Então não é trabalhoso, mas (a/b)^2 >= 1 + a/b - b/a não deveria ser provado? Desenvolvendo da pra ver que é, neste caso tem mais conta pra fazer.
Forte abraço Douglas Oliveira. Em 10 de junho de 2015 12:00, Alexandre Antunes < [email protected]> escreveu: > > Bom dia, > > Estou no trabalho, mas vou arriscar a minha primeira resposta no grupo. > > Desenvolvi os dois lados da expressao. > > (a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2 = 3 + (a/b + b/c + c/a) - (b/a + c/b + a/c) > > Como (a/b)^2 >= 1 + a/b - b/a > O mesmo para os demais termos > > Fica provado a proposição. > > O que acham desse trabalhoso caminho?!?! > Em 10/06/2015 09:00, "Pacini Bores" <[email protected]> escreveu: > >> Ok Mariana. >> >> Abraços >> >> Pacini >> >> Em 9 de junho de 2015 21:11, Mariana Groff < >> [email protected]> escreveu: >> >>> Oi Pacini, >>> Fiz do seguinte modo: >>> f (x)=x^2-x+1/x>=1 <=> x^3-x^2+1>=x <=> x^3-x^2-x+1>=0 <=>x^2 >>> (x-1)-(x-1)>=0 <=> (x^2-1)(x-1)>=0 >>> O que podemos ver que é verdade, analisando ambos os casos: em que x>=1 >>> e o caso em que 0 <x <1. >>> Abraços, >>> Mariana >>> Em 09/06/2015 20:55, "Pacini Bores" <[email protected]> escreveu: >>> >>>> Oi Mariana, >>>> >>>> Determinei o mínimo da função usando a derivada. Não entendi o seu >>>> caminho, pois a função é >>>> >>>> f(x) = x^2-x+1/x. >>>> >>>> Abraços >>>> >>>> Pacini >>>> >>>> Em 9 de junho de 2015 18:09, Mariana Groff < >>>> [email protected]> escreveu: >>>> >>>>> Oi Pacini, >>>>> Compreendi seu raciocínio. Para provar que f(x)>=1, basta analisarmos >>>>> que (x^2-1)(x-1)>=0, o que verifica-se pois se x>=1, o produto é >>>>> claramente >>>>> não-negativo e se 0<x<1, vemos que, tanto x^2-1 quanto x-1 são negativos, >>>>> tornando o produto positivo, isso? >>>>> >>>>> >>>>> Em 9 de junho de 2015 11:48, Pacini Bores <[email protected]> >>>>> escreveu: >>>>> >>>>>> Oi Mariana, >>>>>> Observe que provar a desigualdade pedida é equivalente provar que >>>>>> : >>>>>> >>>>>> {(a/b)^2-a/b+b/a} + {(b/c)^2-b/c+c/b} +{(c/a)^2-c/a+a/c} >=3, ok ? >>>>>> >>>>>> Agora façamos o seguinte : >>>>>> >>>>>> Seja f(x)= x^2-x+1/x, verifique que para x>0 o valor mínimo de f é 1. >>>>>> >>>>>> Donde teremos a desigualdade provada. >>>>>> >>>>>> Estou certo pessoal ? >>>>>> >>>>>> Abraços >>>>>> >>>>>> Pacini >>>>>> >>>>>> >>>>>> Em 8 de junho de 2015 20:30, Raphael Aureliano <[email protected] >>>>>> > escreveu: >>>>>> >>>>>>> Ah não, desculpa, errei em Cauchy ... >>>>>>> >>>>>>> Att. >>>>>>> Raphael >>>>>>> Em 08/06/2015 20:27, "Raphael Aureliano" <[email protected]> >>>>>>> escreveu: >>>>>>> >>>>>>>> MA>=MG >>>>>>>> LE=(a/b+b/c+c/a)^2>=(3cbrt(abc/abc))^2 =9 >>>>>>>> >>>>>>>> Por Cauchy >>>>>>>> LD=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)<=(sqrt(a/a) +sqrt(b/b)+sqrt(c/c))^2 =9 >>>>>>>> >>>>>>>> LE>=9>=LD >>>>>>>> Em 08/06/2015 19:20, "Mariana Groff" < >>>>>>>> [email protected]> escreveu: >>>>>>>> >>>>>>>>> Boa Noite, >>>>>>>>> >>>>>>>>> (British Mathematical Olympiad - Round 2 - 2005) >>>>>>>>> Sejam a,b e c reais positivos. >>>>>>>>> Prove que >>>>>>>>> >>>>>>>>> (a/b+b/c+c/a)^2>=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) >>>>>>>>> >>>>>>>>> Atenciosamente, >>>>>>>>> Mariana >>>>>>>>> >>>>>>>>> -- >>>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>> -- >>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>> >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
