Re: [obm-l]
Fiz as contas (multiplicador de lagrange, parece muita conta mas é bem
fazível) e é isso mesmo. Se eu não errei nada, fica
k = 1 / raíz[ n (n-1) ]
e a resposta é que o máximo possível para a soma dos cubos é:
(1 - 2/n) / (1 - 1/n)^(1/2)
que curiosamente é uma função crescente de n. Não está definida para
n=1 (de fato, o problema {x=0, x^2=1} é impossível), vale zero para
n=2 (trivial de verificar diretamente), e tende a 1 à medida que n
cresce. Suponho que haja alguma lição interessante a ser aprendida
disso? Ou é só um monte de conta e ponto final? rsrsrs
Le jeu. 12 déc. 2019 à 22:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
a écrit :
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> On Thu, Dec 12, 2019 at 6:49 PM Esdras Muniz
> wrote:
> >
> > Isso aí pode ir para o infinito: tome k real positivo arbitrário. Daí tome:
> > (-k)+(-k)+...+(-k)+(n-1)k=0
> > (-k)^3+(-k)^3+...+(-k)^3+((n-1)k)^3=k^3((n-1)^3-(n-1)).
> > Esse último fator vai pra o infinito com k.
>
> A soma dos quadrados é um. O máximo (e o mínimo) existem e são
> finitos. Acredito que a resposta certa segue sua ideia (aliás, não é
> a primeira vez que este problema aparece aqui), apenas fixando k tal
> que a soma dos quadrados seja um. Mas poderia ser diferente, e não
> parei para pensar.
>
> >> Em seg., 9 de dez. de 2019 às 20:29, gilberto azevedo
> >> escreveu:
> >> >
> >> > Sabendo que :
> >> > x_1 + ... + x_n = 0
> >> > x_1 ² + ... + x_n ² = 1
> >> > Qual o valor máximo de x_1 ³ + ... + x_n ³ ?
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l]
On Thu, Dec 12, 2019 at 6:49 PM Esdras Muniz wrote: > > Isso aí pode ir para o infinito: tome k real positivo arbitrário. Daí tome: > (-k)+(-k)+...+(-k)+(n-1)k=0 > (-k)^3+(-k)^3+...+(-k)^3+((n-1)k)^3=k^3((n-1)^3-(n-1)). > Esse último fator vai pra o infinito com k. A soma dos quadrados é um. O máximo (e o mínimo) existem e são finitos. Acredito que a resposta certa segue sua ideia (aliás, não é a primeira vez que este problema aparece aqui), apenas fixando k tal que a soma dos quadrados seja um. Mas poderia ser diferente, e não parei para pensar. >> Em seg., 9 de dez. de 2019 às 20:29, gilberto azevedo >> escreveu: >> > >> > Sabendo que : >> > x_1 + ... + x_n = 0 >> > x_1 ² + ... + x_n ² = 1 >> > Qual o valor máximo de x_1 ³ + ... + x_n ³ ? Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l]
Isso aí pode ir para o infinito: tome k real positivo arbitrário. Daí tome: (-k)+(-k)+...+(-k)+(n-1)k=0 (-k)^3+(-k)^3+...+(-k)^3+((n-1)k)^3=k^3((n-1)^3-(n-1)). Esse último fator vai pra o infinito com k. Em qui, 12 de dez de 2019 18:20, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Suas postagens vêm sempre sem título? > > Em seg., 9 de dez. de 2019 às 20:29, gilberto azevedo > escreveu: > > > > Sabendo que : > > x_1 + ... + x_n = 0 > > x_1 ² + ... + x_n ² = 1 > > Qual o valor máximo de x_1 ³ + ... + x_n ³ ? > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l]
Suas postagens vêm sempre sem título? Em seg., 9 de dez. de 2019 às 20:29, gilberto azevedo escreveu: > > Sabendo que : > x_1 + ... + x_n = 0 > x_1 ² + ... + x_n ² = 1 > Qual o valor máximo de x_1 ³ + ... + x_n ³ ? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Funcional equation
Pensei mais um pouco sobre o problema e acho que encontrei uma solução: 1. Todo polinômio que satisfaz a equação, exceto P(x)=x, tem apenas termos com expoente par: Se P(x) tem um termo de grau ímpar, digamos ax^n, podemos escrever P(x) = ax^n + Q(x) + c, onde c é uma constante diferente de 0 (já que c=0 implicaria P(x)=x, como mostrei no meu outro e-mail) Escrevemos então P(x^2+1)=(ax^n + Q(x) + c)^2+1 O lado esquerdo tem apenas termos com potências pares. O lado direito pode ser escrito como (a^2)x^(2n) + (Q(x))^2 + c^2 + 2cQ(x) + 2a(x^n)Q(x) + 2acx^n, que tem termo com grau ímpar 2acx^n, contradição. 2. Se P(x) satisfaz a equação, então Q(x)=P(sqrt(x-1)) também satisfaz: Temos P(x^2+1)=(P(x))^2+1. Pondo u=x^2+1, temos P(u)=(P(sqrt(u-1)))^2+1, ou P(u)=(Q(u))^2+1. Mas u=sqrt((u^2+1)-1), então P(u)=Q(u^2+1). Finalmente Q(u^2+1)=(Q(u))^2+1 Note que Q também é um polinômio: Já que P só pode ter termos com expoentes pares, P(sqrt(u-1)) vai cancelar as raízes. 3. O grau de P(x) deve ser uma potência de 2: Suponha que o grau de P(x) seja k2^n, onde k é ímpar. Aplique o lema anterior n vezes para obter um polinômio Q(x) de grau k. Mas soluções da equação funcional não podem ter termos de grau ímpar. Contradição. Finalmente, o meu último e-mail mostra que se f(x)=x^2+1, então x, e f^n(x), onde f^n é a iteração de f n vezes, todos satisfazem a equação, e f^n(x) é um polinômio de grau 2^n. Para concluir a solução, o @Esdras Muniz pode compartilhar a demonstração de que existe apenas uma solução por grau. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
