[obm-l] Custo minimo
Caros colegas... Sendo 5832 cm3 o volume de um reservatório de água com base quadrada, e 3 reais por cm2 o preço do material da tampa e da base e 1,5 reais por cm2 o valor do material para os lados, quais são as medidas desse reservatório tal que o custo total do material seja mínimo possível. Pensei assim: medida da base x e altura y; Então -- 5832 = x^2*y, por outro lado C(x,y)= 6(x^2 + xy). Como xy=5832/x, então: C(x)=6(x^2 + 5832/x) -- C(x)=6x^2 + 34.992/x. Derivando C, temos C'(x)=12x -34992/x^2 -- 34.992/12 =x^3 -- x= 9 raiz cúbica de 4 cm e y = 162 raiz cúbica de 4 cm Creio que é isso
Re: [obm-l] Custo minimo
vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas... Sendo 5832 cm3 o volume de um reservatório de água com base quadrada, e 3 reais por cm2 o preço do material da tampa e da base e 1,5 reais por cm2 o valor do material para os lados, quais são as medidas desse reservatório tal que o custo total do material seja mínimo possível. Pensei assim: medida da base x e altura y; Então -- 5832 = x^2*y, por outro lado C(x,y)= 6(x^2 + xy). Como xy=5832/x, então: C(x)=6(x^2 + 5832/x) -- C(x)=6x^2 + 34.992/x. Derivando C, temos C'(x)=12x -34992/x^2 -- 34.992/12 =x^3 -- x= 9 raiz cúbica de 4 cm e y = 162 raiz cúbica de 4 cm Creio que é isso - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Arthur e demais amigos da lista. mais uma vez agradeço a atenção e a consideração de vocês. Muito obrigado. Um abraço grande. Bruno Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos 1 - L y^2 z^3 =0 1 - 2L xy z^3 =0 1 - 3L x y^2 z^2 =0 x.y^2.z^3 - 864 = 0 Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem 1 - 2 x/y = 0 = y = 2x 1 - 3x/z = 0 = z = 3x Substituindo na ultima, vem entao x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 = 108 x^6 = 864 = x^6 = 8 = x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2) Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x - oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z - oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z 0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil Artur l [Artur Costa Steiner] sagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Problema sobre valor minimo
Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos 1 - L y^2 z^3 =0 1 - 2L xy z^3 =0 1 - 3L x y^2 z^2 =0 x.y^2.z^3 - 864 = 0 Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem 1 - 2 x/y = 0 = y = 2x 1 - 3x/z = 0 = z = 3x Substituindo na ultima, vem entao x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 = 108 x^6 = 864 = x^6 = 8 = x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2) Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x - oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z - oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z 0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil Artur l [Artur Costa Steiner] sagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta): S = x+y+z = 3(raiz cubica de xyz) (media aritm =media geom.) igualdade em x=y=z S = 3x x . y^2 . z^3 = x^6 = 864 S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa. On 5/10/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos 1 - L y^2 z^3 =0 1 - 2L xy z^3 =0 1 - 3L x y^2 z^2 =0 x.y^2.z^3 - 864 = 0 Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem 1 - 2 x/y = 0 = y = 2x 1 - 3x/z = 0 = z = 3x Substituindo na ultima, vem entao x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 = 108 x^6 = 864 = x^6 = 8 = x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2) Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x - oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z - oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z 0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil Artur l [Artur Costa Steiner] sagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
