7*(10^5-1) (mod1001) como 9 | (10^5 -1) (| significa divide) pode-se: a ≡ 7*(1) (mod1001) == a ≡ 700 (mod1001) se 9 não dividisse, como mdc(9,1001) =1 existe 9^-1 (mod1001) onde 9^-1 ≡ 445 (mod1001) bastava multiplicar por 445 dos dois lados e a ≡ 445 *7*(10^5-1)≡ 700 (mod1001) Em 9 de junho de 2015 22:03, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Seja A = 777...77(1001 algarismos). Determine o quociente e o resto da divisão de A por 1001 Eu achei o quociente 777000777000777000...00077 e resto 700 o bloco 777000 reproduzido 111 vezes e mais 77 no final Mas o gabarito dá quociente 777.B.10^5 + 77, sendo B = 10101...1(166 1`s ) Não entendi a resposta do gabarito. Outra coisa: daria pra achar o resto usando congruência? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
