Re: [obm-l] Problema de máximo!!!
Oi, Pedro, Da igualdade (b + c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc obtemos (b + c)^2 = a^2 + 2bc, onde a é a hipotenusa, Dai b+c é máximo quando bc for máximo e ai a solução é imediata, pois bc = ah (a fixo) e então bc é máximo quando a altura for máxima. Abraços, Nehab Pedro Júnior escreveu: Prove que, entre todos os triângulos retângulos de catetos a e b e hipotenusa c fixada, o que tem maior soma dos catetos S = a + b é o triângulo isósceles. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de máximo!!!
Obrigado e aproveito a oportunidade para te parabenizar, pelas brilhantes intervenções que tem feito ao longo desses anos, contribuindo assim para uma discussão de qualidade voltada pro aprendizado, sem perder qualidade didática. Parabéns Professor 2009/11/4 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, Pedro, Da igualdade (b + c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc obtemos (b + c)^2 = a^2 + 2bc, onde a é a hipotenusa, Dai b+c é máximo quando bc for máximo e ai a solução é imediata, pois bc = ah (a fixo) e então bc é máximo quando a altura for máxima. Abraços, Nehab Pedro Júnior escreveu: Prove que, entre todos os triângulos retângulos de catetos a e b e hipotenusa c fixada, o que tem maior soma dos catetos S = a + b é o triângulo isósceles. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!!
Hmm, no caso geral essa igualdade não é válida, mas acho que dá pra consertar com lei dos cossenos, usando que b^2+c^2=a^2+2bccosA, e daí a expressão fica (b+c)^2=a^2+2bc(1+cosA), e basta maximizar bc novamente. Só que agora, por áreas, bcsenA=ah, e o máximo continua correspondendo a altura máxima, já que  é dado. Lucas Colucci. Date: Wed, 4 Nov 2009 08:04:21 -0200 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema de máximo!!! Oi, Pedro, Da igualdade (b + c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc obtemos (b + c)^2 = a^2 + 2bc, onde a é a hipotenusa, Dai b+c é máximo quando bc for máximo e ai a solução é imediata, pois bc = ah (a fixo) e então bc é máximo quando a altura for máxima. Abraços, Nehab Pedro Júnior escreveu: Prove que, entre todos os triângulos retângulos de catetos a e b e hipotenusa c fixada, o que tem maior soma dos catetos S = a + b é o triângulo isósceles. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Você já ama o Messenger? Conheça ainda mais sobre ele no Novo site de Windows Live. http://www.windowslive.com.br/?ocid=WindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out09
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!! !
Ola Lucas, Eu acho que o Nehab está certonao temos que generalizar (b+c)^2 (b+c é a soma dos catetos) é sempre = b^2+c^2 +2bc e b^2+c^2 =a^2 (hipotenusa fixa)Assim, maximizar a soma dos catetos equivale a maximizar a área do triângulo que possua os catetos, ou seja, encontrar o triângulo de maior área. Como a base é a mesma, o de maior altura terá a maior área. Ps : No meu primeiro email falei que a envoltória maior serira a que envolvesse a maior área...Isto so é verdadeiro para envoltórias presas a uma circunferência.Se traçarmos uma paralela a um segmento AB, podemos ter uma envoltória ACB de tamanho infinito, envolvendo uma área de tamanho menor que uma outra envoltoria ADB. Basta D estar a uma altura ligeiramente maior que C, com relação a AB e C estar bem deslocado nesta paralela. Abs Felipe --- Em qua, 4/11/09, Lucas Colucci lucascolu...@hotmail.com escreveu: De: Lucas Colucci lucascolu...@hotmail.com Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 4 de Novembro de 2009, 14:36 Hmm, no caso geral essa igualdade não é válida, mas acho que dá pra consertar com lei dos cossenos, usando que b^2+c^2=a^2+2bccosA, e daí a expressão fica (b+c)^2=a^2+2bc(1+cosA), e basta maximizar bc novamente. Só que agora, por áreas, bcsenA=ah, e o máximo continua correspondendo a altura máxima, já que  é dado. Lucas Colucci. Date: Wed, 4 Nov 2009 08:04:21 -0200 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema de máximo!!! Oi, Pedro, Da igualdade (b + c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc obtemos (b + c)^2 = a^2 + 2bc, onde a é a hipotenusa, Dai b+c é máximo quando bc for máximo e ai a solução é imediata, pois bc = ah (a fixo) e então bc é máximo quando a altura for máxima.. Abraços, Nehab Pedro Júnior escreveu: Prove que, entre todos os triângulos retângulos de catetos a e b e hipotenusa c fixada, o que tem maior soma dos catetos S = a + b é o triângulo isósceles. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Novo Windows 7. Você vai achar que nasceu sabendo! Clique e conheça. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!!