On 5/10/07, Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta): S = x+y+z = 3(raiz cubica de xyz) (media aritm =media geom.) igualdade em x=y=z Por que você considera x=y=z ??? S = 3x x . y^2 . z^3 = x^6 = 864 S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa. On 5/10/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos 1 - L y^2 z^3 =0 1 - 2L xy z^3 =0 1 - 3L x y^2 z^2 =0 x.y^2.z^3 - 864 = 0 Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem 1 - 2 x/y = 0 = y = 2x 1 - 3x/z = 0 = z = 3x Substituindo na ultima, vem entao x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 = 108 x^6 = 864 = x^6 = 8 = x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2) Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x - oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z - oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z 0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil Artur l [Artur Costa Steiner] sagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Henrique
Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Mas se MA=MG seu valor minimo é MG. Preciso da igualdade, que ocorre se x=y=z , nao é? On 5/10/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: On 5/10/07, Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta): S = x+y+z = 3(raiz cubica de xyz) (media aritm =media geom.) igualdade em x=y=z Por que você considera x=y=z ??? S = 3x x . y^2 . z^3 = x^6 = 864 S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa. On 5/10/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos 1 - L y^2 z^3 =0 1 - 2L xy z^3 =0 1 - 3L x y^2 z^2 =0 x.y^2.z^3 - 864 = 0 Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem 1 - 2 x/y = 0 = y = 2x 1 - 3x/z = 0 = z = 3x Substituindo na ultima, vem entao x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 = 108 x^6 = 864 = x^6 = 8 = x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2) Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x - oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z - oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z 0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil Artur l [Artur Costa Steiner] sagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Henrique -- - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] perimetro minimo
Srs, Favor criticar (válidar ou não) o reciocínio abaixo a) para termos o menor perímetro no quadrilátero xyzw significa que á área dos quatros triângulos restantes (axw, bxy, cyz e dwz) devem ser máximas. Para isso as hipotenusas devem saer máximas o que ocorre quando cada cateto = l/2 (l=lado do quadrado original). 2 2 b) h=sqrt((l/2) +(l/2) = 1/2*sqrt(2)*l perímetro = 4 * 1/2*sqrt(2)*A =2sqrt(2)*l at Rodrigo Mensagem Original: Data: 12:32:37 06/05/2006 De: kleinad2 [EMAIL PROTECTED] Assunto: RE: [obm-l] perimetro minimo ''Considere um quadrado ABCD e pontos X,Y,Z,Q nos lados AB,BC,CD,DA respectivamente. ''Determine o menor valor que pode assumir o perímetro do quadrilatero XYZW. Olá. A idéia chave é a seguinte: Para X e Z quaisquer, ambos diferentes de A, B, C, D, temos que Y e W ficam determinados por X e Z a fim de que XY + YZ e ZW + WX sejam o menor possível cada um; é simplesmente o princípio da reflexão num espelho plano. Por exemplo, vejamos onde Y tem que ficar: Tomando X' na semi reta AB tal que XB = BX', com B entre X e X', temos que XY + ZY é mínimo quando Y é a interseção de ZX' com BC. Como para qualquer Y* em BC temos Y*X = Y*X', basta ver que se Y Y* entãp ZY*X' é um triângulo, e a desigualdade triângular nos dá que ZY* + Y*X' ZX' = ZY + YX'. Repare que com isso os triângulos ZCY e YBX' são semelhantes, se sendo YBX' e YBX congruentes, temos a semelhança