[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida
Acho que a melhor maneira de responder a esta pergunta é através de um exemplo: Considere o seguinte problema: Prove que se um triângulo tem duas bissetrizes internas iguais, então ele é isósceles.Solução (fornecida pelo Prof. Eduardo Wagner):Desenhe o triangulo ABC e as bissetrizes BD e CE.Construa o paralelogramo BDFE e trace CF.Assinale os angulos:ABC = 2b, ACB = 2c, EFD = b, DFC = x, DCF = y.EF = BD = EC. Logo, b + x = c + y.Suponha que os angulos B e C sejam desiguais. SEM PERDA DE GENERALIDADE, suponha queB C, por exemplo, e observe as implicacoes:B Cb cx yDC DFDC BEDBC = b c = EBC (contradicao).Logo, os angulos B e C sao iguais. *** PERGUNTA: Você acha que a solução acima está completa, ou será que ficou faltando trataro caso B C? Se fôssemos aderirestritamente às leis dalógica com 100% de rigor, deveríamos, de fato, tratar também o caso B C. Entretanto, o tratamento deste caso seria totalmente análogo ao do caso B C (bastando, de fato, inverter a direção das desigualdades). Assim, o Prof. Eduardo considerou (com total razão) que o caso B C era suficientemente geral, ou seja, bastava tratar este caso a fim de estabelecer o resultado desejado. Em outras palavras, a suposição de que B C não reduziu o grau de generalidade da demonstração (o que teria ocorrido, por exemplo, se ele tivesse suposto que B = 2*C ou que C B C + 10 graus). Espero ter sido claro. Um abraço, Claudio Buffara. - Original Message - From: Fernando To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 01, 1998 9:35 AM Subject: [obm-l] Dúvida Gostaria que alguém me tirasse a seguinte dúvida: Em alguns demonstrações matemáticas, observo a seguinte expressão: Sem perda de generalidade, podemos admitir que ( por exemplo: ABCD, AB=0).Qual a argumentação lógica para essa suposição: Atenciosamente Fernando.
Re: [obm-l] [(n^m) - n] multiplo de m ?
Caro Felipe: Infelizmente o resultado não é verdadeiro. Por exemplo, tome n=2 e m=9. Neste caso,9 e2 são primos entre si mas2^9 - 2 = 510, o qual não é múltiplo de 9. No entanto, existe um teoremaimportante de teoria dos números que diz o seguinte: Sejam m e ninteiros positivos primos entre si. Seja Phi(m) o número de inteiros positivos menores ou iguais que m e primos com m. Então, n^Phi(m) - 1 é múltiplo de m. Um caso particular deste teorema é quando m é primo. Neste caso Phi(m) = m - 1 (por que?), e o teorema diz o seguinte: Se m é primo e n é um inteiro não divisível por m, então n^m - n é múltiplo de m. Uma forma de provar isto é por indução sobre n. Vale o esforço de tentar... Um abraço, Claudio. - Original Message - From: felipe mendona To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 05, 2003 12:49 AM Subject: [obm-l] [(n^m) - n] multiplo de m ? Ola colegas de lista...eu tenho um problema em maos, que me atormenta a tempos,ele tem um aspecto angelical mas é verdadeiramente diabolico, concluam voces mesmos,ele é beeem dificil.Segue abaixo: Se n,m sao inteiros positivos diferentes de 1,prove que [(n^m) - n] é multiplo de m se m é impar. Bonito, nao!Eu provei apenasos casos em que n e m sao primos entre si. Alguem tem uma boa ideia? Fica a cargo de voceis. Ate logo ! nbsp; Felipe Mendonça Vitória-ES. MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
Re: [obm-l] geometria
Problema 2: ABCD é um quadrilátero cíclico. Areta tangentepor A encontra CB em K,e a reta tangentepor B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD. Mostre que o quadrilátero tem dois lados paralelos. O resultado estará provado se conseguirmos mostrar que os ângulos MAB e MDC são iguais. 1)Tome pontos L em AK e N em MB tais que A esteja entre K e L eque B esteja entre M e N e em seguida use as propriedades dos ângulos e arcos na circunferência: Arco AB = KAB = MDB = KCA = MBA Arco ADC = ABC Arco BCD = BAD 2) Com as igualdades de ângulos deduzidas acima, conclua que certos triângulos são semelhantes: KCA = KABe CKA = AKB == Triângulos KCA e KABsão semelhantes == AC / AB = KC / KA = KA / KB == KA^2 = KB * KC MDB = MBA e DMB = BMA == Triângulos MBD e MAB são semelhantes == BD / AB= MD / MB = MB / MA == MB^2 = MA * MD 3) Levando em conta que KC = 2 * KB e MD = 2 * MA, teremos: KA^2 = 2 * KB^2 e MB^2 = 2 * MA^2 == KA / KB = MB / MA = raiz(2) Ou seja, AC / AB = KA / KB = MB / MA = BD / AB = raiz(2) Assim, AC = BD = AB * raiz(2) 4) Cordas iguais subentendem arcos iguais. AC = BD == Arco ADC = Arco