2009/11/3 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Pessoal, Oi Luiz e outros ! Não sei se o meu argumento é válido, mas analisando a questão reparamos que temos um segmento de reta fixo. exatamente ! Se considerarmos os triângulos formados pelas envoltórias (que são os lados diferentes) e o segmento fixo veremos que o triângulo de maior altura é o triângulo isósceles. Isto quer dizer que é o triângulo com maior área. Muito bem ! Ah, tem uma coisa a mais, os ápices dos triângulos formam uma circunferência ! Como a base é a mesma (hipotenusa), para envolver uma maior área são necessários dois segmentos que, somados, serão maiores que a soma dos segmentos que envolvem uma área menor, dada a mesma base. Assim, como a base é igual em todos os triãngulos, o de maior perímetro será aquele com a maior soma dos outros dois lados, ou seja, o triangulo retangulo isósceles. Essa parte da intuição é ótima, mas eu acho que precisa formalizar. Quando eu mandei a minha idéia da construção geométrica, era para tentar ver alguma coisa além da pura trigonometria, e usar algo como MA = MG para a+b e a*b de alguma forma esperta. A conexão que você deu para a área permite usar p(p-a)(p-b)(p-c), e eu acho que quando a+b for máximo, c fixo, deve dar pra provar que a=b. Abs Felipe Quem continua ? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] [obm-l] Problema de máximo
Oi Bernardo, Acho que agora foi : Vamos supor que 2xa+b 4x^2a^2+2ab+b^2 Sabendo que 2x^2 = S quadrado de lado c (hipotenusa), e que a^2+b^2 = a mesma área, que chamaremos de Sa, então teremos : Sa + 2x^2 Sa+2ab Ou seja, x^2 ab. Do email enterior, temos que : x^2c/4R abc/4R x^2ab Que é o que valida 2xa+b Abs Felipe --- Em ter, 3/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 3 de Novembro de 2009, 13:03 2009/11/3 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Pessoal, Oi Luiz e outros ! Não sei se o meu argumento é válido, mas analisando a questão reparamos que temos um segmento de reta fixo. exatamente ! Se considerarmos os triângulos formados pelas envoltórias (que são os lados diferentes) e o segmento fixo veremos que o triângulo de maior altura é o triângulo isósceles. Isto quer dizer que é o triângulo com maior área. Muito bem ! Ah, tem uma coisa a mais, os ápices dos triângulos formam uma circunferência ! Como a base é a mesma (hipotenusa), para envolver uma maior área são necessários dois segmentos que, somados, serão maiores que a soma dos segmentos que envolvem uma área menor, dada a mesma base. Assim, como a base é igual em todos os triãngulos, o de maior perímetro será aquele com a maior soma dos outros dois lados, ou seja, o triangulo retangulo isósceles. Essa parte da intuição é ótima, mas eu acho que precisa formalizar. Quando eu mandei a minha idéia da construção geométrica, era para tentar ver alguma coisa além da pura trigonometria, e usar algo como MA = MG para a+b e a*b de alguma forma esperta. A conexão que você deu para a área permite usar p(p-a)(p-b)(p-c), e eu acho que quando a+b for máximo, c fixo, deve dar pra provar que a=b. Abs Felipe Quem continua ? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Problema de máximo!!!
Prove que, entre todos os triângulos retângulos de catetos a e b e hipotenusa c fixada, o que tem maior soma dos catetos S = a + b é o triângulo isósceles.
[obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!!
