[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio Inteiro
Boa noite! Analisei melhor e está correta a solução. -4x^2+2=2cos(2°) é a identide do cos(2a) = 1-2(sena)^2 multiplicada por dois. Depois fica uma sequência da indentidades. cos(2a)= 2(cosa)^2-1 multiplacada por dois. Nãotem risco de dar identidade ao final pois o grau do polinômio da esquerda já estará bem maior que o da direita. E se não precisar desenvolver tudo nem dará tanto trabalho. -4x^2+2)^2-2)^2-2)^2-2)^2-2=2cos(32°) e agora faz cos(32°)=cos(30°+2°), usando sen(2°) e cos(2°) em função de x. Saudações, PJMS. Em sex, 3 de mai de 2019 22:21, Pedro José Boa noite! > Não certo do êxito, mas... > sen(1grau)=x > sen(2graus)= 2x*raiz(1-x^2) > cos(2graus)= raiz(1-4x^2*(1-x^2)) > x=(e^(PI*i/180) - e^(-PI*i/180))/(2i) > -4x^2=e^(PI*i/90) -2 + e^(-PI*i/90) > (-4x^2+2)^2 = e^(PI*i/45)+e^(-PI*i/45)+2 > Aí segue até 32 graus, 8PI/45. > O lado direito da igualdade será 2cos32graus. > Aí iguala o polinômio da esquerda ao dobro de: > raiz(3)/2*raiz(1-4x^2(1-x^2))-1/2*2x*raiz(1-a^2). > E depois trabalha elevando os dois lados ao quadrado e passando os de > coeficientes racionais para a esquerda, mais um quadrado e depois acerta > os coeficientes para que fiquem inteiros. > Mas é trabalheira. O pior é se ao final der identidade. > Tinha um macete na época de vestibular para achar sen e cos de 15 graus. > Mas não me recordo. > Acho que ficaria melhor. Pois aí na hora do cos(16graus) iria precisar de > x e raiz(1-x^2). Pensando bem, nem sei. Pois iria complicar com sen e cos > de 15 graus ao invés de cos e sen de 30 graus. Mas acho muito trabalhoso... > Mais tarde penso em um programa pois se após tudo isso der identidade... > Saudações, > PJMS > > > > Em sex, 3 de mai de 2019 20:20, Pedro José >> Boa noite! >> Perdão, Jeferson e não Anderson. >> >> >> Em sex, 3 de mai de 2019 18:22, Pedro José > >>> Boa noite! >>> Anderson, >>> os coeficientes devem ser inteiros. >>> Acho complicado enveredar por aí. >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> >>> >>> Em qui, 2 de mai de 2019 22:14, Anderson Torres < >>> torres.anderson...@gmail.com escreveu: >>> Em ter, 30 de abr de 2019 14:30, Jeferson Almir < jefersonram...@gmail.com> escreveu: > Mostre que existe um polinômio P(x) de coeficientes inteiros que > possui sen1º como raiz de P(x). > > > Eu tentei usar a forma exponencial de números complexos (Euler) > e^(i.pi/180) = cos1º + isen1º e depois elevando 180 e pegando a parte > real > do complexo mas ainda não consegui . > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. Minha ideia aqui seria procurar usar as formulas de ângulos. Se sin(180x)=sin(pi)=0, basta escrever sin(180x) como polinômio em sin x. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio Inteiro
Boa noite! Não certo do êxito, mas... sen(1grau)=x sen(2graus)= 2x*raiz(1-x^2) cos(2graus)= raiz(1-4x^2*(1-x^2)) x=(e^(PI*i/180) - e^(-PI*i/180))/(2i) -4x^2=e^(PI*i/90) -2 + e^(-PI*i/90) (-4x^2+2)^2 = e^(PI*i/45)+e^(-PI*i/45)+2 Aí segue até 32 graus, 8PI/45. O lado direito da igualdade será 2cos32graus. Aí iguala o polinômio da esquerda ao dobro de: raiz(3)/2*raiz(1-4x^2(1-x^2))-1/2*2x*raiz(1-a^2). E depois trabalha elevando os dois lados ao quadrado e passando os de coeficientes racionais para a esquerda, mais um quadrado e depois acerta os coeficientes para que fiquem inteiros. Mas é trabalheira. O pior é se ao final der identidade. Tinha um macete na época de vestibular para achar sen e cos de 15 graus. Mas não me recordo. Acho que ficaria melhor. Pois aí na hora do cos(16graus) iria precisar de x e raiz(1-x^2). Pensando bem, nem sei. Pois iria complicar com sen e cos de 15 graus ao invés de cos e sen de 30 graus. Mas acho muito trabalhoso... Mais tarde penso em um programa pois se após tudo isso der identidade... Saudações, PJMS Em sex, 3 de mai de 2019 20:20, Pedro José Boa noite! > Perdão, Jeferson e não Anderson. > > > Em sex, 3 de mai de 2019 18:22, Pedro José >> Boa noite! >> Anderson, >> os coeficientes devem ser inteiros. >> Acho complicado enveredar por aí. >> Saudações, >> PJMS >> >> >> >> Em qui, 2 de mai de 2019 22:14, Anderson Torres < >> torres.anderson...