BCD == Ângulo ABC = Ângulo BAD. 5) ABCD é cíclico == ABC + CDA = 180 graus == BAD + CDA = 180 graus Mas, MAB + BAD = 180 graus (são suplementares) == MAB = CDA = MDC == AB // CD e o resultado está provado. - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 2:51 PM Subject: [obm-l] geometria Doisproblemas que não estou conseguindo resolver: 1)ABCD é um quadrilátero.M é um ponto interno a esse quadrilátero de forma que ABMD é um paralelogramo.O ângulo CBM é igual ao ângulo CDM.Mostre que o ângulo ACD é igual ao ângulo BCM. 2)ABCD é um quadrilátero cíclico.Areta tangentepor A encontra CB em K,e a reta tangentepor B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD.Mostre que o quadrilátero tem dois lados paralelos. Qualquer ajuda/resolução é bem vinda. Eder
Re: [obm-l] conjuntos abertos na reta real
Caro Artur: Seja X um conjunto aberto da reta real. Então, pelo teorema da existência (para cada aberto X, existe uma família enumerável de intervalos abertos disjuntos dois a dois cuja união é X), podemos escrever X = UNIÃO A(i), onde i pertence a N e os A(i) são intervalos abertos disjuntos dois a dois. Em algum ponto da demonstração da existência dos A(i) deve ter aparecido o seguinte fato: Se x pertence a X, então x pertence a A(i), para algum i, e A(i) é o maior sub-intervalo de X que contém x Suponhamos que X = UNIÃO B(j) ( j em N, e os B(j) intervalos abertos disjuntos dois a dois) e que as duas representações são distintas. Neste caso, existirá um índice r tal que B(r) será diferente de A(i) para todo i. Seja x pertencente a B(r). Então B(r) é o maior sub-intervalo de X que contém x. Por outro lado, existe um índice s tal que x pertence a A(s), e A(s) é o maior sub-intervalo de X que contém x. Assim, A(s) = B(r) == Contradição pois, por hipótese, B(r) é diferente de A(i) para todo i == As duas representações são idênticas. Espero que isto seja útil. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 04, 2003 11:33 PM Subject: [obm-l] conjuntos abertos na reta real Feliz 2003 para todos! Sabemos que, na reta real, todo conjunto aberto é dado por uma união disjunta e numerável de intervalos abertos. Quase todos os livros de Análise Real apresentam a prova deste teorema. Estou agora tentanto provar que esta representação de conjuntos abertos é única, e estou encontrando alguma difculdade. Deve haver algum detalhe, talvez trivial, que esteja me passando. Alguém poderia ajudar? Obrigado. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] geometria
Problema 1: ABCD é um quadrilátero.M é um ponto interno a esse quadrilátero de forma que ABMD é um paralelogramo.O ângulo CBM é igual ao ângulo CDM.Mostre que o ângulo ACD é igual ao ângulo BCM. Tome o ponto N no mesmo semi-plano que C em relação a DM e de forma que o segmento DN seja paralelo a MC e tenha o mesmo comprimentodeste == MDNC é paralelogramo == triângulos DNA e MCB são congruentes e CN // MD. triângulos DNA e MCB serão congruentes == ângulo AND = ângulo BCM e ângulo NAD = ângulo CBM CN // MD == ângulo DCN = ângulo CDM ângulo DCN = ângulo CDM = ângulo CBM = ângulo NAD == ADNC é cíclico == ângulos AND e DCA compreendem o mesmo arco (AD) == ângulo AND = ângulo ACD Mas, ângulo AND = ângulo BCM == ângulo ACD = ângulo BCM e o resultado está provado. - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 2:51 PM Subject: [obm-l] geometria Doisproblemas que não estou conseguindo resolver: 1)ABCD é um quadrilátero.M é um ponto interno a esse quadrilátero de forma que ABMD é um paralelogramo.O ângulo CBM é igual ao ângulo CDM.Mostre que o ângulo ACD é igual ao ângulo BCM. 2)ABCD é um quadrilátero cíclico.Areta tangentepor A encontra CB em K,e a reta tangentepor B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD.Mostre que o quadrilátero tem dois lados paralelos. Qualquer ajuda/resolução é bem vinda. Eder
Re: [obm-l] Naturais
O elemento situado na linha "i" e coluna "j" é igual ao resto da divisão de i^j por j. Isso também pode ser expresso como i^j mod j. Assim, por exemplo: 2^5 = 32 deixa resto 2 na divisão por 5 == A(2,5) = 2. 7^4 = 2401 deixa resto 1na divisão por 4 == A(7,4) = 1. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 04, 2003 6:35 AM Subject: [obm-l] Naturais Olá pessoal, Alguém consegue entender a tabela de periodo natural do site: http://www.sweb.cz/vladimir_ladma/english/notes/texts/naturalp.htm Ps: É em inglês, mas o problema está mais com a tabela do que com o texto.
