[obm-l] Re: [obm-l] Quadrado mágico(?)
x w a/xw y 15 (a/15y) z (a/15w) 15 w/z x15^2w=az z15=xw a=15^3 a =xyz=15^3=3^3*5^3 w=1 z=3 x=45 y=25 45 175 25 159 3 125 5 uma das soluções 2014-09-22 7:43 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Completar o quadrado com números inteiros positivos de maneira que o resultado da multiplicação dos números em cada linha, coluna ou diagonal seja o mesmo Um quadrado 3 x 3 e só é dado o termo central 15 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quadrado mágico(?)
Boa tarde! Saulo, O termo a(3,2) = 225 e não *125*. Em 24 de setembro de 2014 13:07, saulo nilson saulo.nil...@gmail.com escreveu: x w a/xw y 15 (a/15y) z (a/15w) 15 w/z x15^2w=az z15=xw a=15^3 a =xyz=15^3=3^3*5^3 w=1 z=3 x=45 y=25 45 175 25 159 3 125 5 uma das soluções 2014-09-22 7:43 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Completar o quadrado com números inteiros positivos de maneira que o resultado da multiplicação dos números em cada linha, coluna ou diagonal seja o mesmo Um quadrado 3 x 3 e só é dado o termo central 15 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quadrado mágico(?)
Achei um site que explica direitinho, todo o procedimento olha ai http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1372 Douglas Oliveira Em 24 de setembro de 2014 13:07, saulo nilson saulo.nil...@gmail.com escreveu: x w a/xw y 15 (a/15y) z (a/15w) 15 w/z x15^2w=az z15=xw a=15^3 a =xyz=15^3=3^3*5^3 w=1 z=3 x=45 y=25 45 175 25 159 3 125 5 uma das soluções 2014-09-22 7:43 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Completar o quadrado com números inteiros positivos de maneira que o resultado da multiplicação dos números em cada linha, coluna ou diagonal seja o mesmo Um quadrado 3 x 3 e só é dado o termo central 15 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Quadrado mágico(?)
Boa tarde!
Só há necessidade de atender ao produto ou há alguma relação entre os
termos?
O que conhecia como quadrado mágico, era uma matriz n x n , n2, com os
elementos pertencentes ao conjunto {1,2,3,..., n^2-1, n^2} e sem repetição
tal que a soma das colunas, linhas ou diagonais sejam iguais.
Saudações,
PJMS.
Em 22 de setembro de 2014 07:43, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
Completar o quadrado com números inteiros positivos de maneira que o
resultado da multiplicação
dos números em cada linha, coluna ou diagonal seja o mesmo
Um quadrado 3 x 3 e só é dado o termo central 15
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Quadrado mágico(?)
Com números inteiros positivos acho difícil, mas se não tiver essa restrição fica bem fácil para fazer até com números racionais!! Douglas Oliveira. Em 22 de setembro de 2014 07:43, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Completar o quadrado com números inteiros positivos de maneira que o resultado da multiplicação dos números em cada linha, coluna ou diagonal seja o mesmo Um quadrado 3 x 3 e só é dado o termo central 15 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Quadrado mágico
Eu estava pensando em números positivos mesmo Não sei sei o q quer dizer ´´espaço solução tem dimensão 3`` Mas ai eu deveria ler sobre isso Mais uma vez obrigado. Date: Tue, 17 Apr 2012 15:21:51 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Quadrado mágico From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Não, não pode ser. Afinal, a definição de quadrado mágico consiste em 8 equações lineares com 10 incógnitas (as incógnitas são as 9 entradas do quadrado e a soma S de cada linha ou coluna). No entanto, uma das 8 equações é linearmente dependente das outras (se a soma de cada uma das 3 linhas é S, e a soma de cada uma de 2 colunas é S, então a 3a coluna tem de somar S também), então são de fato 7 equações linearmente independentes com 10 incógnitas. Portanto, o espaço solução tem dimensão 3. O conjunto das P.A.s tem dimensão 2 (basta saber o primeiro termo e a razão) -- tá, há as 9! permutações possíveis dos termos dentro do quadrado, mas isto não aumenta a dimensão... Então eu tenho quase certeza que há quadrados mágicos cujos termos não são P.A.s. Sejamos mais explícitos: se as minhas contas