@gmail.com escreveu: >> >>> >>> >>> Em ter, 30 de abr de 2019 14:30, Jeferson Almir < >>> jefersonram...@gmail.com> escreveu: >>> Mostre que existe um polinômio P(x) de coeficientes inteiros que possui sen1º como raiz de P(x). Eu tentei usar a forma exponencial de números complexos (Euler) e^(i.pi/180) = cos1º + isen1º e depois elevando 180 e pegando a parte real do complexo mas ainda não consegui . -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> Minha ideia aqui seria procurar usar as formulas de ângulos. Se >>> sin(180x)=sin(pi)=0, basta escrever sin(180x) como polinômio em sin x. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio Inteiro
Boa noite! Perdão, Jeferson e não Anderson. Em sex, 3 de mai de 2019 18:22, Pedro José Boa noite! > Anderson, > os coeficientes devem ser inteiros. > Acho complicado enveredar por aí. > Saudações, > PJMS > > > > Em qui, 2 de mai de 2019 22:14, Anderson Torres < > torres.anderson...@gmail.com escreveu: > >> >> >> Em ter, 30 de abr de 2019 14:30, Jeferson Almir >> escreveu: >> >>> Mostre que existe um polinômio P(x) de coeficientes inteiros que possui >>> sen1º como raiz de P(x). >>> >>> >>> Eu tentei usar a forma exponencial de números complexos (Euler) >>> e^(i.pi/180) = cos1º + isen1º e depois elevando 180 e pegando a parte real >>> do complexo mas ainda não consegui . >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> Minha ideia aqui seria procurar usar as formulas de ângulos. Se >> sin(180x)=sin(pi)=0, basta escrever sin(180x) como polinômio em sin x. >> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio Inteiro
Boa noite! Anderson, os coeficientes devem ser inteiros. Acho complicado enveredar por aí. Saudações, PJMS Em qui, 2 de mai de 2019 22:14, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com escreveu: > > > Em ter, 30 de abr de 2019 14:30, Jeferson Almir > escreveu: > >> Mostre que existe um polinômio P(x) de coeficientes inteiros que possui >> sen1º como raiz de P(x). >> >> >> Eu tentei usar a forma exponencial de números complexos (Euler) >> e^(i.pi/180) = cos1º + isen1º e depois elevando 180 e pegando a parte real >> do complexo mas ainda não consegui . >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > Minha ideia aqui seria procurar usar as formulas de ângulos. Se > sin(180x)=sin(pi)=0, basta escrever sin(180x) como polinômio em sin x. > >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Polinômio Inteiro
Em ter, 30 de abr de 2019 14:30, Jeferson Almir escreveu: > Mostre que existe um polinômio P(x) de coeficientes inteiros que possui > sen1º como raiz de P(x). > > > Eu tentei usar a forma exponencial de números complexos (Euler) > e^(i.pi/180) = cos1º + isen1º e depois elevando 180 e pegando a parte real > do complexo mas ainda não consegui . > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. Minha ideia aqui seria procurar usar as formulas de ângulos. Se sin(180x)=sin(pi)=0, basta escrever sin(180x) como polinômio em sin x. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio Inteiro
