[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Homeomorfismo entre o Nó trifólio e o círculo

[Igor Caetano Diniz]

Perfeito,
Obrigado
[]s

Igor

On Sat, 22 Sep 2018 at 22:03, Claudio Buffara 
wrote:

> De acordo com a wikipedia, as equações paramétricas de um trefoil knot são:
> [image: x=\sin t+2\sin 2t]{\displaystyle y=\cos t-2\cos 2t}[image:
> {\displaystyle y=\cos t-2\cos 2t}]{\displaystyle z=-\sin 3t}[image:
> {\displaystyle z=-\sin 3t}]
>
> Restringindo o domínio de t ao intervalo [0,2pi], (x,y,z) "percorrerá" o
> nó uma vez e voltará ao ponto de partida (0,-1,0).
> Ou seja, as equações definem uma bijeção F:[0,2pi) -> T  (T = trefoil
> knot)).
>
> Em seguida, tome a bijeção G:[0,2pi) -> S^1 dada por F(t) =
> (cos(t),sen(t)).
>
> A composta F o G^(-1): S^1 -> T será o homeomorfismo desejado.
>
> Repare que apesar de F e G serem bijeções contínuas, elas não são
> homeomorfismos (o intervalo [0,2pi) não é homeomorfo a uma curva fechada).
> Mas a composta F o G^(-1) é.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Sat, Sep 22, 2018 at 2:15 AM Igor Caetano Diniz <
> icaetanodi...@gmail.com> wrote:
>
>> Olá,
>>
>> Estou lendo o livro Real Mathematical Analysis do Pugh e ele mostra o nó
>> de trevo(nó trifólio, ou trefoil knot), e aparentemente ele é homeomorfo ao
>> círculo.(Não estudei topologia propriamente dita ainda. Estamos em análise
>> rs).
>>
>> No entanto, já vi esse resultado algumas vezes na internet mas eu
>> gostaria de uma fórmula explícita de um homomorfismo. Alguém conhece ou
>> poderia me dar uma ideia?
>>
>> Abraços
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Homeomorfismo entre o Nó trifólio e o círculo

[Igor Caetano Diniz]

Olá,

Estou lendo o livro Real Mathematical Analysis do Pugh e ele mostra o nó de
trevo(nó trifólio, ou trefoil knot), e aparentemente ele é homeomorfo ao
círculo.(Não estudei topologia propriamente dita ainda. Estamos em análise
rs).

No entanto, já vi esse resultado algumas vezes na internet mas eu gostaria
de uma fórmula explícita de um homomorfismo. Alguém conhece ou poderia me
dar uma ideia?

Abraços

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ensino de matemática

[Igor Caetano Diniz]

Olá,

Tenho interesse também.

Abraços

On Wed, Jul 11, 2018, 23:20 matematica10complicada <
profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:

> me too
>
> Em qua, 11 de jul de 2018 22:57, Felipe Vieira Frujeri 
> escreveu:
>
>> Olá. Eu também tenho a mesma visão de mundo que vcs :)
>>
>> On Wed, Jul 11, 2018, 5:51 PM Leandro Martins 
>> wrote:
>>
>>> Caros,
>>>
>>> Também tenho interesse em participar de tal discussão. Maior que minha
>>> aproximação com a Matemática Olímpica, é minha aproximação com a
>>> Matemática. Ainda maior é a aproximação de muitos alunos, sob diversos
>>> aspectos.
>>>
>>> Vejamos no que dá...
>>>
>>> Abraço!
>>>
>>> Em 11 de julho de 2018 12:30, Claudio Buffara >> > escreveu:
>>>
 Prezados colegas da lista:

 Entendo que o tema pode ser off-topic pois não trata especificamente de
 problemas olímpicos, mas aqui vai de qualquer forma...

 Algum de vocês se interessa pelo ensino de matemática (escolar ou
 universitário)?

 Pergunto porque há anos tenho pensado na melhor forma de ensinar
 matemática (principalmente em termos de composição do currículo e de
 apresentação dos tópicos nos livros didáticos), estou convencido de que não
 estamos fazendo certo, nem na escola e nem na universidade, e gostaria de
 ter gente interessada pra debater idéias e, quem sabe, elaborar algum
 projeto mais concreto.

 Em linhas gerais, discordo da ordem em que os assuntos são abordados,
 na maioria dos livros.
 O foco é muito mais na ordem lógica (seguindo o rigor do método
 axiomático, mesmo em livros pra ensino médio) sem nenhuma preocupação:
 - com a motivação para os resultados que são apresentados (e, nos
 ensinos fundamental e médio, quase nunca demonstrados);
 - com tornar estes resultados intuitivos para o estudante.

 Também acho que certos assuntos deveriam ser incluídos e outros
 excluídos do currículo, mas este, pra mim, é um problema menor. Pois,
 qualquer que seja o tópico, se for bem ensinado e incentivar o aluno a
 pensar, já tá valendo.

 A meu ver, seria ideal se cada tópico do currículo de matemática fosse
 apresentado seguindo a sequência:
 identificação de padrões ("patterns") ==> formulação de conjecturas ==>
 demonstração destas conjecturas.
 Pois esta é a maneira como a matemática é criada.
 Mas acho que muito poucos professores estão capacitados pra ensinar
 matemática deste jeito.