[obm-l] Re: [obm-l] polinômios
- Original Message - From: Marcelo Leitner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 04, 2003 12:43 PM Subject: Re: [obm-l] polinômios On Sat, Jan 04, 2003 at 12:56:05AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Se 2x + 5 é identico à (x + m)^2 - (x - n)^2, então m^3 - n^3 é igual à: Ps: Meu gabarito está com alguns problemas de correspondência de questões só para vcs terem uma idéia neste exercício ele deu como resposta o seguinte: Pedro lucrou 20%. Incrível, não!? Mas as alternativas são: a) 19 c) 35 b) 28 d) 37 Neste exercício o que eu procurei fazer foi desenvolver os produtos notáveis e procurais a identidade de polinômios, mas o valor que encontrei para m^3 - n^3 não foi um nº inteiro, mas sim uma equação em função de m e n associado ao 15. ---end quoted text--- Note que (x+m)^2 - (x-n)^2 eh uma diferenca de quadrados, logo = (x+m + x-n)(x+m - x+n) = (2x+m+n)(m+n) = 2x(m+n) + (m+n)^2 = 2x + 5 A idéia é essa, mas você trocou um sinal. (x+m)^2 - (x-n)^2 = (x+m+x-n)(x+m-x+n) = (2x+m - n)(m+n) = = 2(m+n)x + (m+n)(m-n) = 2x + 5 == m+n = 1 e (m+n)(m-n) = 5 == m + n = 1 e m - n = 5 == m = 3 e n = -2 == m^3 - n^3 = 3^3 - (-2)^3 = 27 + 8 = 35. por identidade de polinomios, m+n = 1, (m+n)^2 = 5 - Oops! Foi o que consegui enxergar nesse exercicio.. Espero ter ajudado um pouco, -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Trigonometria
As funções seno e cosseno são periodicas, com período = 2*pi, ou seja, qualquer que seja x, teremos sen(x+2*pi) = sen(x) e cos(x+2*pi)=cos(x). A função tangente é periódica de período = pi == tg(x+pi)=tg(x). Bom, 9pi/4 = pi/4 + 2pi == tg(9pi/4) = tg(pi/4 + 2pi) = tg(pi/4 + pi) = tg(pi/4). Acho que com essa explicação você consegue calcular a, b e c do seu e-mail. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, January 03, 2003 4:01 AM Subject: [obm-l] Trigonometria Por que tg(9pi/4) = tg(pi/4) ? Como fazer estas conversões? Regra de três ou os conceitos de arcos côngruos e/ou equações trigonométricas? Como calcular: a) sen 27pi b) sen (-37pi/3) c)cos (15pi/2) Se vcs me explicarem como fazer estes três eu ficarei muito agradecido, pois assim poderei fazer o restante do meu caderno de estudos. Ps: O exercício que eu estou fazendo tem + ou - 18, a maioria eu fiz utilizando regra de três, ou seja, transformando os radianos em graus, dividindo por 360º e pegando o resto como valor notável mas o problema é que este resto nem sempre dava um valor notável. Será que meu erro está em transformar em graus? Devo fazer regra de três de radianos para radianos, pois neste tipo de exercício como vocês podem ver acima, pede para calcular o sen,cos e tg só de radianos e não de graus. Em alguns casos eu até resolvi facilmente como sen (17pi/2) ou sen (-13pi/2), pois encontrava valores notáveis. Mas, nos itens como em a, b,c não encontrei esses valores notáveis.
Re: [obm-l] Fatoriais
A primeira coisa a fazer neste problema é determinar que números tem fatorial igual a 1. Naturalmente, estes números são 0 e 1. Se 5x-7 = 0, então x = 7/5. Se 5x-7 = 1, então x = 8/5 Assim, as rãízes da equação são x1 = 7/5 e x2 = 8/5. x1 + x2 = 7/5 + 8/5 = 15/5 = 3. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, January 03, 2003 7:47 PM Subject: [obm-l] Fatoriais Porque a soma raízes da equação (5x-7)! = 1 é igual a 3 ?
Re: [obm-l] (nenhum assunto)
O R na resolução é o raio da base do cone. O raio do semicírculo inicial está sendo chamado de g (de geratriz). A afirmativa que precisa ser justificada é a de que um semicírculo gera um cone equilátero (ou seja, um no qual a geratriz é igual ao diâmetro da base). Isso não é muito difícil. Basta observar que: Comprimento do semicírculo = Perímetro da Base do Cone == Pi * g = 2 * Pi * R == g = 2 * R == 20 = 2 * R == R = 10 cm. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 4:27 AM Subject: [obm-l] (nenhum assunto) Vejam esta questão que no final eu direi minha dúvida: (FUVEST90) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20 cm. Com essa cartolina, um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa? Resolução: Sendo o formato um semicírculo, o cone obtido será eqüilátero, isto é, g = 2R, onde g = 20 cm. Logo, R = 10 cm. A distância pedida é a altura do cone, que é obtida por meio da seguinte relação: g^2 = H^2 +R^2 ; H= sqrt 300= 10sqrt3 Dúvida: Na resolução foi dito que g= 20cm. Como 20? No enunciado diz que o raio=20 e os cone equilátero não têm a g= diâmetro? Ou seja, não deveria ser g=40? Onde está meu erro colegas? Ps: Esta é a questão 38 do end.eletrônico:http://www.klickeducacao.com.br:8000/vt/vt/Qf/vtqf06/vtqf06.htm#30
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica
A mediana desejada une o vértice B (4,5) ao ponto médio de AC (4,3). Repare que ambos os pontos têm a mesma abscissa (coordenada x). Assim, a reta que os une é: x = 4. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 5:13 AM Subject: [obm-l] Geometria analítica Determine a equação da mediana relativa ao lado AC de um triângulo cujos vértices são os pontos A(1,2) , B(4,5) e C(7,4). Resposta A equação da mediana é x=4. Como operar para chegar na equação da mediana como nessa questão ?
[obm-l] Re: [obm-l] composição de simetrias
Tanto álgebra como geometria estudam simetrias. Existe uma sub-área da álgebra chamada Teoria dos Grupos, a qual estuda sistematicamente, e de forma abstrata, simetrias em geral. Neste caso, por simetria entende-se alguma operação ou transformação sobre um dado conjunto que deixa este conjunto, ou partes dele, imutável. Por exemplo, em geometria, uma simetria pode ser uma rotação, uma translação ou uma reflexão (ou rebatimento), ou seja, um movimento rígido qualquer que deixe imutável oconjunto de pontos em consideração. Um resultado elementar de teoria dos grupos diz que existem 6 simetrias em um triângulo equilátero no plano. Uma delas é uma rotação de 120 graus, digamos, no sentido anti-horário. Você consegue achar as outras cinco? - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 5:42 AM Subject: [obm-l] composição de simetrias Que área da matemática estuda composição de simetrias: Álgebra, geometria...?
