Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
Ola pessoal,
Pegando um gancho no assunto:
Poderiam me dar uma interpretacao geometrica de determinantes ? Pois o que vejo desde alguns anos atras (quando ainda fazia o Ensino Medio) ateh agora foi o que o Nicolau disse abaixo, ou seja:
[... calcular a definicao de soma e produto de matrizes, aprende a calcular inversas de matrizes 2x2 e 3x3, aprende a calcular determinantes de matrizes 2x2 e 3x3 e aprende a resolver sistemas lineares 2x2 ou 3x3 por Cramer, e fim...]
Nao quero saber, por enquanto, das aplicacoes. Quero saber MATEMATICAMENTE o significado de determinantes diferentemente do que ensinam 99% dos livros. Nao tenho certeza, mas parece que ele esta relacionado aa area de um paralelogramo em um sistema cartesiano.
E para complexos ? Ha alguma demonstracao GEOMETRICA de quei i^2 = -1 ? Neste caso eu vi uma vez na internet um paper muito bom fazendo a demonstracao por geometria analitica, mas nao me lembro do endereco.
Em uma mensagem de 11/2/2004 12:20:34 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
On Tue, Feb 10, 2004 at 10:56:27PM -0200, Claudio Buffara wrote:
on 10.02.04 21:58, Laurito Alves at [EMAIL PROTECTED] wrote:
São vários os tópicos de matemática que ensinamos no Ensino Básico que têm
aplicação limitadíssima e que passam a impressão de que ensinamos tudo.
Números complexos, matrizes e determinantes são apenas alguns exemplos.
Eu sinto muito, mas sou forcado a discordar da sua mencao de numeros
complexos e matrizes como exemplos de matematica com aplicacoes
limitadissimas. O que pode ocorrer eh um professor do ensino medio nao ter
ideia do quao amplamente utilizados eles sao.
Eu não entendi bem o pensamento do Laurito, mas talvez ele estivesse
tentando dizer algo com que eu concordo. O fato de matrizes ou números
complexos serem importantes para um monte de gente está (espero!)
fora de discussão. Mas veja como o assunto matrizes é tipicamente
dado no ensino médio: o aluno aprende a definição de soma e produto
de matrizes, aprende a calcular inversas de matrizes 2x2 e 3x3,
aprende a calcular determinantes de matrizes 2x2 e 3x3 e aprende
a resolver sistemas lineares 2x2 ou 3x3 por Cramer, e fim.
Este aluno fica sem a menor idéia de que matrizes têm aplicações
em computação gráfica ou engenharia elétrica, sem a menor idéia
de que uma matriz pode representar uma rotação em R^3, sem nenhuma
interpretação geométrica para o determinante, e, é claro, sem
a sombra da sombra de uma idéia de que o determinante pode ter
apicações em combinatória. Este aluno não é capaz de dar nenhuma
aplicação para o produto de matrizes, nem como composição de transformações
lineares, nem como composição de funções de Möbius. Mesmo os alunos
de *olimpíadas* quando aprendem a resolver recorrências como
a_n = 3a_{n-1} - a_{n-2} dificilmente relacionam este tema com matrizes
(eu sei, eu fui um deles). E quanto a resolver sistemas, eliminação gaussiana
manual pode ser ensinada sem chagar perto de matrizes, e é muito melhor
do que Cramer.
Então eu tenho com relação ao ensino de matrizes uma posição até parecida
com a que eu tenho com relação ao ensino de juros: ou você ensina a coisa
direito ou é melhor nem tocar no assunto. Ensinar uma fórmula para calcular
juros que só é usada numa pequena minoria dos casos e parar aí,
sem ensinar a calcular juros compostas (e de preferência sem estas malditas
fórmulas que são decoradas sem ninguém entender nada) me parece uma idéia
muito estranha. Ensinar matrizes da forma como eu descrevi acima também
me parece uma idéia muito estranha.
Sobre números complexos eu não falei pq o exemplo é menos gritante:
o aluno de ensino médio sempre vê um pouquinho de contexto quando
aprende complexos. Deveria ser muito mais, claro.
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
On Thu, Feb 12, 2004 at 03:01:27PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Poderiam me dar uma interpretacao geometrica de determinantes ?
Uma matriz quadrada real define uma transformação linear T de R^n em R^n.
