[obm-l] 2^m e 5^k dividem o fatorial de n
 Olá, pessoal!Sendo m e k inteiros não negativos e n um inteiro maior que 1, de modo que 2^m  e 5^k sejam, respectivamente, a maior potência de 2 e a maior potência de 5 que dividem o fatorial de n, como provar que m k?Abraços do Ennius.  -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] x = -x = x = 0
Caros Colegas, Consideremos os axiomas de adição de um corpo K: 1) (x + y) + z = x + (y + z) , quaisquer que sejam x, y e z pertencentes a K. 2) x + y = y + x , quaisquer que sejam x e y pertencentes a K. 3) Existe 0 pertencente a K, tal que x + 0 = x, qualquer que seja x pertencente a K. 4) Todo elemento x pertencente a K possui um simétrico -x pertencente a K, tal que x + (-x) = 0 Usando-se somente esses axiomas, pode-se provar que x = -x se, e somente se, x = 0? Abraços do Ennius. ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Fatorial de inteiro negativo
Caros Colegas, Encontrei um texto de Matemática que define assim o fatorial de um inteiro negativo: (-n)! = [(-1)^n].(n!) (para todo inteiro positivo n) Não consegui encontrar, entretanto, outros textos que adotem tal definição. Gostaria de saber o que os Colegas pensam sobre o assunto. Abraços do Ennius! _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quociente da divisão euclidiana
Uma demonstração: Sejam q e r, respectivamente, o quociente e o resto da divisão euclidiana de m por n. Assim: m = qn + r, com 0= r n Suponhamos que q seja negativo. Então q = -1.  Ou seja:  -q = 1.  Logo: r = m - qn = m + (-qn) e, então, r -qn n , o que é absurdo. Portanto: q é positivo ou nulo. Abraços do Ennius!_  De: brped...@hotmail.com Enviada: Sábado, 12 de Julho de 2014 17:53 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Quociente da divisão euclidiana Colegas da lista, Sendo m e n inteiros positivos, como provar que o quociente da divisão euclidiana de m por n é maior ou igual a zero? Abraços do Pedro Chaves! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Dividir a^m - 1 por a^n - 1
Caros Colegas, Como obter, pela divisão de polinômios, o quociente e o resto da divisão de a^m - 1 por a^n - 1? (a, m e n são inteiros positivos; a1, nm) Abraços do Ennius. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Dividir a^m - 1 por a^n - 1 (correção)
Correção: queria dizer mn. De: enn...@bol.com.brEnviada: Sexta-feira, 11 de Julho de 2014 08:39Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Dividir a^m - 1 por a^n - 1Caros Colegas,Como obter, pela divisão de polinômios, o quociente e o resto da divisão de a^m - 1 por a^n - 1?(a, m e n são inteiros positivos; a1, mn)Abraços do Ennius.  -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] O mesmo resto
Desculpem-me o equívoco. Faço a correção. Teorema: O resto da divisão euclidiana de a^m - 1 por a^n - 1 é a^r - 1, sendo r o resto da divisão euclidiana de m por n. (a, m e n são inteiros positivos; a1, m=n ) Abraços do Ennius! De: enn...@bol.com.br Enviada: Quarta-feira, 9 de Julho de 2014 21:10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] O mesmo resto Olá, pessoal! Aproveitando as recentes questões, proponho a demonstração do seguinte teorema: O resto da divisão euclidiana de a^m - 1 por a^n - 1 é o mesmo resto da divisão euclidiana de m por n. (a, m e n são inteiros positivos; a1 e m=n) Agradeço a atenção de vocês. Abraços do Ennius! ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] O mesmo resto
Olá, pessoal! Aproveitando as recentes questões, proponho a demonstração do seguinte teorema: O resto da divisão euclidiana de a^m - 1 por a^n - 1 é o mesmo resto da divisão euclidiana de m por n. (a, m e n são inteiros positivos; a1 e m=n) Agradeço a atenção de vocês. Abraços do Ennius! ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Subtrair x de y