[obm-l] Re: [obm-l] sequência mais complicada que a dos primos
Qualquer que seja n, dados os n primeiros termos de uma sequência qualquer, existe sempre uma infinidade de fórmulas que podem "explicar" aqueles termos. Por exemplo, dados X1, X2, ..., Xn, podemos semprepostular um polinômio: F(X) = A(0) + A(1)*X +A(2)*X^2 + ... + A(n)*X^(n), de grau n tal que: F(1) = 1*A(0) + 1*A(1) + 1^2*A(2) + ... + 1^n*A(n) = X1 F(2) = 1*A(0) + 2*A(1) + 2^2*A(2) + ... + 2^n*A(n) = X2 . F(n) = 1*A(0) + n*A(1) + n^2*A(2) + ... + n^n*A(n) = Xn Repare que este é um sistema de n equações lineares em (n+1) incógnitas (os A(i), 0 = i = n), o qual tem uma infinidade de soluções, que correspondem a uma infinidade do fórmulas polinomiais que produzem os n termos da sequência. Assim, os seus 8 termos podem ser explicados por uma infinidade de polinômios de grau 8 (ou maior), apesar de possivelmente haver alguma razão mais interessante, da mesma forma que na sequencia dos dobros dos primos. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 01, 2003 1:56 PM Subject: [obm-l] sequência mais complicada que a dos primos Olá amigos, a sequência dos primos vcs acharam fácil, não é ? Agora para tornar mais estimulante criei está daqui: 0, 69, 47, 38, 69, 79, 84, 07... Aumentei o número de termos para evitar divergências numéricas. Ps: Numa sequência numérica o interessante não é só descobrir a "razão ou lógica" de quem elaborou, mas também descobrir outras "razões" para a mesma sequência. Por exemplo, a questão dos dobros dos números primos que enviei tinha poucos termos, e isso foi percebido por vcs como uma possibidade de divergência, pois eram inúmeras as "razões" que poderiam ser encontradas e isso e fantástico na matemática. Depois enviarei a resposta, mas acho que a única razão para está sequência é a minha, pois nem o site: http://www.research.att.com/~njas/sequences/ conseguiu decifrar mesmo tendo um banco de dados com mais de 5000 sequências.
[obm-l] Re: [obm-l] Princípio de Dirichlet
Tome um número natural "n" qualquer. Considere os números 1, 11, 111, , 1, e 111..11 (onde o último número é formado por (n+1) algarismos 1, e os restos que cada um destes números deixa quando dividido por n. Existem n+1 números mas apenas n restos possíveis (0, 1, ..., n-1). Assim, pelo princípio de Dirichlet, têm de existir na lista acimadois números formados só por algarismos ´1´ que deixam o mesmo resto (suponhamos que o maiorseja formado por "p" e o menor por "q" algarismos ´1´ (p q) ). Subtraindo o menor do maior, você obtém um número da forma 11...1100..00, formado por "(p-q)" 1´s seguido de "q" zeros, o qual é divisível por "n" (estou usando o fato de que se "a" e "b" deixam o mesmo resto na divisão por "n" então "a-b" é divi´sível por "n". - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 11:52 AM Subject: [obm-l] Princípio de Dirichlet Caros amigos, muita paz! Feliz ano novo a todos! Como resolver a seguinte questão referente a Dirichlet: Prove que todo número natural tem um múltiplo que se escreve, na base 10, apenas com os algarismos 0 e 1. Fonte: Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. Autores: Augusto César de Oliveira Morgado João Bosco Pitombeira de Carvalho Paulo Cezar Pinto Carvalho Pedro Fernadez ATT. João Carlos
Re: [obm-l] trigonometria
tg(9pi/4) = tg(pi/4) = 1 = 6x / pi == x = pi/6 == 3x = pi/2 == cos 3x = cos(pi/2) = 0. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:15 PM Subject: [obm-l] trigonometria Porque se a tg (9pi/4)=6x/pi, então cos 3x é zero?
[obm-l] Re: [obm-l] sistema de equaçoes
Sugestão: tire o log das duas equações, obtendo: x*log2 + y*log3 = log108 x*log4 + y*log2 = log128 Agora, você tem um sistema linear c/ 2 equações e 2 incógnitas. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:16 PM Subject: [obm-l] sistema de equaçoes Uma com dúvida na seguinte questão: 2^x *3^y=108 4^x*2^y=128 Ps: a resposta é 6 Eu não estou conseguindo resolver este sistema de equações pois sempre eu "caio"em uma equação com potências de bases diferentes em um membro e outro.
Re: [obm-l] complexos
i+ 1/(1+i) = [i(1+i) + 1 ]/(1+i) =(i-1+1)/(1+i) = i/(1+i). O módulo é 1/raiz(1^2+1^2) = 1/raiz(2) = raiz(2)/2 - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:16 PM Subject: [obm-l] complexos Se z = i + 1/(1 + i) calcule o módulo de Z: Ps: No meu caderno de exercícios a resposta é sqrt10/2 mas eu só estou chegando no resultado sqrt10/4. Eu estou multiplicando a parcela com denominador imaginário pelo seu conjugado, tirando o mmc, separando a de b e aplicando a fórmula sqrta(a^2 +b^2) mas não chego na resposta do gabarito.