Tome um conjunto X contido em R^n para o qual faça sentido falar de volume.
Então volume(TX) = |det(T)| volume(X).
Outra menos conhecida, para matrizes inteiras: a matriz define uma
transformação de Z^n em Z^n. A densidade da imagem T(Z^n) em Z^n
é 0 se det(T) = 0 e 1/|det(T)| caso contrário. A definição de densidade
de um subconjunto X de Z^n é a seguinte: seja f(r) o número de elementos
de Z^n em uma bola de raio r centrada no origem e g(r) o número de elementos
de X na mesma bola. A densidade é lim_{r - infinito} g(n)/f(n).
E para complexos ? Ha alguma demonstracao GEOMETRICA de quei i^2 = -1 ?
Aqui eu não tenho a menor idéia do que é que você espera: i^2 = -1
é o fato mais básico sobre i, não sei em que contexto faria sentido
demonstrar (geometricamente ou de qualquer outra forma) que i^2 = -1.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
E para complexos ? Ha alguma demonstracao GEOMETRICA de quei i^2 = -1 ? Aqui eu não tenho a menor idéia do que é que você espera: i^2 = -1 é o fato mais básico sobre i, não sei em que contexto faria sentido demonstrar (geometricamente ou de qualquer outra forma) que i^2 = -1. Professor Nicolau talvez algo possa ser tirado dos quaternions do Hamilton (não me aprofundei muito mas quaternions = vetores?) Veja um pedaço da carta de Sir W. R. Hamilton ao seu filho Archibald. But on the 16th day of the same month - which happened to be a Monday, and a Council day of the Royal Irish Academy - I was walking in to attend and preside, and your mother was walking with me, along the Royal Canal, to which she had perhaps driven; and although she talked with me now and then, yet an under-current of thought was going on in my mind, which gave at last a result, whereof it is not too much to say that I felt at once the importance. An electric circuit seemed to close; and a spark flashed forth, the herald (as I foresaw, immediately) of many long years to come of definitely directed thought and work, by myself if spared, and at all events on the part of others, if I should even be allowed to live long enough distinctly to communicate the discovery. Nor could I resist the impulse - unphilosophical as it may have been - to cut with a knife on a stone of Brougham Bridge, as we passed it, the fundamental formula with the symbols, i, j, k; namely, i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 Hamilton se explica melhor em uma carta ao matematico John T. Graves, a carta pode ser vista em pdf: http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/QLetter/QLetter.pdf ou html http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/QLetter/QLetter.html Acho que disso pode-se tirar algumas informacoes e relacoes entre vetores numeros complexos e geometria, ou estou enganado? Um abraço. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski When we ask advice, we are usually looking for an accomplice. Joseph Louis LaGrange = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
Sobre matrizes, eu chutaria que as CPUs de todos os computadores envolvidos em processamento de dados cientificos e tecnicos (mas nao comerciais) passam a maior parte do tempo resolvendo sistemas lineares ou entao problemas de otimizacao linear, ambos atraves justamente de operacoes com matrizes. Um abraco, Claudio. Um exemplo concreto sobre matrizes eh um modelo de otimizacao, denominado NEWAVE, utilizado no Setor Elétrico Brasileiro, pelo ONS, peloo MME e por quase todas as empresas publicas e privadas. Este modelo, em constante atualizacao, foi desenvolvido pelo Cepel e determina a operacao otima do Sistema Interligado Nacional de energia elétrica. Ele determina, em bases estocaticas, as estrategias que permitem atender aos requisitos de energioa elétrica com o menor valor esperado para o custo de operacao. O modelo utiliza tecnicas conhecidas por Programacao Dinamica Estocastica e Cortes de Benders, as quais utilizam matrizes. Usa tambem programacao linear para otimizar fluxos de energia eletrica entre os subsistemas Sudeste, Sul, Norte e Nordeste, e programacao linear, como o Claudio disse, baseia-se em matrizes. E energia eletrica nao eh lago tao distante assim da realidade, certo? Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
Eu saí do colegial achando matrizes um assunto meio inútil... a ironia é eu ter começado a fazer Ciência da Computação. Quando você joga qualquer joguinho 3D, com milhões de polígonos sendo desenhados na tela, com iluminação, sombras, transparências, rotações, translações, reflexos. Tudo isso são matrizes, --- e não estou falando de uma matriz de pontos pra representar a imagem --- para calcular as rotações, os efeitos de transparência, os efeitos da luz sobre as superfícies... Claro que esse é apenas uma área de exemplo da aplicação de matrizes, otimização linear é muito usada para, por exemplo, reduzir custos e aumentar a produtividade. [ ]'s --- Sobre matrizes, eu chutaria que as CPUs de todos os computadores envolvidos em processamento de dados cientificos e tecnicos (mas nao comerciais) passam a maior parte do tempo resolvendo sistemas lineares ou entao problemas de otimizacao linear, ambos atraves justamente de operacoes com matrizes. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
On Tue, Feb 10, 2004 at 10:56:27PM -0200, Claudio Buffara wrote:
on 10.02.04 21:58, Laurito Alves at [EMAIL PROTECTED] wrote:
São vários os tópicos de matemática que ensinamos no Ensino Básico que têm
aplicação limitadíssima e que passam a impressão de que ensinamos tudo.