 Em particular, no Ensino Médio, a ênfase nos últimos anos tem sido na
 tal contextualização, que pode ser vista em todo o seu esplendor nas provas
 do Enem.
 O resultado disso me parece ser um retrocesso na formação matemática
 dos alunos e também a disseminação da mentalidade de que a única matemática
 que deve ser estudada é aquela que é usada no dia-a-dia dos cidadãos 
 comuns.

 E, na universidade, a coisa não é muito melhor, mesmo num assunto que
 só é visto na graduação em matemática. a análise real.
 Vejam só:
 Os livros tratam da topologia da reta antes de conceitos tais como
 compacidade e conexidade se mostrarem realmente necessários (o que, de
 fato, só ocorre em dimensão > 1; na reta, quase tudo pode ser demonstrado
 com base em sequências e no método da bisseção, que são coisas bastante
 intuitivas, mas que quase nunca são usadas).

 Limites e continuidade podem ser introduzidos também com base em
 sequências, interpretando-se os epsilons como margens de erro em
 aproximação.

 Aliás, a noção de que análise nada mais é do que uma teoria de
 aproximações quase nunca é mencionada.
 Por exemplo, foi só estudando a análise do R^n é que eu me dei conta de
 que a derivada é uma aproximação de uma função arbitrária por uma função
 afim.
 Antes disso, eu só sabia que "derivada = inclinação da reta tangente".

 Os livros também mencionam critérios de convergência de séries
 (Dirichlet, Abel, etc.) que vêm do nada (pois foram inventados para o
 estudo de séries de Fourier, que estes liros não abordam).

 E o principal resultado sobre convergência de séries de potências
 decorre quase trivialmente do estudo das PGs infinitas (assunto de Ensino
 Médio). Mas qual livro deixa isso explícito?

 E, pra terminar, poucos têm uma figura para ilustrar o teorema
 fundamental do cálculo que, com uma figura bem feita, fica bem intuitivo.
 No entanto, a análise na reta em geral é apresentada com um caráter
 aritmético/algébrico, mas quase nunca geométrico.

 Obrigado pela atenção.

 []s,
 Claudio.

 --
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 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
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[obm-l] Re: [obm-l] Indicação de Livro

[Igor Caetano Diniz]

How to prove it do author Daniel Valleman(se eu não estiver errado)

Excelente livro e muito claro.
Outro bom de ter eh o Paul Halmos, Naive set theory

On Sat, Apr 28, 2018, 13:17 Luiz Antonio Rodrigues 
wrote:

> Olá, amigos!
> Boa tarde!
> Ontem eu fiz uma avaliação na universidade e fui mal na prova.
> Porque eu não estudei? Não!
> Porque não tenho conhecimentos sólidos necessários para um curso superior,
> principalmente de lógica e demonstrações...
> Alguém pode me indicar um (ou mais de um) livro para eu estudar por minha
> conta? Pode ser em Inglês...
> Muito obrigado e um abraço!
> Luiz
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de derivada

[Igor Caetano Diniz]

na verdade eu não fiz rsrs.

Eu queria ver um modo claro de mostrar. Se não puder usar L'Hospital, acho
que tem que fazer uma sequência por baixo e uma por cima aplicando TVM em
cada intervalo. Aí usa o fato dessa sequencia ser limitada, e monotona,
portanto, convergente. Logo lim f'(xn) = L tanto por cima, quanto por
baixo. como existem esses limites laterais e de mesmo valor, a derivada
existe.

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de derivada

[Igor Caetano Diniz]

Se a questão tivesse um intervalo explícito [a,b] e diferenciável em todo
ponto (a,b) exceto possivelmente num ponto c em (a,b) tal que lim f '(x) =
L, x-> c, o que eu fiz estaria correto?

2018-04-23 14:11 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>:

> Como f é contínua em 0, então, pela regra de L'Hopital,
>
> lim x --> 0+  (f(x) - f0))/(x - 0) = lim x --> 0+ f'(x) = L
>
> Pela definição de derivada lateral, o limite do primeiro membro é a
> derivada à direita de 0. É só o que podemos concluir do enunciado. Nada
> garante que a derivada à esquerda de 0 sequer exista.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em Dom, 22 de abr de 2018 22:45, Igor Caetano Diniz <
> icaetanodi...@gmail.com> escreveu:
>
>> Boa noite,
>> Gostaria de uma ajuda numa questão. Primeiro saber se pensei corretamente
>> na maneira (1) e se é possível resolver como pensei também na maneira (2).
>> Aí vai:
>> Questão 5.3.8 do livro do Stephen Abbot, Understanding Analysis:
>>
>> Assuma que f é contínua em um intervalo que contém o zero e diferenciável
>> em todo ponto diferente de zero. Se lim f ' (x) = L, x->0, prove que f '
>> (0) existe e é igual a L.
>>
>> O que pensei em fazer:
>>
>> Pensei em duas maneiras.
>> 1)Se o limite existe em 0, então existem os limites laterais, limite a
>> esquerda e limite a direita: lim x->0- f ' (x) = L e lim x->0+ f ' (x) = L.
>> Lema: f ' (c) = lim f(c+h)-f(c-h)/2h = lim [ f(c+h)-f(c) +f(c) - f(c-h)
>> ]/2h = 1/2 lim x->c-[f(c+h)-f(c)/h] + 1/2 lim x->c+ [f(c+h)-f(c)/h]
>>
>> Logo como existem esses limites laterais, existe a derivada em 0, e
>> portanto, é L
>>
>> 2) queria tentar fazer, usando uma sequência xn<0 com limxn = 0 e yn>0
>> com lim yn = 0 e provar que lim(f(yn)-f(xn)/(yn-xn)) = f'(0) = L. Mas sinto
>> que isso é verdade e não sei provar
>>
>> Abraços
>>
>> --
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>
>
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de derivada