de ZCY com XBY, e valem as igualdes de ângulos BYX^ = CYZ^ e BXY^ = YZC^. A mesma coisa se aplica na determinação de W. Agora se pensarmos em X e Y determinados por W e Z, repetindo o argumento e juntando todas as informações (comparando ângulos e vendo as igualdades) temos que o perímetro é mínimo quando temos AXW^ = BXY^ = CZY^ = DZW^ e DWZ^ = AWX^ = XYB^ = ZYC^, o que implica que XYZW é paralelogramo e também que ZC = AX. Logo, se r = XB temos que ZC = l - r, onde l é o lado do quadrado ABCD. Assim, ZY + YX = ZX' = l*sqrt(2). Como estamos num paralelogramo, o perímetro será o dobro disso, assim, o perímetro mínimo é 2*sqrt(2)*l. Desenhando fica fácil acompanhar o argumento. Só fica faltando mostrar que é prejuízo fazer um ou mais pontos dentre X,Y,Z e W coincidirem com A,B,C ou D. Evidentemente, XYZW ser igual a ABCD é prejuízo. Se agora digamos A = X, B = Y e C Z, D W, temos que ZY ZC = l pois ZY é hipotenusa de ZCY. Pela desigualdade triangular, ZW + WX ZX, e sendo ZX hipotenusa vem que ZX l, logo o perímetro é maior que 3*l 2*sqrt(2)*l. Se agora A = X, B = Y e C = Z, temos W D. Outra vez pela desigualdade triangular, WX + ZW XZ, logo o perímetro é maior que l*(2 + sqrt(2)) 2*sqrt(2)*l. Finalmente, se digamos X = A, Y = C, então a fim de que tenhamos um quadrilátero, temos Z D W. Novamente, pela desigualde triangular, ZW + ZY WY e XW + WY XY, logo o perímetro é maior que 2*XY = 2*sqrt(2)*l. Isso conclui a prova. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] perimetro minimo
''Srs, '' ''Favor criticar (válidar ou não) o reciocínio abaixo '' ''a) para termos o menor perímetro no quadrilátero xyzw significa que ''á área dos quatros triângulos '' restantes (axw, bxy, cyz e dwz) devem ser máximas. Para isso as ''hipotenusas devem saer máximas o que ocorre quando cada cateto = l/2 ''(l=lado do quadrado original). '' 2 2 ''b) h=sqrt((l/2) +(l/2) = 1/2*sqrt(2)*l '' ''perímetro = 4 * 1/2*sqrt(2)*A =2sqrt(2)*l Olá, Rodrigo. Este raciocínio está errado primeiro pelo fato de que existem infinitos quadriláteros XYZW com vértices em ABCD com perímetro 2*sqrt(2)*l, e consequentemente os triângulos exteriores podem ser um pouco diferentes dos que você sugeriu. Para todo s tal que 0 s l, considere o quadrilátero XYZW caracterizado por AX = AW = CY = CZ = s. O perímetro de todos eles é 2*sqrt(2)*l. O que é verdade é que a única possibilidade para estes triângulos exteriores é que eles sejam isósceles, logo essa parametrização via s pega todos os quadriláteros possíveis que minimizam o perímetro. Além disso, a área dos triângulos de fora nada têm a ver com o perímetro de ABCD. Se você acreditou no que eu escrevi, então para XYZW minimizando o perímetro, temos que a soma das áreas dos triângulos de fora é 2*s^2 - 2*l*s + l^2 = 2*(s - l/2)^2 + l^2/2. Portanto, essas áreas podem assumir todos os valores entre l^2/2 e l^2 (mas não podem se igualar a nenhum deles). []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] perimetro minimo
''Considere um quadrado ABCD e pontos X,Y,Z,Q nos lados AB,BC,CD,DA respectivamente. ''Determine o menor valor que pode assumir o perímetro do quadrilatero XYZW. Olá. A idéia chave é a seguinte: Para X e Z quaisquer, ambos diferentes de A, B, C, D, temos que Y e W ficam determinados por X e Z a fim de que XY + YZ e ZW + WX sejam o menor possível cada um; é simplesmente o princípio da reflexão num espelho plano. Por exemplo, vejamos onde Y tem que ficar: Tomando X' na semi reta AB tal que XB = BX', com B entre X e X', temos que XY + ZY é mínimo quando Y é a interseção de ZX' com BC. Como para qualquer Y* em BC temos Y*X = Y*X', basta ver que se Y Y* entãp ZY*X' é um triângulo, e a desigualdade triângular nos dá que ZY* + Y*X' ZX' = ZY + YX'. Repare que com isso os