estiverem certas, o quadrado mágico genérico 3x3 com soma S é: a[1 -1 0; -1 0 1; 0 1 -1] + b[0 -1 1; 1 0 -1; -1 1 0] + S/3[1 1 1; 1 1 1; 1 1 1] (Usei notação Matlab -- ou seja, são matrizes 3x3 ali entre colchetes, com linhas separadas por ;). Em particular. hmmm... tomando a=1, b=4, S=0 vem [1 -5 4; 3 0 -3; -4 5 -1], que não estão em P.A. (Se você quiser um exemplo onde todos os números são positivos, basta somar, digamos, 13, a cada entrada da matriz, o que corresponde a tomar S=39) Abraço, Ralph 2012/4/17 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Os números de um quadrado mágico 3 x 3,escritos em ordem crescente ou decrescente,formam sempre uma PA? As somas dos elementos de uma linha ou coluna ou diagonal são todas iguais.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Quadrado mágico
A frase o espaco solucao tem dimensao 3 eh um conceito de Algebra Linear. Significa (mais ou menos) que tem 3 constantes arbitrarias na solucao geral do sistema -- neste caso, a, b e S. Em linhas bem gerais, eh o seguinte: se voce tiver um sistema com 14 equacoes DE VERDADE, lineares e homogeneas, com 23 incognitas, entao a solucao do sistema terah 23-14=9 graus de liberdade, isto eh, 9 das incognitas vao ficar indeterminadas e as outras 14 voce consegue escrever em funcao dessas 9. Equacao Linear Homogenea significa equacoes lineares com termo independente nulo; em outras palavras, coisas do tipo a1.x1+a2.x2+...+an.xn=0 onde a1, a2,..., an sao constantes e x1, x2, ..., xn sao as incognitas. DE VERDADE significa que as equacoes sao REALMENTE diferentes; tipo, se a 6a equacao for a soma das 4 primeiras mais 2 vezes a 5a, entao ela nao traz informacao adicional alguma (diz-se que ela eh LINEARMENTE DEPENDENTE das outras) e deve ser descartada antes de contar o numero de equacoes. Entao, quando eu digo 14 equacoes de verdade, estou dizendo 14 equacoes linearmente independentes, isto eh, nenhuma delas pode ser escrita como combinacao linear (somas com coeficientes) das outras. Mas isso eh soh a ideia geral, coloquei porque achei que voce poderia achar mais ou menos intuitivo -- as definicoes formais e o enunciado correto do teorema estao em bons livros de Algebra Linear. Abracao, Ralph 2012/4/23 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Eu estava pensando em números positivos mesmo Não sei sei o q quer dizer ´´espaço solução tem dimensão 3`` Mas ai eu deveria ler sobre isso Mais uma vez obrigado. Date: Tue, 17 Apr 2012 15:21:51 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Quadrado mágico From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Não, não pode ser. Afinal, a definição de quadrado mágico consiste em 8 equações lineares com 10 incógnitas (as incógnitas são as 9 entradas do quadrado e a soma S de cada linha ou coluna). No entanto, uma das 8 equações é linearmente dependente das outras (se a soma de cada uma das 3 linhas é S, e a soma de cada uma de 2 colunas é S, então a 3a coluna tem de somar S também), então são de fato 7 equações linearmente independentes com 10 incógnitas. Portanto, o espaço solução tem dimensão 3. O conjunto das P.A.s tem dimensão 2 (basta saber o primeiro termo e a razão) -- tá, há as 9! permutações possíveis dos termos dentro do quadrado, mas isto não aumenta a dimensão... Então eu tenho quase certeza que há quadrados mágicos cujos termos não são P.A.s. Sejamos mais explícitos: se as minhas contas estiverem certas, o quadrado mágico genérico 3x3 com soma S é: a[1 -1 0; -1 0 1; 0 1 -1] + b[0 -1 1; 1 0 -1; -1 1 0] + S/3[1 1 1; 1 1 1; 1 1 1] (Usei notação Matlab -- ou seja, são matrizes 3x3 ali entre colchetes, com linhas separadas por ;). Em particular. hmmm... tomando a=1, b=4, S=0 vem [1 -5 4; 3 0 -3; -4 5 -1], que não estão em P.A. (Se você quiser um exemplo onde todos os números são positivos, basta somar, digamos, 13, a cada entrada da matriz, o que corresponde a tomar S=39) Abraço, Ralph 2012/4/17 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Os números de um quadrado mágico 3 x 3,escritos em ordem crescente ou decrescente,formam sempre uma PA? As somas dos elementos de uma linha ou coluna ou diagonal são todas iguais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quadrado mágico
