[obm-l] RES: [obm-l] séries numéricas
Parece que amigo Claudio nao gosta muito de integrais, risos. Mas as vezes simplifica muito, e o teste da integral eh facil de entender. Ele compara a area entra a curva da funcao f(x) definida em [1, oo) com a area da escada que corresponde aa sequencia f(n). So serve quando f eh monoticamente decrescente e positiva (se for negativa, eh so tomar a simetrica). Mas a solucao do Paulo eh mesmo linda! Podermos tambem chegar a mesma conclusao utilizando o fato de que, se a_n eh monoticamente decrescente e positiva, entao Soma a_n converge se, e somente, se Soma 2^k a_(2^k) converge. So lembrando, o Teste M de Weierstrass tem outro objetivo, aplica-se a sequencia de funcoes. Diz que se f_n for uma sequencia de funcoes reais ou complexas para a qual exista uma sequencia de reais positivos M_n tais que |f_n| = M_n para todo n e Soma M_n converge, entao f_n converge uniformemente para alguma funcao f. O Paulo utilizou o teste da comparacao: se 0 = a_n = b_n para todo n e Soma b_n converge, entao Soma a_n converge.Se Soma a_n diverge, entao Soma b_n diverge. Abracos artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Claudio Gustavo Enviada em: terça-feira, 10 de abril de 2007 22:13 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] séries numéricas Muito legal essa solução! E usa a mesma idéia da demonstração da série harmônica. Obrigado. Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, O carissimo Artur ja resolveu a questao usando o teste da integral. Mas nao ha problema em conhecer uma outra maneira de resolver a mesma questao. Aqui vai uma forma mais elementar : Como 3*log(3) 4*log(4) e 4*log(4) = 4*log(4), podemos inverter as 2 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) 1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 + 1/4) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/2) Como 5*log(5) 8*log(8) , 6*log(6) 8*log(8) , 7*log(7) 8*log(8) e 8*log(8) = 8*log(8), podemos inverter as 4 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7)) + 1/(8*log(8)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/3) Partindo agora de 9*log(9) 16*log(16), 10*log(10) 16*log(16) ... ate finalizar em 16*log(16) = 16*log(16), invertendo cada uma das 8 desigualdades e somando-as depois, chegaremos facilmente a : 1/(9*log(9)) + 1/(10*log(10)) + ... + 1/(16*log(16)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 Somando tudo, e facil ver que : 1/2(log(2)) + 1/(3*log(3)) + ... + 1/(N*(log(N)) + ... ( 1/(2*log(2)) )*(1 + 1/2 + 1/3 + ... ) Como a serie da direita consabidamente diverge, pelo criterio de comparacao ( se nao me falha a memoria e o Teste M de Weiertrass ) segue que a serie da esquerda tambem diverge. Generalizano esta tecnica e prove o caso (N*log(N))^r E com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 3,150B,100407 Em 07/04/07, Claudio Gustavo escreveu: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
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Na verdade eu gosto bastante de integrais. A solução do problema que postei por integrais já era conhecida minha, mas eu sabia que havia outra solução que se parecia com a demonstração da divergência da série harmônica. Porém não lembrava... Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Parece que amigo Claudio nao gosta muito de integrais, risos. Mas as vezes simplifica muito, e o teste da integral eh facil de entender. Ele compara a area entra a curva da funcao f(x) definida em [1, oo) com a area da escada que corresponde aa sequencia f(n). So serve quando f eh monoticamente decrescente e positiva (se for negativa, eh so tomar a simetrica). Mas a solucao do Paulo eh mesmo linda! Podermos tambem chegar a mesma conclusao utilizando o fato de que, se a_n eh monoticamente decrescente e positiva, entao Soma a_n converge se, e somente, se Soma 2^k a_(2^k) converge. So lembrando, o Teste M de Weierstrass tem outro objetivo, aplica-se a sequencia de funcoes. Diz que se f_n for uma sequencia de funcoes reais ou complexas para a qual exista uma sequencia de reais positivos M_n tais que |f_n| = M_n para todo n e Soma M_n converge, entao f_n converge uniformemente para alguma funcao f. O Paulo utilizou o teste da comparacao: se 0 = a_n = b_n para todo n e Soma b_n converge, entao Soma a_n converge.Se Soma a_n diverge, entao Soma b_n diverge. Abracos artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Claudio Gustavo Enviada em: terça-feira, 10 de abril de 2007 22:13 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] séries numéricas Muito legal essa solução! E usa a mesma idéia da demonstração da série harmônica. Obrigado. Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, O carissimo Artur ja resolveu a questao usando o teste da integral. Mas nao ha problema em conhecer uma outra maneira de resolver a mesma questao. Aqui vai uma forma mais elementar : Como 3*log(3) 4*log(4) e 4*log(4) = 4*log(4), podemos inverter as 2 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) 1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 + 1/4) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/2) Como 5*log(5) 8*log(8) , 6*log(6) 8*log(8) , 7*log(7) 8*log(8) e 8*log(8) = 8*log(8), podemos inverter as 4 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7)) + 1/(8*log(8)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/3) Partindo agora de 9*log(9) 16*log(16), 10*log(10) 16*log(16) ... ate finalizar em 16*log(16) = 16*log(16), invertendo cada uma das 8 desigualdades e somando-as depois, chegaremos facilmente a : 1/(9*log(9)) + 1/(10*log(10)) + ... + 1/(16*log(16)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 Somando tudo, e facil ver que : 1/2(log(2)) + 1/(3*log(3)) + ... + 1/(N*(log(N)) + ... ( 1/(2*log(2)) )*(1 + 1/2 + 1/3 + ... ) Como a serie da direita consabidamente diverge, pelo criterio de comparacao ( se nao me falha a memoria e o Teste M de Weiertrass ) segue que a serie da esquerda tambem diverge. Generalizano esta tecnica e prove o caso (N*log(N))^r E com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 3,150B,100407 Em 07/04/07, Claudio Gustavo escreveu: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
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OK, Bom, o Marcio Cohen sugeriu analisar a convergencia de uma outra serie interessante: Soma (n =2, oo) 1/(l(n)^ln(n)). Pensei em aplicar o fato de que esta serie converge sse Soma k=1, oo) s_k = Soma 2^k a_(2^k) convergir. Para todo n, s_k = 2^k/(ln(2^k)^ln(2^k)). O denominador eh ln(2^k)^ln(2^k) = (k* ln(2))^(k*ln(2)) = [(k*ln(2))^ln(2)]^k . Logo, s_k = [2/[(k*ln(2))^ln(2)]^k. Quando k - oo, (k*ln(2))^ln(2) - oo, pois ln(2) 0. Assim, para k suficientemente grande temos (k*ln(2))^ln(2) 4 e, portanto, 0 s_k (2/4)^k =(1/2)^k. Como a serie geometrica Soma (1/2)^k converge, Soma s_k tambem converge. Logo, Soma (n=2, oo) a_n comverge [Artur Costa Steiner] gem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Claudio Gustavo Enviada em: quarta-feira, 11 de abril de 2007 14:14 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] séries numéricas Na verdade eu gosto bastante de integrais. A solução do problema que postei por integrais já era conhecida minha, mas eu sabia que havia outra solução que se parecia com a demonstração da divergência da série harmônica. Porém não lembrava... Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Parece que amigo Claudio nao gosta muito de integrais, risos. Mas as vezes simplifica muito, e o teste da integral eh facil de entender. Ele compara a area entra a curva da funcao f(x) definida em [1, oo) com a area da escada que corresponde aa sequencia f(n). So serve quando f eh monoticamente decrescente e positiva (se for negativa, eh so tomar a simetrica). Mas a solucao do Paulo eh mesmo linda! Podermos tambem chegar a mesma conclusao utilizando o fato de que, se a_n eh monoticamente decrescente e positiva, entao Soma a_n converge se, e somente, se Soma 2^k a_(2^k) converge. So lembrando, o Teste M de Weierstrass tem outro objetivo, aplica-se a sequencia de funcoes. Diz que se f_n for uma sequencia de funcoes reais ou complexas para a qual exista uma sequencia de reais positivos M_n tais que |f_n| = M_n para todo n e Soma M_n converge, entao f_n converge uniformemente para alguma funcao f. O Paulo utilizou o teste da comparacao: se 0 = a_n = b_n para todo n e Soma b_n converge, entao Soma a_n converge.Se Soma a_n diverge, entao Soma b_n diverge. Abracos artur http://br.messenger.yahoo.com/
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Acho que aqui o critério da integral eh de fato um dos mais indicados. A comparacao com a serie harmonica nao prove informacao, porque, para todo r0, para n suficientemente grande temos 1/(n*log(n)^r) 1/n. Como a serie harmonica diverge, nada concluimos. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Arlane Manoel S Silva Enviada em: sábado, 7 de abril de 2007 14:14 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] séries numéricas Olá Cláudio. Pode haver uma outra forma, mas eu usaria o critério da integral. seja bem-vindo. Citando Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED]: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- Arlan Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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-Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Artur Costa Steiner Enviada em: segunda-feira, 9 de abril de 2007 10:02 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Temos, para todo r0, que a funcao f(x) = 1/(x*(Log(x)^r)) eh positiva e montonicamente decrescente em [e^(-r) , oo). (pode checar determinando a derivada). Assim, o teste da integral eh aplicavel. Se ha I = Int (2 a oo) 1/(x*(Log(x)^r))dx = Int (2 a oo) (1/x)* (Log(x))^(-r))dx Se r1, r0, entao I = [-1/(-r + 1) * (Log(x))^(-r + 1)] (2 a oo). Para nossos objetivos, soh interssa o limite desta funcao quando x - oo. Se 0 r 1, entao - r+ 1 0 e a integral vai para infinito. Logo, a serie tambem diverge, indo para oo. Se r 1, -r + 1 0 e como Log(x) - oo, (Log(x))^(-r + 1) - 0, der modo que a integral e a serie convergem. Se r= 1, entao nossa integral eh simplesmente I = Log(Log(x) [2 a oo) que diverge. Conclusao: se 0 r =1, a serie diverge se r 1, a serie converge. Abracos Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Arlane Manoel S Silva Enviada em: sábado, 7 de abril de 2007 14:14 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] séries numéricas Olá Cláudio. Pode haver uma outra forma, mas eu usaria o critério da integral. seja bem-vindo. Citando Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED]: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- Arlan Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
