Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-25 Por tôpico Paulo Santa Rita 
Ola Eduardo e demais
colegas desta lista ... OBM-L

Eu disse que a solucao era truculenta porque nao parei para rever a
solucao, procurando melhora-la de alguma forma. Publiquei o que fui
escrevendo conforme vinha na minha cabeca. Mas o que eu queria mesmo e
ver voce novamente aqui, aumentando o nivel das discussoes da lista.

Quando eu ainda era crianca, eu li a demonstracao do Arquimedes
segundo a qual a area de um segmento da parabola e 4/3 do triangulo de
mesma base e igual altura. Ele usava o famoso metodo da exaustao, um
dos precurssores do nosso atual Calculo Integral.  Resolvi entao fase
algo parecido com a hiperbole. Eu desejava calcular a area de um
segmento hiperbolico ( sem usar Calculo Dif ou/e Calculo Int, mesmo
porque na epoca eu nao conhecia estas ferramentas ) em funcao da area
do triangulo otimo, vale dizer, do traingulo com mesma  base e igual
altura.

Naquela epoca, o pomposo e orgulhoso titulo que imaginei foi : Area
de um segmento hiperbolico pelo metodo da exaustao de Arquimedes

E olha que nao so e possivel  calcular essa area como tambem se
descobre outras coisas realmente notaveis ... E entao, como fazer
isso, isto e, SEM USAR CALCULO DIF E INT,  como calcular a area de um
segmento hiperbolico em funcao do triangulo que tem a mesma base do
segmento hiperbolico ( uma corda da hiperbole ) e  altura ?

Fica o problema .

Um abraco a todos !
PSR,2250509082F



2009/5/25 Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br:
 Viva Paulo, Carlos e colegas da lista.

 Desculpem  meu atraso mas não recebí sua resposta no meu e-mail e agora, por
 acaso encontrei-a (ou as) diretamente na Lista. Estranho. Mas navegando na
 Internet muitas vezes sinto-me como na Intergaláctica. Pudera. Fui criado
 tendo tambores e sinais de fumaça como importantes meios de comunicação (
 pelo menos nos westerns das matinês de domingo).

 Mas vamos aos triângulos ou aos inteiros.

 Como sempre, seu trabalho é primoroso Paulo, entretanto não é difíci
 deixá-lo um pouco menos truculento, como você diz, i.e, diminuir um pouco
 a mão de obra.

 Mantenho sua simbologia para os lados (A,B e C) , mas, como vc. mesmo
 observou no item 1), sendo X,Y e Z inteiros acho que fica mais comodo
 trabalhar com x=X/2, y=Y/2 e z=Z/2, inteiros positivos ( pares ou impares).

 Assim sua expressão (1) fica xyz = 4(x+y+z) e XY = 48 fica como xy = 12.

 Agora, considerando x = y = z ( equivale a C = B = A) , temos z.x^2 =
 12.z  ou

                           x =3 (*).

 Também obtemos z = 4.(x+y)/(xy-4) (**), que só admite uma solução com z
 inteiro positivo e x e y ambos impares, dentro do intervalo

      4  xy = 12   que é  (x,yz) = (1,5,24) correspondendo ao triângulo
 (A,B,C) = (29,25,6).

 Soluções com x e y de paridades diferentes exigem  o denominador de (**) xy
 - 4

 a) igual a 2 que leva a xy = 6 com soluções (x,y,z) = (1,6,14)
 correspondente a

    (A,B,C) = (20,15,7)    e   (x,y,z) = (2,3,10) = (A,B,C) = (13,12,5).

 b) igual a 4 que leva a xy = 8 com a unica possibilidade (x,y,z) = (1,8,9)
 correspondendo

    a (A,B,C) = (17,10,9).

 A unica solução com x e y ambos pares é x = 2 devido a condição (*)  e y = 4
 com
 z = ¨6, já que para x=2 e y = 6 teriamos z = 4 o que contraria a escolha y
 =z (e que daria o mesmo triângulo que estamos obtendo, apenas permutando
 dois lados).
 Corresponde a (A,B,C) = (10,8,6).

 Portanto sua solução está correta.

 Um abraço.

 Eduardo Wilner



 
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Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-25 Por tôpico lucianarodriggues 

Em 25/05/2009 08:47, Paulo Santa Rita  paulo.santar...@gmail.com  escreveu:Ola Eduardo e demaiscolegas desta lista ... OBM-LEu disse que a solucao era "truculenta" porque nao parei para rever asolucao, procurando melhora-la de alguma forma. Publiquei o que fuiescrevendo conforme vinha na minha cabeca. Mas o que eu queria mesmo ever voce novamente aqui, aumentando o nivel das discussoes da lista.Quando eu ainda era crianca, eu li a demonstracao do Arquimedessegundo a qual a area de um segmento da parabola e 4/3 do triangulo demesma base e igual altura. Ele usava o famoso "metodo da exaustao", umdos precurssores do nosso atual Calculo Integral.  Resolvi entao fasealgo parecido com a hiperbole. Eu desejava calcular a area de umsegmento hiperbolico ( sem usar Calculo
  Dif ou/e Calculo Int, mesmoporque na epoca eu nao conhecia estas ferramentas ) em funcao da areado triangulo otimo, vale dizer, do traingulo com mesma  base e igualaltura.Naquela epoca, o pomposo e orgulhoso titulo que imaginei foi : "Areade um segmento hiperbolico pelo metodo da exaustao de Arquimedes"E olha que nao so e possivel  calcular essa area como tambem sedescobre outras coisas realmente notaveis ... E entao, como fazerisso, isto e, SEM USAR CALCULO DIF E INT,  como calcular a area de umsegmento hiperbolico em funcao do triangulo que tem a mesma base dosegmento hiperbolico ( uma corda da hiperbole ) e  altura ?Fica o problema .Um abraco a todos !PSR,2250509082F2009/5/25 Eduardo Wilner :> Viva Paulo, Carlos e colegas da lista.>> Desculpem  meu atraso mas não recebí sua resposta no meu e-mail e agora, por> acaso e
 ncontrei-a (ou as) diretamente na Lista. Estranho. Mas navegando na> Internet muitas vezes sinto-me como na Intergaláctica. Pudera. Fui criado> tendo tambores e sinais de fumaça como importantes meios de comunicação (> pelo menos nos westerns das matinês de domingo).>> Mas vamos aos triângulos ou aos inteiros.>> Como sempre, seu trabalho é primoroso Paulo, entretanto não é difíci> deixá-lo um pouco menos "truculento", como você diz, i.e, diminuir um pouco> a mão de obra.>> Mantenho sua simbologia para os lados (A,B e C) , mas, como vc. mesmo> observou no item 1), sendo X,Y e Z inteiros acho que fica mais comodo> trabalhar com x=X/2, y=Y/2 e z=Z/2, inteiros positivos ( pares ou impares).>> Assim sua expressão (1) fica xyz = 4(x+y+z) e XY =< 48 fica como xy =< 12.>> Agora, considerando x =< y =< z ( equivale a C =< B =< A) , temos z.x^2 =<> 12.z  ou>>         
                   x =<3 (*).>> Também obtemos z = 4.(x+y)/(xy-4) (**), que só admite uma solução com z> inteiro positivo e x e y ambos impares, dentro do intervalo>>      4 < xy =< 12   que é  (x,yz) = (1,5,24) correspondendo ao triângulo> (A,B,C) = (29,25,6).>> Soluções com x e y de paridades diferentes exigem  o denominador de (**) xy> - 4>> a) igual a 2 que leva a xy = 6 com soluções (x,y,z) = (1,6,14)> correspondente a>>    (A,B,C) = (20,15,7)    e   (x,y,z) = (2,3,10) => (A,B,C) = (13,12,5).>> b) igual a 4 que leva a xy = 8 com a unica possibilidade (x,y,z) = (1,8,9)> correspondendo>>    a (A,B,C) = (17,10,9).>> A unica solução com x e y ambos pares é x = 2 devido a condição (*)  e y = 4> com> z = ¨6, já que para x=2 e y = 6 teriamos z = 4 o que contraria a escolha y> => dois lados).> Corresponde a (A,B,C) = (10,8,6).>> Portanto sua solução está correta.>> Um abraço.>> Eduardo Wilner > Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 -> Celebridades - Música - Esportes=Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
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Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-25 Por tôpico lucianarodriggues 
Em 25/05/2009 02:39, Eduardo Wilner  eduardowil...@yahoo.com.br  escreveu:




Viva Paulo, Carlos e colegas da lista.Desculpem  meu atraso mas não recebí sua resposta no meu e-mail e agora, por acaso encontrei-a (ou as) diretamente na Lista. Estranho. Mas navegando na Internet muitas vezes sinto-me como na Intergaláctica. Pudera. Fui criado tendo tambores e sinais de fumaça como importantes meios de comunicação ( pelo menos nos westerns das matinês de domingo).Mas vamos aos triângulos ou aos inteiros.Como sempre, seu trabalho é primoroso Paulo, entretanto não é difíci deixá-lo um pouco menos "truculento", como você diz, i.e, diminuir um pouco a mão de obra.Mantenho sua simbologia para os lados (A,B e C) , mas, como vc. mesmo observou no item 1), sendo X,Y e Z inteiros acho que fica mais comodo trabalhar com x=X/2, y=Y/2 e z=Z/2, inteiros positivos ( pares ou impares).Assim sua expressão (1) fica xyz = 4(x+y+z) e XY = 48 fica como xy =
  12.Agora, considerando x = y = z ( equivale a C = B = A) , temos z.x^2 = 12.z  ou                           x =3 (*).Também obtemos z = 4.(x+y)/(xy-4) (**), que só admite uma solução com z inteiro positivo e x e y ambos impares, dentro do intervalo     4  xy = 12   que é  (x,yz) = (1,5,24) correspondendo ao triângulo (A,B,C) = (29,25,6). Soluções com x e y de paridades diferentes exigem  o denominador de (**) xy - 4 a) igual a 2 que leva a xy = 6 com soluções (x,y,z) = (1,6,14) correspondente a      (A,B,C) = (20,15,7)    e   (x,y,z) = (2,3,10) = (A,B,C) = (13,12,5).b) igual a 4 que leva a xy = 8 com a unica possibilidade (x,y,z) = (1,8,9) correspondendo      a (A,B,C) = (17,10,9).A unica solução com x e y ambos pares é x = 2 devido a condição (*)  e y = 4 com z = Â
 ¨6, já que para x=2 e y = 6 teriamos z = 4 o que contraria a escolha y =Corresponde a (A,B,C) = (10,8,6).Portanto sua solução está correta.Um abraço.Eduardo Wilner     





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Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-24 Por tôpico Eduardo Wilner 
Viva Paulo, Carlos e colegas da lista.

Desculpem  meu atraso mas não recebí sua resposta no meu e-mail e agora, por 
acaso encontrei-a (ou as) diretamente na Lista. Estranho. Mas navegando na 
Internet muitas vezes sinto-me como na Intergaláctica. Pudera. Fui criado tendo 
tambores e sinais de fumaça como importantes meios de comunicação ( pelo menos 
nos westerns das matinês de domingo).

Mas vamos aos triângulos ou aos inteiros.

Como sempre, seu trabalho é primoroso Paulo, entretanto não é difíci deixá-lo 
um pouco menos truculento, como você diz, i.e, diminuir um pouco a mão de 
obra.

Mantenho sua simbologia para os lados (A,B e C) , mas, como vc. mesmo observou 
no item 1), sendo X,Y e Z inteiros acho que fica mais comodo trabalhar com 
x=X/2, y=Y/2 e z=Z/2, inteiros positivos ( pares ou impares).

Assim sua expressão (1) fica xyz = 4(x+y+z) e XY = 48 fica como xy = 12.

Agora, considerando x = y = z ( equivale a C = B = A) , temos z.x^2 = 
12.z  ou 

                          x =3 (*).

Também obtemos z = 4.(x+y)/(xy-4) (**), que só admite uma solução com z inteiro 
positivo e x e y ambos impares, dentro do intervalo

     4  xy = 12   que é  (x,yz) = (1,5,24) correspondendo ao triângulo 
(A,B,C) = (29,25,6). 

Soluções com x e y de paridades diferentes exigem  o denominador de (**) xy - 4 

a) igual a 2 que leva a xy = 6 com soluções (x,y,z) = (1,6,14) correspondente a 
  
   (A,B,C) = (20,15,7)    e   (x,y,z) = (2,3,10) = (A,B,C) = (13,12,5).

b) igual a 4 que leva a xy = 8 com a unica possibilidade (x,y,z) = (1,8,9) 
correspondendo
   
   a (A,B,C) = (17,10,9).

A unica solução com x e y ambos pares é x = 2 devido a condição (*)  e y = 4 
com 
z = ¨6, já que para x=2 e y = 6 teriamos z = 4 o que contraria a escolha y =z 
(e que daria o mesmo triângulo que estamos obtendo, apenas permutando dois 
lados).             
Corresponde a (A,B,C) = (10,8,6).

Portanto sua solução está correta.

Um abraço.

Eduardo Wilner 

    



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Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-20 Por tôpico lucianarodriggues 

Em 19/05/2009 10:46, Paulo Santa Rita  paulo.santar...@gmail.com  escreveu:Ola Wilner e demais colegasdesta lista ... OBM-L,Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !Vem ajudar a levantar o nivelde discussao da nossa lista !Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao erreinenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R oraio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo podeser expressa nos seguintes termos :A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco naexpressao acima, chegaremos a :(A+B-C)(A+
 C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecaodireta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse seenquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos paresou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceirapossibilidade.   Facamos  entao :B+C-A = X,   A+C-B=Y  e   A+B-C = ZConsiderando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dosoutros dois, fica facil ver o seguinte :1) X, Y e Z são inteiros pares2) X+Y+Z = A+B+C3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+YE agora a expressao (1) pode ser colocada assim :XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que astres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menoresque 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualment
 e, nao podem sersimultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.Logo :3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ouigual a 1/48.Seja portanto : XY =< 48 e  XZ  >= 48.Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos queestamos procurando. Para ver como fazer isso, note que :(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16)   =>  16Z+16Y+16X=XYZ  =>16Y+16X = (XY - 16)Z   =>   Z = (16Y + 16X) / (XY - 16)Mas Z >= 48/X. Logo :(16Y + 16X) / (XY - 16) >= 48/X=>  16/X <  Y  =< (24/X)+(X/2)CASO  X=2  ( Y =< 24   e   Z >= 24 )16/2 < Y =< (24/2)+(2/2)  =>  8 < Y =< 13 => Y=10 ou Y=12Y = 10 :Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  => Z = 48A=(10+48)/2=29,  B=(2+48)/2=25  e  C=(2+10)/2=6Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6)ValidoY=12:Z=16(  (
 X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)  => Z = 28A=(12+28)/2=20,  B=(2+28)/2=15  e  C=(2+12)/2=7Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7)Valido***CASO  X=4 ( Y =< 12  e  Z >= 12 )16/4 < Y =< (24/4)+(4/2)  =>  4 < Y =< 8 => Y= 6 ou Y=8Y = 6 :Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  => Z = 20A=(6+20)/2=13,  B=(4+20)/2=12  e  C=(4+6)/2=5Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5)ValidoY=8:Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  => Z = 12A=(8+12)/2=10,  B=(4+12)/2=8  e  C=(4+8)/2=6Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6)Valido***CASO X=6 ( Y =< 8  e  Z >= 8  )16/6 < Y =< (24/6)+(6/2)  =>  8/3 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6Y = 4 :Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  => Z = 20A=(4+20)/2=12,  B=(6+20)/2=13  e  C=(4+6)/2=5Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5)Invalido : ja descobertoY=6:Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20)  => Z = 9.6Invalido : Z nao e inteiro par
 ***CASO X=8 ( Y =< 6  e  Z >= 6  )16/8 < Y =< (24/8)+(8/2)  =>  2 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6Y = 4 :Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  => Z = 12A=(4+12)/2=8,  B=(8+12)/2=10  e  C=(8+4)/2=6Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6)Invalido : ja descobertoY=6:Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/32)  => Z = 7Invalido : Z nao e inteiro par***CASO X=10 ( Y =< 4.8  e  Z >= 4.8  )16/10 < Y =< (24/10)+(10/2)  =>  1.6 < Y =< 7.4 => Y= 2 ou Y=4Y = 2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  => Z = 48A=(2+48)/2=25,  B=(10+48)/2=29  e  C=(10+2)/2=6Triangulo : (A,B,C)=(25,29,6)Invalido : ja descobertoY=4:Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24)  => Z = (28/3)Invalido : Z nao e inteiro par***CASO X=12 ( Y =< 4  e  Z >= 4  )16/12 < Y =< (24/12)+(12/2)  =>  (4/3) < Y =< 8 => Y= 2 ou Y=4Y = 2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)
   => Z = 28A=(2+28)/2=15,  B=(12+28)/2=20  e  C=(12+2)/2=7Triangulo : (A,B,C)=(15,20,7)Invalido : ja descobertoY=4:Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24)  => Z = 8A=(4+8)/2=6,  B=(12+8)/2=10  e  C=(12+4)/2=8Triangulo : (A,B,C)=(6,10,8)Invalido : ja descoberto***CASO X=14 ( Y =< 3.4...  e  Z >= 3.4...  )A partir daqui, devido a restricao acima,  basta analisarmos os casos em que Y=2Y = 2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(16/12)  => Z  nao e inteiro  => otriangulo e invalido***CASO X=16, Y=2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(18/16)  => Z = 18A=(2+18)/2=10,  B=(16+18)/2=17  e  C=(16+2)/2=9Triangulo5 : (A,B,C)=(10,9,17)Valido***CASO X=18, Y=2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(20/20)  => Z = 16A=(2+16)/2=9,  B=(16+18)/2=17  e  C=(2+18)/2=10Triangulo : (A,B,C)=(9,17,10)Invalido : ja descoberto***CASO X=20, Y=2<
 br/>Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(22/24)  => Z = 44/3Invalido : Z nao e inteiro par***CASO X=22, Y=2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(24/28)  => Z

Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-19 Por tôpico Paulo Santa Rita 
Ola Wilner e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !
Vem ajudar a levantar o nivel
de discussao da nossa lista !

Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,
eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei
nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.

Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o
raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode
ser expressa nos seguintes termos :

A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5

Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na
expressao acima, chegaremos a :

(A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)

Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao
direta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse se
enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares
ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira
possibilidade.   Facamos  entao :

B+C-A = X,   A+C-B=Y  e   A+B-C = Z

Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos
outros dois, fica facil ver o seguinte :

1) X, Y e Z são inteiros pares
2) X+Y+Z = A+B+C
3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+Y

E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :

XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :
(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)

Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as
tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores
que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser
simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.
Logo :

3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.
4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou
igual a 1/48.

Seja portanto : XY = 48 e  XZ  = 48.

Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos que
estamos procurando. Para ver como fazer isso, note que :

(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16)   =  16Z+16Y+16X=XYZ  =
16Y+16X = (XY - 16)Z   =   Z = (16Y + 16X) / (XY - 16)

Mas Z = 48/X. Logo :
(16Y + 16X) / (XY - 16) = 48/X=  16/X   Y  = (24/X)+(X/2)
CASO  X=2  ( Y = 24   e   Z = 24 )

16/2  Y = (24/2)+(2/2)  =  8  Y = 13 = Y=10 ou Y=12

Y = 10 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  = Z = 48
A=(10+48)/2=29,  B=(2+48)/2=25  e  C=(2+10)/2=6
Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6)
Valido

Y=12:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)  = Z = 28
A=(12+28)/2=20,  B=(2+28)/2=15  e  C=(2+12)/2=7
Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7)
Valido

***

CASO  X=4 ( Y = 12  e  Z = 12 )

16/4  Y = (24/4)+(4/2)  =  4  Y = 8 = Y= 6 ou Y=8

Y = 6 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  = Z = 20
A=(6+20)/2=13,  B=(4+20)/2=12  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5)
Valido

Y=8:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  = Z = 12
A=(8+12)/2=10,  B=(4+12)/2=8  e  C=(4+8)/2=6
Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6)
Valido

***

CASO X=6 ( Y = 8  e  Z = 8  )

16/6  Y = (24/6)+(6/2)  =  8/3  Y = 7 = Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  = Z = 20
A=(4+20)/2=12,  B=(6+20)/2=13  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5)
Invalido : ja descoberto

Y=6:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20)  = Z = 9.6
Invalido : Z nao e inteiro par

***

CASO X=8 ( Y = 6  e  Z = 6  )

16/8  Y = (24/8)+(8/2)  =  2  Y = 7 = Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  = Z = 12
A=(4+12)/2=8,  B=(8+12)/2=10  e  C=(8+4)/2=6
Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6)
Invalido : ja descoberto

Y=6:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/32)  = Z = 7
Invalido : Z nao e inteiro par

***
CASO X=10 ( Y = 4.8  e  Z = 4.8  )

16/10  Y = (24/10)+(10/2)  =  1.6  Y = 7.4 = Y= 2 ou Y=4

Y = 2
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  = Z = 48
A=(2+48)/2=25,  B=(10+48)/2=29  e  C=(10+2)/2=6
Triangulo : (A,B,C)=(25,29,6)
Invalido : ja descoberto

Y=4:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24)  = Z = (28/3)
Invalido : Z nao e inteiro par

***

CASO X=12 ( Y = 4  e  Z = 4  )

16/12  Y = (24/12)+(12/2)  =  (4/3)  Y = 8 = Y= 2 ou Y=4

Y = 2
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)  = Z = 28
A=(2+28)/2=15,  B=(12+28)/2=20  e  C=(12+2)/2=7
Triangulo : (A,B,C)=(15,20,7)
Invalido : ja descoberto

Y=4:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24)  = Z = 8
A=(4+8)/2=6,  B=(12+8)/2=10  e  C=(12+4)/2=8
Triangulo : (A,B,C)=(6,10,8)
Invalido : ja descoberto

***
CASO X=14 ( Y = 3.4...  e  Z = 3.4...  )

A partir daqui, devido a restricao acima,  basta analisarmos os casos em que Y=2

Y = 2
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(16/12)  = Z  nao e inteiro  = o
triangulo e invalido

***
CASO X=16, Y=2

Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(18/16)  = Z = 18
A=(2+18)/2=10,  B=(16+18)/2=17  e  C=(16+2)/2=9
Triangulo5 : (A,B,C)=(10,9,17)
Valido

***
CASO X=18, Y=2

Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(20/20)  = Z = 16
A=(2+16)/2=9,  B=(16+18)/2=17  e  C=(2+18)/2=10
Triangulo : (A,B,C)=(9,17,10)
Invalido : ja descoberto

***
CASO X=20, Y=2

Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(22/24)  = Z = 44/3
Invalido : Z nao e inteiro par

***
CASO X=22, Y=2

Z=16(  (X+Y) /

Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-19 Por tôpico Carlos Nehab 




Oi, Paulo, Eduardo e colegas,

Uma curiosidade:  o problema de determinar os triângulos de lados
inteiros e cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número,
fixada a unidade, também possui 5 soluções, exatamente as soluções do
problema proposto pelo Eduardo cuja solução você postou. 

Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes...

Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do
Professor de Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns
de seus textos (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de
publicações para apoio aos professores de Matemática e disponível em
seu portal.

O Índice da Revista do Professor de Matemática você pode ver em
http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf

e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível
médio, pois possui centenas de idéias criativas.

O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf

É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma
reforma recentemente e está 1000 vezes melhor.

Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas
Públicas)
http://www.obmep.org.br/

e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país.

Grande abraço,
Nehab


Paulo Santa Rita escreveu:

  Ola Wilner e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !
Vem ajudar a levantar o nivel
de discussao da nossa lista !

Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,
eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei
nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.

Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o
raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode
ser expressa nos seguintes termos :

A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5

Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na
expressao acima, chegaremos a :

(A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)

Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao
direta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse se
enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares
ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira
possibilidade.   Facamos  entao :

B+C-A = X,   A+C-B=Y  e   A+B-C = Z

Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos
outros dois, fica facil ver o seguinte :

1) X, Y e Z são inteiros pares
2) X+Y+Z = A+B+C
3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+Y

E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :

XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :
(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)

Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as
tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores
que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser
simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.
Logo :

3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.
4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou
igual a 1/48.

Seja portanto : XY = 48 e  XZ  = 48.

Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos que
estamos procurando. Para ver como fazer isso, note que :

(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16)   =  16Z+16Y+16X=XYZ  =
16Y+16X = (XY - 16)Z   =   Z = (16Y + 16X) / (XY - 16)

Mas Z = 48/X. Logo :
(16Y + 16X) / (XY - 16) = 48/X=  16/X   Y  = (24/X)+(X/2)
CASO  X=2  ( Y = 24   e   Z = 24 )

16/2  Y = (24/2)+(2/2)  =  8  Y = 13 = Y=10 ou Y=12

Y = 10 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  = Z = 48
A=(10+48)/2=29,  B=(2+48)/2=25  e  C=(2+10)/2=6
Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6)
Valido

Y=12:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)  = Z = 28
A=(12+28)/2=20,  B=(2+28)/2=15  e  C=(2+12)/2=7
Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7)
Valido

***

CASO  X=4 ( Y = 12  e  Z = 12 )

16/4  Y = (24/4)+(4/2)  =  4  Y = 8 = Y= 6 ou Y=8

Y = 6 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  = Z = 20
A=(6+20)/2=13,  B=(4+20)/2=12  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5)
Valido

Y=8:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  = Z = 12
A=(8+12)/2=10,  B=(4+12)/2=8  e  C=(4+8)/2=6
Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6)
Valido

***

CASO X=6 ( Y = 8  e  Z = 8  )

16/6  Y = (24/6)+(6/2)  =  8/3  Y = 7 = Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  = Z = 20
A=(4+20)/2=12,  B=(6+20)/2=13  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5)
Invalido : ja descoberto

Y=6:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20)  = Z = 9.6
Invalido : Z nao e inteiro par

***

CASO X=8 ( Y = 6  e  Z = 6  )

16/8  Y = (24/8)+(8/2)  =  2  Y = 7 = Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  = Z = 12
A=(4+12)/2=8,  B=(8+12)/2=10  e  C=(8+4)/2=6
Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6)
Invalido : ja descoberto

Y=6:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/32)  = Z = 7
Invalido : Z nao e inteiro par

***
CASO X=10 ( Y = 4.8  e  Z = 4.8

Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-19 Por tôpico Paulo Santa Rita 
Ola Nehab e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Poxa, eu nao sabia que a solucao de um problema tao simples poderia
servir de suporte a publicacao de um artigo em revista especializada
... Nao sei se felizmente ou infelizmente, mas, para mim, artigo e
aquilo que traz uma novidade ou contribuicao para a ciencia, o resto e
material de divulgacao ou/e pedagogia, coisas que eu nao conheco bem.
.

Bom, quanto ao seu desafio, eis aqui a explicacao :

Se o inraio de um triangulo e 2, sua area pode ser expressa por 2P,
onde P e o semiperimetro. Ora, isso e precisamente o perimetro do
triangulo. Logo, em tais triangulos, a area e igual ao perimetro.

Agora, amenidades a parte, aqui vai um primeiro problema relativo a
uma pesquisa com a qual me envolvi alguns anos atras. O objetio e
mostrar que toda sequencia da reta definida por mais de uma sentenca (
Ex : Xn=N/2 se N e par; Xn=2N+1 se N e impar ) tem um caminho
equivalente no plano. Muitas vezes fica mais facil estudar a sequencia
equivalente do plano

Vamos ao problema :

Acompanhe o seguinte passeio no plano : (0,0) - (1,0) - (1,1) -
(0,1) -(-1,-1) - ((-1,0) - (-1,-1) -(0,-1) - (1,-1) - (2,-1) -
(2,0) -(2,1)-(2,2)-(1,2)-(0,2)-(-1,2)-(-2,-2)- ...

Verifique que o caminho acima pode ser descrito assim : partindo de
(0,0) e caminhando sempre em sentido anti-horario de forma que jamais
passe por uma posicao ja ocupada anteriormente e mantendo-se, em cada
passo, o mais proximo possivel de (0,0).
.
Descubrar uma relacao de recorrencia (X_n,Y_n) que fornece as
coordenadas do proximo passo do caminho em funcao do(s) passo(s)
anterior(es).

Um Abracao a Todos !
PSR,31905090E05









2009/5/19 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br:
 Oi, Paulo, Eduardo e colegas,

 Uma curiosidade:  o problema de determinar os triângulos de lados inteiros e
 cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número, fixada a unidade,
 também possui 5 soluções, exatamente as soluções do problema proposto pelo
 Eduardo cuja solução você postou.

 Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes...

 Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do Professor de
 Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns de seus textos
 (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de publicações para apoio
 aos professores de Matemática e disponível em seu portal.

 O Índice da Revista do Professor de Matemática você pode ver em
 http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf

 e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível médio,
 pois possui centenas de idéias criativas.

 O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em
 http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf

 É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma
 reforma recentemente e está 1000 vezes melhor.

 Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas
 Públicas)
 http://www.obmep.org.br/

 e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país.

 Grande abraço,
 Nehab


 Paulo Santa Rita escreveu:

 Ola Wilner e demais colegas
 desta lista ... OBM-L,

 Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !
 Vem ajudar a levantar o nivel
 de discussao da nossa lista !

 Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,
 eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei
 nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.

 Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o
 raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode
 ser expressa nos seguintes termos :

 A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5

 Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na
 expressao acima, chegaremos a :

 (A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)

 Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao
 direta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse se
 enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares
 ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira
 possibilidade.   Facamos  entao :

 B+C-A = X,   A+C-B=Y  e   A+B-C = Z

 Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos
 outros dois, fica facil ver o seguinte :

 1) X, Y e Z são inteiros pares
 2) X+Y+Z = A+B+C
 3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+Y

 E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :

 XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :
 (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)

 Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as
 tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores
 que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser
 simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.
 Logo :

 3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.
 4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou
 igual a 1/48.

 Seja portanto : XY = 48 e  XZ  = 48.

 Com as restricoes acima ja e possivel

Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-19 Por tôpico lucianarodriggues 

Em 19/05/2009 13:30, Carlos Nehab  ne...@infolink.com.br  escreveu:


  
  


Oi, Paulo, Eduardo e colegas,

Uma curiosidade:  o problema de determinar os triângulos de lados
inteiros e cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número,
fixada a unidade, também possui 5 soluções, exatamente as soluções do
problema proposto pelo Eduardo cuja solução você postou. 

Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes...

Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do
Professor de Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns
de seus textos (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de
publicações para apoio aos professores de Matemática e disponível em
seu portal.

O Índice da Revista do Professor de Matemática você pode ver em
http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf

e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível
médio, pois possui centenas de idéias criativas.

O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf

É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma
reforma recentemente e está 1000 vezes melhor.

Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas
Públicas)
http://www.obmep.org.br/

e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país.

Grande abraço,
Nehab


Paulo Santa Rita escreveu:

  Ola Wilner e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !
Vem ajudar a levantar o nivel
de discussao da nossa lista !

Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,
eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei
nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.

Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o
raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode
ser expressa nos seguintes termos :

A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5

Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na
expressao acima, chegaremos a :

(A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)

Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao
direta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse se
enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares
ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira
possibilidade.   Facamos  entao :

B+C-A = X,   A+C-B=Y  e   A+B-C = Z

Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos
outros dois, fica facil ver o seguinte :

1) X, Y e Z são inteiros pares
2) X+Y+Z = A+B+C
3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+Y

E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :

XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :
(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)

Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as
tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores
que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser
simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.
Logo :

3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.
4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou
igual a 1/48.

Seja portanto : XY =< 48 e  XZ  >= 48.

Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos que
estamos procurando. Para ver como fazer isso, note que :

(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16)   =>  16Z+16Y+16X=XYZ  =>
16Y+16X = (XY - 16)Z   =>   Z = (16Y + 16X) / (XY - 16)

Mas Z >= 48/X. Logo :
(16Y + 16X) / (XY - 16) >= 48/X=>  16/X <  Y  =< (24/X)+(X/2)
CASO  X=2  ( Y =< 24   e   Z >= 24 )

16/2 < Y =< (24/2)+(2/2)  =>  8 < Y =< 13 => Y=10 ou Y=12

Y = 10 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  => Z = 48
A=(10+48)/2=29,  B=(2+48)/2=25  e  C=(2+10)/2=6
Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6)
Valido

Y=12:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)  => Z = 28
A=(12+28)/2=20,  B=(2+28)/2=15  e  C=(2+12)/2=7
Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7)
Valido

***

CASO  X=4 ( Y =< 12  e  Z >= 12 )

16/4 < Y =< (24/4)+(4/2)  =>  4 < Y =< 8 => Y= 6 ou Y=8

Y = 6 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  => Z = 20
A=(6+20)/2=13,  B=(4+20)/2=12  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5)
Valido

Y=8:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  => Z = 12
A=(8+12)/2=10,  B=(4+12)/2=8  e  C=(4+8)/2=6
Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6)
Valido

***

CASO X=6 ( Y =< 8  e  Z >= 8  )

16/6 < Y =< (24/6)+(6/2)  =>  8/3 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  => Z = 20
A=(4+20)/2=12,  B=(6+20)/2=13  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5)
Invalido : ja descoberto

Y=6:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20)  => Z = 9.6
Invalido : Z nao e inteiro par

***

CASO X=8 ( Y =< 6  e  Z >= 6  )

16/8 < Y =< (24/8)+(8/2)  =>  2 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  => Z = 12
A=(4+12)/2=8,  B=(8+12)/2=10  e  C=(8+4)/2=6
Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6)
Invalido : ja

Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-19 Por tôpico lucianarodriggues 

Em 19/05/2009 15:06, Paulo Santa Rita  paulo.santar...@gmail.com  escreveu:Ola Nehab e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,Poxa, eu nao sabia que a solucao de um problema tao simples poderiaservir de suporte a publicacao de um artigo em revista especializada... Nao sei se felizmente ou infelizmente, mas, para mim, "artigo" eaquilo que traz uma novidade ou contribuicao para a ciencia, o resto ematerial de divulgacao ou/e pedagogia, coisas que eu nao conheco bem..Bom, quanto ao seu desafio, eis aqui a explicacao :Se o inraio de um triangulo e 2, sua area pode ser expressa por 2P,onde P e o semiperimetro. Ora, isso e precisamente o perimetro dotriangulo. Logo, em tais triangulos, a area e igual ao perimetro.Agora, amenidades a parte, aqui vai um prime
 iro problema relativo auma pesquisa com a qual me envolvi alguns anos atras. O objetio emostrar que toda sequencia da reta definida por mais de uma sentenca (Ex : Xn=N/2 se N e par; Xn=2N+1 se N e impar ) tem um "caminho"equivalente no plano. Muitas vezes fica mais facil estudar a sequenciaequivalente "do plano"Vamos ao problema :Acompanhe o seguinte passeio no plano : (0,0) -> (1,0) -> (1,1) ->(0,1) ->(-1,-1) -> ((-1,0) -> (-1,-1) ->(0,-1) -> (1,-1) -> (2,-1) ->(2,0) ->(2,1)->(2,2)->(1,2)->(0,2)->(-1,2)->(-2,-2)-> ...Verifique que o caminho acima pode ser descrito assim : partindo de(0,0) e caminhando sempre em sentido anti-horario de forma que jamaispasse por uma posicao ja ocupada anteriormente e mantendo-se, em cadapasso, o mais proximo possivel de (0,0)..Descubrar uma relacao de recorrencia (X_n,Y_n) que fornece ascoordenadas do "proximo passo" do caminho "em funcao do(s) pass
 o(s)anterior(es).Um Abracao a Todos !PSR,31905090E052009/5/19 Carlos Nehab :> Oi, Paulo, Eduardo e colegas,>> Uma curiosidade:  o problema de determinar os triângulos de lados inteiros e> cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número, fixada a unidade,> também possui 5 soluções, exatamente as soluções do problema proposto pelo> Eduardo cuja solução você postou.>> Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes...>> Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do Professor de> Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns de seus textos> (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de publicações para apoio> aos professores de Matemática e disponível em seu portal.>> O Índice da Revista do Professor de Matemática você pod
 e ver em> http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf>> e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível médio,> pois possui centenas de idéias criativas.>> O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em> http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf>> É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma> reforma recentemente e está 1000 vezes melhor.>> Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas> Públicas)> http://www.obmep.org.br/>> e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país.>> Grande abraço,> Nehab>>> Paulo Santa Rita escreveu:>> Ola Wilner e demais colegas> desta lista ... OBM-L,>> Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !> Vem ajudar a levantar o nivel> de discussao da nossa lista
  !>> Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,> eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei> nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.>> Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o> raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode> ser expressa nos seguintes termos :>> A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5>> Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na> expressao acima, chegaremos a :>> (A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)>> Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao> direta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse se> enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares> ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira> possibilidade.   Facamos  entao :>> B+C-A = X,   A+C
 -B=Y  e   A+B-C = Z>> Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos> outros dois, fica facil ver o seguinte :>> 1) X, Y e Z são inteiros pares> 2) X+Y+Z = A+B+C> 3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+Y>> E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :>> XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :> (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)>> Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as> tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores> que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser> simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.> Logo :>> 3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.> 4) Ao menos uma das fracoes que constituem S

Re: [obm-l] Triangulos - (area)

2009-03-22 Por tôpico Palmerim Soares 
Olá Fabricio!
Você está certo, considerei o lado prolongado como se fosse o lado do
triângulo equilátero EDF, o que não é verdade; esse lado deve ser calculado
pela lei dos cossenos primeiro, como você fez. Muito obrigado pela correção!

Palmerim

2009/3/21 fabrici...@usp.br fabrici...@usp.br

 // Sei que esse email é antigo, mas só hoje abri.

 Palmerim, acredito que o lado do triângulo DEF não seja 1,1 x (AC).

 Chamando de 'x' a medida do lado do triângulo ABC, e 'y' a medida do lado
 do triângulo DEF, e aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo destacado em
 vermelho:

 y^2 = (1,1x)^2 + (0,1x)^2 - 2.(1,1x).(0,1x).cos120
 y^2 = 1,21x^2 + 0,01x^2 - 2.1,1.0,1.x^2.(-0,5)
 y^2 = 1,33x^2

 Sendo A1 = área de ABC e A2 = área de DEF:

 A1/A2 = x^2/y^2 = x^2/(1,33x^2) = 1/1,33 = 100/133. Será que é isso?







 On Oct 15, 2007, at 11:38 , Palmerim Soares wrote:

  Desculpem a falha, mas a razao de semelhanca nao eh 1/10 e sim 11/10 (ou
 10/11) e portanto a razao entre as areas sera 121/100 (ou 100/121).
 (O lado do triangulo maior vale 1 + 1/10 = 11/10)
 Palmerim


 Em 15/10/07, Palmerim Soares palmerimsoa...@gmail.com escreveu:
 Ola Rejane,

 o triangulo DEF tambem eh equilatero (abaixo eu explico), so que,
 natualmente, maior que o triangulo ABC. Ou seja, eles sao semelhantes, com
 razao de semelhanca k = 10/100, ou melhor, k = 1/10. Recorde agora que se a
 razao de semelhanca entre duas figura eh k, entao a razao entre suas areas
 eh k². Portanto, a razao entre as areas sera:
 1/100.

 Por que o triangulo DEF tambem eh equilatero? Repare que os 3 triangulos
 ADE, EBF e CDF (ops!) sao congruentes entre si, pelo caso LAL. Por exemplo,
 considerando os triangulos ADE e EBF, temos que o lado BE eh congruente ao
 AD, o angulo EBF eh congruente ao angulo EAD (ambos de medida igual a 120º)
 e o lado BF eh congruente a AE, e assim, os lados DE e EF tem a mesma
 medida. Usando o mesmo raciocinio, voce conclui que o lado DF tem a mesma
 medida de DE e, consequentemente, de EF, provando queo triangulo DEF eh
 equilatero e possui os mesmos angulos do triangulo ABC (por isso eles sao
 semelhantes).
 Espero que tenha ajudado,

 Um abraco,
 Palmerim



 Em 15/10/07, Rejane rej...@rack.com.br escreveu:
 clip_image001.gif
 Por Favor, poderiam me ajudar com essa questão?


 Obrigada


 Os três lados do triângulo eqüilátero ABC foram prolongados de segmentos
 AD, BE e CF de

 modo que m(AD) = m(BE) = m(CF) e que a medida do segmento AD corresponde a
 10% da

 medida do lado AC.

 Encontrar a razão entre as áreas dos triângulos ABC e DEF.








-- 
Dharmo rakshati rakshatah

O Dharma protege aquele que protege o Dharma

Re: [obm-l] Triangulos - (area)

2009-03-21 Por tôpico fabrici...@usp.br 

// Sei que esse email é antigo, mas só hoje abri.

Palmerim, acredito que o lado do triângulo DEF não seja 1,1 x (AC).