[obm-l] Re: [obm-l] área lateral de um cone
Faça um "corte" no cone segundo alguma geratriz e "desenrole-o" (fazendo assim a tão chamada planificação - termo mais chique mas muito menos intuitivo do que "cortar e desenrolar"). Esqueça a base (que não contribui para a área lateral). Você vai ter umsetor circular de raio = g (geratriz) e cujo setor da circunferência correspondente tem comprimento igual ao perímetro da base: 2*pi*R (R = raio da base). Imagino que você conheça as fórmulas de Setor Circular: Comprimento do Setor = Raio do Setor * Ângulo Central Área do Setor = 1/2 * Raio do Setor^2 * Angulo Central Agora: Comprimento do Setor = 2*pi*R Raio do Setor = g Portanto: Ângulo Central = 2*pi*R/g Ou seja, Área do Setor = 1/2 * g^2 * 2*pi*R/g = 1/2 * 2*pi*R*g Mas Área do Setor = Área Lateral do Cone. Assim: Área Lateral do Cone = 1/2 * 2*pi*R*g OBS: A dedução acima só vale para o caso de um cone circular reto. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 4:12 AM Subject: [obm-l] área lateral de um cone Alguns livros de matemática do ensino médio, normalmente trazem aquelas explicações do por quê de tais fórmulas, explicando suas origens e evitando que o aluno decore, mas sim entenda. Um exemplo disso é a explicação da fórmula da área lateral de um cone que fazendo a planificação da para provar a fórmula: Área lateral =1/2 * 2piR *g , que simplificando resulta em S lateral= piR.g. O que eu não entendi foi da onde "saiu" o fator 1/2
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Subconjuntos de {1,2,..,n} com Média Inteira
Caro Domingos Jr.:
Obrigado pela observação. Apesar de ser fácil mostrar que se X tem aquela
forma específica, então X = X*, este fato tinha que estar explicitado na
demostração.
Sobre o cálculo de P(n) propriamente dito, eu chequei o site:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/
e a sequência dos P(n), que começa com 1, 2, 5, 8, 15, 26, 45, ... estava
lá. Infelizmente, o site só indica uma fórmula assintótica para P(n) ~
2^(n+1)/n.
Interessante observar que, distribuindo os 2^n - 1 subconjuntos não vazios
de In por n grupos de acordo com a classe de congruência mod n a que
pertence a soma de seus elementos, a fórmula assintótica acima diz que a
classe 0 tem proporcionalmente mais elementos do que o que seria de se
esperar (2^n / n).
Outra sequência que lá está é a do meu outro problema - o da reordenação dos
naturais tal que cada segmento inicial tem média inteira. Esta começa com 1,
3, 2, 6, 4, 11, 5, 14, ...
Vou seguir seu conselho e postar uma nova mensagem com este problema pra ver
se alguém tem alguma contribuição a fazer.
Um abraço,
Claudio Buffara.
- Original Message -
From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, January 02, 2003 9:02 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Subconjuntos de {1,2,..,n} com Média Inteira
Olá, estive viajando e por tanto só estou lendo suas mensagens em 2003!
(...)
até aqui parece tudo bem...
Seja X um elemento de @n com k elementos ( 1 = k = n ).
No que se segue, vamos escrever X da seguinte forma:
X = { A(1) , A(2) , ... , A(k) }
e supor sempre que A(1) A(2) ... A(k).
Assim, X* = ( n+1-A(k) , n+1-A(k-1) , ... , n+1-A(1) }
e n+1-A(k) n+1-A(k-1) ... n+1-A(1)
Consideremos, separadamente, os casos: k par e k ímpar
CASO 1: k é par = k = 2r.
X = X* ==
A(2r) = n+1-A(1) ,
A(2r-1) = n+1-A(2) ,
...
A(r+1) = n+1-A(r) ==
X = X* = { A(1) , ... , A(r) , n+1-A(r) , ... , n+1-A(1) }
Assim, M(X) = M(X*) = r(n+1)/k = (n+1)/2 = m.
Ou seja, todo X que é igual a X* tem média inteira.
Repare que A(1) A(2) ... A(r) n+1-A(r), ou seja:
A(1) A(2) ... A(r) (n+1)/2 = m.
Desta forma, o número de elementos X de @n com k=2r elementos tais que X
=
X* é igual ao número de subconjuntos de r elementos do conjunto {1, 2,
...,
m-1}, ou seja, C(m-1,r).
a demonstração aqui precisa ser nas duas direções, troque = por =!
a mesma coisa para a próxima...
Por conseguinte, o número total de elementos de X de @n é obtido pela
soma
destes valores desde k = 1 até k = m-1, ou seja, este número é igual a:
C(m-1,1) + C(m-1,2) + ... + C(m-1,m-1) = 2^(m-1) - 1.
CASO 2: k é ímpar = k = 2r-1.
X = X* ==
A(2r-1) = n+1-A(1) ,
A(2r-2) = n+1-A(2) ,
...
A( r+1) = n+1-A(r-1) ,
A(r) = n+1-A(r) ==
A(r) = (n+1)/2 = m e
X = X* = { A(1) , .. , A(r-1) , A(r) = m , n+1-A(r-1) , ... ,
n+1-A(1) }
M(X) = M(X*) = [m + (r-1)(n+1)] / k = [m + (r-1)2m]/(2r-1) =
= m(2r-1)/(2r-1) = m
(...)
Espero que não haja nenhum furo desta vez.
