[obm-l] Re: [obm-l] Problema olimpíada de maio
Hm, tive uma ideia, confiram se funciona. Seja S o conjunto dos numeros obtidos pela permutacao dos digitos de 1 a 7, e seja x_i a quantidade de elementos de S que deixam resto i na divisao por 7 (i=0,1,2,3,4,5,6). Agora vamos fazer dois pareamentos. (Ou seja, vamos criar funcoes f,g:S->S tal que f(f(N))=N e g(g(N))=N para todo N em S). PRIMEIRO: No primeiro pareamento, troque cada digito x de N=abcdefg pelo digito 8-x obtendo o numero f(N) (por exemplo, o numero N=1574326 eh pareado com f(N)=7314562). Claramente, f(N) esta em S, e f(f(N))=N. Como a soma desses dois numeros eh N+f(N)=888, que deixa resto 1 na divisao por 7, temos automaticamente que: -- Se N mod 7 = 1, entao f(N) mod 7 = 0; em outras palavras para cada numero N que deixa resto 1, temos exatamente um numero f(N) que deixa resto 0, e vice-versa; portanto x_1=x_0. -- Se N mod 7 = 2, entao f(N) mod 7 = 6; portanto x_2=x_6. -- Analogamente, x_3=x_5. SEGUNDO: Agora, g(N) eh obtido a partir de N trocando cada digito x por 7-x, EXCETO O DIGITO 7 que eh mantido. Por exemplo, se N=1754326 entao g(N)=6723451. Claramente g(N) estah em S, e g(g(N))=N. Agora, N+g(N) mod 7 = 777 = 0 (pois aquele 7 extra pode ser jogado fora sem alterar o resto modulo 7). Assim, de maneira analoga ao pareamento anterior, concluimos que: -- x_1=x_6; x_2=x_5; x_3=x_4. Encadeando tudo, concluimos que x_0=x_1=x_2=...=x_6. Assim, o numero pedido eh x_0=#(S)/7=6!. Abraco, Ralph. On Tue, Jan 22, 2019 at 9:57 PM Heitor Gama Ribeiro wrote: > Consideramos todos os números de 7 dígitos que se obtém permutando de > todas as maneiras possíveis os dígitos de 1234567. Quantos deles são > divisíveis por 7? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema olimpíada de maio
Consideramos todos os números de 7 dígitos que se obtém permutando de todas as maneiras possíveis os dígitos de 1234567. Quantos deles são divisíveis por 7? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número mínimo de raízes de f
Mas esse teorema não é óbvio, apesar de não ser difícil de provar. A minha solução me parece mais natural: ir testando "na mão" até que algum padrão fique evidente. On Tue, Jan 22, 2019 at 11:56 AM Artur Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: > É, o que podemos afirmar é que f tem pelo menos 401 raízes em [-1000, > 1000]. > > Uma outra forma de mostrar é com base no seguinte teorema: > > Se o gráfico de f é simétrico com relação a dois eixos verticais x = a e x > = b distintos, então f é periódica e um de seus períodos é 2|b - a|. > > Assim, a f do caso é periódica e um de seus períodos é 2(7 - 2) =10. > Verificamos que 4 e 14 = 4 + 10, além de 0, são raízes. Logo, os números da > forma a_n = 10n e b_n = 4 + 10n, n inteiro, são raízes.Disso concluímos > facilmente que, em [-1000, 1000] , há 401 raízes de uma destas formas. > > Para provarmos o teorema citado, observamos que, para todo x, > > f(a - x) = f(a + x) > f(b - x) = f(b + x) > > Logo para todo x, > > f(x) = f(a + (x - a)) = f(a - (x - a)) = f(2a - x) = f(b + (2a - x - b)) = > f(b - (2a - x - b)) = f(2(b - a) + x) > > Como b - a <> 0, vemos que f é periódica e que 2|b - a| é um de seus > períodos.. > > > > > Artur Costa Steiner > > Em ter, 22 de jan de 2019 10:26, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com escreveu: > >> 0 = >> f(0) = f(2-2) = f(2+2) = f(4); >> f(4) = f(7-3) = f(7+3) = f(10); >> f(10) = f(2+8) = f(2-8) = f(-6) >> f(-6) = f(7-13) = f(7+13) = f(20) >> f(20) = f(2+18) = f(2-18) = f(-16) >> f(-16) = f(7-23) = f(7+23) = f(30) >> ... >> Hipótese de indução: f(10n) = f(4-10n) = 0, para n >= 0. >> >> f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(2+10n+8) = f(2-10n-8) = f(-6-10n) = >> f(4-10(n+1)) >> Mas