[obm-l] Análise Combinatória
Caros colegas solicito ajuda na resolução do seguinte problema: Três russos, três biolerussos e três ucranianos vão ser organizados em uma fila. Determine quantas filas existem que não contêm dois conterrâneos em posição consecutiva. Dois colegas apresentaram resolução, um encontrou, para resposta, 174x3!x3!x3!=37.584, outro colega chegou a:283 824 (via o Princípio da Inclusão-Exclusão) Qualquer ajuda será muito útil. Obrigado. Osmundo Bragança
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória
Muitíssimo obrigado caro Ralph. Esta lista continua utilíssima para muitos professores. Um abraço. Osmundo. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Ralph Teixeira Enviada em: domingo, 16 de setembro de 2012 12:22 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória Ah, errei uma bobagem. Era: R(a,b,c)=R(a,c,b)=B(b,a,c)=B(c,a,b)=U(b,c,a)=U(c,b,a) a chave eh que o numero a tem que ficar na mesma posicao relativa em cada funcao. Mas dali para frente, estah correto assim mesmo. Abraco, Ralph 2012/9/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Certamente nao eh a segunda resposta... :) Digo, para arrumar as nacionalidades, voce tem 3 opcoes para o primeiro, 2 para o segundo, etc., para um total de 3.2^8=768 possibilidades. Mas isto estah errado, eh claro -- muitas dessas escolhas sao impossiveis, como por exemplo RBRBRBRUR, que teria 5 russos -- nao vale. Entao estou dizendo que sao MENOS que 768 possibilidades para a ordenacao das nacionalidades. Portanto, sao menos que 768.3!.3!.3! filas (permutando os individuos dentro de cada nacionalidade). Nao estou resolvendo o problema, mas sei que a resposta eh (bem!) menos que 768.6^3=165888. Faltou exclusao na inclusao-exclusao. :) :) :) Abraco, Ralph P.S.: Vou resolver o problema de um jeito computacional feio. Faco isso para mostrar que aas vezes vale a pena botar um pouco de algebra, fazer tudo ficar mecanico, e mandar brasa! R(a,b,c)=numero de filas COMECANDO COM UM RUSSO que tem a russos, b bielorussos e c ucranianos, contando soh nacionalidades, sem ter nacionalidades consecutivas B(a,b,c)=numero de filas COMECANDO COM UM BIELO etc etc U(a,b,c)=comecando com UCRANIANO Por outro lado, por simetria, R(a,b,c)=R(a,c,b)=B(b,a,c)=B(b,c,a)=U(c,a,b)=U(c,b,a), certo? Entao, uma fila comecando por R tem que continuar com B ou com U, usando um russo a menos: R(a,b,c)=B(a-1,b,c)+U(a-1,b,c)=R(b,a-1,c)+R(c,b,a-1) Esta recorrencia nao eh das piores se os numeros forem pequenos! Com coragem, isto mata o problema: R(3,3,3)=R(3,2,3)+R(3,3,2)=2R(3,3,2)=2.(R(3,2,2)+R(2,3,2))= =2.(2.R(2,2,2)+R(3,1,2)+R(2,3,1))=2.(4.R(2,2,1)+R(1,2,2)+R(2,1,2)+R(3,1,1)+R (1,3,1))= =2.(R(3,1,1)+5.R(2,2,1)+R(1,3,1)+R(1,2,2)) Agora que soh tem 5 fulanos na fila, acho que jah dah para calcular cada um pensando direto: R(3,1,1)=2 porque soh tem 3 lugares para por os russos nas 5 posicoes. Entao eh RURBR ou RBRUR. R(2,2,1)=R(2,1,1)+R(1,2,1)=4+1=5 (4=permutacoes de RBU sem comecar por R; 1=RBUB). R(1,3,1)=0 (haveria dois B consecutivos!) R(1,2,2)=2 (RBUBU ou RUBUB, soh) Entao R(3,3,3)=2.(2+25+2)=58 O que queremos eh R(3,3,3)+U(3,3,3)+B(3,3,3)=3.58=174 Minto, o que REALMENTE queremos eh isso vezes 3!.3!.3!. Eh, concordo com a primeira resposta. 2012/9/16 Osmundo Bragança barz...@dglnet.com.br Caros colegas solicito ajuda na resolução do seguinte problema: Três russos, três biolerussos e três ucranianos vão ser organizados em uma fila. Determine quantas filas existem que não contêm dois conterrâneos em posição consecutiva. Dois colegas apresentaram resolução, um encontrou, para resposta, 174x3!x3!x3!=37.584, outro colega chegou a:283 824 (via o Princípio da Inclusão-Exclusão) Qualquer ajuda será muito útil. Obrigado. Osmundo Bragança
[obm-l] RES: [obm-l] Análise Combinatória
