[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] f(f(x))_=_x^2_-_1996_é_impossível
Oi Ricardo. Vc não pode fazer isso, já que não existe garantia de que f é derivável. Abraços, Yuri -- Mensagem original -- diretamente da lista... f(f(x))=x^2-1996..(1) derivando: f '(f(x)).f '(x)=2x ..(2) x^2-1996=(-x)^2-1996, entao: f(f(-x))=f(f(x))=x^2-1996, derivando: f '(f(-x)).f '(-x).(-1)=2x -- -f '(f(x)).f '(-x)=2x -- f '(x)=-f '(-x) f '(0)=-f '(0) -- f '(0)=0 fazendo f(x)=0 em (2) temos f '(0).f '(x)=2x=0 -- x=0 -- f(0)=0. Mas de (1) -- f(f(0))=-1996 usando f(0)=0 chegamos a f(0)=-1996. Logo a tal funcao nao existe. - Original Message - From: Bruno Lima To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, June 06, 2003 7:18 PM Subject: Re: [obm-l] f(f(x))_=_x^2_-_1996_é_impossível Provar que não existe nenhuma função f: R - R tal que: f(f(x)) = x^2 - 1996. Desculpem a besteira...F não tem pontos fixos ! -- Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] f(f(x))_=_x^2_-_1996_é_impossível
bom, obrigado...na verdade essa solução não é minha, eu tirei da lista...de qualquer maneira obrigado. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, June 07, 2003 11:23 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] f(f(x))_=_x^2_-_1996_é_impossível Oi Ricardo. Vc não pode fazer isso, já que não existe garantia de que f é derivável. Abraços, Yuri -- Mensagem original -- diretamente da lista... f(f(x))=x^2-1996..(1) derivando: f '(f(x)).f '(x)=2x ..(2) x^2-1996=(-x)^2-1996, entao: f(f(-x))=f(f(x))=x^2-1996, derivando: f '(f(-x)).f '(-x).(-1)=2x -- -f '(f(x)).f '(-x)=2x -- f '(x)=-f '(-x) f '(0)=-f '(0) -- f '(0)=0 fazendo f(x)=0 em (2) temos f '(0).f '(x)=2x=0 -- x=0 -- f(0)=0. Mas de (1) -- f(f(0))=-1996 usando f(0)=0 chegamos a f(0)=-1996. Logo a tal funcao nao existe. - Original Message - From: Bruno Lima To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, June 06, 2003 7:18 PM Subject: Re: [obm-l] f(f(x))_=_x^2_-_1996_é_impossível Provar que não existe nenhuma função f: R - R tal que: f(f(x)) = x^2 - 1996. Desculpem a besteira...F não tem pontos fixos ! --- --- Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] f(f(x))_=_x^2_-_1996_é_impossível
Se conseguirmos provar que a joça e diferenciavel,acaba.Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros colegas: Estou com dificuldades num problema que caiu no Torneio das Cidades de 1996: Provar que não existe nenhuma função f: R - R tal que: f(f(x)) = x^2 - 1996. Agradeço qualquer ajuda. Um abraço, Claudio.Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
Re: [obm-l] f(f(x))_=_x^2_-_1996_é_impossível
Na verdade não estou ajudando em nada, mas já procurou por pontos fixos? Pontos do tipo f(x)=xCláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros colegas: Estou com dificuldades num problema que caiu no Torneio das Cidades de 1996: Provar que não existe nenhuma função f: R - R tal que: f(f(x)) = x^2 - 1996. Agradeço qualquer ajuda. Um abraço, Claudio.Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
Re: [obm-l] f(f(x))_=_x^2_-_1996_é_impossível
Provar que não existe nenhuma função f: R - R tal que: f(f(x)) = x^2 - 1996. Desculpem a besteira...F não tem pontos fixos !Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
[obm-l] Re: [obm-l] f(f(x))_=_x^2_-_1996_é_impossível
diretamente da lista... f(f(x))=x^2-1996 ..(1) derivando: f '(f(x)).f '(x)=2x..(2) x^2-1996=(-x)^2-1996, entao: f(f(-x))=f(f(x))=x^2-1996, derivando: f '(f(-x)).f '(-x).(-1)=2x -- -f '(f(x)).f '(-x)=2x -- f '(x)=-f '(-x) f '(0)=-f '(0) -- f '(0)=0 fazendo f(x)=0 em (2) temos f '(0).f '(x)=2x=0 -- x=0 -- f(0)=0. Mas de (1) -- f(f(0))=-1996 usando f(0)=0 chegamos a f(0)=-1996. Logo a tal funcao nao existe. - Original Message - From: Bruno Lima To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, June 06, 2003 7:18 PM Subject: Re: [obm-l] f(f(x))_=_x^2_-_1996_é_impossível Provar que não existe nenhuma função f: R - R tal que: f(f(x)) = x^2 - 1996. Desculpem a besteira...F não tem pontos fixos ! Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