f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(7+10n+3) = f(7-10n-3) = f(4-10n) = 0, pela >> hipótese de indução. >> >> 0 = >> f(0) = f(7-7) = f(7+7) = f(14). >> f(14) = f(2+12) = f(2-12) = f(-10) >> f(-10) = f(7-17) = f(7+17) = f(24) >> f(24) = f(2+22) = f(2-22) = f(-20) >> f(-20) = f(7-27) = f(7+27) = f(34) >> f(34) = f(2+32) = f(2-32) = f(-30) >> ... >> Da mesma forma, dá pra provar que f(-10n) = f(14+10n) = 0, para n >= 0. >> >> Ou seja, no intervalo [-1000,1000], temos as raízes: >> -1000, -990, -980, ..., -10, 0, 10, ..., 980, 990, 1000 ==> 201 raízes >> e também: >> -996, -986, -976, ..., -16, -6, 4, 14, 24, ..., 994 ==> 200 raízes >> >> Assim, no intervalo [-1000,1000], f tem pelo menos 401 raízes. >> >> Mas, de fato, isso não prova que este é o número mínimo de raízes que f >> pode necessariamente ter. >> Pois é possível que as condições do enunciado forcem a existência de >> outras raízes. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> On Tue, Jan 22, 2019 at 8:09 AM Artur Steiner < >> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: >> >>> Acho esse interessante. >>> >>> Suponhamos que, para todo x, f de R em R satisfaça a >>> >>> f(2 - x) = f(2 + x) >>> f(7 - x) = f(7 + x) >>> >>> e f(0) = 0 >>> >>> Determine o número mínimo de raízes que f pode ter em [-1000, 1000] >>> >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número mínimo de raízes de f
É, o que podemos afirmar é que f tem pelo menos 401 raízes em [-1000, 1000]. Uma outra forma de mostrar é com base no seguinte teorema: Se o gráfico de f é simétrico com relação a dois eixos verticais x = a e x = b distintos, então f é periódica e um de seus períodos é 2|b - a|. Assim, a f do caso é periódica e um de seus períodos é 2(7 - 2) =10. Verificamos que 4 e 14 = 4 + 10, além de 0, são raízes. Logo, os números da forma a_n = 10n e b_n = 4 + 10n, n inteiro, são raízes.Disso concluímos facilmente que, em [-1000, 1000] , há 401 raízes de uma destas formas. Para provarmos o teorema citado, observamos que, para todo x, f(a - x) = f(a + x) f(b - x) = f(b + x) Logo para todo x, f(x) = f(a + (x - a)) = f(a - (x - a)) = f(2a - x) = f(b + (2a - x - b)) = f(b - (2a - x - b)) = f(2(b - a) + x) Como b - a <> 0, vemos que f é periódica e que 2|b - a| é um de seus períodos.. Artur Costa Steiner Em ter, 22 de jan de 2019 10:26, Claudio Buffara 0 = > f(0) = f(2-2) = f(2+2) = f(4); > f(4) = f(7-3) = f(7+3) = f(10); > f(10) = f(2+8) = f(2-8) = f(-6) > f(-6) = f(7-13) = f(7+13) = f(20) > f(20) = f(2+18) = f(2-18) = f(-16) > f(-16) = f(7-23) = f(7+23) = f(30) > ... > Hipótese de indução: f(10n) = f(4-10n) = 0, para n >= 0. > > f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(2+10n+8) = f(2-10n-8) = f(-6-10n) = f(4-10(n+1)) > Mas f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(7+10n+3) = f(7-10n-3) = f(4-10n) = 0, pela > hipótese de indução. > > 0 = > f(0) = f(7-7) = f(7+7) = f(14). > f(14) = f(2+12) = f(2-12) = f(-10) > f(-10) = f(7-17) = f(7+17) = f(24) > f(24) = f(2+22) = f(2-22) = f(-20) > f(-20) = f(7-27) = f(7+27) = f(34) > f(34) = f(2+32) = f(2-32) = f(-30) > ... > Da mesma forma, dá pra provar que f(-10n) = f(14+10n) = 0, para n >= 0. > > Ou seja, no intervalo [-1000,1000], temos as raízes: > -1000, -990, -980, ..., -10, 0, 10, ..., 980, 990, 1000 ==> 201 raízes > e também: > -996, -986, -976, ..., -16, -6, 4, 14, 24, ..., 994 ==> 200 raízes > > Assim, no intervalo [-1000,1000], f tem pelo menos 401 raízes. > > Mas, de fato, isso não prova que este é o número mínimo de raízes que f > pode necessariamente ter. > Pois é possível que as condições do enunciado forcem a existência de > outras raízes. > > []s, > Claudio. > > > > On Tue, Jan 22, 2019 at 8:09 AM Artur Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: > >> Acho esse interessante. >> >> Suponhamos que, para todo x, f de R em R satisfaça a >> >> f(2 - x) = f(2 + x) >> f(7 - x) = f(7 + x) >> >> e f(0) = 0 >> >> Determine o número mínimo de raízes que f pode ter em [-1000, 1000] >> >> >> Artur Costa Steiner >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número mínimo de raízes de f