Muitíssimo obrigado caro Douglas Oliveira. Um abraço do colega Osmundo Bragança. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de douglas.olive...@grupoolimpo.com.br Enviada em: domingo, 16 de setembro de 2012 12:33 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Análise Combinatória Bom podemos fazer por inclusão e exclusão sim , mas acho que fica um pouco grande olha: Vamos considerar que sejam AAABBBCCC e façamos todos os anagramas onde nao existam letras iguais juntas e ao final multiplicaremos por 3!x3!x3!. Vamos contar todas as permutações que possuem dois AA juntos , que é só considerar que os dois AA sejam um único bloco. aí dará 8!/3!x3!=1120 e tirar os casos em que aparecem 3 A's juntos o tipo AAA que do mesmo jeito fica 7!/3!x3!=140 1120-140=980. Vamos contar aquelas em que aparecem dois A e dois B juntos contaremos (AA)A(BB)BCCC 7!/3!=840, e retiramos aqueles em que aparecem AAA e BB que dará 6!/3!=120 e depois retiramos aqueles em que aparecem AA e BBB que tambem dará 120 e acrescentaremos aqueles em que aparecem AAA e BBB que é (AAA)(BBB)CCC e dará 5!/3!=20 , assim dará 840-2x120+20=620. Agora amos ao procedimento final contar quantos anagramas aparecem AA BB e CC (AA)(BB)(CC)ABC que dará 6! e precisamos retirar os que ocorrem AAA ,BB e CC e depois o mesmo para AA,BBB e CC e o mesmo para AA , BB e CCC 5!x3=360 assim fica 720-360=360, porém precisamos colocar os que aparecem AA, BBB, e CCC, o mesmo para AAA,BBB e CC e os que contém AAA, BB e CCC que dará 4!x3=72 entao fica 360+72=432 e finalizando precisamos retirar aqueles em que aparecem AAA, BBB e CCC que é 3!=6 assim resultado dá 432-6=426. Agora podemos finalizar o problema fazendo 3x980-3x620+426=1506, e retiramos de todos os anagrams possíveis que são 9!/3!x3!x3!=1680, resposta final será 1680-1506=174 ou seja 174x(3!)^3=37584 modos distintos.Um dos seus colegas acertou o resultado Valeu, um abraço do Douglas Oliveira!! On Sun, 16 Sep 2012 10:08:40 -0300, Osmundo Bragança wrote: Caros colegas solicito ajuda na resolução do seguinte problema: Três russos, três biolerussos e três ucranianos vão ser organizados em uma fila. Determine quantas filas existem que não contêm dois conterrâneos em posição consecutiva. Dois colegas apresentaram resolução, um encontrou, para resposta, 174x3!x3!x3!=37.584, outro colega chegou a:283 824 (via o Princípio da Inclusão-Exclusão) Qualquer ajuda será muito útil. Obrigado. Osmundo Bragança
[obm-l] Cone Sul Volume 2
Boa noite caros colegas. Acabo de ver o lançamento do livro em epígrafe ( Cone Sul Volume 2 ). Alguém da lista sabe para onde dirigir os pedidos de compra? Grato. Osmundo Bragança
[obm-l] RES: [obm-l] Dica de Livro de Matemática
Recomendo - O último teorema de Fermat - autor: Simon Singh - Editora Record Gostei muitíssimo. Um abraço. Osmundo -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Gustavo Simões Araújo Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2010 13:29 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Dica de Livro de Matemática Olá Pessoal, Eu estou querendo ler algum livro sobre matemática, podendo ser tanto sobre a história da matemática, como sobre algum assunto especifíco, por exemplo número inteiros. Eu li o The Music of the Primes (Marcus du Sautoy) e gostei bastante, por acaso alguém teria algum outro para indicar? Eu li sobre o Poincaré's Prize (George Szpiro) na internet, alguém conhece por acaso? Ou alguém sabe algum livro interessante sobre o ultimo Teorema de Fermat? Abs, -- Gustavo Simões Araujo = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] Geometria