Caros Colegas, Dados os números reais x e y, parece-me que subtrair x de y significa obter y - x. Já vi, entretanto, quem diga que significa x - y . Gostaria de saber o que vocês pensam a respeito. Desde já, muito obrigado. Um abraço do Ennius! __ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] x^n = 0 = x = 0
Caros Colegas, Sendo x um número complexo qualquer e n um número inteiro positivo, como provar que x^n = 0 se, e somente se, x = 0? Abraços do Ennius! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] quociente de n/(2^k) quociente de n/(5^k)
Como 5^k 2^k, o quociente da divisão euclidiana de n por 5^k (chamarei de q) é menor ou igual ao quociente da divisão euclidiana de n por 2^k (chamarei de Q). Vamos escrever: n = q.(5^k) + r , onde r é o resto da divisão de n por 5^k. n= Q.(2^k)+ R, onde R é o resto da divisão de n por 2^k. Vamos supor que q = Q. Então: q(5^k) + r = q(2^k) + R = R = q(5^k - 2^k) + r Logo: R 2^k (pois 5^k - 2^k 2^k) Assim, o resto R seria maior do que o divisor 2^k, o que é absurdo. Portanto, necessariamente q Q. __ De: brped...@hotmail.com Enviada: Quinta-feira, 17 de Abril de 2014 19:18 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] quociente de n/(2^k) quociente de n/(5^k) Meus queridos colegas da lista, Como podemos provar que o quociente da divisão euclidiana de n por 2^k é maior do que o quociente da divisão euclidiana de n por 5^k, sendo n um inteiro maior ou igual a 5^K e k um inteiro maior ou igual a 1? Abraços. Pedro Chaves _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] quociente de n/(2^k) quociente de n/(5^k)
Faltou indicar que q=1, pois n= 5^k.  Fiz a correção abaixo. De: enn...@bol.com.brEnviada: Quinta-feira, 17 de Abril de 2014 20:42Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] quociente de n/(2^k) quociente de n/(5^k)Como 5^k 2^k, o quociente da divisão euclidiana de n por 5^k (chamarei de q) é menor ou igual ao quociente da divisão euclidiana de n por 2^k (chamarei de Q). Vamos escrever:n = q.(5^k) + r , onde r é o resto da divisão de n por 5^k.n= Q.(2^k)+ R, onde R é o resto da divisão de n por 2^k.Vamos supor que q = Q. Então:q(5^k) + r = q(2^k) + R = R = q(5^k - 2^k) + r Logo: R 2^k (pois 5^k - 2^k 2^k,  e q=1, já que n= 5^k.)Assim, o resto R seria maior do que o divisor 2^k, o que é absurdo.Portanto, necessariamente q Q.__De: brped...@hotmail.comEnviada: Quinta-feira, 17 de Abril de 2014 19:18Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] quociente de n/(2^k) quociente de n/(5^k)Meus queridos colegas da lista,Como podemos provar que o quociente da divisão euclidiana de n por 2^k é maior do que o quociente da divisão euclidiana de n por 5^k, sendo n um inteiro maior ou igual a 5^K e k um inteiro maior ou igual a 1?Abraços.Pedro Chaves_ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Produto de inteiros consecutivos
Caros Colegas, Pode-se demonstrar por indução sobre n (somente sobre n) que o produto de n inteiros consecutivos quaisquer é múltiplo do fatorial de n? Até agora não consegui nenhuma demonstração assim. Agradeço-lhes a habitual gentileza. Abraços do Ennius Lima. _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] n(n+1)(n+2)... (n+p-1) é múltiplo do fatorial de p
O objetivo é fazer a demonstração, ignorando resultados da Análise Combinatória. Na verdade, pode-se provar que a afirmação é válida, sendo p um inteiro maior ou igual a zero, e n um inteiro qualquer. Abraços do Ennius! _ De: claudiog...@yahoo.com.br Enviada: Sexta-feira, 11 de Abril de 2014 21:20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] n(n+1)(n+2)... (n+p-1) é múltiplo do fatorial de p Olah! Bom, sabe-se que, segundo as formulas de combinação e de arranjo: Cn,p = n!/p!(n-p)! An,p = n!/(n-p)! Logo: Cn,p = An,p/p! - An,p = p!Cn,p Pode-se observar que o produto dado eh: (n+p-1)!/(n-1)! = (n+p-1)!/(n+p-1-p)! = A(n+p-1),p Portanto: A(n+p-1),p = p!C(n+p-1),p Como o resultado de uma combinação sempre eh inteiro, conclui-se que: A(n+p-1),p = p!.k, com k inteiro e dessa forma eh um múltiplo de p! :) Enviado via iPhone Em 11/04/2014, às 19:01, Ennius Lima enn...@bol.com.br escreveu: Caros Colegas, Como podemos provar que o produto n.(n+1).(n+2)... .(n+p-1) é múltiplo do fatorial de p? (n e p são naturais maiores do que 1.) Desde já, agradeço-lhes a atenção. Abraços do Ennius Lima!  -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] n(n+1)(n+2)... (n+p-1) é múltiplo do fatorial de p