Números complexos, matrizes e determinantes são apenas alguns exemplos.
Eu sinto muito, mas sou forcado a discordar da sua mencao de numeros
complexos e matrizes como exemplos de matematica com aplicacoes
limitadissimas. O que pode ocorrer eh um professor do ensino medio nao ter
ideia do quao amplamente utilizados eles sao.
Eu não entendi bem o pensamento do Laurito, mas talvez ele estivesse
tentando dizer algo com que eu concordo. O fato de matrizes ou números
complexos serem importantes para um monte de gente está (espero!)
fora de discussão. Mas veja como o assunto matrizes é tipicamente
dado no ensino médio: o aluno aprende a definição de soma e produto
de matrizes, aprende a calcular inversas de matrizes 2x2 e 3x3,
aprende a calcular determinantes de matrizes 2x2 e 3x3 e aprende
a resolver sistemas lineares 2x2 ou 3x3 por Cramer, e fim.
Este aluno fica sem a menor idéia de que matrizes têm aplicações
em computação gráfica ou engenharia elétrica, sem a menor idéia
de que uma matriz pode representar uma rotação em R^3, sem nenhuma
interpretação geométrica para o determinante, e, é claro, sem
a sombra da sombra de uma idéia de que o determinante pode ter
apicações em combinatória. Este aluno não é capaz de dar nenhuma
aplicação para o produto de matrizes, nem como composição de transformações
lineares, nem como composição de funções de Möbius. Mesmo os alunos
de *olimpíadas* quando aprendem a resolver recorrências como
a_n = 3a_{n-1} - a_{n-2} dificilmente relacionam este tema com matrizes
(eu sei, eu fui um deles). E quanto a resolver sistemas, eliminação gaussiana
manual pode ser ensinada sem chagar perto de matrizes, e é muito melhor
do que Cramer.
Então eu tenho com relação ao ensino de matrizes uma posição até parecida
com a que eu tenho com relação ao ensino de juros: ou você ensina a coisa
direito ou é melhor nem tocar no assunto. Ensinar uma fórmula para calcular
juros que só é usada numa pequena minoria dos casos e parar aí,
sem ensinar a calcular juros compostas (e de preferência sem estas malditas
fórmulas que são decoradas sem ninguém entender nada) me parece uma idéia
muito estranha. Ensinar matrizes da forma como eu descrevi acima também
me parece uma idéia muito estranha.