[Igor Caetano Diniz]

Então,

Se existem os limites laterais, lim f ' (0-) = lim f ' (0+) então, defina
q(x) = [f(x) - f(0)]/x. Para todo x<0, existe y1 entre x e 0 tal que f '
(y) = q(x). Analogamente para x>0, existe z1 entre 0 e x tal que f ' (z) =
q(x).
Defina r(x,0) a distancia de x para 0
Então, seja yn = yn-1 + r(y_n-1,0)/2 e zn = zn-1 + r(z_n-1,0)/2. Tal
sequência converge para o 0 com lim yn = 0 = lim zn. Além disso, lim f '
(yn) = L = lim f ' (zn)

Não estou conseguindo concluir. Alguém poderia ajudar?

Abraços

2018-04-23 11:25 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com>:

> 2018-04-22 22:36 GMT-03:00 Igor Caetano Diniz <icaetanodi...@gmail.com>:
> > Boa noite,
> > Gostaria de uma ajuda numa questão. Primeiro saber se pensei
> corretamente na
> > maneira (1) e se é possível resolver como pensei também na maneira (2).
> > Aí vai:
> > Questão 5.3.8 do livro do Stephen Abbot, Understanding Analysis:
> >
> > Assuma que f é contínua em um intervalo que contém o zero e
> diferenciável em
> > todo ponto diferente de zero. Se lim f ' (x) = L, x->0, prove que f ' (0)
> > existe e é igual a L.
> >
> > O que pensei em fazer:
> >
> > Pensei em duas maneiras.
> > 1)Se o limite existe em 0, então existem os limites laterais, limite a
> > esquerda e limite a direita: lim x->0- f ' (x) = L e lim x->0+ f ' (x) =
> L.
> > Lema: f ' (c) = lim f(c+h)-f(c-h)/2h = lim [ f(c+h)-f(c) +f(c) - f(c-h)
> ]/2h
> > = 1/2 lim x->c-[f(c+h)-f(c)/h] + 1/2 lim x->c+ [f(c+h)-f(c)/h]
> >
> > Logo como existem esses limites laterais, existe a derivada em 0, e
> > portanto, é L
>
> Cuidado, Igor: a existência do limite [f(c+h) - f(c-h)]/2h quando h ->
> 0 não implica que existe a derivada.  Por exemplo, se f(x) = |x|, o
> limite dá zero, mas a derivada não existe.
>
> > 2) queria tentar fazer, usando uma sequência xn<0 com limxn = 0 e yn>0
> com
> > lim yn = 0 e provar que lim(f(yn)-f(xn)/(yn-xn)) = f'(0) = L. Mas sinto
> que
> > isso é verdade e não sei provar
>
> De novo, pelo mesmo exemplo acima, não basta provar que os limites com
> um ponto de cada lado dão certo.  Acho (só acho) que se *todos* os
> limites possíveis derem iguais, então a derivada existe, o que
> justifica a sua abordagem, mas daí você teria que provar o enunciado
> geral
>
> "Se f é contínua, e para TODA sequência x_n < 0 < y_n, com x_n -> 0,
> y_n ->0, vale que [f(y_n) - f(x_n)]/(y_n - x_n) -> L, então f é
> derivável em zero, e f'(0) = L."
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Questão de derivada

[Igor Caetano Diniz]

Boa noite,
Gostaria de uma ajuda numa questão. Primeiro saber se pensei corretamente
na maneira (1) e se é possível resolver como pensei também na maneira (2).
Aí vai:
Questão 5.3.8 do livro do Stephen Abbot, Understanding Analysis:

Assuma que f é contínua em um intervalo que contém o zero e diferenciável
em todo ponto diferente de zero. Se lim f ' (x) = L, x->0, prove que f '
(0) existe e é igual a L.

