[obm-l] Re: [obm-l] Pontos de condensação

[Claudio Buffara]

Vou tentar provar que U é enumerável.

Podemos escrever U = Ud união Ue, onde Ud = conjunto dos pontos de
condensação à direita de A; Ue definido analogamente.
Minha idéia é provar que Ud e Ue são ambos enumeráveis, de modo que U
também será.

Para cada x pertencente a Ud, existe d(x) > 0 tal que (x - d(x),x) inter A
é (no máximo) enumerável.
Além disso, nenhum ponto de (x - d(x),x) poderá pertencer a U (e muito
menos a Ud).
Caso contrário (x - d(x),x) inter A seria não enumerável.

Isso estabelece uma bijeção que associa, a cada x em Ud, o intervalo não
degenerado (x - d(x),x) o qual não conterá nenhum ponto de Ud.
Ou seja, se x e y são elementos distintos de Ud, (x - d(x),x) inter (y -
d(y),y) = conjunto vazio.
Mas qualquer coleção de intervalos não degenerados disjuntos é
necessariamente enumerável (basta tomar um racional em cada intervalo).
Logo, Ud é enumerável.
Idem para Ue ==> U = Ud união Ue é enumerável.

[]s,
Claudio.


2018-04-10 21:37 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Em um espaço topológico qualquer, dizemos que x é ponto de condensação de
> um conjunto A se, para toda vizinhança V de x, V inter A não for
> enumerável. No caso de espaços métricos, podemos mostrar que, sendo C o
> conjunto dos pontos de condensação do não enumerável A e  C' o complementar
> de C, então A inter C não é enumerável e C' inter A é enumerável.
>
> No caso de R com a métrica Euclidiana, temos dois outros conceitos
> correlatos:
>
> Dizemos que x é ponto de condensação bilateral de A se, para todo eps > 0,
> (x - eps, x) inter A e (x, x + eps) inter A não forem enumeráveis. Isto é,
> os pontos de A condensam-se em ambos lados de x. E dizemos que x é ponto de
> condensação unilateral de A se os pontos de A se condensarem em apenas um
> dos lados de x: para todo eps > 0, apenas uma das interseções acima não é
> enumerável. Exemplificando: Todo elemento de (0, 1) é ponto de condensação
> bilateral do mesmo; 0 e 1 são seus únicos pontos de condensação
> uniilaterais.
>
> Sendo A não enumerável, B o conjunto de seus pontos de condensação
> bilaterais e U o conjunto de seus pontos de condensação unilaterais, mostre
> que
>
> A inter B não é enumerável
>
> U é enumerável.
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Pontos de condensação

[Pedro José]

Bom dia!

Cria eu, ter entendido o conceito. Todavia, cheio de dúvidas.
O que significa inter ???
A princípio julguei que fosse interseção, mas C e C' estão contidos em A,
certo? E B está contido em A, confere?
Intuitivamente é razoável. O B será formado por uma união de intervalos,
disjuntos, abertos (a direita e a esquerda)  e contidos em |R e portanto
não enumerável.
E o U pelos extremos desses intervalos abertos e portanto enumeráveis.
Mas mostrar, nem ideia.

Na expectativa...

Saudações,
PJMS

Em 10 de abril de 2018 21:37, Artur Steiner 
escreveu:

> Em um espaço topológico qualquer, dizemos que x é ponto de condensação de
> um conjunto A se, para toda vizinhança V de x, V inter A não for
> enumerável. No caso de espaços métricos, podemos mostrar que, sendo C o
> conjunto dos pontos de condensação do não enumerável A e  C' o complementar
> de C, então A inter C não é enumerável e C' inter A é enumerável.
>
> No caso de R com a métrica Euclidiana, temos dois outros conceitos
> correlatos:
>
> Dizemos que x é ponto de condensação bilateral de A se, para todo eps > 0,
> (x - eps, x) inter A e (x, x + eps) inter A não forem enumeráveis. Isto é,
> os pontos de A condensam-se em ambos lados de x. E dizemos que x é ponto de
> condensação unilateral de A se os pontos de A se condensarem em apenas um
> dos lados de x: para todo eps > 0, apenas uma das interseções acima não é
> enumerável. Exemplificando: Todo elemento de (0, 1) é ponto de condensação
> bilateral do mesmo; 0 e 1 são seus únicos pontos de condensação
> uniilaterais.
>
> Sendo A não enumerável, B o conjunto de seus pontos de condensação
> bilaterais e U o conjunto de seus pontos de condensação unilaterais, mostre
> que
>
> A inter B não é enumerável
>
> U é enumerável.
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Pontos de condensação de conjuntos em R