Chamando de 'x' a medida do lado do triângulo ABC, e 'y' a medida do  
lado do triângulo DEF, e aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo  
destacado em vermelho:


y^2 = (1,1x)^2 + (0,1x)^2 - 2.(1,1x).(0,1x).cos120
y^2 = 1,21x^2 + 0,01x^2 - 2.1,1.0,1.x^2.(-0,5)
y^2 = 1,33x^2

Sendo A1 = área de ABC e A2 = área de DEF:

A1/A2 = x^2/y^2 = x^2/(1,33x^2) = 1/1,33 = 100/133. Será que é isso?

inline: triangle_00.gif

inline: triangle_01.gif



On Oct 15, 2007, at 11:38 , Palmerim Soares wrote:

Desculpem a falha, mas a razao de semelhanca nao eh 1/10 e sim  
11/10 (ou 10/11) e portanto a razao entre as areas sera 121/100 (ou  
100/121).

(O lado do triangulo maior vale 1 + 1/10 = 11/10)
Palmerim


Em 15/10/07, Palmerim Soares palmerimsoa...@gmail.com escreveu:
Ola Rejane,

o triangulo DEF tambem eh equilatero (abaixo eu explico), so que,  
natualmente, maior que o triangulo ABC. Ou seja, eles sao  
semelhantes, com razao de semelhanca k = 10/100, ou melhor, k =  
1/10. Recorde agora que se a razao de semelhanca entre duas figura  
eh k, entao a razao entre suas areas eh k². Portanto, a razao entre  
as areas sera:

1/100.

Por que o triangulo DEF tambem eh equilatero? Repare que os 3  
triangulos ADE, EBF e CDF (ops!) sao congruentes entre si, pelo  
caso LAL. Por exemplo, considerando os triangulos ADE e EBF, temos  
que o lado BE eh congruente ao AD, o angulo EBF eh congruente ao  
angulo EAD (ambos de medida igual a 120º) e o lado BF eh congruente  
a AE, e assim, os lados DE e EF tem a mesma medida. Usando o mesmo  
raciocinio, voce conclui que o lado DF tem a mesma medida de DE e,  
consequentemente, de EF, provando queo triangulo DEF eh equilatero  
e possui os mesmos angulos do triangulo ABC (por isso eles sao  
semelhantes).

Espero que tenha ajudado,

Um abraco,
Palmerim



Em 15/10/07, Rejane rej...@rack.com.br escreveu:
clip_image001.gif
Por Favor, poderiam me ajudar com essa questão?


Obrigada


Os três lados do triângulo eqüilátero ABC foram prolongados de  
segmentos AD, BE e CF de


modo que m(AD) = m(BE) = m(CF) e que a medida do segmento AD  
corresponde a 10% da


medida do lado AC.

Encontrar a razão entre as áreas dos triângulos ABC e DEF.

[obm-l] Triangulos e inteiros

2009-02-13 Por tôpico Eduardo Wilner 
Determinar todos os triangulos de lados inteiros (comprimento do lado = 
inteiro) com inraio igual a dois. 



  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

Re: [obm-l] Triangulos - (area)

2007-10-15 Por tôpico Palmerim Soares 
Ah, apenas para complementar,
a razao de semelhanca sempre pode ser escrita de duas formas, de modo que
tanto pode ser k=10/100=1/10 como k=100/10=10. Portanto, a resposta do
problema tanto pode ser 1/100, como 100.

Palmerim


Em 15/10/07, Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Ola Rejane,

 o triangulo DEF tambem eh equilatero (abaixo eu explico), so que,
 natualmente, maior que o triangulo ABC. Ou seja, eles sao semelhantes, com
 razao de semelhanca k = 10/100, ou melhor, k = 1/10. Recorde agora que *se
 a razao de semelhanca entre duas figura eh k, entao a razao entre suas areas
 eh k²*. Portanto, a razao entre as areas sera:
 1/100.

 Por que o triangulo DEF tambem eh equilatero? Repare que os 3 triangulos
 ADE, EBF e CDF (ops!) sao congruentes entre si, pelo caso LAL. Por exemplo,
 considerando os triangulos ADE e EBF, temos que o lado BE eh congruente ao
 AD, o angulo EBF eh congruente ao angulo EAD (ambos de medida igual a 120º)
 e o lado BF eh congruente a AE, e assim, os lados DE e EF tem a mesma
 medida. Usando o mesmo raciocinio, voce conclui que o lado DF tem a mesma
 medida de DE e, consequentemente, de EF, provando queo triangulo DEF eh
 equilatero e possui os mesmos angulos do triangulo ABC (por isso eles sao
 semelhantes).
 Espero que tenha ajudado,

 Um abraco,
 Palmerim



 Em 15/10/07, Rejane [EMAIL PROTECTED] escreveu:
 
   Por Favor, poderiam me ajudar com essa questão?
 
 
 
  Obrigada
 
 
 
  Os três lados do triângulo eqüilátero ABC foram prolongados de segmentos
  AD, BE e CF de
 
  modo que m(AD) = m(BE) = m(CF) e que a medida do segmento AD corresponde
  a 10% da
 
  medida do lado AC.
 
  Encontrar a razão entre as áreas dos triângulos ABC e DEF.
 


clip_image001.gif

Re: [obm-l] Triangulos - (area)

2007-10-15 Por tôpico Palmerim Soares 
Ola Rejane,

o triangulo DEF tambem eh equilatero (abaixo eu explico), so que,
natualmente, maior que o triangulo ABC. Ou seja, eles sao semelhantes, com
razao de semelhanca k = 10/100, ou melhor, k = 1/10. Recorde agora que *se a
razao de semelhanca entre duas figura eh k, entao a razao entre suas areas
eh k²*. Portanto, a razao entre as areas sera:
1/100.

Por que o triangulo DEF tambem eh equilatero? Repare que os 3 triangulos
ADE, EBF e CDF (ops!) sao congruentes entre si, pelo caso LAL. Por exemplo,
considerando os triangulos ADE e EBF, temos que o lado BE eh congruente ao
AD, o angulo EBF eh congruente ao angulo EAD (ambos de medida igual a 120º)
e o lado BF eh congruente a AE, e assim, os lados DE e EF tem a mesma
medida. Usando o mesmo raciocinio, voce conclui que o lado DF tem a mesma
medida de DE e, consequentemente, de EF, provando queo triangulo DEF eh
equilatero e possui os mesmos angulos do triangulo ABC (por isso eles sao
semelhantes).
Espero que tenha ajudado,

Um abraco,
Palmerim



Em 15/10/07, Rejane [EMAIL PROTECTED] escreveu:

  Por Favor, poderiam me ajudar com essa questão?



 Obrigada



 Os três lados do triângulo eqüilátero ABC foram prolongados de segmentos
 AD, BE e CF de

 modo que m(AD) = m(BE) = m(CF) e que a medida do segmento AD corresponde a
 10% da

 medida do lado AC.

 Encontrar a razão entre as áreas dos triângulos ABC e DEF.

clip_image001.gif

Re: [obm-l] Triangulos - (area)

2007-10-15 Por tôpico Palmerim Soares 
Desculpem a falha, mas a razao de semelhanca nao eh 1/10 e sim 11/10 (ou
10/11) e portanto a razao entre as areas sera 121/100 (ou 100/121).
(O lado do triangulo maior vale 1 + 1/10 = 11/10)
Palmerim


Em 15/10/07, Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Ola Rejane,

 o triangulo DEF tambem eh equilatero (abaixo eu explico), so que,
 natualmente, maior que o triangulo ABC. Ou seja, eles sao semelhantes, com
 razao de semelhanca k = 10/100, ou melhor, k = 1/10. Recorde agora que *se
 a razao de semelhanca entre duas figura eh k, entao a razao entre suas areas
 eh k²*. Portanto, a razao entre as areas sera:
 1/100.

 Por que o triangulo DEF tambem eh equilatero? Repare que os 3 triangulos
 ADE, EBF e CDF (ops!) sao congruentes entre si, pelo caso LAL. Por exemplo,
 considerando os triangulos ADE e EBF, temos que o lado BE eh congruente ao
 AD, o angulo EBF eh congruente ao angulo EAD (ambos de medida igual a 120º)
 e o lado BF eh congruente a AE, e assim, os lados DE e EF tem a mesma
 medida. Usando o mesmo raciocinio, voce conclui que o lado DF tem a mesma
 medida de DE e, consequentemente, de EF, provando queo triangulo DEF eh
 equilatero e possui os mesmos angulos do triangulo ABC (por isso eles sao
 semelhantes).
 Espero que tenha ajudado,

 Um abraco,
 Palmerim



 Em 15/10/07, Rejane [EMAIL PROTECTED] escreveu:
 
   Por Favor, poderiam me ajudar com essa questão?
 