Por nada Pedro !! E sen1º é um número algébrico . Abraço. Em qui, 2 de mai de 2019 às 10:52, Pedro José escreveu: > Bom dia! > Jeferson, > obrigado! Pensava, na verdade tinha certeza que sen 1grau era > transcendente. > Fui até pesquisar o teorema d*e *Lindemann-Weierstrass*, *que nem me > recordava o nome, mas é para sen1, mas não um grau e sim radiano. > Falha de armazenamento na memória. > > Sds, > PJMS > > > > Em qua, 1 de mai de 2019 às 06:46, Jeferson Almir < > jefersonram...@gmail.com> escreveu: > >> Puxa Raph mais uma vez muito obrigado!! >> >> Em ter, 30 de abr de 2019 às 19:17, Ralph Teixeira >> escreveu: >> >>> Oi, Jeferson. >>> >>> Sua ideia funciona: comece com P(x,y)=(y+ix)^180+1. Como voce disse, >>> P(s,c)=0 onde c=cos1º e s=sin1º. >>> >>> Agora olhemos para a parte real deste polinomio: ateh dah para escrever >>> explicitamente, mas eu vou me limitar a dizer que eh algo do tipo >>> R(x,y)=SOMA(a_k*y^(2k)*x^(180-2k))+1 onde os a_k sao coeficientes inteiros >>> (que incluem os sinais negativos que porventura venham das potencias pares >>> de i). >>> >>> Enfim, o truque eh perceber que todas as potencias de y ali sao pares. >>> Ou seja, trocando y^2 por 1-x^2 em todos os termos, voce vai ficar com um >>> polinomio P(x) que satisfaz o que voce quer. >>> >>> Abraco, Ralph. >>> >>> On Tue, Apr 30, 2019 at 6:02 PM Jeferson Almir >>> wrote: >>> Eu estou tentando através do binômio de Newton obter tal polinômio pegando a parte real do número complexo. Sen1º não é transcende. Em ter, 30 de abr de 2019 às 17:35, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Não compreendi > sen1º é um número transcendente, ou não?? > > Sds, > PJMS > > > Em ter, 30 de abr de 2019 às 14:30, Jeferson Almir < > jefersonram...@gmail.com> escreveu: > >> Mostre que existe um polinômio P(x) de coeficientes inteiros que >> possui sen1º como raiz de P(x). >> >> >> Eu tentei usar a forma exponencial de números complexos (Euler) >> e^(i.pi/180) = cos1º + isen1º e depois elevando 180 e pegando a parte >> real >> do complexo mas ainda não consegui . >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio Inteiro
Bom dia! Jeferson, obrigado! Pensava, na verdade tinha certeza que sen 1grau era transcendente. Fui até pesquisar o teorema d*e *Lindemann-Weierstrass*, *que nem me recordava o nome, mas é para sen1, mas não um grau e sim radiano. Falha de armazenamento na memória. Sds, PJMS Em qua, 1 de mai de 2019 às 06:46, Jeferson Almir escreveu: > Puxa Raph mais uma vez muito obrigado!! > > Em ter, 30 de abr de 2019 às 19:17, Ralph Teixeira > escreveu: > >> Oi, Jeferson. >> >> Sua ideia funciona: comece com P(x,y)=(y+ix)^180+1. Como voce disse, >> P(s,c)=0 onde c=cos1º e s=sin1º. >> >> Agora olhemos para a parte real deste polinomio: ateh dah para escrever >> explicitamente, mas eu vou me limitar a dizer que eh algo do tipo >> R(x,y)=SOMA(a_k*y^(2k)*x^(180-2k))+1 onde os a_k sao coeficientes inteiros >> (que incluem os sinais negativos que porventura venham das potencias pares >> de i). >> >> Enfim, o truque eh perceber que todas as potencias de y ali sao pares. Ou >> seja, trocando y^2 por 1-x^2 em todos os termos, voce vai ficar com um >> polinomio P(x) que satisfaz o que voce quer. >> >> Abraco, Ralph. >> >> On Tue, Apr 30, 2019 at 6:02 PM Jeferson Almir >> wrote: >> >>> Eu estou tentando através do binômio de Newton obter tal polinômio >>> pegando a parte real do número complexo. Sen1º não é transcende. >>> >>> Em ter, 30 de abr de 2019 às 17:35, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa tarde! Não compreendi sen1º é um número transcendente, ou não?? Sds, PJMS Em ter, 30 de abr de 2019 às 14:30, Jeferson Almir < jefersonram...@gmail.com> escreveu: > Mostre que existe um polinômio P(x) de coeficientes inteiros que > possui sen1º como raiz de P(x). > > > Eu tentei usar a forma exponencial de números complexos (Euler) > e^(i.pi/180) = cos1º + isen1º e depois elevando 180 e pegando a parte > real > do complexo mas ainda não consegui . > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio Inteiro