Seja ABCD o trapézio com a propriedade: a base AD é o dobro da base BC e a área do mesmo é 1. Ponhamos A à esquerda de D e abaixo de B, assim ABCD é em sentido horário. Seja M o ponto médio da base AD , claro está que ABCM é um paralelogramo de diagonais AC e BM. O ponto K é a intersecção dessas diagonais. Assim sendo os triângulos ABC, ACM e DCM tem área igual a 1/3. Tracemos a reta DK, ela corta AB em L e CM em G. Note que G é o baricentro do triângulo ACD. A área do triângulo BCK vale 1/6 ( metade de 1/3 ). O triângulo BLK é congruente ao triângulo MGK e este é semelhante ao triângulo CGD cuja área é 1/3 da área do triângulo ACD ( que vale 2/3 ) assim esse triângulo CGD tem área igual a 1/3 x 2/3 ou 2/9. A razão de semelhança entre os triângulos MGK e CGD é de ½ ( pois G é o baricentro ), a razão entre suas áreas é portanto ¼. Contas feitas a área do Triângulo MGK vale 1/18 . Agora a área do quadrilátero BCKL é a soma 1/6 + 1/18, o que nos dá 2/9. É essa a resposta. Espero ter sido claro. Um abraço do colega Osmundo Bragança. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Fabio Bernardo Enviada em: sexta-feira, 16 de julho de 2010 21:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Geometria Alguém pode me ajudar nesse: Em um trapézio ABCD de área 1, a base BC mede a metade da base AD. Seja K o ponto médio da diagonal AC. A reta DK corta o lado AB no ponto L. A área do quadrilátero BCKL é: a) 3/4 b) 2/3 c) 1/3 d) 2/9 e) 1/9
[obm-l] RES: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS Help!!!
Caro Diogo FN, vejamos: 01) Para que um número seja divisível por 11 é necessário que a soma alternada, da esquerda para a direita, dos seus algarismos seja um número divisível por 11. Considere um número formado por k pares justapostos de 36, a soma alternada é 6k 3k = 3k, então basta tomar k um múltiplo positivo de 11. 02) De 100 até 262 , inclusive, temos um total de 163 números consecutivos. A maior lista que podemos fazer com tais números sem números consecutivos é 100,102,104,...,260,262 que tem 82 números apenas, como são 83 casas . 03) O número total de alunos é 46x38. Coloque 1 único aluno em 45 salas e os restantes 46x38 45 = 1703 na maior ! Um abraço Osmundo Bragança. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Diogo FN Enviada em: terça-feira, 10 de novembro de 2009 22:21 Para: OBM Assunto: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS Help!!! E aí amigos, tudo bem? podem me ajudar em mais essaS?! 01. Mostrar que 11 dividi infinitos números da forma 3636363636.36. 02. Existem 83 casas em uma rua. As casas são numeradas com números entre 100 e 262, inclusive. mostre que pelo menos 2 casas têm números consecutivos. 03. Uma escola possui 46 classes com uma média de 38 alunos por classe. o que se pode dizer a respeito do número de alunos na maior? Agradeço antecipadamente a quem dispôr de tempo para me ajudar com tais questões. _ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ 10 - Celebridades http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ celebridades/ - Música http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ m%C3%BAsica/ - Esportes http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ esportes/
RES: [obm-l] geometria
Olá Marcelo Se DM fosse paralelo ao lado AB D seria o ponto médio do lado BC, como D é o pé da altura deveríamos ter ABC isósceles com AB=AC, o que não é o caso. Não podemos concluir que DM é paralelo a AB. Um abraço de Osmundo Bragança. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Marcelo Costa Enviada em: sábado, 7 de novembro de 2009 01:11 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] geometria Me veio algo, como posso afirmar que DM é paralelo à AB? 2009/11/6 Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com valeu, obrigado, lamentavelmente não enxerguei o trapézio, arg que raiva! Mas valeu de coração. 