Assim esperamos!
Ainda permanece o problema de se determinar uma expressão para P(n) em
função de n, ou pelo menos, em função de P(m) com m n. Além disso,
este
problema pode ter alguma relação com o seguinte:
determinar P(n) deve ser bem complicado, eu acho que pode ser utilizada a
idéia da minha mensagem anterior, decompor P(n+1) = P(n) + T(n).
Seja a sequência X: N -- N (N = conjunto dos inteiros positivos),
definida
por:
X(1) = 1, e, para n =1, X(n+1) = menor inteiro positivo tal que:
(i) X(n+1) não pertence a { X(1) , X(2) , ... , X(n) }, e
(ii) o conjunto { X(1), ..., X(n), X(n+1) } tem média inteira.
Prove que X é uma bijeção.
Um abraço,
Claudio Buffara.
Que tal colocar essa problema como uma nova postagem? Assim mais pessoas
acompanhariam...
Gostei, parece que funciona, mas é mais complicada e extensa do que eu
imaginava (e desejava!). Uma pena, no entanto, que a minha idéia não tenha
podido ser melhor explorada (se é que dela pode-se sair em algum
resultado),
parecia uma alternativa bem elegante...
[ ]'s
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Sequência 1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14
Existe um site bem interessante para quem gosta de sequências numéricas:
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
http://www.research.att.com/~njas/sequences/
Neste site, a sequência 1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14, ... é descrita como
sendo uma permutação dos inteiros positivos tal que a média aritmética de
cada segmento inicial é inteira.
O meu problema é justamente provar que esta descrição está correta.
Em outras, palavras:
Seja a sequência X: N -- N (N = conjunto dos inteiros positivos),
definida por:
X(1) = 1, e, para n 1, X(n) = menor inteiro positivo tal que:
(i) X(n) não pertence a { X(1) , X(2) , ... , X(n-1) }, e
(ii) o conjunto { X(1), ..., X(n) } tem média aritmética inteira.
Prove que X é uma bijeção (ou seja, cada inteiro positivo aparece na
sequência exatamente uma vez).
Provar que X é bem definida e injetiva é fácil. O problema é provar que X é
sobrejetiva.
Agradeço antecipadamente qualquer ajuda.
Um abraço,
Claudio Buffara.
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Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Caro Paulo:
Você levantou uma questão interessante e relevante tanto para quem está
escrevendo um livro ou artigo expositório quanto para quem está prestando um
exame discursivo.
Eu me lembro de uma discussão há pouco tempo aqui na lista sobre a
necessidade ou não de se justificar a fórmula da área de um triângulo via
determinantes, e a conclusão pareceu ser que um candidato poderia usar esta
fórmula sem precisar prová-la (até porque trata-se de um resultado bastante
conhecido, tipo fórmula da distância de ponto a reta, ou área da elipse, por
exemplo).
No entanto, o que você acharia, como professor, se um aluno escrevesse numa
prova, sem nenhuma justificativa adicional, algo do tipo e como um inteiro
positivo tem um número ímpar de divisores, podemos concluir que ele é um
quadrado perfeito. ou então e como para cada k com 0 k n, o
coeficiente binomial C(n,k) é par, temos que n é uma potência de 2.
Portanto, ... ?
No caso do livro que contém o resultado do Conway, até por razões didáticas,
eu concordo com a sua argumentação. O fato de termos de preencher algumas
lacunas elementares na exposição ajuda, e muito, na solidificação do
conhecimento (nada como ser obrigado a pensar um pouco, de vez em quando!).
A única coisa que realmente me incomoda é o uso de expressões do tipo
CLARAMENTE, TRIVIALMENTE, É ÓBVIO QUE, etc. quando o resultado ao qual a
expressão se refere não é evidente (como seria, por exemplo, o caso da
desigualdade 1 = Ra = M ou algum caso de congruência de triângulos), mas
apenas elementar (caso, na minha opinião, dos dois exemplos que eu dei
acima, da desigualdades 2 = Ra m e, por exemplo, de vários teoremas de
geometria, tipo lei dos senos e dos cossenos, Pitágoras, fórmula de Heron
para área do triângulo, etc.)
Por outro lado, acho que você foi injustiçado em sua prova de análise. Na
questão do Xn versus (Xn) sem comentários - o seu Prof. também deve tirar
pontos por caligrafia E, pelo menos para mim, a sequência 1, 2, 1, 3, 1,
4,.. é CLARAMENTE divergente e CLARAMENTE tem 1 como valor de aderência -
muito mais claramente do que 2 = Ra m.
Dito isso, ainda não provei o resultado, mas pelo menos achei n subconjuntos
que satisfazem às condições. Se X = {1,2,...,n} então teremos A(1) = {1,n},
A(2) = {2,n}, ..., A(n-1) = {n-1,n} e A(n) = {1,2,...,n-1}. Além disso,
nenhum deles pode ser removido sem que algum par fique descoberto . O
problema agora é que eu fico tentando achar uma sacada genial, que prova o
resultado em 1 linha, e como eu não sou o John Conway
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, January 01, 2003 9:35 PM
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Ola Claudio ! Acho que voce concorda comigo que o raciocinio que voce
desenvolveu para ver que, para qualquer a em X, 2 = Ra m, e bastante
elementar, certo ? Imagine o que ocorreria se em uma exposicao cientifica
nos fossemos obrigados a demonstrar explicitamente cada detalhe ...