triângulos ZCY e YBX' são semelhantes, se sendo YBX' e YBX congruentes, temos a semelhança de ZCY com XBY, e valem as igualdes de ângulos BYX^ = CYZ^ e BXY^ = YZC^. A mesma coisa se aplica na determinação de W. Agora se pensarmos em X e Y determinados por W e Z, repetindo o argumento e juntando todas as informações (comparando ângulos e vendo as igualdades) temos que o perímetro é mínimo quando temos AXW^ = BXY^ = CZY^ = DZW^ e DWZ^ = AWX^ = XYB^ = ZYC^, o que implica que XYZW é paralelogramo e também que ZC = AX. Logo, se r = XB temos que ZC = l - r, onde l é o lado do quadrado ABCD. Assim, ZY + YX = ZX' = l*sqrt(2). Como estamos num paralelogramo, o perímetro será o dobro disso, assim, o perímetro mínimo é 2*sqrt(2)*l. Desenhando fica fácil acompanhar o argumento. Só fica faltando mostrar que é prejuízo fazer um ou mais pontos dentre X,Y,Z e W coincidirem com A,B,C ou D. Evidentemente, XYZW ser igual a ABCD é prejuízo. Se agora digamos A = X, B = Y e C Z, D W, temos que ZY ZC = l pois ZY é hipotenusa de ZCY. Pela desigualdade triangular, ZW + WX ZX, e sendo ZX hipotenusa vem que ZX l, logo o perímetro é maior que 3*l 2*sqrt(2)*l. Se agora A = X, B = Y e C = Z, temos W D. Outra vez pela desigualdade triangular, WX + ZW XZ, logo o perímetro é maior que l*(2 + sqrt(2)) 2*sqrt(2)*l. Finalmente, se digamos X = A, Y = C, então a fim de que tenhamos um quadrilátero, temos Z D W. Novamente, pela desigualde triangular, ZW + ZY WY e XW + WY XY, logo o perímetro é maior que 2*XY = 2*sqrt(2)*l. Isso conclui a prova. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] maximo e minimo de funções
Bom dia ,Peço ajuda nas seguintes questões.1) Como faço parapara deduzir a expressão que determina o Max(f,g) e o Min(f,g).2) Demonstrar que f(x) = (f+) + (f-) e | f |(x)= (f+) + (f-). Onde (f+) é o máximo entre a função f e zero e (f -) é o mínimo entre a função f e zero.3) Utilize o teorema do valor intermediário para verificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. A equação: x^3 + x = -3 tem uma raiz entre -2 e -1. 4)´Determine g' (2) para cos(g(x)) -1/x = 6x^2. sabendo que g(2)=pi/3Grato pela ajuda.Bruno Mostly. Yahoo! Search Dê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big Brother Brasil.
Re: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Valeu, Claudio. Em primeiro lugar, eu esqueci de colocar que x, y e z são reais positivos por hipótese. Eu havia feito o seguinte: xyz(x+ y + z) = 1 == xz(xy + y^2 + yz) = 1 (I) (x + y)(y + z) = xz + xy + y^2 + yz De (I) vem que xy + y^2 + yz = 1/xz. Sendo assim, o segundo membro de (II) pode ser escrito como xz + 1/xz, que, pela desigualdade das médias, é = 2. O que me deu dor de cabeça foi o fato dessa questão ter caído numa prova respeitável e o gabarito indicar 2/3 como resposta. Como você chegou ao mesmo que eu por outro caminho, penso que o gabarito está furado. Obrigado de novo. Márcio. Claudio Buffara wrote: Supondo que x, y e z sao reais positivos, teremos: xyz(x + y + z) = 1 == y^2 + (x+z)y - 1/(xz) = 0 == y^2 + (x+z)y + xz - (1/(xz) + xz) = 0 == y^2 + (x+z)y + xz = 1/(xz) + xz == (x + y)(y + z) = 1/(xz) + xz = 2 quaisquer que sejam x e z positivos, com igualdade sss xz = 1 == (x + y)(y + z) = 2. O minimo de 2 eh atingido, por exemplo, com x = z = 1 e y = raiz(2) - 1. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema sobre valor minimo