O que pensei em fazer:

Pensei em duas maneiras.
1)Se o limite existe em 0, então existem os limites laterais, limite a
esquerda e limite a direita: lim x->0- f ' (x) = L e lim x->0+ f ' (x) = L.
Lema: f ' (c) = lim f(c+h)-f(c-h)/2h = lim [ f(c+h)-f(c) +f(c) - f(c-h)
]/2h = 1/2 lim x->c-[f(c+h)-f(c)/h] + 1/2 lim x->c+ [f(c+h)-f(c)/h]

Logo como existem esses limites laterais, existe a derivada em 0, e
portanto, é L

2) queria tentar fazer, usando uma sequência xn<0 com limxn = 0 e yn>0 com
lim yn = 0 e provar que lim(f(yn)-f(xn)/(yn-xn)) = f'(0) = L. Mas sinto que
isso é verdade e não sei provar

Abraços

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Combinatória

[Igor Caetano Diniz]

Vou mostrar a sua e a minha e aí se ele não aprender com as duas, tento
fazer devagar em casos menores. hehe

Abraços Cláudio e obrigado =)

2018-03-29 15:17 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>:

> Sim. Acho essa uma solução bem mais elegante.
> Mas também é mais sofisticada, e você falou que o aluno é principiante.
>
> De todo jeito, acho que raciocinar recursivamente é uma habilidade que
> todo estudante de matemática deveria desenvolver.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-03-29 14:45 GMT-03:00 Igor Caetano Diniz <icaetanodi...@gmail.com>:
>
>> Olá Claudio
>> Pensei numa solução agora que acredito que eu possa explicar e a pessoa
>> irá entender:
>>
>> Para 1 bit, 2 possibilidades
>> Para 2 bits, 3
>> Para 3 bits, basta separar em casos: Se for 0 _ _, cai no caso anterior.
>> Se for 1 _ _ tem que ser  1 0 _ e, então, cai no caso anterior-1.
>> Para 4 bits, separe de novo: 0 _ _ _, que cai no problema anterior, ou, 1
>> 0 _ _, caindo no anterior -1.
>> Ou seja, Para N bits: F(N) = F(N-1) + F(N-2). É um Fibonacci começando de
>> F(1) = 2 e F(2) = 3
>>
>>
>> Estaria correto assim?
>>
>> Abraços
>>
>> 2018-03-29 14:26 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>:
>>
>>> Sugestão: separe em casos em função do número N de 1’s na sequência.
>>>
>>> N = 0: 1 sequência
>>> N = 1: 8 sequências
>>> N = 2: 8*7/2 - 7 = 21
>>> (No de sequências sem restrições menos o no de sequências com os dois
>>> 1’s adjacentes)
>>> N = 4: 2
>>> N > 4: 0
>>>
>>> O caso N = 3 é o mais chatinho pois tem mais subcasos, mas não chega a
>>> ser difícil.
>>>
>>> Depois eu mando.
>>>
>>> Abs
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Enviado do meu iPhone
>>>
>>> Em 29 de mar de 2018, à(s) 13:31, Igor Caetano Diniz <
>>> icaetanodi...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>> > Olá pessoal,
>>> >
>>> > Estou com uma questão de Combinatória e gostaria de uma solução
>>> didática para ela pq como eu fiz ficou complexo para um aluno que iniciou
>>> combinatória agora.
>>> > segue a questão:
>>> >
>>> > Quantas sequências de 8 bits(com 0's e 1's) não têm dois 1
>>> consecutivos?
>>> >
>>> > Como foi resolvida: usando variáveis para contar quantos 0 estão
>>> entre 1's consecutivos, separada em casos de dois, três e quatro 1's
>>> consecutivos. Mas assim fica difícil para quem começou a aprender agora.
>>> >
>>> > Abraços
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Questão de Combinatória

[Igor Caetano Diniz]

Olá Claudio
Pensei numa solução agora que acredito que eu possa explicar e a pessoa irá
entender:

Para 1 bit, 2 possibilidades
Para 2 bits, 3
Para 3 bits, basta separar em casos: Se for 0 _ _, cai no caso anterior. Se
for 1 _ _ tem que ser  1 0 _ e, então, cai no caso anterior-1.
Para 4 bits, separe de novo: 0 _ _ _, que cai no problema anterior, ou, 1 0
_ _, caindo no anterior -1.
Ou seja, Para N bits: F(N) = F(N-1) + F(N-2). É um Fibonacci começando de
F(1) = 2 e F(2) = 3


Estaria correto assim?

Abraços

2018-03-29 14:26 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>:

> Sugestão: separe em casos em função do número N de 1’s na sequência.
>
> N = 0: 1 sequência
> N = 1: 8 sequências
> N = 2: 8*7/2 - 7 = 21
> (No de sequências sem restrições menos o no de sequências com os dois 1’s
> adjacentes)
> N = 4: 2
> N > 4: 0
>
> O caso N = 3 é o mais chatinho pois tem mais subcasos, mas não chega a ser
> difícil.
>
> Depois eu mando.
>
> Abs
>
>
>
>
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 29 de mar de 2018, à(s) 13:31, Igor Caetano Diniz <
> icaetanodi...@gmail.com> escreveu:
>
> > Olá pessoal,
> >
> > Estou com uma questão de Combinatória e gostaria de uma solução
> didática para ela pq como eu fiz ficou complexo para um aluno que iniciou
> combinatória agora.
> > segue a questão:
> >
> > Quantas sequências de 8 bits(com 0's e 1's) não têm dois 1
> consecutivos?
> >
> > Como foi resolvida: usando variáveis para contar quantos 0 estão entre
> 1's consecutivos, separada em casos de dois, três e quatro 1's
> consecutivos. Mas assim fica difícil para quem começou a aprender agora.
> >
> > Abraços
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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[obm-l] Questão de Combinatória

[Igor Caetano Diniz]

Olá pessoal,

Estou com uma questão de Combinatória e gostaria de uma solução didática
para ela pq como eu fiz ficou complexo para um aluno que iniciou
combinatória agora.
segue a questão:

Quantas sequências de 8 bits(com 0's e 1's) não têm dois 1 consecutivos?