Muito Provavelmente, o Conway supos isso evidente. O Livro a que me referi
tem esta beleza : voce precisa parar para ESTUDAR A DEMONSTRACAO : ele nao
perde tempo com detalhes mais ou menos faceis de perceber !
Tudo isso me faz lembrar um Prof de Analise que eu tive. Numa questao de 2
pontos ele tirou ( eu acho que a questao era : PROVE QUE FECHO(X)=PONTOS
DE
ACUMULACAO DE X unido FRONTEIRA DE X ).4 duas vezes simplesmente porque ao
falar sobre uma sequencia eu coloquei Xn e nao (Xn). Mais adiante, numa
outra questao, como contra-exemplo da afirmacao Toda sequencia que tem um
valor de aderencia e convergente eu apresentei a sequencia
1,2,1,3,1,4,1,5,
... O Prof tirou .5 alegando que que era preciso provar que tal sequencia
nao e convergente ...
Bom, como eu ja conhecia um pouquinho de analise, o Prof era inflexivel e
eu
ja havia lido e visto Grandes Mestres desta area, que evidentemente nao
perdem tempo com estas picuinhas, conclui que o melhor era deixa-lo
perdido
em seu apego ( ou a-te-pego ? ) a um rigor improficuo.
Em sintese, acho suas demonstracoes validas e eu estava pensando se
deveria
ou nao explicar porque 2 = Ra m, nao obstante estar mais inclinado a
supor que aqui na lista todos perceberiam com facilidade as razoes de tal
desigualdade.
O Conway admite outras evidencias, proseguindo ... se a nao esta em Ai
entao Ra = |Ai|, onde Ai e o numero de elementos de Ai. Isso e realmente
evidente ou e preciso demonstrar ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
4,2125,010103
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Date: Mon, 30 Dec 2002 14:50:42 -0200
Caro Paulo:
Ainda não descobri a solução mágica do Conway, mas discordo do
claramentecom o qual ele começa.
Se a pertence a X, seja Ra o numero de subconjuntos Ai, i em
{1,2,...,M }, tal que a pertence a
[obm-l] Re: [obm-l] Álgebra (Equação)
raiz(2) / m = 3 / raiz(2) - 1 raiz(2) / m = ( 3 - raiz(2) ) / raiz(2) 2/ m = 3 - raiz(2) m = 2 / ( 3 - raiz(2) ) m = 2 * ( 3 + raiz(2) ) / ( 9 - 2 ) m = ( 6 + 2*raiz(2) ) / 7 No penúltimo passo, eu racionalizei o denominador, multiplicando o numerador e o denominador por ( 3 + raiz(2) ). - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 1:14 AM Subject: [obm-l] Álgebra (Equação) Olá pessoal, vcs conseguem resolver uma equação que caiu na unesp que é a seguinte: 3/sqrt2 - sqrt2/m= 1 Ps: A resposta é m= (6 + 2sqrt2)/7, mas estou encontrando algumas dificuldades algébricas.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação irracional
Como 5 - 2x aparece num denominador e sob o sinal
de raiz quadrada, temos que ter:
5 - 2x 0 == 2x 5
== x = 1 ou x = 2 (procura-se solução em inteiros
positivos).
Respeitada esta condição, a equação pode ser
re-arranjada como:
5 - 2x = 5 - 2x.
Se não houvesse restrição alguma, qualquer número
seria solução. Assim, o conjunto-solução é igula ao conjunto de todos os números
que satisfazem a restrição, ou seja, {1,2}, e a aqução tem 2
soluções.
- Original Message -
From:
[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, January 01, 2003 2:04
PM
Subject: [obm-l] Equação irracional
Pessoal como resolver
esta questão : Quantos números inteiros, estritamente positivos,
satisfazem a equação Sqrt (5-2x)=5-2x/ sqrt(5-2x)? Ps: A resposta no meu
fascículo é 2, mas como chegar nesse resultado?
[obm-l] Re: [obm-l] O que é o princípio da indução finita?
O princípio da indução finita é um dos axiomas de Peano, os quais definem o conjunto dos números naturais. Ele diz o seguinte: Seja N o conjunto dos números naturais (inteiros positivos) Seja X um subconjunto de N com as seguintes propriedades: a) 1 pertence a X, e b) se n pertence a X então n+1 pertence a X Neste caso, X = N. Existe uma formulação que talvez seja mais apropriada para a resolução de problemas: Seja P(x) uma proposição relativa ao número natural x. a) Se P(1) for verdadeira, e b) Se supondo P(n) verdadeira, pudermos provar que P(n+1) é verdadeira Então, P(n) será verdadeira para cada número natural n. O exemplo mais manjado é o seguinte: Prove que 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2, para todo natural n. Caso Base: n =1 == 1= 1*(1+1)/2 == a fórmula vale para n = 1 Hipótese de Indução: A fórmula vale para o natural n, ou seja: 1 + 2+ ... + n = n(n+1)/2 O caso n+1: Somando (n+1) aos dois membros da fórmula para n, teremos: 1 + 2 + ... + n+ (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2 Ou seja, dado que a fórmula vale para n, foi possível provar que ela vale para n+1. Pelo princípio da indução finita, a fórmula vale para todo natural n. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 31, 2002 3:56 AM Subject: [obm-l] O que é o princípio da indução finita? Alguém poderia me explicar o que é o princípio da indução finita, pois estava vendo a prova do ITA e em vários anos sempre caia uma questão ou outra que exigia o conhecimento deste tópico. Se alguém tiver algumas questões no computador e pudesse copiar e colar no corpo do e-mail para eu entender bem o conceito eu ficaria agradecido.