Boa Tarde! Vai depender da definição de quadrado mágico. A definição que conheço é: Um quadrado mágico é uma matriz quadrada de ordem nxn, onde seus elementos são distintos e pertencem a |N ∩ [1,n^2] e a soma dos elementos de qualquer linha, qualquer coluna, da diagonal principal ou da diagonal secundária é constante e obviamente, igual a 0,5* (n^2+1)*n Portanto, com essa definição sempre sera´uma PA, quando ordenamos os elementos, quer em ordem crescente quer em ordem decrescente. Tem que ver como o seu professor definiu quadrado mágico. Há algorítimos simples para construção de quadrados mágicos com n ímpar, embora a solução não seja única. Para n par é umn pouquinho mais complicado, tem-se dois métodos, um para n múltiplo de 4 e outro para pares do tipo n=2 * k, onde k ε 2* |N* + 1. Note que é impossível criar um quadrado mágico de ordem 2x2. Em 17/04/12, Ralph Teixeiraralp...@gmail.com escreveu: Não, não pode ser. Afinal, a definição de quadrado mágico consiste em 8 equações lineares com 10 incógnitas (as incógnitas são as 9 entradas do quadrado e a soma S de cada linha ou coluna). No entanto, uma das 8 equações é linearmente dependente das outras (se a soma de cada uma das 3 linhas é S, e a soma de cada uma de 2 colunas é S, então a 3a coluna tem de somar S também), então são de fato 7 equações linearmente independentes com 10 incógnitas. Portanto, o espaço solução tem dimensão 3. O conjunto das P.A.s tem dimensão 2 (basta saber o primeiro termo e a razão) -- tá, há as 9! permutações possíveis dos termos dentro do quadrado, mas isto não aumenta a dimensão... Então eu tenho quase certeza que há quadrados mágicos cujos termos não são P.A.s. Sejamos mais explícitos: se as minhas contas estiverem certas, o quadrado mágico genérico 3x3 com soma S é: a[1 -1 0; -1 0 1; 0 1 -1] + b[0 -1 1; 1 0 -1; -1 1 0] + S/3[1 1 1; 1 1 1; 1 1 1] (Usei notação Matlab -- ou seja, são matrizes 3x3 ali entre colchetes, com linhas separadas por ;). Em particular. hmmm... tomando a=1, b=4, S=0 vem [1 -5 4; 3 0 -3; -4 5 -1], que não estão em P.A. (Se você quiser um exemplo onde todos os números são positivos, basta somar, digamos, 13, a cada entrada da matriz, o que corresponde a tomar S=39) Abraço, Ralph 2012/4/17 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Os números de um quadrado mágico 3 x 3,escritos em ordem crescente ou decrescente,formam sempre uma PA? As somas dos elementos de uma linha ou coluna ou diagonal são todas iguais. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Quadrado mágico
Não, não pode ser. Afinal, a definição de quadrado mágico consiste em 8 equações lineares com 10 incógnitas (as incógnitas são as 9 entradas do quadrado e a soma S de cada linha ou coluna). No entanto, uma das 8 equações é linearmente dependente das outras (se a soma de cada uma das 3 linhas é S, e a soma de cada uma de 2 colunas é S, então a 3a coluna tem de somar S também), então são de fato 7 equações linearmente independentes com 10 incógnitas. Portanto, o espaço solução tem dimensão 3. O conjunto das P.A.s tem dimensão 2 (basta saber o primeiro termo e a razão) -- tá, há as 9! permutações possíveis dos termos dentro do quadrado, mas isto não aumenta a dimensão... Então eu tenho quase certeza que há quadrados mágicos cujos termos não são P.A.s. Sejamos mais explícitos: se as minhas contas estiverem certas, o quadrado mágico genérico 3x3 com soma S é: a[1 -1 0; -1 0 1; 0 1 -1] + b[0 -1 1; 1 0 -1; -1 1 0] + S/3[1 1 1; 1 1 1; 1 1 1] (Usei notação Matlab -- ou seja, são matrizes 3x3 ali entre colchetes, com linhas separadas por ;). Em particular. hmmm... tomando a=1, b=4, S=0 vem [1 -5 4; 3 0 -3; -4 5 -1], que não estão em P.A. (Se você quiser um exemplo onde todos os números são positivos, basta somar, digamos, 13, a cada entrada da matriz, o que corresponde a tomar S=39) Abraço, Ralph 2012/4/17 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Os números de um quadrado mágico 3 x 3,escritos em ordem crescente ou decrescente,formam sempre uma PA? As somas dos elementos de uma linha ou coluna ou diagonal são todas iguais.
