[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Bom dia!
Desculpe-me, não vi a restrição do método.
Sds,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu:
Obrigado, Pedro José!
O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
Um abraço!
Pedro Chaves
Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
From: petroc...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Bom dia!
Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
se m.d.c.(a,b) divide c.
Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
12 = 7 * 1 + 5
7 = 5 * 1 + 2
5 = 2 * 2 + 1
Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
5 = 12 - 7 (i)
2 = 7 - 5 (ii)
1 = 5 - 2 *2 (iii)
(ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
(iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
equação 7 x - 12 y = 11.
Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
== 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
== y = -33 + 7*t (vi)
(vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
7*t, t ƐZ }
Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
Tem o artigo do eduardo Tengan:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
equações.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
Pedro,
7 é o inverso de 7 módulo 12
--
Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/)
-- Original Message ---
From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Caros Colegas,
A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
congruência? Não consegui.
Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
Abraços.
Pedro Chaves
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--- End of Original Message ---
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Obrigado, Pedro José!
O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
Um abraço!
Pedro Chaves
Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
From: petroc...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Bom dia!
Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
se m.d.c.(a,b) divide c.
Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
12 = 7 * 1 + 5
7 = 5 * 1 + 2
5 = 2 * 2 + 1
Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
5 = 12 - 7 (i)
2 = 7 - 5 (ii)
1 = 5 - 2 *2 (iii)
(ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
(iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
equação 7 x - 12 y = 11.
Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
== 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
== y = -33 + 7*t (vi)
(vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
7*t, t ƐZ }
Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
Tem o artigo do eduardo Tengan:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
equações.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
Pedro,
7 é o inverso de 7 módulo 12
--
Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/)
-- Original Message ---
From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Caros Colegas,
A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
congruência? Não consegui.
Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
Abraços.
Pedro Chaves
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--- End of Original Message ---
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Oi Pedro, 7x=-1(12), 35x =-5(12), 36x-x=-5(12), -x=-5(12), x=5(12). Abs Pacini Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire b...@ccet.ufrn.br escreveu: Pedro, 7 é o inverso de 7 módulo 12 -- Open WebMail Project (http://openwebmail.org) *-- Original Message ---* From: Pedro Chaves brped...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) Caros Colegas, A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência? Não consegui. Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. Abraços. Pedro Chaves -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = *--- End of Original Message ---* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Bom dia!
Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente se
m.d.c.(a,b) divide c.
Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
12 = 7 * 1 + 5
7 = 5 * 1 + 2
5 = 2 * 2 + 1
Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 7.
(embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de modo
sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
5 = 12 - 7 (i)
2 = 7 - 5 (ii)
1 = 5 - 2 *2 (iii)
(ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
(iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da equação 7
x - 12 y = 11.
Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) ==
7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) == y
= -33 + 7*t (vi)
(vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 7*t, t ƐZ
}
Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos entre
si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta dividir todos
os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem soluções se
m.d.c.(a,b) divide c.
Tem o artigo do eduardo Tengan:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há demonstrações
e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas equações.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire b...@ccet.ufrn.br
escreveu:
Pedro,
7 é o inverso de 7 módulo 12
--
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*-- Original Message ---*
From: Pedro Chaves brped...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Caros Colegas,
A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência?
Não consegui.
Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
Abraços.
Pedro Chaves
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
*--- End of Original Message ---*
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acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Boa tarde!
Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m.
Desculpem-me,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:
Boa tarde!
Não parei para pensar se dá sempre.
7 * x ≡ 11 (mod12) == 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) == x ≡ 5 (mod12) == x = 5
+ 12* m : m Ɛ Z
-12*y ≡11 (mod7) == 2*y ≡ 4 (mod7) == 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) == y ≡ 2 (mod12)
== y =2 + 7*n : n ƐZ
Substituindo na equação original temos:
7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 == 84*m - 84* n = 0 == m=n == x = 5
+12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:
Bom dia!
Desculpe-me, não vi a restrição do método.
Sds,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves brped...@hotmail.com
escreveu:
Obrigado, Pedro José!
O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
Um abraço!