Puxa Raph mais uma vez muito obrigado!! Em ter, 30 de abr de 2019 às 19:17, Ralph Teixeira escreveu: > Oi, Jeferson. > > Sua ideia funciona: comece com P(x,y)=(y+ix)^180+1. Como voce disse, > P(s,c)=0 onde c=cos1º e s=sin1º. > > Agora olhemos para a parte real deste polinomio: ateh dah para escrever > explicitamente, mas eu vou me limitar a dizer que eh algo do tipo > R(x,y)=SOMA(a_k*y^(2k)*x^(180-2k))+1 onde os a_k sao coeficientes inteiros > (que incluem os sinais negativos que porventura venham das potencias pares > de i). > > Enfim, o truque eh perceber que todas as potencias de y ali sao pares. Ou > seja, trocando y^2 por 1-x^2 em todos os termos, voce vai ficar com um > polinomio P(x) que satisfaz o que voce quer. > > Abraco, Ralph. > > On Tue, Apr 30, 2019 at 6:02 PM Jeferson Almir > wrote: > >> Eu estou tentando através do binômio de Newton obter tal polinômio >> pegando a parte real do número complexo. Sen1º não é transcende. >> >> Em ter, 30 de abr de 2019 às 17:35, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Não compreendi >>> sen1º é um número transcendente, ou não?? >>> >>> Sds, >>> PJMS >>> >>> >>> Em ter, 30 de abr de 2019 às 14:30, Jeferson Almir < >>> jefersonram...@gmail.com> escreveu: >>> Mostre que existe um polinômio P(x) de coeficientes inteiros que possui sen1º como raiz de P(x). Eu tentei usar a forma exponencial de números complexos (Euler) e^(i.pi/180) = cos1º + isen1º e depois elevando 180 e pegando a parte real do complexo mas ainda não consegui . -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio Inteiro
Oi, Jeferson. Sua ideia funciona: comece com P(x,y)=(y+ix)^180+1. Como voce disse, P(s,c)=0 onde c=cos1º e s=sin1º. Agora olhemos para a parte real deste polinomio: ateh dah para escrever explicitamente, mas eu vou me limitar a dizer que eh algo do tipo R(x,y)=SOMA(a_k*y^(2k)*x^(180-2k))+1 onde os a_k sao coeficientes inteiros (que incluem os sinais negativos que porventura venham das potencias pares de i). Enfim, o truque eh perceber que todas as potencias de y ali sao pares. Ou seja, trocando y^2 por 1-x^2 em todos os termos, voce vai ficar com um polinomio P(x) que satisfaz o que voce quer. Abraco, Ralph. On Tue, Apr 30, 2019 at 6:02 PM Jeferson Almir wrote: > Eu estou tentando através do binômio de Newton obter tal polinômio pegando > a parte real do número complexo. Sen1º não é transcende. > > Em ter, 30 de abr de 2019 às 17:35, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> Não compreendi >> sen1º é um número transcendente, ou não?? >> >> Sds, >> PJMS >> >> >> Em ter, 30 de abr de 2019 às 14:30, Jeferson Almir < >> jefersonram...@gmail.com> escreveu: >> >>> Mostre que existe um polinômio P(x) de coeficientes inteiros que possui >>> sen1º como raiz de P(x). >>> >>> >>> Eu tentei usar a forma exponencial de números complexos (Euler) >>> e^(i.pi/180) = cos1º + isen1º e depois elevando 180 e pegando a parte real >>> do complexo mas ainda não consegui . >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômio Inteiro
Eu estou tentando através do binômio de Newton obter tal polinômio pegando a parte real do número complexo. Sen1º não é transcende. Em ter, 30 de abr de 2019 às 17:35, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Não compreendi > sen1º é um número transcendente, ou não?? > > Sds, > PJMS > > > Em ter, 30 de abr de 2019 às 14:30, Jeferson Almir < > jefersonram...@gmail.com> escreveu: > >> Mostre que existe um polinômio P(x) de coeficientes inteiros que possui >> sen1º como raiz de P(x). >> >> >> Eu tentei usar a forma exponencial de números complexos (Euler) >> e^(i.pi/180) = cos1º + isen1º e depois elevando 180 e pegando a parte real >> do complexo mas ainda não consegui . >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Polinômio Inteiro
Boa tarde! Não compreendi sen1º é um número transcendente, ou não?? Sds, PJMS Em ter, 30 de abr de 2019 às 14:30, Jeferson Almir escreveu: > Mostre que existe um polinômio P(x) de coeficientes inteiros que possui > sen1º como raiz de P(x). > > > Eu tentei usar a forma exponencial de números complexos (Euler) > e^(i.pi/180) = cos1º + isen1º e depois elevando 180 e pegando a parte real > do complexo mas ainda não consegui . > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
