[obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci - Outras Sequências e Razão Áurea
Estou lendo um livro do Martin Gardner que traz as seguintes observações sobre esse assunto: Sejam a, b e c três termos consecutivos de uma sequência definida por an+2=an+1+an-1 vale para estes elementos que: c = a + b Gardner, cita, sem demonstrar que para essas sequências também vale o fato de que: an² = (an-1.an+1) + x portanto b² = ac + x Se resolvemos o sistema poderemos escrever b em função de a, onde a solução positiva será: b = (1+sqr(5))*a/2 Por outras palavras, a única sucessão de Fibonacci em que o quadrado do termo é exatamente igual ao produto dos termos adjacente é 1, fi, (fi)², (fi)³, ... = 1, fi, fi+1, 2*fi + 1, ... --- Em sáb, 27/3/10, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu: De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Fibonacci - Outras Sequências e Razão Áurea Para: Matematica Lista obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 27 de Março de 2010, 18:16 Pessoal, Eu estava fazendo um trabalho no excel e fui “bincar” um pouco. Comecei a criar seqüências e analisar a relação entre dois elementos consecutivos. Assim, escolhendo aleatoriamente os dois primeiros elementos da seqüência, estabeleci uma relação de recorrência igual a relação de Fibonacci an+2=an+1+an-1. Para a minha surpresa, quaisquer que fossem os dois primeiros elementos (inteiros, racionais, irracionais...), o resultado era sempre o mesmo, quando olhava a razão an+1/an. Em todos os casos, eles convergiram rapidamente para a razão áurea (1,618.). Resolvi atacar o problema, e encontrei essa solução. Porém, não estou certo que meu argumento esteja 100% correto(qdo aplico limites). Alguém pode me ajudar? Abaixo o desenvolvimento : S = a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b. Analisando os elementos, percebemos que existe uma regra relacionando as constantes que multiplicam a e b: Para a : a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b 1, 1, 2, 3, 5, 8 Para b: a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b 1, 2, 3, 5, 8, 13 Estas duas seqüências são a própria seqüência de Fibinacci, e as constantes que estão multiplicando a e b são sempre Fn e Fn+1 Ps: É fácil verificar o que falei por indução. Então, a relação entre os termos desta seqüência fica na forma : R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1) Analisando esta fração, como a e b são constantes, veremos o que ocorre quando n varia: Fazendo n→∞ , temos que Fn,Fn+1e Fn+2 tornam-se infinitmente grandes, assim : R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1) ≈ (Fn+1+Fn+2)/(Fn+Fn+1) =( Fn+3)/(Fn+2) = 1,618. Aparentemente, a e b não podem, ao mesmo tempo, tenderem a infinito ou a zero, pois aí teríamos uma indeterminação na fração. Agradeço a ajuda de vcs. Abs Felipe Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] duvida
Flávia, este livro indicado pelo professor Benedito Tadeu é excelente, vale a
pena adquiri-lo, entretanto se ele estiver esgotado é possível fazer download
de uma versão digitalizada no 4shared.
Boa Sorte!
--- Em ter, 7/4/09, Benedito b...@ccet.ufrn.br escreveu:
De: Benedito b...@ccet.ufrn.br
Assunto: Re: [obm-l] duvida
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 7 de Abril de 2009, 8:35
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Flávia,
Veja o livro do Augusto César Morgado e outros: Análise Combinatória e
Probabilidade, publicado pela Sociedade Brasileira de Matemática, Coleção do
Professor de Matemática.
Acesse www.sbm.org.br
Benedito
- Original Message -
From: Flavia Laragnoit
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, April 06, 2009 7:51 PM
Subject: [obm-l] duvida
Será que vcs poderiam me ajudar?
Com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6.
Determine quantos números de quatro algarismos distintos maiores que 4320 podem
ser formados?
Obrigada,
Onde posso obter exercícios resolvidos deste assunto?
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[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Um outro raciocício que pode ser usado é o de considerar todos os conjuntos
possíveis menos aqueles em que 1 e 8 estão no mesmo conjunto:
c(10,5) - 2.c(8,3) = 140
Isso se há diferença entre os conjuntos (por exemplo a nomeação citada por
Olavo)... considerando que não há diferença teremos:
140/2! = 70.
--- Em dom, 8/3/09, Antonio Neto osn...@hotmail.com escreveu:
De: Antonio Neto osn...@hotmail.com
Assunto: [obm-l] Combinatória
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 8 de Março de 2009, 22:16
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Amigo Wagner,
receio que a solucao nao esteja totalmente correta, havendo contagem dupla.