Pedro Chaves
Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
From: petroc...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Bom dia!
Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
se m.d.c.(a,b) divide c.
Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
12 = 7 * 1 + 5
7 = 5 * 1 + 2
5 = 2 * 2 + 1
Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
5 = 12 - 7 (i)
2 = 7 - 5 (ii)
1 = 5 - 2 *2 (iii)
(ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
(iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
equação 7 x - 12 y = 11.
Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
== 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
== y = -33 + 7*t (vi)
(vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
7*t, t ƐZ }
Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
Tem o artigo do eduardo Tengan:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
equações.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
Pedro,
7 é o inverso de 7 módulo 12
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From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
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Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Caros Colegas,
A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
congruência? Não consegui.
Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
Abraços.
Pedro Chaves
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Boa tarde!
Não parei para pensar se dá sempre.
7 * x ≡ 11 (mod12) == 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) == x ≡ 5 (mod12) == x = 5 +
12* m : m Ɛ Z
-12*y ≡11 (mod7) == 2*y ≡ 4 (mod7) == 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) == y ≡ 2 (mod12)
== y =2 + 7*n : n ƐZ
Substituindo na equação original temos:
7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 == 84*m - 84* n = 0 == m=n == x = 5 +12
m e y = 2 + 2m : m ƐZ.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:
Bom dia!
Desculpe-me, não vi a restrição do método.
Sds,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves brped...@hotmail.com
escreveu:
Obrigado, Pedro José!
O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
Um abraço!
Pedro Chaves
Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
From: petroc...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Bom dia!
Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
se m.d.c.(a,b) divide c.
Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
12 = 7 * 1 + 5
7 = 5 * 1 + 2
5 = 2 * 2 + 1
Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
5 = 12 - 7 (i)
2 = 7 - 5 (ii)
1 = 5 - 2 *2 (iii)
(ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
(iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
equação 7 x - 12 y = 11.
Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
== 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
== y = -33 + 7*t (vi)
(vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
7*t, t ƐZ }
Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
Tem o artigo do eduardo Tengan:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
equações.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
Pedro,
7 é o inverso de 7 módulo 12
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From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
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obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Caros Colegas,
A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
congruência? Não consegui.
Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
Abraços.
Pedro Chaves
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acredita-se estar livre de perigo.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Obrigado a todos!
Pedro Chaves
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Date: Wed, 22 Apr 2015 14:32:35 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina
(de novo)
From: petroc...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Boa tarde!
Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m.
Desculpem-me,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José
petroc...@gmail.commailto:petroc...@gmail.com escreveu:
Boa tarde!
Não parei para pensar se dá sempre.
7 * x ≡ 11 (mod12) == 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) == x ≡ 5 (mod12) == x =
5 + 12* m : m Ɛ Z
-12*y ≡11 (mod7) == 2*y ≡ 4 (mod7) == 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) == y ≡ 2
(mod12) == y =2 + 7*n : n ƐZ
Substituindo na equação original temos:
7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 == 84*m - 84* n = 0 == m=n == x = 5
+12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José
petroc...@gmail.commailto:petroc...@gmail.com escreveu:
Bom dia!
Desculpe-me, não vi a restrição do método.
Sds,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves
brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu:
Obrigado, Pedro José!
O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
Um abraço!
Pedro Chaves
Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
From: petroc...@gmail.commailto:petroc...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
Bom dia!
Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
se m.d.c.(a,b) divide c.
Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
12 = 7 * 1 + 5
7 = 5 * 1 + 2
5 = 2 * 2 + 1
Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
5 = 12 - 7 (i)
2 = 7 - 5 (ii)
1 = 5 - 2 *2 (iii)
(ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
(iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
equação 7 x - 12 y = 11.
Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
== 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
== y = -33 + 7*t (vi)
(vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
7*t, t ƐZ }
Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
Tem o artigo do eduardo Tengan:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
equações.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br
escreveu:
Pedro,
7 é o inverso de 7 módulo 12
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From: Pedro Chaves
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Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Caros Colegas,
A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
congruência? Não consegui.
Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
Abraços.
Pedro Chaves
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