Caros Colegas, Como podemos provar que o produto n.(n+1).(n+2)... .(n+p-1) é múltiplo do fatorial de p? (n e p são naturais maiores do que 1.) Desde já, agradeço-lhes a atenção. Abraços do Ennius Lima! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Fator 2 e fator 5
Caros Colegas, Quando se decompõe o fatorial de n (n1) em fatores primos, parece-me que o fator 2 aparece mais vezes que o fator 5, pois o fator 2 está presente em todos os números pares, enquanto o fator 5 aparece somente nos múltiplos de 5. Gostaria de saber como podemos provar isso formalmente. Desde já, muito obrigado. Ennius Lima ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Soluções inteiras não negativas
Caros Colegas,Seria possÃvel calcular quantas soluções inteiras não negativas tem a equação 2x + 3y = 500, sem resolver a equação?Desde já, muito obrigado.Ennius Lima___  -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais
A resolução que enviei através do Pedro Chaves, pois meu e-mail estava tendo problemas, parece que está equivocada. Pode algum colega me ajudar? Grato. Ennius Lima De: brped...@hotmail.com Enviada: Domingo, 16 de Março de 2014 01:54 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais Bem... acho que são 201 soluções naturais. Resolução: x + 2y = 1000 - 5z Fixado z, temos uma equação diofantina com duas variáveis. Uma solução particular: x = 1000 - 5z e y = 0 Solução geral: x = 1000 - 5z - 2t (t é inteiro) y= t Atribuindo-se a z qualquer valor de 0 a 200, pode-se sempre encontrar um t no intervalo [0, 500], tal que x esteja no intervalo [0, 1000]. Portanto, são 201 soluções naturais. Peço comentários dos colegas. Abraços do Ennius! __ _ Date: Fri, 14 Mar 2014 15:40:13 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais From: peterdirich...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Acho que uma boníssima pedida seria Séries Formais! Vamos tentar achar a série formal cujos expoentes são da forma A+2B+3C, A,B,C= 0. Acho que uma manipulação algébrica é moleza, algo como 1/((1-x)^3(1+x)(1+x+x^2)) Em 5 de março de 2014 20:22, Ennius Lima enn...@bol.com.brmailto:enn...@bol.com.br escreveu: Caros Colegas, Quantas soluções naturais tem a equação diofantina x + 2y + 5z = 1000? (Incluo o zero entre os números naturais) Desde já, agradeço-lhes a atenção. Ennius Lima __- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais
Muito obrigado, Ralph! Agora posso concluir a questão. A soma indicada por você pode ser reescrita como duas progressões aritméticas de razão 5: (501, 496, ...1), com 101 termos, e (498, 493, ...3), com 100 termos. A primeira progressão tem soma 25351, e a segunda tem soma 25050. Portanto, a resposta da questão é 50401. Abraços do Ennius! __ De: ralp...@gmail.com Enviada: Domingo, 16 de Março de 2014 11:16 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais Isso mostra que sao 201 opcoes para z -- mas cada valor de z tem VARIAS solucoes em x e y, como voce mesmo mostrou. Mas dah para continuar o seu raciocinio e matar a questao: voce mostrou que, dado um z especifico, as solucoes sao da forma y=t e x=1000-5z-2t. Note que aqui t varia entre 0 e (500-2.5z). Ou seja: -- Se z=0, ha 501 opcoes para t (de 0 a 500) -- Se z=1, ha 498 opcoes para t (de 0 a 497) -- Se z=2, ha 496 opcoes para t (de 0 a 495); -- Se z=3, ha 493 opcoes para t (de 0 a 492); ... -- Se z=200, ha 1 opcao para t (de 0 a 0). Entao o numero de solucoes eh 501+498+496+493++1. Calculando isso, o problema sai. Abraco, Ralph 2014-03-16 10:02 GMT-03:00 Ennius Lima enn...