Mas o enunciado fala em FUNÇÃO e não em POLINÔMIO. E, mesmo neste último caso, não é verdade, em geral, que f(2-x) = f(2) + f(-x) = f(2+x) = f(2) + f(x) []s, Claudio. On Tue, Jan 22, 2019 at 11:10 AM Olson wrote: > Se f(x) for um polinômio qualquer e f(0) =0, então o termo independente é > igual a 0 também. Por isso, f(2-x) = f(2) + f(-x) = f(2+x) = f(2) + f(x), o > que nos dá f(x) = f(-x). Das soluções que o Cláudio mostrou, as -1000, > -990, ..., 990, 1000 já obedecem isso. Se usarmos isso nas outras soluções, > encontramos que 996, 986, 976, ..., -984, -994 também são soluções, o que > nos dá 601 raízes ao todo. > > Em ter, 22 de jan de 2019 10:26, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com escreveu: > >> 0 = >> f(0) = f(2-2) = f(2+2) = f(4); >> f(4) = f(7-3) = f(7+3) = f(10); >> f(10) = f(2+8) = f(2-8) = f(-6) >> f(-6) = f(7-13) = f(7+13) = f(20) >> f(20) = f(2+18) = f(2-18) = f(-16) >> f(-16) = f(7-23) = f(7+23) = f(30) >> ... >> Hipótese de indução: f(10n) = f(4-10n) = 0, para n >= 0. >> >> f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(2+10n+8) = f(2-10n-8) = f(-6-10n) = >> f(4-10(n+1)) >> Mas f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(7+10n+3) = f(7-10n-3) = f(4-10n) = 0, pela >> hipótese de indução. >> >> 0 = >> f(0) = f(7-7) = f(7+7) = f(14). >> f(14) = f(2+12) = f(2-12) = f(-10) >> f(-10) = f(7-17) = f(7+17) = f(24) >> f(24) = f(2+22) = f(2-22) = f(-20) >> f(-20) = f(7-27) = f(7+27) = f(34) >> f(34) = f(2+32) = f(2-32) = f(-30) >> ... >> Da mesma forma, dá pra provar que f(-10n) = f(14+10n) = 0, para n >= 0. >> >> Ou seja, no intervalo [-1000,1000], temos as raízes: >> -1000, -990, -980, ..., -10, 0, 10, ..., 980, 990, 1000 ==> 201 raízes >> e também: >> -996, -986, -976, ..., -16, -6, 4, 14, 24, ..., 994 ==> 200 raízes >> >> Assim, no intervalo [-1000,1000], f tem pelo menos 401 raízes. >> >> Mas, de fato, isso não prova que este é o número mínimo de raízes que f >> pode necessariamente ter. >> Pois é possível que as condições do enunciado forcem a existência de >> outras raízes. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> On Tue, Jan 22, 2019 at 8:09 AM Artur Steiner < >> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: >> >>> Acho esse interessante. >>> >>> Suponhamos que, para todo x, f de R em R satisfaça a >>> >>> f(2 - x) = f(2 + x) >>> f(7 - x) = f(7 + x) >>> >>> e f(0) = 0 >>> >>> Determine o número mínimo de raízes que f pode ter em [-1000, 1000] >>> >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número mínimo de raízes de f
Se f(x) for um polinômio qualquer e f(0) =0, então o termo independente é igual a 0 também. Por isso, f(2-x) = f(2) + f(-x) = f(2+x) = f(2) + f(x), o que nos dá f(x) = f(-x). Das soluções que o Cláudio mostrou, as -1000, -990, ..., 990, 1000 já obedecem isso. Se usarmos isso nas outras soluções, encontramos que 996, 986, 976, ..., -984, -994 também são soluções, o que nos dá 601 raízes ao todo. Em ter, 22 de jan de 2019 10:26, Claudio Buffara 0 = > f(0) = f(2-2) = f(2+2) = f(4); > f(4) = f(7-3) = f(7+3) = f(10); > f(10) = f(2+8) = f(2-8) = f(-6) > f(-6) = f(7-13) = f(7+13) = f(20) > f(20) = f(2+18) = f(2-18) = f(-16) > f(-16) = f(7-23) = f(7+23) = f(30) > ... > Hipótese de indução: f(10n) = f(4-10n) = 0, para n >= 0. > > f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(2+10n+8) = f(2-10n-8) = f(-6-10n) = f(4-10(n+1)) > Mas