Como foi resolvida: usando variáveis para contar quantos 0 estão entre 1's
consecutivos, separada em casos de dois, três e quatro 1's consecutivos.
Mas assim fica difícil para quem começou a aprender agora.

Abraços

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Cardinalidade

[Igor Caetano Diniz]

Fala Bernardo, tudo certo?
Mas sera que eu conseguiria provar que esses números não seriam uma
quantidade enumeravel de pontos entre 0 e 1 e, então, como é enumeravel, eu
consigo pegar uma quantidade enumeravel em P(N) para esses pontos. Acha que
seria ruim?

Abraço

On Jan 16, 2018 13:59, "Bernardo Freitas Paulo da Costa" <
bernardo...@gmail.com> wrote:

> 2018-01-16 1:10 GMT-02:00 Anderson Torres :
> > Eu na verdade pensei ao contrário:
> >
> > Começamos com o conjunto de todos os subconjuntos de N. Cada conjunto
> > será representado por uma string infinita de zeros e unzes, da
> > seguinte forma: Se o conjunto contiver o natural x, o x-ésimo
> > caractere desta string será 1; caso contrário, será 0.
> >
> > Botando zero-vírgula na frente, obtemos um número real escrito em base
> > 2, contido no intervalo [0,1] (para efeito de completude do argumento,
> > admitiremos strings infinitas de 1zes).
> >
> > Para cada real em [0,1], bastaria escrever na base 2 e criar um
> > conjunto a partir daí, seguindo os passos acima (se o X-esimo dígito é
> > 1, escolhe X, caso contrário, despreza X).
> >
> > Isso prova que existe uma bijeção entre o conjunto das partes de N e o
> > intervalo [0,1].
>
> Acho que tanto a sua demonstração como a do Sávio têm um problema:
>
> 0,0111... = 0.1...
>
> Isso quer dizer que o conjunto {0} e o conjunto {1,2,3,...} são
> enviados no mesmo número real (conhecido como 1/2, ou 0.5 em decimal).
>
> Eu sempre acho muita "forçação de barra" tentar exibir uma bijeção.
> 99% das vezes, é mais esforço do que precisa, sem ganhar muito
> entendimento.  Ou, como neste caso, papa-se uma mosca...  Minha
> sugestão é exibir uma sobrejeção de P(IN) em IR, e depois uma
> sobrejeção de IR em P(IN).  A primeira está garantida, pois basta
> compor a construção do número binário em [0,1] com qualquer sobrejeção
> deste conjunto em R.  Uma sobrejeção simples é mandar 0 e 1 "pra
> qualquer lugar", e depois usar uma bijeção de (0,1) em IR.
>
> Deixo para vocês pensarem como fazer para exibir uma sobrejeção de IR
> nas partes de IN.  Dica: IR contém [0,1) e [1,2).
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Cardinalidade

[Igor Caetano Diniz]

Uma ideia legal Para provar que (-1,1) tem bijeção com R, seria usar f(x) =
x/(x^2-1) provando que ela eh injetiva e sobrejetiva

On Jan 16, 2018 01:20, "Anderson Torres" <torres.anderson...@gmail.com>
wrote:

> Eu na verdade pensei ao contrário:
>
> Começamos com o conjunto de todos os subconjuntos de N. Cada conjunto
> será representado por uma string infinita de zeros e unzes, da
> seguinte forma: Se o conjunto contiver o natural x, o x-ésimo
> caractere desta string será 1; caso contrário, será 0.
>
> Botando zero-vírgula na frente, obtemos um número real escrito em base
> 2, contido no intervalo [0,1] (para efeito de completude do argumento,
> admitiremos strings infinitas de 1zes).
>
> Para cada real em [0,1], bastaria escrever na base 2 e criar um
> conjunto a partir daí, seguindo os passos acima (se o X-esimo dígito é
> 1, escolhe X, caso contrário, despreza X).
>
> Isso prova que existe uma bijeção entre o conjunto das partes de N e o
> intervalo [0,1].
>
> Agora, provar que [0,1] tem a mesma cardinalidade que R é mais
> chatinho. Dá para pensar geometricamente:
>
> Primeiro, [0,1] tem a mesma cardinalidade de [-1,+1], basta dobrar e
> tirar 1 (f(x)=2x-1).
>
> Agora, como demonstrar que [-1,+1] bijeta com todos os reais? Bem,
> isso não me parece complicado: se pensarmos na inversão de centro zero
> e raio um, o elemento X<1 vai ser levado em 1/X>1. Assim, todo número
> fora de [-1,+1] é bijetado com um dentro de [-1,+1] - podemos
> convencionar que -1,0,+1 vão neles mesmos.
>
> Para sermos mais precisos, o intervalo [0,1] é bijetado em [1,+inf], e
> o intervalo [-1,0] em [-inf,-1]
>
> Agora vem o toque final: acrescente 1 em cada elemento do intervalo
> [-inf,-1], diminua 1 em cada elemento de [1,+inf] e una os resultados.
> Com isso, obtemos uma bijeção de [-inf,-1] união [1,+inf] com toda a
> reta!
>
> E acabou!
> Em 15 de janeiro de 2018 17:11, Igor Caetano Diniz
> <icaetanodi...@gmail.com> escreveu:
> > Olá Sávio,
> > Muito obrigado. Tava pensando em algo parecido mas agora voce esclareceu
> > bastante.
> > Abraços
> >
> > On Jan 15, 2018 16:55, "Sávio Ribas" <savio.ri...@gmail.com> wrote:
> >>
> >> Boa tarde!
> >> A primeira parte servirá para mostrar que a cardinalidade de IR é igual
> à
> >> cardinalidade de [0,1].
> >> Não é difícil mostrar que a reta tem a mesma cardinalidade que, por
> >> exemplo, o intervalo (-1,1) -- basta tomar a bijeção f: (-1,1) -> IR
> dada
> >> por f(x) = tg(pi*x/2).
> >> O passo seguinte seria mostrar que (-1,1) tem a mesma cardinalidade que
> o
> >> intervalo (fechado) [0,1], e para isso vamos tomar a bijeção g: (0,1) ->
> >> (-1,1) dada por g(x) = 2x-1. Mas note que "faltam o pontos 0 e 1" no
> domínio
> >> de g. Vamos acrescentar esses pontos, tomando um conjunto enumerável A =
> >> {a_1, a_2, a_3,...} contido em (0,1) e fazendo o seguinte: Seja B = {0,
> 1,
> >> a_1, a_2, a_3, ...}. A função h: (0,1) -> [0,1] dada por h(x) = x se x
> não
> >> está em A, h(a_1) = 0, h(a_2) = 1, h(a_n) = a_{n-2} se n>2 é uma bijeção
> >> (verifique).
> >> Assim, a função [ h o g^(-1) o f^(-1) ]: IR -> [0,1] é uma bijeção. Daí,
> >> concluímos que IR e [0,1] possuem a mesma cardinalidade.
> >>
> >> Vamos agora mostrar que as cardinalidades de [0,1] e IN são iguais. Seja
> >> 0,b_1b_2b_3... a representação binária de um número em [0,1] com
> infinitas
> >> casas (por exemplo, 1 será representado por 0,1...). Essa escrita
> >> binária dos elementos de [0,1] gera uma bijeção com as partes de IN da
> >> seguinte forma: k perntence a um subconjunto M dos naturais se e
> somente se
> >> b_k = 1 (por exemplo, o vazio corresponde ao 0 = 0,..., IN
> corresponde
> >> ao 1 = 0,... e {2,3,5,7} corresponde a 0,01101010...). Dessa
> forma,
> >> construímos uma bijeção entre P(IN) e [0,1].
> >>
> >> Concluímos que P(IN) e IR possuem mesma cardinalidade, pois ambos estão
> em
> >> bijeção com [0,1].
> >>
> >> Sávio
> >>
> >>
> >> Em 15 de jan de 2018 13:43, "Igor Caetano Diniz" <
> icaetanodi...@gmail.com>
> >> escreveu:
> >>>
> >>> Olá a todos, estou com uma dúvida para provar uma questão(Sem usar
> >>> hipótese do contínuo)
> >>>
> >>> Prove que a cardinalidade do conjunto das partes dos números naturais é
> >>> igual à cardinalidade dos reais, i.e., |P(N)| = |R|
> >>>
> >>>
> >>> 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Cardinalidade

[Igor Caetano Diniz]

Olá Sávio,
Muito obrigado. Tava pensando em algo parecido mas agora voce esclareceu
bastante.
Abraços

On Jan 15, 2018 16:55, "Sávio Ribas" <savio.ri...@gmail.com> wrote:

> Boa tarde!
> A primeira parte servirá para mostrar que a cardinalidade de IR é igual à
> cardinalidade de [0,1].
> Não é difícil mostrar que a reta tem a mesma cardinalidade que, por
> exemplo, o intervalo (-1,1) -- basta tomar a bijeção f: (-1,1) -> IR dada
> por f(x) = tg(pi*x/2).
> O passo seguinte seria mostrar que (-1,1) tem a mesma cardinalidade que o
> intervalo (fechado) [0,1], e para isso vamos tomar a bijeção g: (0,1) ->
> (-1,1) dada por g(x) = 2x-1. Mas note que "faltam o pontos 0 e 1" no
> domínio de g. Vamos acrescentar esses pontos, tomando um conjunto
> enumerável A = {a_1, a_2, a_3,...} contido em (0,1) e fazendo o seguinte:
> Seja B = {0, 1, a_1, a_2, a_3, ...}. A função h: (0,1) -> [0,1] dada por
> h(x) = x se x não está em A, h(a_1) = 0, h(a_2) = 1, h(a_n) = a_{n-2} se
> n>2 é uma bijeção (verifique).
> Assim, a função [ h o g^(-1) o f^(-1) ]: IR -> [0,1] é uma bijeção. Daí,
> concluímos que IR e [0,1] possuem a mesma cardinalidade.
>
> Vamos agora mostrar que as cardinalidades de [0,1] e IN são iguais. Seja
> 0,b_1b_2b_3... a representação binária de um número em [0,1] com infinitas
> casas (por exemplo, 1 será representado por 0,1...). Essa escrita
> binária dos elementos de [0,1] gera uma bijeção com as partes de IN da
> seguinte forma: k perntence a um subconjunto M dos naturais se e somente se
> b_k = 1 (por exemplo, o vazio corresponde ao 0 = 0,..., IN corresponde
> ao 1 = 0,... e {2,3,5,7} corresponde a 0,01101010...). Dessa forma,
> construímos uma bijeção entre P(IN) e [0,1].
>
> Concluímos que P(IN) e IR possuem mesma cardinalidade, pois ambos estão em
> bijeção com [0,1].
>
> Sávio
>
>
> Em 15 de jan de 2018 13:43, "Igor Caetano Diniz" <icaetanodi...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> Olá a todos, estou com uma dúvida para provar uma questão(Sem usar
>> hipótese do contínuo)
>>
>> Prove que a cardinalidade do conjunto das partes dos números naturais é
>> igual à cardinalidade dos reais, i.e., |P(N)| = |R|
>>
>>
>> quem puder ajudar, agradeço.
>>
>> Abraços
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Questão de Cardinalidade

[Igor Caetano Diniz]

Olá a todos, estou com uma dúvida para provar uma questão(Sem usar hipótese
do contínuo)

Prove que a cardinalidade do conjunto das partes dos números naturais é
igual à cardinalidade dos reais, i.e., |P(N)| = |R|


quem puder ajudar, agradeço.

Abraços

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Teoria dos Conjuntos

[Igor Caetano Diniz]

Fala galera, tudo certo?
Eu não sei se vou conseguir ser claro e completamente correto, mas vamos lá:
Na minha concepção, Dado que a teoria parte do primitivo, então o conjunto
vazio teria que ser o primeiro a existir e todo e qualquer conjunto só
existe se o vazio estiver contido nele. A definição formal de que conjunto
é a correta MAS eu posso dizer que conjunto é uma "coleção de objetos" caso
eu queira restringir o uso da teoria de conjuntos, ou usá-la em um nível
com menor rigor, não há problema em fazer isso. Mas Certo CERRRT, não
é. Porque não é? em teoria de conjuntos, a teoria tem que ser a mais
abrangente possível e isso só é possível sendo algo como vc aprendeu na
faculdade"Não se define conjunto" e justamente por ser como o Artur disse.
Na verdade, para ser conjunto basta o vazio estar contido nele, ele contido
em si próprio e ele não pertencer a ele próprio(paradoxo de Russell).

Espero ter ajudado e se eu estiver errado me corrijam :)
Abraçãããooo

2018-01-07 16:52 GMT-02:00 Luiz Antonio Rodrigues :