@bol.com.br: A resolução que enviei através do Pedro Chaves, pois meu e-mail estava tendo problemas, parece que está equivocada. Pode algum colega me ajudar? Grato. Ennius Lima De: brped...@hotmail.com Enviada: Domingo, 16 de Março de 2014 01:54 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais Bem... acho que são 201 soluções naturais. Resolução: x + 2y = 1000 - 5z Fixado z, temos uma equação diofantina com duas variáveis. Uma solução particular: x = 1000 - 5z e y = 0 Solução geral: x = 1000 - 5z - 2t (t é inteiro) y= t Atribuindo-se a z qualquer valor de 0 a 200, pode-se sempre encontrar um t no intervalo [0, 500], tal que x esteja no intervalo [0, 1000]. Portanto, são 201 soluções naturais. Peço comentários dos colegas. Abraços do Ennius! __ _ Date: Fri, 14 Mar 2014 15:40:13 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais From: peterdirich...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Acho que uma boníssima pedida seria Séries Formais! Vamos tentar achar a série formal cujos expoentes são da forma A+2B+3C, A,B,C= 0. Acho que uma manipulação algébrica é moleza, algo como 1/((1-x)^3(1+x)(1+x+x^2)) Em 5 de março de 2014 20:22, Ennius Lima enn...@bol.com.brmailto:enn...@bol.com.br escreveu: Caros Colegas, Quantas soluções naturais tem a equação diofantina x + 2y + 5z = 1000? (Incluo o zero entre os números naturais) Desde já, agradeço-lhes a atenção. Ennius Lima __- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Número de soluções naturais
Caros Colegas, Quantas soluções naturais tem a equação diofantina x + 2y + 5z = 1000? (Incluo o zero entre os números naturais) Desde já, agradeço-lhes a atenção. Ennius Lima __- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Séries convergentes (propriedade)
Caros Colegas, Gostaria de obter uma demonstração, bem detalhada se possível, do teorema abaixo. Teorema: Se a série a_1 + a_2 + ... + a_n + ... é convergente, então lim a_n = 0 Desde já, muito obrigado. Ennius Lima -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Definição de limite
Caros Colegas, Na definição usual (delta-épsilon) de limite de uma função, pode-se escrever menor ou igual antes do delta e também antes do épsilon? Geralmente, usa-se menor. Pode-se também usar menor ou igual antes do épsilon, em vez de menor, na definição de limite de uma sequência? Abraços do Ennius ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Limite de sequência (pela definição)
Como podemos provar que a sequência com termo geral a_n = 1 - 1/(n+1) converge para 1?(Obs.: Usar diretamente a definição de limite de uma sequência.)Ennius Lima___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] x+ r tende a mais infinito
Caros Colegas, Como podemos provar que são equivalentes as afirmações x tende a mais infinito e x + r tende a mais infinito? ( x é uma variável real, r é uma constante real.) Feliz Anovo Novo para todos! Ennius Lima -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Série convergente, com soma inferior a 1
Sabemos que a série geométrica 9/10 + 9/(10^2) + ... a_n / (10^n) + ... converge para 1. Quando um termo a_n desta série é substituído por outro menor (b_n), a nova série obtida também será convergente, com soma 1 - d, sendo d = a_n - b_n. Assim, a nova série tem soma inferior a 1. Se algum termo desta nova série for diferente de zero, pode-se concluir ainda, que sua soma será maior do que zero. Essas conclusões resultam imediatamente da definição de série convergente. Abraços do Ennius! De: Pedro Chaves brped...@hotmail.com Enviada: Quarta-feira, 4 de Dezembro de 2013 08:23 Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Série convergente, com soma inferior a 1 Dada a sucessão a_1, a_2, ... , a_n, ... , cujos termos são números inteiros pertencentes ao intervalo [0,9], nem todos iguais a 9, mostrar que a série a_1 / 10 + a_2 /(10^2) + ... a_n / (10^n) + ... converge para um número real menor do que 1. Abraços do Pedro Chaves. ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] 2,345 = 2,345000... = 2,34999...