A questao pede dois conjuntos, não os havendo sequer nomeado (nada de dois
conjuntos A e B, por exemplo). Eu sugeriria C(8, 4) = 70, pelo seguinte
raciocinio: vamos colocar o 1 em um deles e o 8 no outro. Selecione 4 entre os
8 restantes e os coloque no que contem o 1. O outro conjunto se completa
automaticamente.
Desculpe se fui meio conciso demais. Uma boa ideia para explicar aos alunos
eh reduzir a um caso mais simples, com os numeros de 1 a 6, em dois conjuntos
de tres, estando o 1 e o 2 em conjuntos separados. Sai no tapa rapidinho, e
eles enxergam a duplicacao do outro raciocinio.
Espero ter ajudado, amplexos de mim, olavo.
Antonio Olavo da Silva Neto
Date: Mon, 22 Dec 2008 13:32:54 -0200
From: wtade...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Combinatória de Natal
Amigos,
Separam-se os números imteiros de 1 a 10 em dois conjuntos de 5 elementos, de
modo que 1 e 8 não fiquem no mesmo conjunto. de quantas maneiras isso pode ser
feito?
Pensei assim:
a) Fixando o 1 no 1º grupo teria C(8,4) formas de escolher os 4 restantes sem
contar com o 8.
Esse resultado multiplicado por C(4,4) formas de montar o outro grupo com o 8.
b) Como o 1 poderia estar no 2º grupo, o reusltado final seria:
2xC(8,4)xC(4,4)=2 x 70 x 1 = 140.
Pensei certo?
Abraços
--
Walter Tadeu Nogueira da Silveira
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajud a exercício
Pronto Carlinhos, vc n deixou nem um pingo de emoção para o Rodrigo que enviou a dúvida heheeh --- Em qui, 5/3/09, Carlos Gomes cgomes...@uol.com.br escreveu: De: Carlos Gomes cgomes...@uol.com.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda exercício Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 5 de Março de 2009, 7:28 Oi Rauryson se a cada bombeada são retirados 20% então restam 80%, assim apos 10 bombeadas 0 volume remanescente no tanque será 2 x 0,8^10=0,21m^3 valew, cgomes - Original Message - From: Rauryson Alves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, March 04, 2009 7:49 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda exercício tente usar uma pg de razão 0,8 --- Em qua, 4/3/09, Rodrigo Assis rossoas...@gmail.com escreveu: De: Rodrigo Assis rossoas...@gmail.com Assunto: [obm-l] Ajuda exercício Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 4 de Março de 2009, 15:40 Colegas, eu consegui resolver o problema abaixo, mas gostaria de conhecer outros métodos: Em um tanque de aco, existem cerca de 2m3 de ar. Uma bomba de vacuo é instalada retirando, a cada bombeada, 20% do ar. Após 10 bombeadas, qual será o volume de ar contido no tanque? Eu fiz da pior maneira possível, jogando os 20% 10 vezes. Tentei usar progressao, mas nao consegui. grato, Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes No virus found in this incoming message. Checked by AVG. Version: 7.5.557 / Virus Database: 270.11.7/1983 - Release Date: 4/3/2009 07:41 Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda exercício
tente usar uma pg de razão 0,8 --- Em qua, 4/3/09, Rodrigo Assis rossoas...@gmail.com escreveu: De: Rodrigo Assis rossoas...@gmail.com Assunto: [obm-l] Ajuda exercício Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 4 de Março de 2009, 15:40 Colegas, eu consegui resolver o problema abaixo, mas gostaria de conhecer outros métodos: Em um tanque de aco, existem cerca de 2m3 de ar. Uma bomba de vacuo é instalada retirando, a cada bombeada, 20% do ar. Após 10 bombeadas, qual será o volume de ar contido no tanque? Eu fiz da pior maneira possível, jogando os 20% 10 vezes. Tentei usar progressao, mas nao consegui. grato, Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Problema da EPCAR 1986... será erro no enunciado o u problema do operador?