on 10.03.05 20:27, Marcio M Rocha at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, pessoal. Leciono Matemática mas não tenho experiência com problemas olímpicos. Como penso que todo professor de matemática que se preze deve buscar aprender aquilo que não sabe (ao invés de se acomodar à matemática burocrática da maioria das escolas), tenho buscado várias fontes. Tenho feito algum pequeno progresso, mas vou precisar da ajuda de vocês. Tenho certeza de que contarei com ela. Sendo assim, para começar, peço ajuda com o seguinte problema: Se x.y.z.(x + y + z) = 1, qual o valor mínimo de (x + y).(y + z)? Muito obrigado a todos. Márcio. = Supondo que x, y e z sao reais positivos, teremos: xyz(x + y + z) = 1 == y^2 + (x+z)y - 1/(xz) = 0 == y^2 + (x+z)y + xz - (1/(xz) + xz) = 0 == y^2 + (x+z)y + xz = 1/(xz) + xz == (x + y)(y + z) = 1/(xz) + xz = 2 quaisquer que sejam x e z positivos, com igualdade sss xz = 1 == (x + y)(y + z) = 2. O minimo de 2 eh atingido, por exemplo, com x = z = 1 e y = raiz(2) - 1. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Minimo da soma dos inversos dos reciprocos
Hah alguns dia um colega mostrou de forma muito bonita que se x1+...xn = K0, com x1...xn0, entao 1/x1+1/xn eh minimo quando x1...= xn = K/n. Eu citei o uso de multiplicadores de Lagrange, que mostra facilmente que no ponto extremo os x_is sao iguais. Esqueci de dizer que naum eh preciso, para provar que eh um minimo global, determinarmos Hessianos ou avaliar condicoes de otimalidade de segunad ordem. Basta ver que f(x) =1/x eh convexa para x0 (sua derivada eh estritamente crescente - nem eh preciso testar a segunda derivada). Como a soma de funcoes convexas num conjunto eh convexa neste conjunto, temos aih a garantia de que o minimo eh global. De modo geral, temos o seguinte: Se f eh diferenciavel para x=0, se f' eh estritamente crescente e se os numeros a1..., an sao positivos, entao o problema minimizar f(x1)...+ f(xn), sujeito a a1*x1+...an*xn = K0, com os x_i's =0, tem um minimo global. Se os a_i's forem iguais, entao os x_i's otimos sao iguais a K/n. Eh imediato que condicoes similares e simetricas valem se f' for estritamente decrescente. Um detalhe: Com uma ligeira adaptacao, a prova do colega aplica-se ao caso geral com os a_i's iguais. Se forem diferentes, aih acho que naum dah. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] minimo de exponenciais
Bom, para determinar a probabilidade de que uma v.a exponencial X1 é
menor do que outra X2 (ambas com medias 1/n[1] e 1/n[2]) eu faria assim
P{X1 X2} = Int[0 até inf] P{X1 X2 | X1 = x}*n[1]*exp(-n[1]*x)dx
= Int[0 até inf] P{x X2}*n[1]*exp(-n[1]*x)dx
= Int[0 até inf] exp(-n[2]*x]*n[1]*exp[-n[1]*x]dx
= n[1]/n[1]+n[2]
Mas agora considere X1,...,XN variaveis exponenciais independentes de
parametros n[1],...n[N] e Y = min{X1,...,Xn}
Como eu provo que P(Y = Xi) = n[i]/(n[1]+...+n[N]) e como eu acho a lei
de X1 dado que X1 + ... + XN = 10?
Obrigado.
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye]
Now I will have less distraction
Leonhard Euler
=
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Re: [obm-l] Sobre a calha de tempo minimo
Entre no Google e digite brachistochrone. Nao vao faltar referencias... on 12.03.04 22:18, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola turma Estou com um serio problema de Fisica (e ninguem se dispos a descascar esse abacaxi...) 1)Considere um pedaço de arame ligando dois pontos A e B no plano,cuja reta AB e inclinada.Qual a forma do arame tal que uma arruela possa deslizar sem atrito sobre ele e chegar de A a B em tempo minimo, partindo do repouso? 2)Prove que para esse formato de fio de arame, o tempo para se chegar entre A e B (no fio de arame) e o mesmo. Ass.: J O H AN N = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Minimo de Funcao
Olah pessoal
O Paulo Santa Rita me pediu que mandasse para a lista
a solucao que ele desenvolveu para aquele problema de
minimizar uma funcao. Realmente, ele chegou a uma
solucao extremamamente interessante e inteligente, que
comprova a licao que ele deu no sentido de sempre
procurarmos outras alternativas quando os metodos
classicos sao complicados.