Na verdade, eu quis dizer 2,344999... Creio que falta algo na demonstração dada pelo Pedro José, a quem muito agradeço. Gostaria de um exame melhor da questão, se possível for. Abraços do Ennius! De: Pedro José petroc...@gmail.com Enviada: Quinta-feira, 28 de Novembro de 2013 17:04 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] 2,345 = 2,345000... = 2,34999... Bom dia! A primeira é fácil demais: 2 + 3*10^ -1 +4*10^-2 + 5*10^ -3 = 2 + 3*10^ -1 +4*10^-2 + 5*10^ -3+ 0* 10^-4 + 0*10^-5 + 0*10^-6... A segunda é simples também: 2 + 3*10^ -1 +4*10^-2 + 5*10^ -3= 2 + 3*10^ -1 +4*10^-2 + 9 *10^-3 + 9* 10^-4 + 9*10^-5 + 9*10^-6... Simplificando as parcelas iguias em ambos os lados da iguldade teremos: 5*10^ -3= 9 *10^-3 + 9* 10^-4 + 9*10^-5 + 9*10^-6.. o lado direito é o limite de uma soma de PG de razão 1/10 e a1 = 9*10^-3 quando o número de termos tende a infinito donde 5*10^ -3 = 5*10^-3 Em 28 de novembro de 2013 16:39, Ennius Lima enn...@bol.com.br escreveu: Caros Colegas, Como provar que 2,345 = 2,345... = 2,34999... ? Desde já, muitÃssimo grato! Ennius Lima __   -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] 2,345 = 2,345000... = 2,34999...
Caros Colegas, Como provar que 2,345 = 2,345... = 2,34999... ? Desde já, muitíssimo grato! Ennius Lima __ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Sequência crescente limitada
Caros Colegas, Como provar que uma sequência crescente limitada converge para seu supremo? Abraços! Ennius Lima _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Teorema sobre séries
Caros Colegas, Como provar o teorema abaixo? Desde já, muito grato. Ennius Lima Teorema: Quando se insere, em qualquer ordem, um ou mais termos (números reais) a uma série de números reais obtém-se: --- uma série divergente, se a série inicial é divergente; --- uma série convergente, com soma S + s, se a série inicial é convergente, com soma S, e s é a soma dos termos inseridos. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Séries finitas(?)