Seja c fixada. Temos a=csenx e b=ccosx, sendo x um dos ângulos internos do triângulo. Agora, basta maximizar a função f(x)=(senx+cosx) Temos dois métodos para isso. Derivando a função, obtemos -senx+cosx=0=x=pi/4, e o triângulo é isósceles. Ou então, senx+cosx=cosx+cos(pi/2-x)=2cos(pi/4)cos(x-pi/4). Mas 2cos(pi/4) é constante, então basta maximizar cos(x-pi/4), que é maximizado para cos(x-pi/4)=1 =x-pi/4=0=x=pi/4, e o resultado segue. Lucas Colucci. Date: Mon, 2 Nov 2009 15:18:20 -0200 Subject: [obm-l] Problema de máximo!!! From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Prove que, entre todos os triângulos retângulos de catetos a e b e hipotenusa c fixada, o que tem maior soma dos catetos S = a + b é o triângulo isósceles. _ Você sabia que o Hotmail mudou? Clique e descubra as novidades. http://www.microsoft.com/brasil/windows/windowslive/products/hotmail.aspx
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!!
Arg ... maldito teclado que envia o mail sem eu querer ! E agora, generalize para o caso em que c é fixo e o ângulo C também (o que é exatamente o que você pede, no caso especial em que C = 90°, que é muito simétrico ;-) ). Veja se você consegue achar o máximo e o mínimo neste caso, usando uma figura que ajuda muito ! grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa um eterno fã das construções geométricas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!!
a+b=2((a²/2+b²/2)^1/2), pela desigualdade das médias. Mas a²+b²=c², de onde, a+b=sqrt(2)c. Logo, o máximo de a+b é raiz de 2 vezes a hipotenusa, que pela desigualdade das médias ocorre quando a=b, ou seja, quando o triângulo é isósceles. Lucas Colucci. Date: Mon, 2 Nov 2009 16:46:14 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Muitíssimo obrigado... Agora, será que conseguiríamos uma solução simples sem o apelo de uma trigonometria sofisticada, pois o oproblema consta em uma avaliação em nível II, ou seja fundamental, (9º ano mais precisamente). Minha dúvida é, será que podemos usar a desigualdade entre médias? Ok, aguardo a contribuição de vcs na solução desse problema! 2009/11/2 Lucas Colucci lucascolu...@hotmail.com Ué, o caso é totalmente análogo, visto que, se o lado c e o ângulo C são fixos, podemos escrever a=(c/senC)senA b=(c/senC)senB, pela lei dos senos, e segue a+b=(c/senC)(senA+senB)=(c/senC)2sen((A+B)/2)cos((A-B)/2), e o resultado sai analogamente, sem construções geométricas, já que basta maximizar/minimizar cos((A-B)/2), que é o único termo não-constante do produto. Lucas Colucci. Date: Mon, 2 Nov 2009 18:52:55 +0100 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Arg ... maldito teclado que envia o mail sem eu querer ! E agora, generalize para o caso em que c é fixo e o ângulo C também (o que é exatamente o que você pede, no caso especial em que C = 90°, que é muito simétrico ;-) ). Veja se você consegue achar o máximo e o mínimo neste caso, usando uma figura que ajuda muito ! grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa um eterno fã das construções geométricas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Você sabia que pode utilizar o Messenger de qualquer tipo de celular? Saiba mais. _ Acesse seu Hotmail de onde quer que esteja através do celular. Clique aqui. http://www.windowslive.com.br/celular/home.asp?utm_source=MSN_Hotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=MobileServices200908
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!!
a+b=2((a²/2+b²/2)^1/2), pela desigualdade das médias. Mas a²+b²=c², de onde, a+b=sqrt(2)c. Logo, o máximo de a+b é raiz de 2 vezes a hipotenusa, que pela desigualdade das médias ocorre quando a=b, ou seja, quando o triângulo é isósceles. Date: Mon, 2 Nov 2009 16:46:14 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Muitíssimo obrigado... Agora, será que conseguiríamos uma solução simples sem o apelo de uma trigonometria sofisticada, pois o oproblema consta em uma avaliação em nível II, ou seja fundamental, (9º ano mais precisamente). Minha dúvida é, será que podemos usar a desigualdade entre médias? Ok, aguardo a contribuição de vcs na solução desse problema! 2009/11/2 Lucas Colucci lucascolu...@hotmail.com Ué, o caso é totalmente análogo, visto que, se o lado c e o ângulo C são fixos, podemos escrever a=(c/senC)senA b=(c/senC)senB, pela lei dos senos, e segue a+b=(c/senC)(senA+senB)=(c/senC)2sen((A+B)/2)cos((A-B)/2), e o resultado sai analogamente, sem construções geométricas, já que basta maximizar/minimizar cos((A-B)/2), que é o único termo não-constante do produto. Lucas Colucci. Date: Mon, 2 Nov 2009 18:52:55 +0100 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Arg ... maldito teclado que envia o mail sem eu querer ! E agora, generalize para o caso em que c é fixo e o ângulo C também (o que é exatamente o que você pede, no caso especial em que C = 90°, que é muito simétrico ;-) ). Veja se você consegue achar o máximo e o mínimo neste caso, usando uma figura que ajuda muito ! grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa um eterno fã das construções geométricas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Você sabia que pode utilizar o Messenger de qualquer tipo de celular? Saiba mais. _ Acesse seu Hotmail de onde quer que esteja através do celular. Clique aqui. http://www.windowslive.com.br/celular/home.asp?utm_source=MSN_Hotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=MobileServices200908
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!!