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
A demonstração da volta (no triângulo ABC, sejam BD e CE bissetrizes dos ângulos ABC e ACB, respectivamente; se BD = CE então ABC é isosceles) sai por meio do uso de dois teoremas: 1. A bissetriz de um ângulo divide o lado oposto a este ângulo em partes proporcionais aos outros dois lados; e 2. Lei dos cossenos. No triângulo ABC, temos: BC = a, AC = b, AB = c, BD = CE = x. Usando o teorema (1), teremos: D divide AC em partes proporcionais a AB e BC, ou seja: AD = b*c/(a+c) CD = a*b/(a+c) E divide AB em partes proporcionais a AC e BC, ou seja: AE = b*c/(a+b) BE = a*c/(a+b) Agora o passo mais importante da demonstração: Aplicamos a lei dos cossenos aos triângulos AEC e BEC, mas ao invés de usar os ângulos ACE e BCE (que seriam a escolha óbvia, já queque são iguais, pois CE é bissetriz) usamos os ângulos AEC e BEC, que sâo suplementares: cos(AEC) = -cos(BEC) = M. Em AEC: AC^2 = AE^2 + CE^2 - 2*AE*CE*cos(AEC) Em BEC: BC^2 = BE^2 + CE^2 - 2*BE*CE*cos(BEC) Ou seja, b^2 = [b*c/(a+b)]^2 + x^2 - 2*x*b*c/(a+b)*M a^2 = [a*c/(a+b)]^2 + x^2+ 2*x*a*c/(a+b)*M Agora, M não tem nada a ver com o que queremos provar. Assim, a idéia é fazer M desaparecer. Para isso, multiplicamos a primeira equação por a, a segunda por b: a*b^2 = a*[b*c/(a+b)]^2 + a*x^2 - 2*x*a*b*c/(a+b)*M b*a^2 = b*[a*c/(a+b)]^2 + b*x^2+ 2*x*a*b*c/(a+b)*M E somamos as duas equações: a*b*(a+b)= a*b*c^2/(a+b) + (a+b)*x^2 Dividindo por a+b: a*b = a*b*c^2/(a+b)^2 + x^2 Resolvendo para x^2: x^2 = a*b*[ 1 - c^2/(a+b)^2 ] De maneira inteiramente análoga, usando os triângulos ADB e BDC (sem esquecer que BD = EC = x), obtemos: x^2 = a*c*[ 1 - b^2/(a+c)^2 ] Ou seja, b - b*c^2/(a+b)^2 = c - b^2*c/(a+c)^2 == b - c = b*c*[ c/(a+b)^2 - b/(a+c)^2 ] Suponhamos agora que b c. Então, por esta última expressão, teremos que ter, necessariamente: c/(a+b)^2 b/(a+c)^2. No entanto b c ==a+b a+c == (a+b)^2 (a+c)^2 == 1/(a+c)^2 1/(a+b)^2 == b/(a+c)^2 c/(a+b)^2 == CONTRADIÇÃO Analogamente, se supusermos que b c também cairemos em contradição. A única conclusão possível é que b = c, ou seja, AB = AC e ABC é isosceles. - Original Message - From: Eduardo Estrada To: Olimpíada Matemática Sent: Tuesday, December 31, 2002 12:11 AM Subject: [obm-l] Triângulos-continuação Olá, Asdemonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora,falta demonstrar a recíproca, ainda nãoprovada: 1) Tomem-se os triângulos ABD e AEC (adotando o mesmo esquema); 2) BD = CE (hip.); 3) BÂD = CÂE (comum); 4) A partir daqui, não consegui enxergar mais muita coisa e queria também ajuda, lembrando que, na verdade, temos que concluir que AB = AC; Obrigado, Eduardo Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Besouro Cartesiano e 2003
Dois problemas bonitinhos: 1) Um besouro no plano cartesiano quer (?) ir do ponto (5,8) até o ponto (-11/2,-3/2). Sua velocidade é constante, igual a 2 unidades / minuto, exceto quando está no segundo quadrante (x0 e y0), no qual sua velocidade é apenas 1 unidade / minuto. Qual o trajeto que minimizará a duração de sua jornada? 2) Prove que existe uma potência de2 cujos primeiros quatro algarismos são 2, 0, 0 e 3. Sugestão: Log(2) na base 10 é irracional. Obs: O resultado continua válido se ao invés de 2 tivermos qualquer inteiro positivo que não seja uma potência de 10 e se ao invés de 2, 0, 0 e 3, tivermos uma sequência arbitrariamente longa de algarismos quaisquer (naturalmente, com o primeiro diferente de zero). Um abraço, Claudio Buffara.
Re: [obm-l] sequencias
Com 4 termos, pode ser um monte de coisas, mas eu chutaria que é a sequencia dos dobros dos números primos. Você já conhece esta aqui? 1 , 11 , 21 , 1211 , 111221 , Pra quem gosta de sequências, aqui tem uma boa que está me dando trabalho. Defina a seguinte seqência: X(1) = 1 Para n 1: X(n) = menor inteiro positivo tal que: a) X(n) é diferente de todos os termos anteriores; b) X(1) + X(2) + ... + X(n) é múltiplo de n. Assim, X(2) = 3, X(3) = 2, X(4) = 6, etc... Prove que todos os inteiros positivos aparecem exatamente uma vez nesta sequencia. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 30, 2002 9:18 PM Subject: [obm-l] sequencias Desculpem não é 2,6,10,14 mas sim 4,6,10,14.