Sobre números complexos eu não falei pq o exemplo é menos gritante:
o aluno de ensino médio sempre vê um pouquinho de contexto quando
aprende complexos. Deveria ser muito mais, claro.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
Eu estou um pouco abismado ao ver, atraves das colocacoes do Nicolau, que o ensino de matrizes, e talvez tambem os dos complexos, infelizmnte poucou nada mudou do inicio dos anos 70 para cah. Eu fui um dos que aprendeu operacoes com matrizes sem ter ideia do que aquilo signficava. Simplesmente me foi dito que deveria tomar os produtos escalares das linhas pelas colunas. Eh um monte de exercicios. Soh mais tarde vim a perceber a utilidade deste assunto. Com relacao aos complexos, eu quando estava no antigo colegial tinha uma tremenda curiosidade em descobrir com se extraia a raiz quadrada de numeros negativos. Erah um misterio. Como sos matematicos resolveram este problema? Daih eu fiquei bastante decepcionado quando, ao me preparar para o vestibular de engenharia, tomei contacto com a misteriosa sqrt(-1). Quem era ela? Ora, simplesmente i! Me definiram i como sqrt(-1) e pronto! E entao extenderam-se as operacoes usuais nos reais e foi-me apreentado o conjiunto dos complexos, que nao foi entao chamado de corpo. Pareceu-me uma embromacao. Pareceu-me que os matematicos haviam dado um jeitinho e fingido ter resolvido o problema de achar a cabalistica sqrt(-1). E o nome imaginario, que resistiu atraves dos seculos, parece-me que confunde ainda mais o aluno. Os reais existem e os imaginarios imaginamos? Foi o que entao me pareceu... Eu acho que jah se deveria ter entao falado, ainda que supeficialmente, sobre o conceito de corpo. Eh acho que se deveria ter feito uma comparacao mais profunda enter os complexos eo R^2. Nao sei se hoje eh assim. Parece-me fundamental que se saiba que a razao historica do aparecimento dos complexos foi mesmo a tentaiva de achar sqrt(-1), mas se nao houver uma explicacao um pouco melhor sobre o que sao os complexos confunde muito o aluno, como aconteceu comigo. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
On Wed, Feb 11, 2004 at 06:07:30PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: Parece-me fundamental que se saiba que a razao historica do aparecimento dos complexos foi mesmo a tentaiva de achar sqrt(-1), Uma das principais razões históricas para que se considerassem números complexos foi a resolução de uma equação como x^3 + px + q = 0. Vou contar a história como eu contaria para um aluno de ensino médio. Bem, pensando bem, muitos de vocês *são* alunos de ensino médio, não é mesmo? :-) Considere a equação z^2 + b z + c = 0, com raízes z1 e z2. Sabemos que z1+z2 = -b e que z1z2 = c. Já vimos também como obter fórmulas para z1^2+z2^2 e outras expressões simétricas envolvendo z1 e z2. Quanto vale S = cbrt(z1) + cbrt(z2) (onde cbrt significa raiz cúbica)? Bem, temos S^3 = z1 + 3 cbrt(z1)^2 cbrt(z2) + 3 cbrt(z1) cbrt(z2)^2 + z2 ou S^3 = (z1 + z2) + 3 cbrt(z1z2) (cbrt(z1) + cbrt(z2)) ou S^3 = -b + 3 cbrt(c) S. Assim S é uma das raízes da equação x^3 - 3 cbrt(c) x + b = 0. Portanto, para resolver a equação x^3 + px + q = 0, tome b = q e c = -p^3/27. Resolva a equação z^2 + b z + c = 0, encontrando raízes z1 e z2. A solução para a sua equação original é x = cbrt(z1) + cbrt(z2). Vamos fazer um exemplo. Resolva x^3 + 3x + 1 = 0. Temos b = 1 e c = -1. Assim a equação auxiliar é z^2 + z - 1 = 0 que tem raízes z1 = (-1+sqrt(5))/2 ~= 0.6180339880 e z2 = (-1-sqrt(5))/2 ~= -1.618033988. De acordo com o que nós vimos acima a raiz da equação original deve ser x = cbrt(z1) + cbrt(z2) ~= -0.3221853553. Se você substituir este valor numérico na equação original vai ver que dá certo. Se você substituir a fórmula exata para x (envolvendo raízes quadradas e cúbicas) vai ter um pouco de trabalho para simplificar mas se fizer tudo direito vai ver que também dá certo. Muito bem. Vamos fazer outro exemplo. Resolva x^3 - 3x + 1. Seguindo a mesma receita, temos b = c = 1 e a equação auxiliar é z^2 + z + 1 = 0 que não tem nenhuma raiz real. Você poderia pensar que isto indica