2009/11/5 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Marcelo, Ligue os pontos D e M e corra para o abraço ::)) Abs Felipe --- Em qui, 5/11/09, Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com escreveu: De: Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com Assunto: [obm-l] geometria Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 5 de Novembro de 2009, 18:52 Num triângulo ABC, temos AD como altura relativa ao vértice A e o ponto M como ponto médio do lado AC. Sabe-se que ABM = 30º, e MBC = 20º, e que AM = MC = BD. Qual o valor do ângulo CAD? -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei _ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ - Celebridades http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ celebridades/ - Música http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ m%C3%BAsica/ - Esportes http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ esportes/ -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei
[obm-l] RES: [obm-l] Boa prova de Matemática
Olá caro Luiz Paulo e demais colegas da Lista OBM. Olhei a prova Luiz Paulo, o grau de dificuldade para um vestibular é, de fato, bastante grande, mas, será, que podemos dizer que foi uma prova interessante ? Por exemplo, a questão 5 sobre a pirâmide só fica difícil ( acho eu ! ) se não dominarmos os cálculos elementares com os vetores no R^3, coisa que os candidatos bem preparados devem conhecer. E a questão 7 sobre os elementos inversíveis num determinado conjunto com estrutura de C ? Será que é uma pergunta cabível para nossos jovens estudantes? E a questão e de probabilidades ? Será que é claro o significado de três dados iguais ? Acho que a prova ficou muito interessante para os cursos especializados em escolas militares. Será que não há uma maneira de avaliarmos a competência dos nossos jovens fazendo uso de perguntas não tão técnicas sem cair no ridículo das perguntas bobas ? Penso que sim. Vamos discutir as questões aqui. Um abraço fraterno do colega Osmundo Bragança. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Luiz Paulo Enviada em: sábado, 31 de outubro de 2009 22:41 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Boa prova de Matemática Colegas da lista, Essa semana ocorreu o vestibular do Instituto Militar de Engenharia (IME-RJ). A prova discursiva de matemática veio num nível bem mais difícil do que os anos anteriores. Para nível de vestibular veio bem difícil. Basta dar uma olhada no site do IME e olhar a prova: www.ime.eb.br Um grande abraço e boa diversão na resolução das questões. Luiz Paulo. _ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ 10 - Celebridades http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ celebridades/ - Música http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ m%C3%BAsica/ - Esportes http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ esportes/
[obm-l] RES: [obm-l] Desafios geométricos
Caro Marcelo veja: 01) Esse triângulo ABC é retângulo no vértice A e o ângulo ACB ( na minha figura ) mede 30 graus, daí o menor lado é a metade da hipotenusa, que mede 12, mede portanto 6, alternativa (d). Para ver isso trace AM, a mediada relativa ao lado BC, AH a altura relativa ao lado BC. Por hipótese temos uma divisão do ângulo A em três partes congruentes, Note agora que os triângulo retângulos ABH e AMH são congruentes, o que nos dá BH=HM e, por conseqüência, MC=2 MH. Aplique agora o Teorema da Bissetriz Interna ( o famoso TBI na linguagem do famoso Professor Shine ) para obter AC=2 AH e, daí, sen(ACH) = ½ e, portanto, ACH mede 30 graus. Agora segue facilmente o resto. 