 
 
  Obrigada
 
 
 
  Os três lados do triângulo eqüilátero ABC foram prolongados de segmentos
  AD, BE e CF de
 
  modo que m(AD) = m(BE) = m(CF) e que a medida do segmento AD corresponde
  a 10% da
 
  medida do lado AC.
 
  Encontrar a razão entre as áreas dos triângulos ABC e DEF.
 


clip_image001.gif

Re:[obm-l] triangulos e areas

2004-11-26 Por tôpico eritotutor 
-- Início da mensagem original ---

  De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l [EMAIL PROTECTED]
  Cc: 
Data: Wed, 24 Nov 2004 20:17:28 -0200
 Assunto: [obm-l] triangulos e areas

 Seja ABC um triangulo retangulo em A eh tal que:
 AB = AC =1  e 
 Seja P um pertencente ao segmento BC que satisfaz:
 PT eh perpendicular a AB, onde T eh um ponto de AB
 PR eh perpendicular a AC, onde R eh um ponto de AC.
 Seja:
 S1 a área do triangulo PRC.
 S2 a área do triangulo PTB.
 S3 a área do retangulo ATPR.
 Prove que pelo menos uma das tres areas acima eh maior que 2/9.
 
 []s
  
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__
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] triangulos e areas

2004-11-24 Por tôpico eritotutor 

Seja ABC um triangulo retangulo em A eh tal que:
AB = AC =1 e 
Seja P um pertencente ao segmento BC que satisfaz:
PT eh perpendicular a AB, onde T eh um ponto de AB
PR eh perpendicular a AC, ondeR eh um ponto de AC.
Seja:
S1 a área do triangulo PRC.
S2 a área do triangulo PTB.
S3 a área doretangulo ATPR.
Prove que pelo menos uma das tres areas acima eh maior que 2/9.

[]s

[obm-l] triangulos

2003-11-04 Por tôpico Cludio\(Prtica\) 



LALAU VAI TIRAR ZERO.NO SABE RESOLVER O PROBLEMA SOZINHO 
HAHAAHHAHAHAAHAHAHAHHHAHAHAHAHAHAA

Re: [obm-l] Triangulos II (Mr. Crowley)

2003-09-29 Por tôpico A. C. Morgado 


paraisodovestibulando wrote:

Calcular a área de um triângulo ABC, retângulo em A, 
sabendo que o seu perímetro é o triplo do cateto AB=30m.

gabarito: 337,50m²

c = 30
a+b+c = 3c, ou seja, a+b = 60
a^2 = b^2 + c^2, ou seja, a^2 - b^2 = 900, isto eh, (a-b)(a+b)=900 e   a-b=15
Resolvendo a+b = 60 e a-b=15, encontramos a=75/2 e b = 45/2.
A area eh (1/2)bc = 337,5




Consideremos um triângulo retângulo que simultaneamente 
está circunscrito à circunferência C[1] e inscrito à 
circunferência C[2]. Sabendo-se que a soma dos 
comprimentos dos catetos do triângulo é k cm, qual será 
a soma dos comprimentos destas duas circunferências?

a)(2.pi.k)/3 cm
b)(4.pi.k)/3 cm
c)4.pi.k cm
d)2.pi.k cm
e)pi.k cm
2pi(r+R) = 2pi[bc/(a+b+c)+(a/2)] = pi[2bc/(a+k) +a] = pi [a^2 +ak + 2bc]/(a+k)=
= pi [b^2+c^2 +2bc +ak]/(a+k) = pi (k^2 +ak) /(a+k) = pi.k
 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Triangulos (Mr. Crowley)

2003-09-28 Por tôpico paraisodovestibulando 
Ola Pessoal,

Gostaria de uma ajuda nestas duas questoes:

=
Um triângulo ABC tem lados iguais AB e AC e área 
interna de 4 metros quadrados. Determine a medida do 
lado BC tal que o lado AB tenha comprimento mínimo. 
=


=
Um triãngulo tem lados iguais AB = AC = 5 cm. Prolonga-
se o lado AB de um segmento BD, tal que os ângulos BCD 
e BAC sejam iguais. Qual é a medida desses ângulos, 
sabendo-se que BD = 4 cm? 
=


Grato

Mr. Crowley
 
__
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Triangulos (Mr. Crowley)

2003-09-28 Por tôpico Augusto Cesar de Oliveira Morgado 
Em Sun, 28 Sep 2003 06:23:47 +, paraisodovestibulando [EMAIL PROTECTED] disse:

Ola Pessoal,
Gostaria de uma ajuda :
=
Um triângulo ABC tem lados iguais AB e AC e área 
interna de 4 metros quadrados. Determine a medida do 
lado BC tal que o lado AB tenha comprimento mínimo. 
===

(1/2)AB.AC.senA=4
AB.AB.senA=8
AB eh minimo quando senA eh maximo, ou seja, quando senA=1.
Nesse caso, o triangulo eh retangulo em A com catetos AB=AC=2(raiz de 2)e a hipotenusa 
BC serah (Pitagoras!) igual a 4.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Triangulos (Mr. Crowley)

2003-09-28 Por tôpico Augusto Cesar de Oliveira Morgado 
Em Sun, 28 Sep 2003 06:23:47 +, paraisodovestibulando [EMAIL PROTECTED] disse:

Ola Pessoal,
Gostaria de uma ajuda :
=
Um triângulo ABC tem lados iguais AB e AC e área 
interna de 4 metros quadrados. Determine a medida do 
lado BC tal que o lado AB tenha comprimento mínimo. 
===

(1/2)AB.AC.senA=4
AB.AB.senA=8
AB eh minimo quando senA eh maximo, ou seja, quando senA=1.
Nesse caso, o triangulo eh retangulo em A com catetos AB=AC=2(raiz de 2)e a hipotenusa 
BC serah (Pitagoras!) igual a 4.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Triangulos (Mr. Crowley)

2003-09-28 Por tôpico Augusto Cesar de Oliveira Morgado 
Em Sun, 28 Sep 2003 06:23:47 +, paraisodovestibulando [EMAIL PROTECTED] disse:

Ola Pessoal,
Gostaria de uma ajuda :
=
Um triângulo ABC tem lados iguais AB e AC e área 
interna de 4 metros quadrados. Determine a medida do 
lado BC tal que o lado AB tenha comprimento mínimo. 
===

(1/2)AB.AC.senA=4
AB.AB.senA=8
AB eh minimo quando senA eh maximo, ou seja, quando senA=1.
Nesse caso, o triangulo eh retangulo em A com catetos AB=AC=2(raiz de 2)e a hipotenusa 
BC serah (Pitagoras!) igual a 4.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Triangulos Pitagoricos

2003-09-03 Por tôpico Claudio Buffara 
Title: Re: [obm-l] Triangulos Pitagoricos



on 02.09.03 22:26, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Eu realmente nao conhecia esta formula. Vou ateh tentar demonstra-la, eh um problema interessante(embora eu nao conheca muito Teoria dos Numeros). 

A demonstracao nao usa nada alem do teorema da fatoracao unica dos inteiros e um pouco de perspicacia pra se enxergar todas as implicacoes de cada passagem. Por exemplo, tem um ponto onde voce precisa usar o fato de que se mdc(a,b) = 1 e a*b eh um quadrado perfeito, entao a e b sao quadrados perfeitos.

Uma outra forma de vermos que o raio eh inteiro eh observarmos que , num triangulo retangulo, o raio do circulo inscrito eh dado por r = p-a. Logo, para o triangulo primitivo temos r = (2m^2+2mn)/2 ­ (m^2+n^2) = mn ­n^2 = n(m-n). 

Tambem eh possivel provar que o raio do circulo circunscrito a um triangulo pitagorico primitivo nunca eh inteiro.

E aqui vai um mais dificil: Prove que a area de um triangulo pitagorico nunca eh um quadrado perfeito.

Um abraco,
Claudio.