ENUNCIADO: Um conjunto A tem m elementos e a subconjuntos; um conjunto B tem n elementos e b subconjuntos e um conjunto C p elementos e c subconjuntos. Se b = 8, a = c - b e m = 2p - 2n, então a + b + c vale? RESOLUÇÃO A partir dos dados temos que 2^m = a ; 2^n = b e 2^p = c 2^m = 2^(2p-2n) = 2^2p / 2^2n Assim a =(c/b)^2 Mas se b = 8, a = c - b = c - 8 c - 8 = c^2/64 O que nos dará: c = 32 +- 16*sqrt(2) MAS c NÃO DEVERIA SER NATURAL!!! Aguardo ajuda! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Colégio Naval
Um amigo me mostrou essa questão do colégio naval e eu repasso a vocês para tentarmos achar uma solução: Sejam y e z número reais não nulos tal que (4/yz)+(y^2/2z)+(z^2/2y)=3 Qual o valor de y+z? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Colégio Naval
José, o amigo Ralph resolveu usando uma adaptação do produto notável a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2). No caso a adaptação seria: (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) = a^3+b^3+c^3 - 3abc, então: 4/yz + y^2/2z + z^2/2y = 3 .(2yz) 8+y^3+z^3=6yz 2^3+y^3+z^3-3.2.y.z = 0 (2+y+z)(2^2+y^2+z^2-2y-2z-yz)=0 portanto 2+y+z=0 =y+z=-2 (que corresponde a alternativa A) ou 4+y^2+z^2-2y-2z-yz=0 --- Em sáb, 24/1/09, JOSE AIRTON CARNEIRO nep...@ig.com.br escreveu: De: JOSE AIRTON CARNEIRO nep...@ig.com.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Colégio Naval Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 24 de Janeiro de 2009, 23:58 Nem imagino como se resolve essa equação por um processo algébrico, mas na base da observação ou do chute se encontra a solução. Temos 3 parcelas cuja soma dá 3. Logo cada parcela pode ser 1. O que nos leva a concluir que y pode ser igual a z, ou seja y= z = 2. Então y + z = 4. 2009/1/24 Rauryson Alves raury...@yahoo.com.br Um amigo me mostrou essa questão do colégio naval e eu repasso a vocês para tentarmos achar uma solução: Sejam y e z número reais não nulos tal que (4/yz)+(y^2/2z)+(z^2/2y)=3 Qual o valor de y+z? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Colégio Naval - Conh ecida fatoração é ótimo! Good Solve!
--- Em sáb, 24/1/09, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Colégio Naval Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 24 de Janeiro de 2009, 23:38 Multiplicando tudo por 2yz: y^3+z^3+8-6yz=0 (y+z+2)(y^2+z^2+2^2-yz-2y-2z)=0 (y+z+2)((y-2)^2+(z-2)^2+(y-z)^2)/2=0 (Usei aqui a conhecida fatoração x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)) Então y+z=-2 ou y=z=2; então y+z=-2 ou y+z=4. Abraço, Ralph 2009/1/24 Rauryson Alves raury...@yahoo.com.br: Um amigo me mostrou essa questão do colégio naval e eu repasso a vocês para tentarmos achar uma solução: Sejam y e z número reais não nulos tal que (4/yz)+(y^2/2z)+(z^2/2y)=3 Qual o valor de y+z? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória
ENGENHARIA é uma palavra com 10 letras, das quais os E se repete 2 vezes, o N se repete 2 vezes e o A se repete 2 vezes, assim teremos a formação de 10!/2!.2!.2! anagramas. --- Em dom, 5/10/08, Marcelo Costa [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Marcelo Costa [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Análise combinatória Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 5 de Outubro de 2008, 11:52 Alguém poderia me dar uma luz nessa? Quantos são os anagramas da palavra ENGENHARIA Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
Re: [obm-l] UFPB-65
Vejamos, os algarismos ímpares são 1, 3, 5, 7 e 9. Considerando que 1 e 3 estão sempre juntos teremos um total de 4!.2! números de cinco algarismos onde 1 e 3 estão sempre juntos. arkon [EMAIL PROTECTED] escreveu:Alguém pode, por favor, resolver esta: (UFPB-65) Quantos são os números de 5 algarismos, todos eles ímpares, dos quais os dois menores estão sempre juntos? DESDE JÁ MUITO OBRIGADO Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Em busca de e-books
Pessoal vcs sabem me dizer onde eu posso encontrar e-books sobre análise real... ou mesmo algumas lista de exercícios? - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] Revista Eureka! No.25
Gostaria de comunicar que o Colégio GEO Natal mudou sua sede de endereço. Como devo proceder para continuar recebendo as edições e as informações da OBM? Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros amigos da OBM, Já está no site a versão eletrônica da Revista Eureka! No. 25 www.obm.org.br A versão impressa deve ser enviada para todos os sócios da AOBM (que estão em dia com o pagamento da anuidade 2007) ainda no decorrer do mês de maio. Abraços, Nelly = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Revista Eureka! No.25
Colégio GEO Natal Professor Responsável: José Rauryson Alves Bezerra Novo Endereço: Av. Prudente de Morais, 3510 - Lagoa Nova, Natal - RN CEP.: 59056-200 Na Internet, contatos através de nosso site: http://www.geonatal.com.br/ Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] escreveu: Rauryson Alves wrote: Gostaria de comunicar que o Colégio GEO Natal mudou sua sede de endereço. Como devo proceder para continuar recebendo as edições e as informações da OBM? *//* Envie-nos os novos dados. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] UFCG