02) Seja ABC o referido triângulo com AB=AC=a e BC=b . Seja I o incentro do referido triângulo e seja r a reta paralela ao lado AC cortando AC em P e BC em Q. Note que os triângulos API e CQI são isósceles, daí vindo PI=AP e QI=QC. Agora com as informações sobres os perímetros segue facilmente que BC=15, Alternativa (c ). Faça desenhos que fica tudo muito claro. Sugiro que sempre se coloque as origens do problema. Um abraço Osmundo Bragança _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Marcelo Costa Enviada em: segunda-feira, 12 de outubro de 2009 03:23 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Desafios geométricos 1. Em um triângulo ABC, a mediana e a altura relativas ao vértice A dividem o ângulo BAC em três ângulos de mesma medida. Se o maior lado do trângulo ABC mede 12, então , o menor mede: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 2. Seja um triângulo ABC isósceles de base BC, um segmento paralelo ao lado AC passa pelo incentro do triângulo e corta os lados AB e BC nos pontos P e Q, respectivamente. Sabendo que os perímetros dos triângulos ABC e PBQ medem 51 cm e 33 cm, respectivamente, a medida da base BC é: a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 Obrigado pela atenção!!! -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei
RES: [obm-l] UNB - MOEDAS
Olá caros colegas dessa prodigiosa lista de discussão da OBM, por que será que se diz macete para a resolução de um problema? Nesse problema da UNB ( aliás qual será a razão que leva o examinador a perguntar por n/2 e não por n ? ) Uma distribuição das 7 moedas é um par ordenado ( x ; 7 – x ), onde estamos dando x moedas para a pessoa 1 e 7 – x moedas para a pessoa 2 . Claro está que há de haver simetria nessa distribuição, isto é, se a pessoa 1 recebe as moedas X,Y,Z e a pessoa 2 recebe o complementar em relação ao todo de 7 moedas, devemos fazer a atribuição oposta entre elas também. Desse modo basta fazer todas as atribuições possíveis para a pessoa 1 e já teremos os pares complementares. Para a pessoa 1 podemos dar 1 moeda de bin(7,1) maneiras distintas, podemos dar 2 moedas de bin(7,2) maneiras distintas,.., até dar 6 moedas de bin(7,6) maneiras distintas. Somando temos o total buscado: bin(7,1) + bin(7,2) + .+ bin(7,6) = 2^7 – 1 – 1 = 126=n e n/2= 63. Veja o que lhe parece Arkon. Um abraço de Osmundo Bragança _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de arkon Enviada em: domingo, 11 de outubro de 2009 16:00 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] UNB - MOEDAS Qual o macete??? Existem n maneiras de distribuir 7 moedas de valores diferentes entre 2 pessoas. Excluindo-se a possibilidade de uma só receber todas as moedas, calcule n/2. = Instru絥s para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Respostas erradas!
Olá colegas da lista e, particularmente, Diogo F.N. Caro Diogo F.N., há alguns dias respondi três perguntas que você mandou para a nossa lista. Infelizmente dei uma resposta errada para o problema nº 01. O problema dizia: sejam a e b inteiros tais que (a , b )=1 , isto é, a e b são relativamente primos. Pede-se provar que ( a + 2b , b + 2a ) = 1 ou 3. Seja d o mdc entre a + 2b e b + 2a . Assim d I a + 2b e d I b + 2a . Portanto d I ( a + 2b ) + ( b + 2a ) = 3 ( a + b ) e daí d I ( 3a + 6b ) ( 3a + 3b ) = 3b . Analogamente d I 3a . Pelo teorema de Bézou existem inteiros x e y tais que a x + b y = 1 e, portanto, (3a) x + (3b) y = 3. Agora se d I 3a e dI 3b então d I 3 , assim d é igual a 1 ou 3 . Só percebi meu erro quando passei o problema para meus alunos e tentei resolve-lo no quadro negro. Quanto ao segundo problema também há uma solução muito melhor do que a que eu mencionei. Provar que, sendo k um inteiro, k (k + 1) ( k +2 ) ( k + 3 ) + 1 é um quadrado perfeito. De fato, vamos fatorar a expressão dada da seguinde forma: k (k + 1) ( k +2 ) ( k + 3 ) + 1= [ k ( k + 3 ) ] [ ( k + 1 ) ( k + 2 ) ] + 1 = [ k ^2 + 3k ] [ k^2 + 3k + 2 } = [(k^2 + 3k + 1 ) 1 ] [ (k^2 + 3k + 1 ) + 1 ] + 1 = (k^2 + 3k + 1 )^2 1 + 1 = (k^2 + 3k + 1 ) ^2. Expressão que exibe o quadrado perfeito. Caro Diogo queira desculpar minha falha. Um abraço Osmundo Bragança
[obm-l] RES: [obm-l] Falando em construções geométricas..