 
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara
Sent: Tuesday, September 02, 2003 2:29 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Triangulos Pitagoricos 

 

on 02.09.03 13:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: 


Um detalhe interessante: se os lados de um triangulo retangulo estao em PA, entao os lados sao proporcionais a 3, 4 e 5 ( semelhante ao famoso triangulo 3, 4 e 5) e a razao da progressao eh o raio do circuloinscrito no triangulo.
Alias, demonstrar isto, que eh muito parecido com o problema agora enviado aa lista, foi um dos pontos que sugeri em Beleza Matematica.
Artur

Oi, Artur:

Voce deve conhecer a formula geral para os lados dos triangulos retangulos com lados inteiros (os chamados triangulos pitagoricos):

a = k*(m^2 + n^2)
b = k*(m^2 - n^2)
c = k*2mn

onde m e n sao inteiros positivos, de paridades distintas, primos entre si e tais que m  n, e k eh um inteiro positivo qualquer (se k = 1, o triangulo eh dito primitivo).

Assim, m = 2 e n = 1, temos o triangulo 3-4-5, e variando k, todos os demais triangulos pitagoricos semelhantes a ele.

*

Agora, uma consequencia curiosa dessa formula eh o fato de o raio do circulo inscrito num triangulo pitagorico qualquer ser sempre inteiro.

Pra provar isso, basta calcular a area do triangulo de duas maneiras:
Area = b*c/2 = p*r == 
r = b*c/(2*p) 
onde: p = semi-perimetro e r = raio do incirculo.

Para um triangulo primitivo, temos p = m^2 + mn. Logo:
r = (m^2 - n^2)*(2mn)/(2*(m^2+mn)) = (m - n)*n == sempre inteiro.

Em particular, o raio do incirculo do triangulo 3-4-5 (m=2,n=1) eh igual a 1. 

*

A enquete nao mencionou nada sobre estes triangulos pitagoricos porque os principais resultados sobre eles sao um pre-requisito para a demonstracao-padrao do caso n=4 do ultimo teorema de Fermat, que consta da lista.

Um abraco,
Claudio.

[obm-l] Triangulos Pitagoricos

2003-09-02 Por tôpico Claudio Buffara 
Title: Triangulos Pitagoricos



on 02.09.03 13:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:


Um detalhe interessante: se os lados de um triangulo retangulo estao em PA, entao os lados sao proporcionais a 3, 4 e 5 ( semelhante ao famoso triangulo 3, 4 e 5) e a razao da progressao eh o raio do circuloinscrito no triangulo.
Alias, demonstrar isto, que eh muito parecido com o problema agora enviado aa lista, foi um dos pontos que sugeri em Beleza Matematica.
Artur

Oi, Artur:

Voce deve conhecer a formula geral para os lados dos triangulos retangulos com lados inteiros (os chamados triangulos pitagoricos):

a = k*(m^2 + n^2)
b = k*(m^2 - n^2)
c = k*2mn

onde m e n sao inteiros positivos, de paridades distintas, primos entre si e tais que m  n, e k eh um inteiro positivo qualquer (se k = 1, o triangulo eh dito primitivo).

Assim, m = 2 e n = 1, temos o triangulo 3-4-5, e variando k, todos os demais triangulos pitagoricos semelhantes a ele.

*

Agora, uma consequencia curiosa dessa formula eh o fato de o raio do circulo inscrito num triangulo pitagorico qualquer ser sempre inteiro.

Pra provar isso, basta calcular a area do triangulo de duas maneiras:
Area = b*c/2 = p*r == 
r = b*c/(2*p) 
onde: p = semi-perimetro e r = raio do incirculo.

Para um triangulo primitivo, temos p = m^2 + mn. Logo:
r = (m^2 - n^2)*(2mn)/(2*(m^2+mn)) = (m - n)*n == sempre inteiro.

Em particular, o raio do incirculo do triangulo 3-4-5 (m=2,n=1) eh igual a 1. 

*

A enquete nao mencionou nada sobre estes triangulos pitagoricos porque os principais resultados sobre eles sao um pre-requisito para a demonstracao-padrao do caso n=4 do ultimo teorema de Fermat, que consta da lista.

Um abraco,
Claudio.

Re: [obm-l] triangulos

2003-06-25 Por tôpico Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 
CalmaEspera que eu vou tentar controlar meu alteregoBem,eu so vou te dizer pela enesimal vez que a Trigonometria existe.Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Pessoal!Tenho aqui duas questão que não consegui resolverainda:1) Num triângulo ABD, com o ponto C entre A e D,sabe-se que AC=AB, Â=100º e AD=BC. O complemento damedida do ângulo CBD é:a)10º b)20º c)60º d)70º e)80º2) Num triângulo ABC, o ponto P é o ortocentro. SendoCP=5cm e o lado AB=12cm, calcule o diâmetro dacircunferência circunscrita ao triângulo ABC. Abraços,Rafael.___Yahoo! MailMais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.http://br.mail.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
 emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail 
Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.

Re: [obm-l] triangulos

2003-06-25 Por tôpico Rafael 
Muito obrigado Peter!

Abraços,

Rafael.

 --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[EMAIL PROTECTED] escreveu: 
CalmaEspera que eu vou tentar controlar meu
 alteregoBem,eu so vou te dizer pela enesimal vez
 que a Trigonometria existe.
 
 Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote:Oi Pessoal!
 
 Tenho aqui duas questão que não consegui resolver
 ainda:
 
 1) Num triângulo ABD, com o ponto C entre A e D,
 sabe-se que AC=AB, Â=100º e AD=BC. O complemento da
 medida do ângulo CBD é:
 a)10º b)20º c)60º d)70º e)80º
 
 2) Num triângulo ABC, o ponto P é o ortocentro.
 Sendo
 CP=5cm e o lado AB=12cm, calcule o diâmetro da
 circunferência circunscrita ao triângulo ABC. 
 
 Abraços,
 
 Rafael.
 

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 usar a lista em
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Re: [obm-l] triangulos

2003-06-25 Por tôpico Uvaldo Leite 



Caro Rafael
Vai aqui uma observação para o problema 
2.
Sejam AD e BE as alturas relativas aos lados BC e 
AC, respectivamente.
Note que o triângulo CDE é semelhante ao triângulo 
ABC . 
A circunferência circunscrita a esse triângulo tem 
diâmetro igual a 5!
A circunferência circunscrita ao triângulo ABC tem 
raio proporcional a 5, a razão é a razão de semelhança da
semelhança acima.
( Por favor confira o enunciado do problema em sua 
fonte.)
Um abraço.
Uvaldo.

  - Original Message - 
  From: 
  Johann Peter Gustav Lejeune 
  Dirichlet 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Wednesday, June 25, 2003 2:35 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] triangulos
  
  CalmaEspera que eu vou tentar controlar meu alteregoBem,eu so vou 
  te dizer pela enesimal vez que a Trigonometria existe.Rafael 
  [EMAIL PROTECTED] 
  wrote: 
  Oi 
Pessoal!Tenho aqui duas questão que não consegui 
resolverainda:1) Num triângulo ABD, com o ponto C entre A e 
D,sabe-se que AC=AB, Â=100º e AD=BC. O complemento damedida do 
ângulo CBD é:a)10º b)20º c)60º d)70º e)80º2) Num triângulo ABC, 
o ponto P é o ortocentro. SendoCP=5cm e o lado AB=12cm, calcule o 
diâmetro dacircunferência circunscrita ao triângulo ABC. 
Abraços,Rafael.___Yahoo! 
MailMais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, 
antivírus, proteção contra 
spam.http://br.mail.yahoo.com/=Instruções 
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
  
  
  Yahoo! Mail Mais espaço, 
  mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra 
  spam.

[obm-l] triangulos

2003-06-24 Por tôpico Rafael 
Oi Pessoal!

Tenho aqui duas questão que não consegui resolver
ainda:

1) Num triângulo ABD, com o ponto C entre A e D,
sabe-se que AC=AB, Â=100º e AD=BC. O complemento da
medida do ângulo CBD é:
a)10ºb)20ºc)60ºd)70ºe)80º
 
2) Num triângulo ABC, o ponto P é o ortocentro. Sendo
CP=5cm e o lado AB=12cm, calcule o diâmetro da
circunferência circunscrita ao triângulo ABC.  

Abraços,

Rafael.

___
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