[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci e Razão Áurea
Poxa, alguém tem um exemplo de uma sequencia x_n que sempre é positiva mas o limite não é? Eu acho que 1/n tende a zero sempre sendo maior que zero, mas tem que tomar cuidado com o estritamente positivo. P.S.: um treco legal sobre racionais tendendo a irracionais é o artigo do Gugu na Eureka! 3, sobre frações contínuas. Se eu não me engano os F/F são reduzidas da fração contínua da razão áurea. Em 27/10/10, Ralph Teixeiraralp...@gmail.com escreveu: Como pode uma razão de números inteiros convergir para um número irracional ? Bom, como ilustração, pi é irracional, e é o limite da sequencia: 3 3,1=31/10 3,14=314/100 3,141=3141/1000 3,1415=31415/1 ... Acho que este exemplo deve te convencer que qualquer número irracional é limite de uma sequencia de racionais (razões entre inteiros). ---///--- Para ponderar: raciocínios do tipo: se cada x_n tem a propriedade P, então lim(x_n) tem a propriedade P são muito naturais. Infelizmente, este tipo de raciocínio está frequentemente errado! Por exemplo, seu espanto acima seria representado pela frase: se cada x_n é racional (quociente de inteiros), então lim(x_n), se existir, também será. (FALSO!) Outras frases FALSAS do mesmo tipo (todos os limites são quando n-+Inf): se cada x_n é positivo, então lim(x_n) é positivo. se cada x_n é menor que 1, então lim(x_n) é menor que 1 (que, no fundo no fundo, é o problema que o pessoal tem com 0,9...=1) se cada uma das funções f_n(x) é contínua, então f(x)=lim f_n(x) é contínua se cada uma das funções f_n(x) é derivável, então f(x)=lim f_n(x) é derivável Bom, e assim por diante. O que eu quero dizer é que passar um raciocínio ao limite é perigoso (mas, quando funciona, é bem legal) Abraço, Ralph 2010/10/27 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Pessoal, Pelo que lembro, a razão entre dois números consecutivos(an+1/an), da sequência Fibonacci converge para 1,61834 quando n tende a infinito. Porém, pelo que lembro, tb, este número é um número irracional. Como pode uma razão de números inteiros convergir para um número irracional ? Abs Felipe -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Quadrinhos, histórioas e afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Um pouco sobre elétrons em movimento http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci e Razão Áurea
Olá,
Outra questão interessante é perceber que dizer que uma sequência {a_k}
converge para L não implica que a_j = L para algum j. Caso contrário, no
exemplo da sequência de Fibonacci, L = phi deveria ser racional.
Adalberto
Em 27 de outubro de 2010 13:41, Daniel da Silva Nunes
klein...@globo.comescreveu:
Pois é! Interessante, não? Uma das formas de ver isso é por indução sobre n
e usando a definição da seqüência de Fibonacci:
a_(n+1) = a_n + a_(n-1)
a_2 = 1
a_1 = 0
(não faz muita diferença os termos iniciais da sequência, desde que, claro,
funcionem para frente)
Note que, para a_3, a_2 e a_1, temos o arranjo abaixo:
Q_2 = a_3/a_2 = (a_2 + a_1)/a_2 = 1 + a_2/a_1 = 1 + 1/(a_1/a_2) = 1
A partir daí é fácil provar por indução que a_(n+1)/a_n pode ser escrito
como fração contínua com todos os termos iguais a 1, salvo o último, pois
Q_n = a_(n+1) / a_n = 1 + 1/(a_n/a_(n-1)) = 1 + 1/Q_(n-1)
Com isso, quando n tende a infinito, a razão tende à fração contínua com
todos os termos iguais a um:
Q_n -- Q = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + . = [1;1,1,1,1,1,1...]
Para descobrir seu valor, note que Q = 1 + 1/Q.
Q é a raiz positiva, justamente a razão áurea (1 + raiz(5))/ 2.
Outra forma poderia ser através da relação de recorrência usando o
polinômio característico (não tentei). Lá você consegue ver como os
irracionais servem para formar cada número de Fibonacci!
[]s,
Daniel
Em 27 de outubro de 2010 12:15, luiz silva
luizfelipec...@yahoo.com.brescreveu:
Pessoal,
Pelo que lembro, a razão entre dois números consecutivos(an+1/an), da
sequência Fibonacci converge para 1,61834 quando n tende a infinito.
Porém, pelo que lembro, tb, este número é um número irracional.
Como pode uma razão de números inteiros convergir para um número
irracional ?
Abs
Felipe
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci e Razão Áurea
Ola Bernardo, E é possível encontrar a série para qqer irracional algébrico(não sei se usei o termo certo), tipo 2^(1/2) ou x^(a/b) , com a,b e x naturais, e outros ? De qqer forma, é muito estranho, contra-intuitivosinistro...rsrsO que parece é que todo limite que dá oo/oo representa, na realidade, um irracional. Abs Felipe --- Em qua, 27/10/10, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci e Razão Áurea Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 27 de Outubro de 2010, 13:00 2010/10/27 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Pessoal, Pelo que lembro, a razão entre dois números consecutivos(an+1/an), da sequência Fibonacci converge para 1,61834 quando n tende a infinito. Porém, pelo que lembro, tb, este número é um número irracional. Como pode uma razão de números inteiros convergir para um número irracional ? Felipe: o problema é que os racionais e os irracionais formam um queijo infinitamente esburacado. Você pode pensar os racionais como o queijo, e os irracionais como os buracos. Você tem uma poeirinha de queijo, que tem buracos infinitamente pequenos do lado... Daí, parece razoável que, para chegar num buraco, você pode vir andando pelo queijo até o limite! Talvez o exemplo mais fácil que me vêm à mente é que os irracionais têm expansão decimal não periódica. Mas quando você trunca um irracional, o que você obtém é um racional... E se você vai truncando cada vez mais longe, você converge. Com esse procedimento, você pode começar com um irracional qualquer, e, unicamente pelos racionais, chegar nos irracionais! Para citar umas propriedades nesse sentido (que juntas constituem a melhor formalização do queijo infinitamente esburacado, sem falar como os buracos estão repartidos, que é um problema de medida): Todo racional é limite de irracionais Todo irracional é limite de racionais Todo racional é limite de racionais (diferentes entre si !!) Todo irracional é limite de irracionais (idem) Abs Felipe Existe uma razão mais profunda para o que você acabou de dizer (mas não para o resto das proposições acima). O conjunto dos irracionais é, de certa forma, *definido* como Todos os limites que os racionais podem ter, e que não são racionais. Se você partir disso (o que é feito em grande parte dos livros de Análise / Topologia, que são os que tratam dessa questão), então, simplesmente *por definição*, os irracionais são limites de racionais ! (E você nem sabe se dá para fazer irracionais como limites de irracionais, mas isso é um outro problema). Abraços de Dedekind, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