que a equação original (em x) também não tem nenhuma raiz real, mas isto é falso: tomando f(x) = x^3 - 3x + 1 temos f(-2) = -1, f(-1) = 3, f(1) = -1, f(2) = 3 donde há claramente pelo menos três raízes reais, uma entre -2 e -1, uma entre -1 e 1, uma entre 1 e 2. Bem, na verdade há exatamente três raízes reais, como um gráfico indica e como um pouco mais de álgebra demonstra. Pq então nosso método deu errado? Bem, que tal nós deixarmos indicadas as raízes quadradas de números negativos quando elas aparecerem? Talvez elas se cancelem no final! Se toparmos, as raízes da equação auxiliar ficam sendo z1 = (-1+sqrt(-3))/2 ~= - 0.5 + 0.8660254040 sqrt(-1) e z2 = (-1-sqrt(-3))/2 ~= - 0.5 - 0.8660254040 sqrt(-1). Precisamos agora calcular as raízes cúbicas destas coisas. O que fazer? Hora para um pouco de mágica. Escreva z = cos t + sen t sqrt(-1) e calcule z^3. Dá z^3 = (cos^3 t - 3 cos t sen^2 t) + (3 cos^2 t sen t - sen^3 t) sqrt(-1); para fazer esta conta só precisamos aceitar a presença de sqrt(-1) e do fato tautológico que (sqrt(-1))^2 = -1. Um pouco de trigonometria nos revela que cos^3 t - 3 cos t sen^2 t = cos 3t e 3 cos^2 t sen t - sen^3 t = sen 3t donde z^3 = cos 3t + sen 3t sqrt(-1). Bem, nosso z1 pode ser escrito como z1 = cos(120 graus) + sen(120 graus) sqrt(-1) donde temos (pelo menos) três raízes cúbicas para z1: w11 = cos(40 graus) + sen(40 graus) sqrt(-1), w12 = cos(160 graus) + sen(160 graus) sqrt(-1), w13 = cos(280 graus) + sen(280 graus) sqrt(-1). Analogamente, temos três raízes cúbicas para z2: w21 = cos(40 graus) - sen(40 graus) sqrt(-1), w22 = cos(160 graus) - sen(160 graus) sqrt(-1), w23 = cos(280 graus) - sen(280 graus) sqrt(-1). Será que isso nos dá nove raízes para a equação original? Voltando podemos conferir que devemos ter cbrt(z1)*cbrt(z2) = 1, o que só dá certo se casarmos as raízes da forma certa: w11 com w21, w12 com w22 e w13 com w23. Somando desta maneira, obtemos três raízes para a equação original: x1 = 2 cos(40 graus), x2 = 2 cos(160 graus) e x3 = 2 cos(280 graus). As raízes quadradas de números negativos sumiram, como esperávamos. Podemos calcular os valores numéricos e substituir: dá certo. Podemos até verificar com um pouco de trigonometria que está exatamente certo. Assim obtivemos três raízes de verdade (reais) usando no meio das contas uns números imaginários. Agora só precisamos perder a vergonha de falar de sqrt(-1) e dar um nome curtinho, como i, pode ajudar. Eu acho que é *isto* que deveria ser feito para apresentar números complexos no ensino médio. Não depende de nada que um aluno de ensino médio não tenha estudado. O fato de juntar álgebra e trigonometria é uma grande vantagem, a meu ver. Não precisamos dizer aquela frase horrível, às vezes necessária mas que raramente motiva o aluno: estude isso pq mais tarde você vai ver que é muito importante. E ainda ensinamos a resolver a equação de grau 3. Depois disso viriam exemplos de como resolver problemas de geometria plana usando números complexos. []s, N.
[obm-l] Complexos e Matrizes
on 10.02.04 21:58, Laurito Alves at [EMAIL PROTECTED] wrote: São vários os tópicos de matemática que ensinamos no Ensino Básico que têm aplicação limitadíssima e que passam a impressão de que ensinamos tudo. Números complexos, matrizes e determinantes são apenas alguns exemplos. Caro Laurito: Eu sinto muito, mas sou forcado a discordar da sua mencao de numeros complexos e matrizes como exemplos de matematica com aplicacoes limitadissimas. O que pode ocorrer eh um professor do ensino medio nao ter ideia do quao amplamente utilizados eles sao. Pergunte a qualquer engenheiro eletricista envolvido em projetos se numeros complexos servem pra alguma coisa (soh que pra eles, raiz(-1) atende pelo nome de j e nao i) Sobre matrizes, eu chutaria que as CPUs de todos os computadores envolvidos em processamento de dados cientificos e tecnicos (mas nao comerciais) passam a maior parte do tempo resolvendo sistemas lineares ou entao problemas de otimizacao linear, ambos atraves justamente de operacoes com matrizes. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