Olá a todos, caro Sérgio a resolução que está no livro do Honsberger é imperdível. Ei-la: O ponto K onde a corda AB corta a reta r é invariável, já que A e B e r são fixos no plano. Assim o produto PK x KQ é constante e igual ao produto AK x KB. Nessa condição a soma PK + KQ é mínima quando as parcelas forem iguais ( isso se deve a clássica desigualdade MG = MA ). Assim K é o ponto médio de PQ, o que implica que o centro O da circunferência procurada esta na perpendicular baixada por K à reta r, está também na mediatriz da corda AB. A intersecção dessas retas dá-nos o centro O.Está construído e provado. É claro que uma figura ajuda muito. Na minha humilde opinião essas resoluções sintéticas ( ou quase ) são de suma beleza. Um abraço do colega Osmundo Bragança. -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Sergio Lima Netto Enviada em: sexta-feira, 25 de setembro de 2009 10:39 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Falando em construções geométricas.. Caro Osmundo, Obrigado pelo problema e pela fonte do mesmo. Antes que os verdadeiros mestres do desenho geometrico desta lista acordem, coloco minha resposta obtida por geometria analitica! Sejam: . teta o angulo entre o segmento AB e a reta r dados; . I o ponto de intersecao de AB com r; . M o ponto medio de AB; . m a mediatriz de AM; . d a distancia de I ao ponto M medio de AM; Resposta: o centro O da circunferencia desejada esta sobre a mediatriz de AB e eh tal que: OM = d cotg(teta). Isto nos conduz a uma construcao, por exemplo, do tipo: (i) trace a mediatriz m de AB pelo ponto M medio deste segmento; (ii) trace o circulo de centro M e raio MI (= d), cuja intersecao (mais proxima da reta r) com m eh o ponto P; (iii) trace uma paralela r' a r por P, cuja intersecao com AB eh o ponto P' (tal que MP' = d cotg(teta)); (iv) Marque MO = MP', com O sobre a mediatriz m e o mais distante possivel da reta r; (v) trace a circunferencia desejada: centro O e raio OA = OB. Agora eu vou esperar pela solucao mais elegante. Abraco, sergio On Thu, 24 Sep 2009 11:28:15 -0300, Osmundo Bragança wrote Já que estamos falando em construções com a régua e o compasso aproveito para compartilhar um lindo problema que está no livro do do Ross Honsberger intitulado Mathematical Chestnuts from Around the World . Sejam A e B pontos situados em lados opostos em relação a uma reta r do plano. Construa uma circunferência que passa pelos pontos A e B e corta a reta nos pontos P e Q de tal modo que a corda PQ determinada pela reta na circunferência seja mínima. Muito legal para as nossas aulas de desenho geométrico. Um abraço. Osmundo Bragança. -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. Sergio Lima Netto PEE-COPPE/DEL-Poli/UFRJ POBox 68504, Rio de Janeiro, RJ 21941-972, BRAZIL (+55 21) 2562-8164 -- This message has been scanned for viruses and dangerous content by MailScanner, and is believed to be clean. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Falando em construções geométricas..
Já que estamos falando em construções com a régua e o compasso aproveito para compartilhar um lindo problema que está no livro do do Ross Honsberger intitulado Mathematical Chestnuts from Around the World . Sejam A e B pontos situados em lados opostos em relação a uma reta r do plano. Construa uma circunferência que passa pelos pontos A e B e corta a reta nos pontos P e Q de tal modo que a corda PQ determinada pela reta na circunferência seja mínima. Muito legal para as nossas aulas de desenho geométrico. Um abraço. Osmundo Bragança.