[obm-l] RE: [obm-l] Quadrado Mágico
Oi, Cláudio ''-- Mensagem Original -- ''Date: Wed, 6 Apr 2005 17:46:51 -0300 ''Subject: [obm-l] Quadrado Mágico ''From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Acho que sei como demonstrar que L_i (1=i=n), C_j (1=j=n-1), T e S são ''funcionais lineares L.I. '' ''Suponhamos que existam escalres a_i (1=i=n), b_j (1=j=n), c e d tais ''que o funcional linear: ''F = SOMA(1...n) a_i*L_i + SOMA(1...n-1) b_j*C_j + c*T + d*S ''seja identicamente nulo. '' ''Seja A(i,j) a matriz cujo coeficiente (i,j) é 1 e todos os demais são 0. '' ''F(A(1,n)) = 0 == a_1 + d = 0 ''F(A(n,n)) = 0 == a_n + c = 0 ''F(A(k,n)) = 0 para 2 = k = n-1 == a_k = 0. '' ''Ou seja, já podemos escrever: ''F = -d*L_1 - c*L_n + SOMA(1..n-1) b_j*C_j + c*T + d*S. '' ''F(A(1,1)) = 0 == -d + b_1 + c = 0 ''F(A(2,1)) = 0 == b_1 = 0 == c = d ''F(A(k+1,k)) = 0 para 2 = k = n-2 == b_k = 0 ''F(A(n,n-1)) = 0 == -c + b_(n-1) = 0 '' ''Assim: ''F = c*(-L_1 - L_n + C_(n-1) + T + S). '' ''Finalmente, F(A(2,2)) = 0 == c = 0. '' ''Logo, a_i = b_j = c = d = 0 e, portanto, os 2n+1 funcionais acima são L.I. ''e, portanto, o espaço dos quadrados mágicos nxn tem dimensão n^2 - (2n+1) ''= n^2 - 2n - 1. '' ''[]s, ''Claudio. A demonstração da independência dos funcionais está ok, mas isso mostra que se Z é o conjunto das matrizes n x n tais que todos esses funcionais se anulam, então Z (na verdade um subespaço de M(nxn)) é tal que dim Z = dim M(nxn) - dim(F), onde por F é o subespaço gerado pelos 2n + 2 funcionais em questão no dual de M(nxn), isto é, dim Z = n^2 - (2n + 1) = n^2 - 2n - 1. Este resultado é mais geral: Se Z é o espaço dos zeros dos funcionais f_1, ..., f_k, que estão no dual de V, então dim Z = dim V - dim (f_1, ..., f_k). Mas claramente a matriz A com todas as coordenadas 1 satisfaz L_1(A) = ... = L_n(A) = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A) = n 0, assim dim Q = dim Z + 1 (Q = conjunto das matrizes A que satisfazem L_1(A) = ... = L_n(A) = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A), ou seja, dos quadrados mágicos, um subespaço vetorial). Dá para provar que dim Q = dim Z + 1 (naturalmente um resultado mais geral válido para quaisquer funcionais), logo dim Q = dim Z + 1 = n^2 - 2n. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Quadrado Mágico
on 06.04.05 22:14, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Cláudio ''-- Mensagem Original -- ''Date: Wed, 6 Apr 2005 17:46:51 -0300 ''Subject: [obm-l] Quadrado Mágico ''From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Acho que sei como demonstrar que L_i (1=i=n), C_j (1=j=n-1), T e S são ''funcionais lineares L.I. '' ''Suponhamos que existam escalres a_i (1=i=n), b_j (1=j=n), c e d tais ''que o funcional linear: ''F = SOMA(1...n) a_i*L_i + SOMA(1...n-1) b_j*C_j + c*T + d*S ''seja identicamente nulo. '' ''Seja A(i,j) a matriz cujo coeficiente (i,j) é 1 e todos os demais são 0. '' ''F(A(1,n)) = 0 == a_1 + d = 0 ''F(A(n,n)) = 0 == a_n + c = 0 ''F(A(k,n)) = 0 para 2 = k = n-1 == a_k = 0. '' ''Ou seja, já podemos escrever: ''F = -d*L_1 - c*L_n + SOMA(1..n-1) b_j*C_j + c*T + d*S. '' ''F(A(1,1)) = 0 == -d + b_1 + c = 0 ''F(A(2,1)) = 0 == b_1 = 0 == c = d ''F(A(k+1,k)) = 0 para 2 = k = n-2 == b_k = 0 ''F(A(n,n-1)) = 0 == -c + b_(n-1) = 0 '' ''Assim: ''F = c*(-L_1 - L_n + C_(n-1) + T + S). '' ''Finalmente, F(A(2,2)) = 0 == c = 0. '' ''Logo, a_i = b_j = c = d = 0 