Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!
Um ótimo raciocínio E, claro que ajudou!!! Não é realmente bom o problema? Encontramos sempre problemas fáceis de conjuntos, e esse não é tão bobinho.. Abraços colegas 2009/4/3 Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com Pedro. Seja P o número de participantes em cada conferência. Então 13P/12 pessoas assistiram somente a uma conferênciae (300 - 13P/12) assistiram a mais de uma. Sabendo que as três conferências foram assistidas pelo mesmo número de pessoas, a conferência com o maior número de pessoas dentre as (300 - 13P/12) que assistiram mais de uma conferência será a terceira, que tem o menor número de pessoas que assistiram somente a ela. Assim, o número de pessoas na terceira conferência, P, será no máximo igual a P/4 + (300 - 13P/12). Resolvendo a equação: P/4 + (300 - 13P/12) = P vem P = 163,636363... Então P 163,63 e pelo fato de 13P/12 ser um número inteiro positivo, P é múltiplo de 12. Ora, o maior múltiplo de 12 menor que 163,6363.. é 156. Espero ter ajudado. Abraços. Hugo. 2009/4/2 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha bobo de conjuntos, quando de fato não é!!! Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora... Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração Abraços!!! 2009/3/26 Alex pereira Bezerra alexmatematica1...@gmail.com Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura acima: P/2 + x + y + t = P P/3 + x + y + z = P P/4 + x + z + t = P Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever também: P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e arrumando, fica: x + y + t = P/2 x + y + z = 2P/3 x + z + t = 3P/4 x + y + z + t = 300 – 13P/12 Substituindo o valor de *x + y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t*= 300 – 13P/12, fica: P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t = 300 – 13P/12, fica: 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t*= 300 – 13P/12, fica: 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem: x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem: x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12 x + 600 = 49P/12 x = 49P/12 – 600 Em resumo: x = 49P/12 – 600 y = 300 – 22P/12 z = 300 – 19P/12 t = 300 – 21P/12 Ora, como x, y, z *e* t referem-se a quantidade de pessoas, serão necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x 0, y 0, z 0 *e* t 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima, sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja, para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um múltiplo de 12. Então poderemos escrever: 49P/12 – 600 0 , logo, 49P/12 600 , logo, 49P 7200 , logo, P 7200/49 e, portanto P 146,93 Analogamente, 300 – 22P/12 0 , logo, 300 22P/12 , logo, 22P/12 300 , logo, 22P 3600 e, portanto P 163,63 E, também, 300 – 19P/12 0 , logo, 300 19P/12 , logo, 19P/12 300 , logo, 19P 3600 e, portanto P 189,47 E, finalmente, 300 – 21P/12 0 , logo, 300 21P/12 , logo, 21P/12 300 , logo, 21P 3600 , e , portanto P 171,42 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender simultaneamente às desigualdades P 146,93 e P 163,63 e P 189,47 e P 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12, maior do que 146,93 e menor do que 163,63. A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é: 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160, 161, 162 , 163. Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!
valeu Pedro é realmente uma questão atipica de conjuntos, e o tempo é um fator importante demais, e a solução do Hugo foi deveras legal. Abraços Em 02/04/09, Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com escreveu: Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha bobo de conjuntos, quando de fato não é!!! Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora... Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração Abraços!!! 2009/3/26 Alex pereira Bezerra alexmatematica1...@gmail.com Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura acima: P/2 + x + y + t = P P/3 + x + y + z = P P/4 + x + z + t = P Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever também: P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e arrumando, fica: x + y + t = P/2 x + y + z = 2P/3 x + z + t = 3P/4 x + y + z + t = 300 – 13P/12 Substituindo o valor de *x + y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* = 300 – 13P/12, fica: P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t = 300 – 13P/12, fica: 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* = 300 – 13P/12, fica: 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem: x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem: x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12 x + 600 = 49P/12 x = 49P/12 – 600 Em resumo: x = 49P/12 – 600 y = 300 – 22P/12 z = 300 – 19P/12 t = 300 – 21P/12 Ora, como x, y, z *e* t referem-se a quantidade de pessoas, serão necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x 0, y 0, z 0 *e* t 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima, sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja, para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um múltiplo de 12. Então poderemos escrever: 49P/12 – 600 0 , logo, 49P/12 600 , logo, 49P 7200 , logo, P 7200/49 e, portanto P 146,93 Analogamente, 300 – 22P/12 0 , logo, 300 22P/12 , logo, 22P/12 300 , logo, 22P 3600 e, portanto P 163,63 E, também, 300 – 19P/12 0 , logo, 300 19P/12 , logo, 19P/12 300 , logo, 19P 3600 e, portanto P 189,47 E, finalmente, 300 – 21P/12 0 , logo, 300 21P/12 , logo, 21P/12 300 , logo, 21P 3600 , e , portanto P 171,42 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender simultaneamente às desigualdades P 146,93 e P 163,63 e P 189,47 e P 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12, maior do que 146,93 e menor do que 163,63. A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é: 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160, 161, 162 , 163. Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!