Grande descoberta esta lista... muita gente com vontade de contribuir para aumentar o conhecimento da comunidade. Estou divulgando com professores amigos. Marcelo Costa [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se permitem fazer uma observação, esse problema é uma adaptação de um outro problema: De um baralho de pôquer (7, 8, 9, 10, valete, dama, rei e ás, cada um desses grupos aparecendo em 4 naipes: copas, ouros, paus e espadas), sacam-se simultaneamente 5 cartas. Quantas são as extrações nas quais se forma um par (duas cartas em um mesmo grupo e as outras três em três grupos diferentes)? Solução: Há 8 modos de escolher o grupo do par propriamente dito, C4,2 modos de escolher os naipes, C7,3 modos de escolher os grupos das outras três cartas e 4x4x4 modos de escolher os naipes dessas três cartas. Abraços! Parabéns ao Carlos Gomes pela brinlhante solução! Em 24/01/07, Rauryson Alves [EMAIL PROTECTED] escreveu:Obrigado Carlos. abcs Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Raurison...blza? Raciocine do seguinte modo: primeiro vc escolhe a cor que irá repetir as duas bolas, o que pode ser feito de 8 modos distintos, visto que existem 8 cores disponíveis. Agora escolha 2 das 4 bolas da cor escolhida, o que pode ser feito de C(4,2)=6 modos distintos. Agora escolha entre as 7 cores restantes escplha 3 pala completar as 5 bolas, o que pode ser feito de C(7,3)=35 modos distintos. Uma vez escolhidas as cores das 3 bolas restantes, agora das 4 bolas de cada uma das cores escolha 1 bola até completar as 5 bolas o que pode ser feito de C(4,1).C(4,1).C(4,1)=4^3. Assim pelo principio fundamental da contagem existem 8.C(4,2).C(7,3).C(4,1).C(4,1).C(4,1)=105.4^5...alternativa E. valew, Cgomes - Original Message - From: Rauryson Alves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, January 23, 2007 9:34 PM Subject: [obm-l] UFCG (UFCG 2007) Há em uma urna 32 bolas em 8 cores distintas, sendo 4 bolas de cada cor. Extraindo-se simultaneamente 5 bolas desta urna, o número de extrações nas quais se têm exatamente duas bolas de uma única cor é: a) 65.47 b) 3.44c) 15.4³ d) 70.4² e) 105.45 __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ - No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.410 / Virus Database: 268.17.8/648 - Release Date: 23/1/2007 __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] UFCG - Análise Combinatória
(UFCG 2007) Há em uma urna 32 bolas em 8 cores distintas, sendo 4 bolas de cada cor. Extraindo-se simultaneamente 5 bolas desta urna, o número de extrações nas quais se têm exatamente duas bolas de uma única cor é: a) 65.47 b) 3.44c) 15.4³ d) 70.4² e) 105.45 __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] UFCG
(UFCG 2007) Há em uma urna 32 bolas em 8 cores distintas, sendo 4 bolas de cada cor. Extraindo-se simultaneamente 5 bolas desta urna, o número de extrações nas quais se têm exatamente duas bolas de uma única cor é: a) 65.47 b) 3.44c) 15.4³ d) 70.4² e) 105.45 __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] UFCG
Obrigado Carlos. abcs Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Raurison...blza? Raciocine do seguinte modo: primeiro vc escolhe a cor que irá repetir as duas bolas, o que pode ser feito de 8 modos distintos, visto que existem 8 cores disponíveis. Agora escolha 2 das 4 bolas da cor escolhida, o que pode ser feito de C(4,2)=6 modos distintos. Agora escolha entre as 7 cores restantes escplha 3 pala completar as 5 bolas, o que pode ser feito de C(7,3)=35 modos distintos. Uma vez escolhidas as cores das 3 bolas restantes, agora das 4 bolas de cada uma das cores escolha 1 bola até completar as 5 bolas o que pode ser feito de C(4,1).C(4,1).C(4,1)=4^3. Assim pelo principio fundamental da contagem existem 8.C(4,2).C(7,3).C(4,1).C(4,1).C(4,1)=105.4^5...alternativa E. valew, Cgomes - Original Message - From: Rauryson Alves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, January 23, 2007 9:34 PM Subject: [obm-l] UFCG (UFCG 2007) Há em uma urna 32 bolas em 8 cores distintas, sendo 4 bolas de cada cor. Extraindo-se simultaneamente 5 bolas desta urna, o número de extrações nas quais se têm exatamente duas bolas de uma única cor é: a) 65.47 b) 3.44c) 15.4³ d) 70.4² e) 105.45 __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ - No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.410 / Virus Database: 268.17.8/648 - Release Date: 23/1/2007 __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] UFCG - 2007
Um reservatório de água em uma pequena comunidade tem o formato de um tronco de cone circular reto, com diâmetro da base maior medindo 14m, diâmetro da base menor medindo 4m e altura 5m , com a base menor servindo como base.Quando o volume da água no reservatório for V = (28*h*pi)/3 m^3 onde h em metros é a altura do nível da água com relação à base menor do reservatório, o valor de h será: __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] UFPB
(UFPB-65) Corta-se um pedaço de arame de comprimento d em dois outros que
deverão ser vergados nas formas de um quadrado e de um círculo,
respectivamente. Para que a soma das áreas destas figuras seja mínima, em que
razão o arame deve ser cortado.