e, portanto, os 2n+1 funcionais acima são L.I. ''e, portanto, o espaço dos quadrados mágicos nxn tem dimensão n^2 - (2n+1) ''= n^2 - 2n - 1. '' ''[]s, ''Claudio. A demonstração da independência dos funcionais está ok, mas isso mostra que se Z é o conjunto das matrizes n x n tais que todos esses funcionais se anulam, então Z (na verdade um subespaço de M(nxn)) é tal que dim Z = dim M(nxn) - dim(F), onde por F é o subespaço gerado pelos 2n + 2 funcionais em questão no dual de M(nxn), isto é, dim Z = n^2 - (2n + 1) = n^2 - 2n - 1. Este resultado é mais geral: Se Z é o espaço dos zeros dos funcionais f_1, ..., f_k, que estão no dual de V, então dim Z = dim V - dim (f_1, ..., f_k). Mas claramente a matriz A com todas as coordenadas 1 satisfaz L_1(A) = ... = L_n(A) = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A) = n 0, assim dim Q = dim Z + 1 (Q = conjunto das matrizes A que satisfazem L_1(A) = ... = L_n(A) = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A), ou seja, dos quadrados mágicos, um subespaço vetorial). Dá para provar que dim Q = dim Z + 1 (naturalmente um resultado mais geral válido para quaisquer funcionais), logo dim Q = dim Z + 1 = n^2 - 2n. []s, Daniel Claro! Eu esqueci justamente de levar em conta a condicao de quadrado magico... Uma forma mais elementar de ver isso eh observar que o espaco dos quadrados magicos eh justamente o espaco-solucao do seguinte sistema de 2n equacoes lineares homogeneas (e linearmente independentes, como demonstrado acima) em n^2 incognitas: L_1 - T = 0 L_2 - T = 0 ... L_n - T = 0 C_1 - T = 0 C_2 - T = 0 ... C_(n-1) - T = 0 S - T = 0 Logo, o espaco solucao do sistema (igual a Q) tem dimensao n^2 - 2n. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Quadrado Mágico
on 06.04.05 22:14, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: A demonstração da independência dos funcionais está ok, mas isso mostra que se Z é o conjunto das matrizes n x n tais que todos esses funcionais se anulam, então Z (na verdade um subespaço de M(nxn)) é tal que dim Z = dim M(nxn) - dim(F), onde por F é o subespaço gerado pelos 2n + 2 funcionais em questão no dual de M(nxn), isto é, dim Z = n^2 - (2n + 1) = n^2 - 2n - 1. Este resultado é mais geral: Se Z é o espaço dos zeros dos funcionais f_1, ..., f_k, que estão no dual de V, então dim Z = dim V - dim (f_1, ..., f_k). Mas claramente a matriz A com todas as coordenadas 1 satisfaz L_1(A) = ... = L_n(A) = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A) = n 0, assim dim Q = dim Z + 1 (Q = conjunto das matrizes A que satisfazem L_1(A) = ... = L_n(A) = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A), ou seja, dos quadrados mágicos, um subespaço vetorial). Dá para provar que dim Q = dim Z + 1 (naturalmente um resultado mais geral válido para quaisquer funcionais), logo dim Q = dim Z + 1 = n^2 - 2n. []s, Daniel Claro! Eu esqueci da condicao de que as matrizes sao quadrados magicos... Uma forma mais elementar de ver isso eh observar que o espaco dos quadrados magicos eh justamente o espaco-solucao de um sistema linear homogeneo de 2n equacoes em n^2 incognitas. As equacoes sao: L_1 - T = 0 ... L_n - T = 0 C_1 - T = 0 ... C_(n-1) - T = 0 S - T = 0 Como jah vimos, estas equacoes sao L.I. jah que os funcionais lineares correspondentes sao L.I. Logo, a dimensao do espaco solucao eh n^2 - 2n = dim(Q). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