 Carpe Dien Em 02/11/2009 15:51, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: E agora, generalize para o caso em que c é fixo e o ângulo C também (oque é exatamente o que você pede, no caso especial em que C = 90°, queé muito simétrico ;-) ). Veja se você consegua2009/11/2 Lucas Colucci : Seja c fixada. Temos a=csenx e b=ccosx, sendo x um dos ângulos internos do triângulo. Agora, basta maximizar a função f(x)=(senx+cosx) Temos dois métodos para isso. Derivando a função, obtemos -senx+cosx=0=x=pi/4, e o triângulo é isósceles. Ou então, senx+cosx=cosx+cos(pi/2-x)=2cos(pi/4)cos(x-pi/4). Mas 2cos(pi/4) é constante, então basta maximizar cos(x-pi/4), que é maximizado para cos(x-pi/4)=1 =x-pi/4=0=x=pi/4, e o resultado segue. Lucas Colucci. Date: Mon, 2 Nov 2009 15:18:20 -0200 Subject: [obm-l] Problema de máximo!!! From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Prove que, entre todos os triângulos retângulos de catetos "a" e "b" e hipotenusa "c" fixada, o que tem maior soma dos catetos S = a + b é o triângulo isósceles. Você sabia que pode utilizar o Messenger de qualquer tipo de celular? Saiba mais.-- Bernardo Freitas Paulo da Costa=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!!
 Carpe Dien Em 02/11/2009 15:52, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: Arg ... maldito teclado que envia o mail sem eu querer !E agora, generalize para o caso em que c é fixo e o ângulo C também (oque é exatamente o que você pede, no caso especial em que C = 90°, queé muito simétrico ;-) ). Veja se você consegue achar o máximo e omÃnimo neste caso, usando uma figura que ajuda muito !grande abraço,-- Bernardo Freitas Paulo da Costaum eterno fã das construções geométricas=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!!
 Carpe Dien Em 02/11/2009 16:46, Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com escreveu: MuitÃssimo obrigado...Agora, será que conseguirÃamos uma solução simples sem o apelo de uma trigonometria "sofisticada", pois o oproblema consta em uma avaliação em nÃvel II, ou seja fundamental, (9º ano mais precisamente). Minha dúvida é, será que podemos usar a desigualdade entre médias? Ok, aguardo a contribuição de vcs na solução desse problema! 2009/11/2 Lucas Colucci lucascolu...@hotmail.com Ué, o caso é totalmente análogo, visto que, se o lado c e o ângulo C são fixos, podemos escrevera=(c/senC)senAb=(c/senC)senB, pela lei dos senos, e seguea+b=(c/senC)(senA+senB)=(c/senC)2sen((A+B)/2)cos((A-B)/2), e o resultado sai analogamente, sem construções geométricas, já que basta maximizar/minimizar cos((A-B)/2), que é o único termo não-constante do produto.Lucas Colucci. Date: Mon, 2 Nov 2009 18:52:55 +0100 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!! From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Arg ... maldito teclado que envia o mail sem eu querer ! E agora, generalize para o caso em que c é fixo e o ângulo C também (o que é exatamente o que você pede, no caso especial em que C = 90°, que é muito simétrico ;-) ). Veja se você consegue achar o máximo e o mÃnimo neste caso, usando uma figura que ajuda muito ! grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa um eterno fã das construções geométricas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Você sabia que pode utilizar o Messenger de qualquer tipo de celular? Saiba mais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