Caros Colegas, Parece-me que a expressão "série infinita" é redundante, pois, a meu ver, não tem nenhum significado matemático a expressão "série finita".  Basta, a meu ver, escrever "série".Vocês concordam?Abraços do Ennius Lima!__ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Provar: |x^n| = |x|^n
Caros Colegas,Como provar que |x^n| = |x|^n , sendo x um número real qualquer e n um inteiro positivo?Abraços do Ennius__ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] r(n+2) - r(n+1) r(n)
Caros Colegas, Indico por r(x) a raiz quadrada do inteiro positivo x. Mostrar que r(n+2) - r(n+1) r(n). Abraços do Ennius Lima! ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] x^n = y^n = |x| = |y|
Caros Colegas, Como provar que a igualdade x^n = y^n implica |x| = |y|, quando x e y são números reais quaisquer e n é um inteiro positivo? Abraços do Ennius Lima! ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
{Disarmed} [obm-l] {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Mesmo produto, soma mínima // Mesma soma, produto máximo
Caro Terence,O que proponho é resolver as questões, supondo-se que a desigualdade das médias seja desconhecida.Ennius Em 28/06/2013 18:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: MAS isto é 'equivalente' à desigualdade das médias.  Em 27 de junho de 2013 20:30, ennius MailScanner detectou uma possível tentativa de fraude de ".." MailScanner detectou uma possível tentativa de fraude de ".." enn...@bol.com.br escreveu: Caros Colegas,  Embora as questões abaixo já tenham sido abordadas na Lista (pelo menos a primeira foi), eu as trago de volta, pois gostaria de ver resoluções que não recorressem à desigualdade entre as médias aritmética e geométrica. 1) "De todos os n números reais positivos que têm o mesmo produto, os que possuem a soma mÃnima são aqueles em que os n números são todos iguais; não sendo todos iguais, a soma não é mÃnima."  2) "De todos os n números reais positivos que têm a mesma soma, os que possuem o produto máximo são aqueles em que os n números são todos iguais; não sendo todos iguais, o produto não é máximo."  Abraços do Ennius! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e  acredita-se est ar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ç¥ãç¥ç¦Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Mesmo produto, soma mínima // Mesma soma, produto máximo
Caros Colegas, Embora as questões abaixo já tenham sido abordadas na Lista (pelo menos a primeira foi), eu as trago de volta, pois gostaria de ver resoluções que não recorressem à desigualdade entre as médias aritmética e geométrica. 1) De todos os n números reais positivos que têm o mesmo produto, os que possuem a soma mínima são aqueles em que os n números são todos iguais; não sendo todos iguais, a soma não é mínima. 2) De todos os n números reais positivos que têm a mesma soma, os que possuem o produto máximo são aqueles em que os n números são todos iguais; não sendo todos iguais, o produto não é máximo. Abraços do Ennius! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] x.y = 1 = |x| = |y| = 1 (Como provar?)
Caros Colegas, Sendo x e y números inteiros, como provar que a igualdade x.y = 1 implica |x| = |y| = 1 ? Desde já, muito obrigado. Ennius Lima - -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y
Colegas da Lista, Como mostrar que a equação x/y = x - y não admite soluções inteiras, além de x = 4 e y = 2? -- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Mostrar que o quociente é positivo
Colegas da Lista: Seja q o quociente da divisão euclidiana de D por d (D e d são inteiros positivos, e D é maior ou igual a d). Como provar que q é positivo? Abraços do Ennius. ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Menor distância : axioma ou teorema?
Caros Colegas, Pode-se demonstrar que qualquer linha que vá do ponto A ao ponto B, não sendo o segmento de reta AB, é menor que esse segmento? Ou esse fato é, necessariamente, um axioma? Abraços do Ennius Lima! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] x.y = 0 = x = 0 ou y = 0
Caros Colegas, Sendo x e y números inteiros, como provar que a igualdade x.y=0 implica x=0 ou y=0 ? Gostaria de uma solução no âmbito da teoria dos números, isto é: no universo dos números inteiros. Abraços do Ennius Lima. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Divisores (Teoria dos números)
Queridos Colegas, Sendo a e b números inteiros, como podemos provar que se a equação x^2 + ax + b = 0 possui uma raiz inteira, então ela divide b. Um grande abraço do Ennius Lima! ___ = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Máximo divisor comum de mais de dois números inteiros
Caros Colegas, Sendo a_1, a_2, ... , a_n números inteiros, não todos nulos, e a_k um inteiro qualquer, como provar que o mdc (a_1, a_2, ..., a_n, a_k) = mdc ( mdc(a_1, a_2, ..., a_n), a_k)? Abraços do Ennius Lima. - = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] mdc como combinação linear
Colegas da lista, Como podemos demonstrar que o mdc de dois ou mais números inteiros (não todos nulos) pode ser representado como combinação linear (usando-se somente inteiros) desses números? Desde já, muito obrigado. Ennius Lima __ = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] mdc de números ímpares (pares) consecutivos
Caros Amigos , Como poderemos provar as duas afirmações abaixo? 1) O mdc de dois números ímpares consecutivos é 1. 2) O mdc de dois números pares consecutivos é 2. Abraços do Ennius Lima! ___ = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Quantas vezes aparece o zero?