RES: [obm-l] ajuda 5 problemas
Por favor, reveja o enunciado do problema (2), o lado BC tem dois pontos médios? Osmundo Bragança _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Patricia Ruel Enviada em: quarta-feira, 23 de setembro de 2009 23:01 Para: OBM Assunto: [obm-l] ajuda 5 problemas 1) Seja a um numero inteiro positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir. 2) Seja ABC um triângulo em retângulo em A e M e N pontos médios do lado BC tais que BM=MN=CN. Se AM=3 e AN=2, calcule a medida de MN. 3) Seja ABC um triângulo acutângulo com BC=5. Seja E o pé da altura relativa ao lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE=CF=4, calcule a área do triângulo ABC. 4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n, para todo n0. Se a_7=120, determine a_8. 5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n0. Sabendo que a_6=144, calcule a_7. _ Instale o novo Internet Explorer 8 otimizado para o MSN. Download aqui http://ie8.msn.com/microsoft/internet-explorer-8/pt-br/ie8.aspx
[obm-l] RES: [obm-l] ângulo maximo
Podemos analisar assim: Fixemos o lado AC ( que mede 6 cm ). Agora com centro no ponto A trace uma circunferência de raio igual a 4 cm ( a medida do lado AB ), o ângulo BCA será Máximo quando B for o ponto de tangencia da reta que passa por C e tangencia a circunferência descrita anteriormente. Assim o triângulo ABC é retângulo em B, o cateto BC mede ( por Pitágoras ) 2xsqrt(5). A área máxima é 4xsqrt(5). Fazendo um desenho fica muito fácil e completamente inteligível para alunos do ensino fundamental. Saludos. Osmundo Bragança _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Ney Falcao Enviada em: quinta-feira, 24 de setembro de 2009 07:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] ângulo maximo Bom dia senhores Gostaria de saber como se resolve a questão abaixo em nível de 9° ano. Como fala em ângulo máximo, pensei em função quadrática, mas não consegui obter nenhuma equação. Também pensei em usar a fórmula da área do triângulo em função do seno do ângulo, mas debalde. Se puderem esclarecer ficarei muito grato. No triângulo ABC tem-se AB=4cm, AC=6cm e o ângulo BCA=q. Qual a área do triângulo em cm² quando a medida do ângulo q for maior possível? Abraço a todos Ney Falcão
RES: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas
Para resolver o (3) faça um desenho e siga as observações seguintes Seja M o ponto médio de BC. Projete ortogonalmente os pontos F e M sobre o lado AC, obtendo respectivamente os pontos L e N, L será o ponto médio de EC ( note que EC mede 3 ) e N será o ponto médio de AE. Nessas condições ML= FN = 2 ( base média ) , faça NA=NE=x e aplique Pitágoras ao triângulo CFN, aí você encontra o valor de x e o resto são continha. Saludo Osmundo Bragança. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Patricia Ruel Enviada em: quinta-feira, 24 de setembro de 2009 16:34 Para: OBM Assunto: RE: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas Desculpe-me. Tem que retirar a pelavra médios desse enunciado. M e N são apenas pontos do lado BC. _ From: barz...@dglnet.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas Date: Thu, 24 Sep 2009 11:17:54 -0300 Por favor, reveja o enunciado do problema (2), o lado BC tem dois pontos médios? Osmundo Bragança _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Patricia Ruel Enviada em: quarta-feira, 23 de setembro de 2009 23:01 Para: OBM Assunto: [obm-l] ajuda 5 problemas 1) Seja a um numero inteiro positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir. 2) Seja ABC um triângulo em retângulo em A e M e N pontos médios do lado BC tais que BM=MN=CN. Se AM=3 e AN=2, calcule a medida de MN. 3) Seja ABC um triângulo acutângulo com BC=5. Seja E o pé da altura relativa ao lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE=CF=4, calcule a área do triângulo ABC. 4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n, para todo n0. Se a_7=120, determine a_8. 5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n0. Sabendo que a_6=144, calcule a_7. _ Instale o novo Internet Explorer 8 otimizado para o MSN. Download http://ie8.msn.com/microsoft/internet-explorer-8/pt-br/ie8.aspx aqui _ Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! http://www.windowslive.com.br