Suponha que o pedaço de arame com comprimento d seja dividido em duas outra
partes com comprimentos a e b.
d = a + b
a = d - b (i)
Do pedaço com comprimento a iremos formar um quadrado de lado l, logo teremos
que
4l = a
l = a/4 (ii)
Do pedaço de arame com comprimento b iremos formar um círculo de raio r. O
perímetro do círculo é o comprimento da circunferência que a delimita, assim
teremos que
2.pi.r = b
r = b/(2.pi) (iii)
A soma das áreas destas figuras chamaremos S que será definida pela seguinte
lei de formação:
S = (l^2) + pi.(r^2) (iv)
Substituindo (ii) e (iii) em (iv) teremos:
S = [(a^2)/16] + [(b^2)/(4.pi)] (v)
Substituindo (i) em (v) teremos:
S = {[(d-b)^2]/16} + [(b^2)/(4.pi)]
S = [pi.(d^2) - 2.pi.d.b + pi.(b^2) + 4.(d^2)]/16.pi
S = [(4 + pi)/16.pi].(b^2) - (d/8).b + (d^2)/16
Agora temos S sendo uma função polinomial do segundo grau na variável b. Como
o coeficiente de b^2 é positivo podemos enteder que o valor de b que faz com
que S tenha o valor mínimo é a abcissa do vértice da parábola que serve como
gráfico a S, sendo assim:
b = (d/8)/[(4 + pi)/(8.pi)]
b = d.pi/(4 + pi) (vi)
Substituindo (vi) em (i)
a = d - d.pi/(4 + pi)
a = 4.d/(4 + pi)
Assim, para que a soma das áreas destas figuras seja mínima, devemos dividir
o arame de comprimento d na razão de b/a, i.e, [d.pi/(4 + pi)]/[4.d/(4 + pi)] =
pi/4
UFPB-89) O valor da expressão tg 41º.tg 42º..tg 49 é:
a) -1.b) 1. c) 0.d) rq3. e) rq2/2.
Sabemos que se a e b são ângulos complementares então
tgb = 1/tga
Na seqüência (tg 41º,tg 42º, ... ,tg 49º) temos 9 termos sendo o termo médio
tg45º e com o último termo igual ao inverso do primeiro, o penúltimo igual ao
inverso do segundo e assim sucessivamente. Nessa condições no produto tg 41º.tg
42º. ... .tg 49º o produto dos termos com valores inversos seria 1 e a tg45º =
1, sendo assim o valor da expressão é igual a 1.
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Re: [obm-l] Conjunto
Vejamos:
i) Gelson Iezzi em Fundamentos de Matemática Elementar
Propriedades da Inclusão
1ª) { } está contido em A
(...)
Para todo x, a implicação se x pertence a { } então x pertence a A é
verdadeira pois x pertence ao vazio é falsa. Então por definição* de
subconjunto, { } está contido em A.
*Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somnete se, todo elemento
de A pertence também a B.
ii) Manoel Paiva no Livro Matemática vol.1
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto
DEMONSTRAÇÃO
(...) Supor que é falso que { } está contido em A. Ora, pela definição** de
subconjunto, temos que: se é falso que { } está contido em A, então existe x,
tal que x pertence a { } e x não pertence a A. Mas isso é uma contradição,
pois o conjunto vazio não possui elemento algum. Assim a afirmação de que { }
está contido em A não é falsa (...).
**Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente
se, todo elemento de A pertece a B.
Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Porque o conjunto Vazio está contido em todo conjunto ??
Não entendo isso.
--
Bjos,
Bruna
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