Queridos colegas, Quantas vezes aparece o algarismo 0 (zero), quando escrevemos todos os números naturais de 1 a 10^n (exclusive)? ( n é natural diferente de zero.) Obs.: Desconsiderar números com zero inicial (07, 058, por exemplo). Abraços do Ennius Lima _ = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Produto na base 7
Caros Colegas, Na base 7, em quantos zeros termina o produto 1 x 2 x 3 ... x 66? (Os fatores estão na base 7.) Abraços do Ennius __ = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Número mínimo (máximo) de algarismos do produto (correção)
Creio que a correção é desnecessária. Não consegui ainda, contudo, resolver a questão. Abraços! Ennius Lima _ Em 26/10/2012 20:55, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: Caros colegas, Trago a seguinte questão: --- Sendo A_1 . A_2, ..., A_n, números naturais diferentes de zero, cujas quantidades de algarismos são, respectivamente, a_1, a_2, ..., a_n, mostrar que seu produto tem no máximo (a_1 + a_2 + ... + a_n) algarismos e no mínimo (a_1 + a_2 + ... + a_n) - (n -1). Abraços do Pedro Chaves! ___ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Postulado de Bertrand
Caros Colegas, Partindo-se do Postulado de Bertrand (um teorema, na verdade): --- Para todo inteiro n 1, há pelo menos um número primo p, tal que n p 2n --- como provar que para todo inteiro m 3, há pelo menos um número primo p', tal que m p' 2m - 2 ? (Na verdade, temos agora outra versão do Postulado.) Abraços do Ennius Lima! __ = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] AB = I implica BA = I
Caros Colegas, Sendo A, B e I matrizes quadradas de ordem n (I é matriz identidade), como provar que a igualdade AB = I implica BA = I ? Abraços do Ennius. ___ = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Divisão euclidiana de n por Dd (ainda não consegui)
 Caros Colegas,Gostaria de obter, se possÃvel for, demonstração do teorema abaixo, em que divisão quer dizer divisão euclidiana, n é inteiro, D e d são inteiros positivos.Teorema:  O quociente da divisão de n por Dd é igual ao quociente da divisão de q por d, sendo q o quociente da divisão de n por D.Abraços do Ennius._ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Divisão euclidiana de n por Dd
Caros Colegas, Gostaria de obter, se possível for, demonstração do teorema abaixo, em que divisão quer dizer divisão euclidiana, n é inteiro, D e d são inteiros positivos. Teorema: O quociente da divisão de n por Dd é igual ao quociente da divisão de q por d, sendo q o quociente da divisão de n por D. Abraços do Ennius. _ = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Determinante nulo
Caros colegas, Sabendo-se que é nulo o determinante da matriz M (dada abaixo), cujos elementos são números reais, mostrar que sua primeira linha é combinação linear das outras linhas. abc M =def ghi Abraços do Ennius. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Soluções inteiras não negativas
Caros Colegas, Quantas soluções inteiras não negativas tem a equação x1 + x2 + ... + x10 = 100? Abraços! Ennius Lima = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?
Prezados Colegas, Qual o melhor método para calcular quantos dígitos tem o fatorial de 7000 (ou de qualquer outro número natural grande)? Desde já, muito obrigado. Ennius Lima = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?