f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(7+10n+3) = f(7-10n-3) = f(4-10n) = 0, pela > hipótese de indução. > > 0 = > f(0) = f(7-7) = f(7+7) = f(14). > f(14) = f(2+12) = f(2-12) = f(-10) > f(-10) = f(7-17) = f(7+17) = f(24) > f(24) = f(2+22) = f(2-22) = f(-20) > f(-20) = f(7-27) = f(7+27) = f(34) > f(34) = f(2+32) = f(2-32) = f(-30) > ... > Da mesma forma, dá pra provar que f(-10n) = f(14+10n) = 0, para n >= 0. > > Ou seja, no intervalo [-1000,1000], temos as raízes: > -1000, -990, -980, ..., -10, 0, 10, ..., 980, 990, 1000 ==> 201 raízes > e também: > -996, -986, -976, ..., -16, -6, 4, 14, 24, ..., 994 ==> 200 raízes > > Assim, no intervalo [-1000,1000], f tem pelo menos 401 raízes. > > Mas, de fato, isso não prova que este é o número mínimo de raízes que f > pode necessariamente ter. > Pois é possível que as condições do enunciado forcem a existência de > outras raízes. > > []s, > Claudio. > > > > On Tue, Jan 22, 2019 at 8:09 AM Artur Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: > >> Acho esse interessante. >> >> Suponhamos que, para todo x, f de R em R satisfaça a >> >> f(2 - x) = f(2 + x) >> f(7 - x) = f(7 + x) >> >> e f(0) = 0 >> >> Determine o número mínimo de raízes que f pode ter em [-1000, 1000] >> >> >> Artur Costa Steiner >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Número mínimo de raízes de f
0 = f(0) = f(2-2) = f(2+2) = f(4); f(4) = f(7-3) = f(7+3) = f(10); f(10) = f(2+8) = f(2-8) = f(-6) f(-6) = f(7-13) = f(7+13) = f(20) f(20) = f(2+18) = f(2-18) = f(-16) f(-16) = f(7-23) = f(7+23) = f(30) ... Hipótese de indução: f(10n) = f(4-10n) = 0, para n >= 0. f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(2+10n+8) = f(2-10n-8) = f(-6-10n) = f(4-10(n+1)) Mas f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(7+10n+3) = f(7-10n-3) = f(4-10n) = 0, pela hipótese de indução. 0 = f(0) = f(7-7) = f(7+7) = f(14). f(14) = f(2+12) = f(2-12) = f(-10) f(-10) = f(7-17) = f(7+17) = f(24) f(24) = f(2+22) = f(2-22) = f(-20) f(-20) = f(7-27) = f(7+27) = f(34) f(34) = f(2+32) = f(2-32) = f(-30) ... Da mesma forma, dá pra provar que f(-10n) = f(14+10n) = 0, para n >= 0. Ou seja, no intervalo [-1000,1000], temos as raízes: -1000, -990, -980, ..., -10, 0, 10, ..., 980, 990, 1000 ==> 201 raízes e também: -996, -986, -976, ..., -16, -6, 4, 14, 24, ..., 994 ==> 200 raízes Assim, no intervalo [-1000,1000], f tem pelo menos 401 raízes. Mas, de fato, isso não prova que este é o número mínimo de raízes que f pode necessariamente ter. Pois é possível que as condições do enunciado forcem a existência de outras raízes. []s, Claudio. On Tue, Jan 22, 2019 at 8:09 AM Artur Steiner wrote: > Acho esse interessante. > > Suponhamos que, para todo x, f de R em R satisfaça a > > f(2 - x) = f(2 + x) > f(7 - x) = f(7 + x) > > e f(0) = 0 > > Determine o número mínimo de raízes que f pode ter em [-1000, 1000] > > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Número mínimo de raízes de f
Se f(0) = 0, é correto afirmar que o termo independente de f seja igual a 0? Se for correto, então f(2-x) = f(2) + f(-x), e, portanto f(x) = f(-x). Está certo? Em ter, 22 de jan de 2019 08:09, Artur Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com escreveu: > Acho esse interessante. > > Suponhamos que, para todo x, f de R em R satisfaça a > > f(2 - x) = f(2 + x) > f(7 - x) = f(7 + x) > > e f(0) = 0 > > Determine o número mínimo de raízes que f pode ter em [-1000, 1000] > > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Número mínimo de raízes de f
Acho esse interessante. Suponhamos que, para todo x, f de R em R satisfaça a f(2 - x) = f(2 + x) f(7 - x) = f(7 + x) e f(0) = 0 Determine o número mínimo de raízes que f pode ter em [-1000, 1000] Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