> Olá, Pedro!
> Boa tarde!
> Peço desculpas, mas não concordo com você... Você não escreveu um monte de
> besteiras, mas eu fui "doutrinado" na faculdade e por alguns livros a ter
> sempre um "pé atrás" com as definições. As palavras "coleção", "objeto" e
> "vazio" são terríveis do ponto de vista filosófico... Tenho que concordar
> com o Artur.
> Espero que entenda minha posição...
> Um abraço!
> Luiz
>
> On Jan 7, 2018 3:54 PM, "Pedro Angelo"  wrote:
>
>> Bom dia gente!
>>
>> Eu gosto da "definição" "coleção de objetos distintos". Todas as três
>> palavras são importantes aí:
>>
>> * Coleção: Essa palavra é um dos principais motivos pelos quais eu
>> escrevi "definição" entre aspas ali em cima. Como o Artur falou, isso
>> obviamente não é uma definição, pois "coleção" é sinônimo de
>> "conjunto", então isso é só um jogo de palavras. Mas acho que é um
>> jogo importante pra a gente desenvolver intuição (informal,
>> obviamente) sobre a "natureza" de um conjunto (ou talvez isso só ajude
>> quando já se tem uma intuição bem desenvolvida? Não sei)
>>
>> * Objetos: outro jogo de palavras, mas também é importante pra a gente
>> se lembrar de o quão "genéricos" podem ser os elementos de um
>> conjunto. Em geral, a gente não quer restringir que tipos de coisas
>> podem ser elementos dos conjuntos. Mas ficam várias dúvidas
>> interessantes: Um conjunto conta como um "objeto"? Todo "objeto" é um
>> conjunto? Se conjuntos forem objetos, e portanto puderem pertencer uns
>> aos outros, a coleção de todos os conjuntos que não pertencem a si
>> mesmos é um objeto? (não resisti, desculpa :))
>>
>> *Distintos: Essa aqui tem uma pegada mais computacional. Ela tá aí pra
>> diferenciar "conjunto" de "lista" (por exemplo). Se A, B e C são
>> objetos (seja lá o que for um objeto), então as "listas" [A,B,C] e
>> [A,A,B,C] são diferentes: a primeira tem 3 elementos, e a segunda tem
>> 4. Já os conjuntos {A,B,C} e {A,A,B,C} são o mesmo, pois quando se
>> trata de conjuntos, a gente só tá interessado nos elementos
>> *distintos*. Isso me lembra que quem escreveu essa definição esqueceu
>> de escrever, além de "distintos", que conjuntos são "não-ordenados":
>> as listas [A,B,C] e [B,A,C] são diferentes, enquanto que os conjuntos
>> {A,B,C} e {B,C,A} são os mesmos. Em uma lista, a gente pode perguntar
>> quem é o primeiro objeto da lista, e quem é o último. A gente também
>> pode perguntar quantas vezes o objeto A aparece, ou em qual posição
>> ele aparece pela primeira vez. Conjuntos são muito mais primitivos:
>> dado um objeto e um conjunto, a única coisa que a gente pode perguntar
>> sobre eles é se o objeto pertence ou não ao conjunto.
>>
>> Já que eu já escrevi um monte de besteira, vou escrever só mais uma:
>> não vejo nada na frase "coleção de objetos distintos" que passe a
>> impressão de que a coleção não pode ser vazia. Acho que o conjunto
>> vazio também é uma coleção (bem pobre) de objetos distintos. Se o
>> "distinto" te incomodar, pensa assim: a coleção vazia apresenta
>> objetos repetidos? :)
>>
>> abraços!
>>
>> 2018-01-07 14:47 GMT-02:00 Luiz Antonio Rodrigues > >:
>> > Olá, Artur!
>> > Boa tarde!
>> > Muito obrigado pela ajuda!
>> > Um abraço!
>> > Luiz
>> >
>> > On Jan 7, 2018 2:12 PM, "Artur Costa Steiner" 
>> > wrote:
>> >>
>> >>
>> >> Em dom, 7 de jan de 2018 às 1:38 PM, Luiz Antonio Rodrigues
>> >>  escreveu:
>> >>>
>> >>> Olá, pessoal!
>> >>> Tudo bem?
>> >>> Quero perguntar uma coisa: na faculdade eu aprendi que não se define
>> >>> "conjunto". Agora estou lendo um livro de Matemática Discreta onde o
>> autor
>> >>> (Balakrishnan) diz que conjunto "é uma coleção de objetos distintos".
>> Não
>> >>> concordo com essa definição... E o conjunto vazio?
>> >>> O que vocês acham?
>> >>> Muito obrigado e um abraço!
>> >>> Luiz
>> >>>
>> >>> --
>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo 

Re: [obm-l] Duvida em conjunto das partes

[Igor Caetano Diniz]

Pense no {2,3} como um elemento x qualquer e tente resolver novamente se
não conseguir me mande um e-mail.

Abraços

On Sep 26, 2017 09:36, "Julio Teixeira"  wrote:

> Como ficara o conjunto das partes do conjunto A={1,{2,3},4} ?
> --
>
> *Atenciosamente, Julio Teixeira.*
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Lista preparatório para Olimpíada Universitária

[Igor Caetano Diniz]

Bom, achei a ideia ótima mas já criamos o grupo e estamos tirando dúvida um
do outro já

On Sep 24, 2017 08:06, "Marcelo de Moura Costa" <mat.mo...@gmail.com> wrote:

> Concordo, lá ainda aceita LaTeX
>
> Em 24 de set de 2017 7:07 AM, "Anderson Torres" <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Whatsapp? Por que não usam o Telegram?
>>
>> Em 20 de setembro de 2017 11:07, Luiz Antonio Rodrigues
>> <rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>> > Oi, Igor!
>> > Tudo bem?
>> > Também quero participar do grupo.
>> > 11 973584521
>> > Um abraço!
>> > Luiz
>> >
>> > On Sep 19, 2017 8:03 PM, "Igor Caetano Diniz" <icaetanodi...@gmail.com>
>> > wrote:
>> >
>> > Olá,
>> > Sou novo aqui e estou na universidade já.
>> > Tenho três dúvidas:
>> > Alguém tem o material do POTI que saiu do site?
>> > Gostaria de saber se alguém possui material preparatório para Olimpíadas
>> > Universitárias como OBMU, IMC, Ibero.
>> > Gostaria também de quem se interessar, formarmos um grupo no WhatsApp e
>> > prepararmos juntos.
>> > Quem quiser, mande-me e-mail com telefone
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Lista preparatório para Olimpíada Universitária

[Igor Caetano Diniz]

Olá,
Sou novo aqui e estou na universidade já.
Tenho três dúvidas:
Alguém tem o material do POTI que saiu do site?
Gostaria de saber se alguém possui material preparatório para Olimpíadas
Universitárias como OBMU, IMC, Ibero.
Gostaria também de quem se interessar, formarmos um grupo no WhatsApp e
prepararmos juntos.
Quem quiser, mande-me e-mail com telefone

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.