Desejo calcular quantos digitos tem o fatorial de 7000, e nao em quantos zeros termina. Ennius _ Em 13/09/2012 10:55, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2012/9/13 ennius enn...@bol.com.br: Prezados Colegas, Qual o melhor método para calcular quantos dÃgitos tem o fatorial de 7000 (ou de qualquer outro número natural grande)? Calcule o logaritmo em base 10. Vai dar uma soma bem grande. A única coisa que falta é aproximar a soma por uma integral, calculando o erro da aproximação. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] kt + v é negativo
Queridos Colegas Sabendo-se que k, t e v são números inteiros tais que: --- k é negativo, t é positivo, v é positivo ou nulo, t é maior que v --- como podemos mostrar que kt + v é negativo? Agradeço-lhes a habitual atenção. Abraços. Ennius __ = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade com radicais
Prezados amigos da Lista: Como podemos provar que a raiz n-ésima de (a + b) é menor que soma das raízes n-ésimas de a e b? ( n é natural diferente de zero, a e b são números reais positivos.) Abraços! Ennius Lima = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Milésimo número primo
Caros Amigos, Na sucessão dos números primos (positivos), qual é o milésimo termo? Existe fórmula para o cálculo direto? Abraços do Ennius Lima. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 5000?
Caros Colegas, Qual o melhor procedimento para calcular (sem usar programas de computador) quantos dígitos tem o fatorial de um número natural grande (5000, por exemplo)? Abraços do Ennius Lima. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Equação exponencial
Amigos da Lista, Gostaria de obter uma resolução, se possível for, da questão abaixo. Abraços do Ennius! QUESTÃO: Sendo a e b números inteiros maiores do que 1, e que não podem ser escritos como potências de mesma base e expoente inteiro, mostrar que a equação exponencial b^x = a não possui raiz racional. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Equação b^x = a
Amigos da Lista, Gostaria de obter uma resolução, se possível for, da questão abaixo. Abraços do Ennius! QUESTÃO: Sendo a e b números inteiros maiores do que 1, e que não podem ser escritos como potências de mesma base e expoente inteiro, mostrar que a equação exponencial b^x = a não possui raiz racional. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Média harmônica igual média geométrica
Caros Colegas, Peço-lhes uma prova, se possível for, da propriedade abaixo. Propriedade: A média harmônica e a média geométrica, de n números reais positivos dados, são iguais somente se os n números forem todos iguais. Agradeço-lhes muitíssimo desde já. Ennius Lima = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] x igual ao simétrico de x
Caros Colegas, Pode-se provar , sem recorrer às propriedades da multiplicação, que a igualdade x = -x implica x=0? (Estamos no corpo dos números reais.) Abraços do Ennius! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Fatores primos do fatorial
Caros Colegas, Dados os números primos positivos p e q, com pq, como provar que o fator p aparece mais vezes que o fator q na decomposição de n! (n é maior ou igual a p) em fatores primos? Abraços do Ennius. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Questão de teoria dos números
Caros Colegas, Como podemos provar que a parte inteira de n/(2^k) é maior que a parte inteira de n/(5^k), para todo inteiro n1 e n maior ou igual a 2^k? (k é inteiro positivo.) Abraços do Ennius. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] x^y = y^x
Caros Colegas,Sabemos que 2^4 = 4^2 e (-2)^(-4) = (-4)^(-2). Minha dúvida: Existem outros pares (x,y) de inteiros disntintos que satisfazem a igualdade x^y = y^x?Abraços do Ennius. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Determinante nulo e combinação linear
Caros Colegas, Gostaria muito de obter uma demonstração do teorema abaixo.Teorema:Seja M uma matriz quadrada de ordem n1. Se o determinante de M é nulo, então M possui alguma fila que seja combinação linear de suas filas paralelas.Abraços!Ennius Lima = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Determinante nulo
Olá, amigos! Caso alguém tenha paciência, gostaria que fizesse uma demonstração do teorema abaixo. Teorema: Seja M uma matriz quadrada de ordem n1. Se o determinante de M é nulo, então M possui alguma fila que seja combinação linear de filas paralelas. Abraços! Ennius Lima = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Propriedades dos divisores
Caro Torres,à exatamente a formalização que desejo obter.Um abraço!Ennius = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Propriedades dos divisores
Amigos da Lista, Peço-lhes uma demonstração do teorema abaixo: --- Escrevendo-se em ordem crescente (decrescente) os divisores naturais de um número natural n (diferente de zero), o produto dos termos equidistantes dos extremos é igual a n. Além disso, se o número de divisores for ímpar, o termo central da sequência obtida é a raiz quadrada de n. --- Meu abraço a todos!!! Ennius Lima = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