[Pedro Angelo]

Esse eu lembro que ele tá no livro do Elon!

Se U_1 é o conjunto dos pontos de condensação unilaterais à esquerda,
digamos que para cada x em U_1 temos que o intervalo J_x = ]x, x +
eps_x[ tem interseção enumerável com A. Para cada x em U_1, a
interseção U inter J_x é vazia, pois se houvesse pontos de U em J_x
(que é aberto), haveria uma quantidade não-enumerável de pontos de A
dentro de J_x. Portanto, os J_x sãp todos disjuntos, e escolhendo um
racional dentro de cada um deles mostramos que eles são enumeráveis!
Pelo mesmo argumento, o conjunto U_2 dos pontos de condensação à
direita também é enumerável.

Me lembrei agora que na verdade o exercício do Elon era pra mostrar
que o conjunto dos pontos de acumulação unilateral de qualquer
conjunto era enumerável. Era mais ou menos o mesmo argumento que esse,
só que cada J_x tinha interseção vazia com A, ao invés de ter
interseção enumerável.

Isso aí de mostrar que B inter A não é enumerável eu deixo pra depois.

abraços!

2013/2/11 Artur Costa Steiner artur_stei...@yahoo.com:
 Em um espaço topológico qualquer, dizemos que x é ponto de condensação de um 
 conjunto A se, para  toda vizinhança V de x, V inter A não for enumerável. 
 Por exemplo, todos os pontos de um disco fechado em R^2 são pontos de 
 condensação do correspondente disco aberto.

 É imediato que todo ponto de condensação é ponto de acumulação.

 Em R, com a métrica euclidiana, temos ainda os seguintes conceitos correlatos:

 Dizemos que x é ponto de condensação bilateral de A se, para todo eps  0, 
 ambos os intervalos (x - eps, x) e (x + eps) tiverem com A interseções não 
 enumeráveis. E dizemos que x é ponto de condensação unilateral de A se, para 
 todo eps  0, um destes intervalos, mas não ambos, tiver com A interseção não 
 enumerável. Isto é, no caso bilateral, os pontos de A condensam-se à direita 
 e à esquerda de x; e, no caso unilateral, apenas em um dos lados (podemos, se 
 quisermos, definir pontos de condensação à direita e à esquerda). Observamos 
 que, com base nestas definições, pontos de condensação bilaterais não são 
 unilaterais. Estes últimos não são casos particulares dos primeiros.

 Por exemplo, todo elemento de (0, 1) é ponto de condensação bilateral do 
 mesmo. 0 e 1 são os únicos pontos de condensação unilaterais  deste conjunto. 
 No caso, não pertencentes ao conjunto. Temos também que 1 é ponto de 
 condensação bilateral de (0, 1) U (1, 2). Não pertencente à união.

 A questão é: seja A um subconjunto não enumerável de R. Sejam B o conjunto de 
 seus pontos de condensação bilaterais e U o dos pontos de condensação 
 unilaterais. Mostre que

 U é enumerável
 B inter A não é enumerável

 Os seguintes fatos, válidos em qualquer espaço métrico separável (que 
 contenha um conjunto denso enumerável, como os racionais em R), talvez possam 
 ajudar:

 Sendo C o conjunto de todos os pontos de condensação do não enumerável A, 
 temos que

 C inter A não é enumerável
 C é fechado
 Todo elemento de C é ponto de condensação de A inter C
 O conjunto dos elementos de A que não são pontos de condensação do mesmo é, 
 no máximo, enumerável


 Abraços a todos.


 Artur Costa Steiner
 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=