Boa tarde, Pensei em fazer essa prova por indução ... Ainda não consegui parar para finalizar.
Achei que era um caminho possível!!! Em 11/06/2015 14:28, "Douglas Oliveira de Lima" < [email protected]> escreveu: > Então não é trabalhoso, mas (a/b)^2 >= 1 + a/b - b/a não deveria ser > provado? > Desenvolvendo da pra ver que é, neste caso tem mais conta pra fazer. > > Forte abraço > Douglas Oliveira. > > > > Em 10 de junho de 2015 12:00, Alexandre Antunes < > [email protected]> escreveu: > >> >> Bom dia, >> >> Estou no trabalho, mas vou arriscar a minha primeira resposta no grupo. >> >> Desenvolvi os dois lados da expressao. >> >> (a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 = 3 + (a/b + b/c + c/a) - (b/a + c/b + a/c) >> >> Como (a/b)^2 >= 1 + a/b - b/a >> O mesmo para os demais termos >> >> Fica provado a proposição. >> >> O que acham desse trabalhoso caminho?!?! >> Em 10/06/2015 09:00, "Pacini Bores" <[email protected]> escreveu: >> >>> Ok Mariana. >>> >>> Abraços >>> >>> Pacini >>> >>> Em 9 de junho de 2015 21:11, Mariana Groff < >>> [email protected]> escreveu: >>> >>>> Oi Pacini, >>>> Fiz do seguinte modo: >>>> f (x)=x^2-x+1/x>=1 <=> x^3-x^2+1>=x <=> x^3-x^2-x+1>=0 <=>x^2 >>>> (x-1)-(x-1)>=0 <=> (x^2-1)(x-1)>=0 >>>> O que podemos ver que é verdade, analisando ambos os casos: em que x>=1 >>>> e o caso em que 0 <x <1. >>>> Abraços, >>>> Mariana >>>> Em 09/06/2015 20:55, "Pacini Bores" <[email protected]> escreveu: >>>> >>>>> Oi Mariana, >>>>> >>>>> Determinei o mínimo da função usando a derivada. Não entendi o seu >>>>> caminho, pois a função é >>>>> >>>>> f(x) = x^2-x+1/x. >>>>> >>>>> Abraços >>>>> >>>>> Pacini >>>>> >>>>> Em 9 de junho de 2015 18:09, Mariana Groff < >>>>> [email protected]> escreveu: >>>>> >>>>>> Oi Pacini, >>>>>> Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)>=1, basta analisarmos >>>>>> que (x^2-1)(x-1)>=0, o que verifica-se pois se x>=1, o produto é >>>>>> claramente >>>>>> não-negativo e se 0<x<1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos, >>>>>> tornando o produto positivo, isso? >>>>>> >>>>>> >>>>>> Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores <[email protected]> >>>>>> escreveu: >>>>>> >>>>>>> Oi Mariana, >>>>>>> Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar >>>>>>> que : >>>>>>> >>>>>>> {(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} >=3, ok ? >>>>>>> >>>>>>> Agora façamos o seguinte : >>>>>>> >>>>>>> Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x>0 o valor mínimo de f é 1. >>>>>>> >>>>>>> Donde teremos a desigualdade provada. >>>>>>> >>>>>>> Estou certo pessoal ? >>>>>>> >>>>>>> Abraços >>>>>>> >>>>>>> Pacini >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano < >>>>>>> [email protected]> escreveu: >>>>>>> >>>>>>>> Ah não, desculpa, errei em Cauchy ... >>>>>>>> >>>>>>>> Att. >>>>>>>> Raphael >>>>>>>> Em 08/06/2015 20:27, "Raphael Aureliano" <[email protected]> >>>>>>>> escreveu: >>>>>>>> >>>>>>>>> MA>=MG >>>>>>>>> LE=(a/b+b/c+c/a)^2>=(3cbrt(abc/abc))^2 =9 >>>>>>>>> >>>>>>>>> Por Cauchy >>>>>>>>> LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)<=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9 >>>>>>>>> >>>>>>>>> LE>=9>=LD >>>>>>>>> Em 08/06/2015 19:20, "Mariana Groff" < >>>>>>>>> [email protected]> escreveu: >>>>>>>>> >>>>>>>>>> Boa Noite, >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> (British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005) >>>>>>>>>> Sejam a,b e c reais positivos. >>>>>>>>>> Prove que >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> (a/b+b/c+c/a)^2>=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> Atenciosamente, >>>>>>>>>> Mariana >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> -- >>>>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>>>>> >>>>>>>>> >>>>>>>> -- >>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> -- >>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>> >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