Pedro. Seja P o número de participantes em cada conferência. Então 13P/12 pessoas assistiram somente a uma conferênciae (300 - 13P/12) assistiram a mais de uma. Sabendo que as três conferências foram assistidas pelo mesmo número de pessoas, a conferência com o maior número de pessoas dentre as (300 - 13P/12) que assistiram mais de uma conferência será a terceira, que tem o menor número de pessoas que assistiram somente a ela. Assim, o número de pessoas na terceira conferência, P, será no máximo igual a P/4 + (300 - 13P/12). Resolvendo a equação: P/4 + (300 - 13P/12) = P vem P = 163,636363... Então P 163,63 e pelo fato de 13P/12 ser um número inteiro positivo, P é múltiplo de 12. Ora, o maior múltiplo de 12 menor que 163,6363.. é 156. Espero ter ajudado. Abraços. Hugo. 2009/4/2 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha bobo de conjuntos, quando de fato não é!!! Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora... Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração Abraços!!! 2009/3/26 Alex pereira Bezerra alexmatematica1...@gmail.com Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura acima: P/2 + x + y + t = P P/3 + x + y + z = P P/4 + x + z + t = P Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever também: P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e arrumando, fica: x + y + t = P/2 x + y + z = 2P/3 x + z + t = 3P/4 x + y + z + t = 300 – 13P/12 Substituindo o valor de *x + y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* = 300 – 13P/12, fica: P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t = 300 – 13P/12, fica: 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* = 300 – 13P/12, fica: 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem: x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem: x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12 x + 600 = 49P/12 x = 49P/12 – 600 Em resumo: x = 49P/12 – 600 y = 300 – 22P/12 z = 300 – 19P/12 t = 300 – 21P/12 Ora, como x, y, z *e* t referem-se a quantidade de pessoas, serão necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x 0, y 0, z 0 *e* t 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima, sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja, para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um múltiplo de 12. Então poderemos escrever: 49P/12 – 600 0 , logo, 49P/12 600 , logo, 49P 7200 , logo, P 7200/49 e, portanto P 146,93 Analogamente, 300 – 22P/12 0 , logo, 300 22P/12 , logo, 22P/12 300 , logo, 22P 3600 e, portanto P 163,63 E, também, 300 – 19P/12 0 , logo, 300 19P/12 , logo, 19P/12 300 , logo, 19P 3600 e, portanto P 189,47 E, finalmente, 300 – 21P/12 0 , logo, 300 21P/12 , logo, 21P/12 300 , logo, 21P 3600 , e , portanto P 171,42 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender simultaneamente às desigualdades P 146,93 e P 163,63 e P 189,47 e P 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12, maior do que 146,93 e menor do que 163,63. A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é: 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160, 161, 162 , 163. Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!
Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha bobo de conjuntos, quando de fato não é!!! Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora... Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração Abraços!!! 2009/3/26 Alex pereira Bezerra alexmatematica1...@gmail.com Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura acima: P/2 + x + y + t = P P/3 + x + y + z = P P/4 + x + z + t = P Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever também: P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e arrumando, fica: x + y + t = P/2 x + y + z = 2P/3 x + z + t = 3P/4 x + y + z + t = 300 – 13P/12 Substituindo o valor de *x + y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* = 300 – 13P/12, fica: P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t = 300 – 13P/12, fica: 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* = 300 – 13P/12, fica: 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem: x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem: x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12 x + 600 = 49P/12 x = 49P/12 – 600 Em resumo: x = 49P/12 – 600 y = 300 – 22P/12 z = 300 – 19P/12 t = 300 – 21P/12 Ora, como x, y, z *e* t referem-se a quantidade de pessoas, serão necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x 0, y 0, z 0 *e* t 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima, sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja, para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um múltiplo de 12. Então poderemos escrever: 49P/12 – 600 0 , logo, 49P/12 600 , logo, 49P 7200 , logo, P 7200/49 e, portanto P 146,93 Analogamente, 300 – 22P/12 0 , logo, 300 22P/12 , logo, 22P/12 300 , logo, 22P 3600 e, portanto P 163,63 E, também, 300 – 19P/12 0 , logo, 300 19P/12 , logo, 19P/12 300 , logo, 19P 3600 e, portanto P 189,47 E, finalmente, 300 – 21P/12 0 , logo, 300 21P/12 , logo, 21P/12 300 , logo, 21P 3600 , e , portanto P 171,42 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender simultaneamente às desigualdades P 146,93 e P 163,63 e P 189,47 e P 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12, maior do que 146,93 e menor do que 163,63. A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é: 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160, 161, 162 , 163. Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
[obm-l] Conjuntos - Problema!!!
Esse probleminha foi, como estão vendo da prova de 2008 da universidade Fed. de Campina rande - PB O lance é: como melhor discutir com nossos alunos? Gabarito (c) Abraços!!! (UFCG - 2008) Em um ciclo de três conferências, que ocorreram em horários distintos, havia sempre o mesmo número de pessoas assistindo a cada uma delas. Ora, sabe-se que a metade dos que compareceram à primeira conferência não foi a mais nenhuma outra; um terço dos que compareceram à segunda conferência assistiu a apenas ela e um quarto dos que compareceram à terceira conferência não assistiu nem a primeira nem a segunda. Sabendo ainda que havia um total de 300 pessoas participando do ciclo de conferências, e que cada uma assistiu a pelo menos uma conferência, o número máximo de pessoas em cada conferência foi: (a) 180. (b) 80 (c) 156 (d) 210 (e) 96.
Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!
Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura acima: P/2 + x + y + t = P P/3 + x + y + z = P P/4 + x + z + t = P Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever também: P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e arrumando, fica: x + y + t = P/2 x + y + z = 2P/3 x + z + t = 3P/4 x + y + z + t = 300 – 13P/12 Substituindo o valor de *x + y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* = 300 – 13P/12, fica: P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t = 300 – 13P/12, fica: 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* = 300 – 13P/12, fica: 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem: x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem: x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12 x + 600 = 49P/12 x = 49P/12 – 600 Em resumo: x = 49P/12 – 600 y = 300 – 22P/12 z = 300 – 19P/12 t = 300 – 21P/12 Ora, como x, y, z *e* t referem-se a quantidade de pessoas, serão necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x 0, y 0, z 0 *e* t 0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima, sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja, para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um múltiplo de 12. Então poderemos escrever: 49P/12 – 600 0 , logo, 49P/12 600 , logo, 49P 7200 , logo, P 7200/49 e, portanto P 146,93 Analogamente, 300 – 22P/12 0 , logo, 300 22P/12 , logo, 22P/12 300 , logo, 22P 3600 e, portanto P 163,63 E, também, 300 – 19P/12 0 , logo, 300 19P/12 , logo, 19P/12 300 , logo, 19P 3600 e, portanto P 189,47 E, finalmente, 300 – 21P/12 0 , logo, 300 21P/12 , logo, 21P/12 300 , logo, 21P 3600 , e , portanto P 171,42 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender simultaneamente às desigualdades P 146,93 e P 163,63 e P 189,47 e P 171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12, maior do que 146,93 e menor do que 163,63. A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é: 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160, 161, 162 , 163. Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.