RES: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas
Agora faz sentido! Problema (2) Seja BC a hipotenusa que é dividida em três partes congruentes pelos pontos M e N. Pelos pontos M e N trace perpendiculares aos catetos AB e AC, pelo Teorema de Tales os catetos serão divididos em três partes congruentes ( cada um deles é claro ). Cada terço do cateto AB chame de x e, cada terço do Cateto AC chame de y. Agora como AN vale 2 podemos escrever (2x)^2 + y^2 = 4 e , como AM vale 3 podemos escrever (2y)^2 + x^2 = 9. Somando membro a membro 5( x^2 + y^2 ) = 13 . Agora a hipotenusa BC^2 é igual a 9( x^2 + y^2 ) que é igual então a 9x13/5 . A hipotenusa é a raiz quadrada desse número e MN é um terço da hipotenusa. Fazendo um desenho fica tudo muito claro. Saludos Osmundo Bragança. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Patricia Ruel Enviada em: quinta-feira, 24 de setembro de 2009 16:34 Para: OBM Assunto: RE: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas Desculpe-me. Tem que retirar a pelavra médios desse enunciado. M e N são apenas pontos do lado BC. _ From: barz...@dglnet.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RES: [obm-l] ajuda 5 problemas Date: Thu, 24 Sep 2009 11:17:54 -0300 Por favor, reveja o enunciado do problema (2), o lado BC tem dois pontos médios? Osmundo Bragança _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Patricia Ruel Enviada em: quarta-feira, 23 de setembro de 2009 23:01 Para: OBM Assunto: [obm-l] ajuda 5 problemas 1) Seja a um numero inteiro positivo tal que a é múltiplo de 5, a+1 é múltiplo de 7, a+2 é múltiplo de 9 e a+3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir. 2) Seja ABC um triângulo em retângulo em A e M e N pontos médios do lado BC tais que BM=MN=CN. Se AM=3 e AN=2, calcule a medida de MN. 3) Seja ABC um triângulo acutângulo com BC=5. Seja E o pé da altura relativa ao lado AC e F o ponto médio do lado AB. Se BE=CF=4, calcule a área do triângulo ABC. 4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que a_(n+2)=a_(n+1)+a_n, para todo n0. Se a_7=120, determine a_8. 5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n0. Sabendo que a_6=144, calcule a_7. _ Instale o novo Internet Explorer 8 otimizado para o MSN. Download http://ie8.msn.com/microsoft/internet-explorer-8/pt-br/ie8.aspx aqui _ Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! http://www.windowslive.com.br
[obm-l] RES: [obm-l] Teoria dos Números
01. Pelo teorema de Bezout existem inteiros x e y tais que ax + by = 1. Agora , para tais x e y podemos considerar a expressão: (2a + b ) x + ( a + 2b ) y = 2ax + bx + ay + 2by = ( ax + by ) + 2(ax + by) = 1 + 2.1=3. Assim se d é o mdc de 2a + b e a +2b então d divide a expressão (2a + b ) x + ( a + 2b ) y que vale 3, portanto d=1 ou d=3. 02. Igualando a expressão dada a um trinômio quadrado perfeito em n elevado ao quadrado e comparando coeficientes de mesmo grau sai (n^2 + 3n + 1 ) ^2 . 03. Certamente n=1 serve, é o único. Se (n +1) divide n^2 + 1, como n+ 1 divide n^2 1 , n+ 1 divide a diferença dessas expressões, que é 2, daí n + 1 divide 2, nas condições propostas n=2. Dê uma olhada se está inteligível. Um abraço Osmundo Bragança _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Diogo FN Enviada em: domingo, 20 de setembro de 2009 11:40 Para: OBM Assunto: [obm-l] Teoria dos Números Estava resolvendo algumas questões de teoria, e não consegui essas: 01. Mostrar que se (a,b) = 1, então (2a + b, a + 2b) = 1 ou 3 02. Mostrar que sendo n um inteiro, o número n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 é um quadrado perfeito. 03. Encontrar todos os inteiros positivos n para os quais (n + 1) | (n² + 1). Agradeço. _ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ 10 - Celebridades http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ celebridades/ - Música http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ m%C3%BAsica/ - Esportes http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ esportes/