[obm-l] Re: [obm-l] f(f(x))_=_x^2_-_1996_é_impossível
Acho que consegui fazer. Algumas contas são muio extensas em eu acabei designando alguns números reais cheios de raízes quadradas de inteiros por x1, x2, x3 e x4. Procure pontos fixos, ou seja, valores de x de modo que f(x) = x = f(f(x)) = f(x) = x. Temos assim a equação x^2- 1996 = x, onde temos duas raízes, digamos x1 e x2, com x1 diferente de x2. Evidentemente temos que x1 + x2 = 1 e x1.x2 = - 1996. Repare quef(f(f(f(x = f(f(x^2 - 1996)) = (x^2 - 1996)^2 - 1996 Agora procuremos pontos fixos de de f(f(f(f(x, ou seja, quando que f(f(f(f(x = x Temos a seguinte equação: (x^2 - 1996)^2 - 1996 =x = x^4 - 4992x^2 - x + 1996^2 - 1996 = 0 onde temos quatro soluções: x1 e x2 (que já são pontos fixos de f(x)) e x3 e x4, distintos entre si edistintos de x1 e x2. A saída da questão é observar que x3 + x4 = - 1 e x3.x4 = - 1995 = x3(- 1 - x3) = - 1995 = x3 = 1995 - x3^2 =- 1 - x4 =1995 - x3^2 = x4 = x3^2 - 1996 e x3 = x4^2 - 1996 Por outro lado: f(f(x3)) = x3^2 -1996 = x4 e f(f(x4)) = x4^2 -1996 = x3 Sabemos que f(f(f(x))) = f(x^2 - 2) = f(x)^2 - 1996 Assim: f(f(f(x3))) = f(x4) = f(x3)^2 -1996 e f(f(f(x4))) = f(x3) = f(x4)^2 - 1996 Substituindo temos que: f(x3) = [f(x3)^2 - 1996]^2 -1996 = f(x3) = x1, x2, x3, ou x4 Se f(x3) = x1 ou x2 teríamos que f(f(x3)) = f(x1 ou x2) = x1 ou x2, que é um absurso pois f(f(x3)) = x4 Se f(x3) = x3 teríamos que x3 é ponto fixo de f(x), que é falso pois os únicos pontos fixos de f(x) são x1 e x2. Portanto, f(x3) = x4 = f(f(x3)) = f(x4) = x4 = f(x4) que é uma contradição pois x4 não é ponto fixo de f(x). Assim, não existe f(x) que satisfaça f(f(x)) = x^2 - 1996. Bem, acho que fiz certo, mas agradeceria se alguém pudesse fazer alguns comentários sobrecertas passagens desta solução, posso ter errado alguma coisa... Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira - Original Message - From: Bruno Lima To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, June 06, 2003 6:32 PM Subject: Re: [obm-l] f(f(x))_=_x^2_-_1996_é_impossível Na verdade não estou ajudando em nada, mas já procurou por pontos fixos? Pontos do tipo f(x)=xCláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros colegas: Estou com dificuldades num problema que caiu no Torneio das Cidades de 1996: Provar que não existe nenhuma função f: R - R tal que: f(f(x)) = x^2 - 1996. Agradeço qualquer ajuda. Um abraço, Claudio. Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
Re: [obm-l] f(f(x))_=_x^2_-_1996_é_impossível
Boa ideia: g(x)=x^2-1996 tem dois pontos fixos e dois pontos periodicos de periodo 2 (pontos x e y tais que f(x)=y e f(y)=x) - desenhem o grafico de g(x) para ver isso. Por outro lado, como f(f(x))=g(x), um ponto periodico de periodo 2 de g e' um ponto periodico de periodo 4 de f: x, f(x), f(f(x))=y, f(f(f(x)))=f(y) sao distintos e f(f(f(f(x=x. Mas entao teriamos pelo menos 4 pontos periodicos de periodo 2 para g (x, f(x), y e f(y)), mas temos apenas 2, absurdo. Abracos, Gugu Na verdade não estou ajudando em nada, mas já procurou por pontos fixos? Pontos do tipo f(x)=x Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote:Caros colegas: Estou com dificuldades num problema que caiu no Torneio das Cidades de 1996: Provar que não existe nenhuma função f: R - R tal que: f(f(x)) = x^2 - 1996. Agradeço qualquer ajuda. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