Parabens ao Paulo! Reproduzo a seguir a solucao que
ele me enviou:
- Solucao do Paulo -
Olhando f(u,v) = (u-v)^2 + { (4/3)*[(9 - u^2)^(1/2)]
- (4 -
v^2)^(1/2) ]
}^2 e fazendo
g(u,v)=(u-v)^2 e h(u,v) = f(u.v) - g(u,v) vemos
claramente que
f(u,v) e
o QUADRADO
DA DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS : um no grafico de Y =
(4/3)*[(9 -
u^2)^(1/2) e
outro no grafico de Y=(4 - v^2)^(1/2).
Para ficar mais claro, e como se tivessemos duas
funcoes Y=f(X) e
Y=g(X)
plotadas no mesmo
plano cartesiano e quisessemos encontrar o quadrado da
distancia entre
dois
pontos, um em
cada grafico. Sejam (u,f(u)) e (v,g(v)) estes pontos.
Teriamos :
[ D(u,v) ]^2 = (u-v)^2 + (f(u) - f(v))^2
Evidentemente que o minimo de f(u,v) = [D(u,v)]^2 e o
menor segmento
ligando
o dois
pontos, cada um no grafico de uma funcao. E o que
sucede no problema
proposto pelo Joao.
Naquele problema f(u)=(4/3)*[(9 - u^2)^(1/2) e g(v)=(4
- v^2)^(1/2),
isto e,
uma elipse
e um circulo.
Entao fica claro que eu preciso descobrir o segmento
mais curto que
liga os
dois graficos.
Agora, considere um ponto fora do circulo e sobre a
elipse. Dentre
todas as
secantes ao
circulo que partem deste ponto, a que tem a parte
externa menor e,
claramente, a que
passa pelo centro do circulo, pois a potencia do ponto
em relacao ao
circulo
e constante
e o diametro e a maior de todas as cordas : sao esses
fatos que obriga
ser a
parte externa da
secante que passa pelo centro do circulo a menor de
todas.
Bom, entao eu fico sabendo que - fixado um ponto na
elipse - o menor
segmento ligando
este ponto a um ponto do circulo e o segmente externo
da secante ao
circulo
que passa
pelo centro do circulo.
Resta variar os pontos na elipse para descobrir o
menor de todos os
menores,
isto e, o
infimo dos infimos. Bom, como a regiao entre o circulo
e a elipse vai
se
abrindo uniformemente
conforme vamos subindo e se dirigindo ao todo da
elipse, fica claro
que a
parte mais
curta esta em u=3 e v=2, que sera o minimo.
Esta tecnica e absolutamente geral e, sem olhar para a
equacao que
advinho
que ela tem
o seu valor maximo em v=u=0. Alias, de forma geral,
voce pode inclusive
desenvolver um
trabalho em analise, pois se f(u) envolve g(u) e g(u)
e um circulo,
este
metodo pode ser aplicado
com serenidade. Se voce desenvolver a ideia por tras
da simetria radial
do
circulo isso pode lhe levar a um novo resultado em
analise, mas eu
estou sem
tempo de me dedicar a isso agora : voce pode fazer
isso !
__
Do you Yahoo!?
Yahoo! Finance: Get your refund fast by filing online.
http://taxes.yahoo.com/filing.html
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RE: [obm-l] Duvida - Minimo de funcao
Ola Joao e Artur e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
O valor minimo e f(3,2)=1, tal como o Artur descobriu.
Tracando num mesmo plano o grafico de y = (4 - v^2)^(1/2) e de y = (4/3)*[
(9 - u^2)^(1/2) ]
vemos claramente que teremos uma uma semi-elipse envolvendo uma
semi-circunferencia. Tomando um ponto na semi-elipse e variando um outro
ponto na semi-circunferencia claramente que o
segmento que liga este dois pontos sera minimo quando a reta suporte dele
passar pelo centro da
circunferencia, pois a potencia do ponto e invariante.
Resta descobrir o ponto da elipse onde este segmento e menor. E claro que e
em u=3 e v=2 (ou
em u=-3 e v=-2) pois a elipse envolve a circunferencia e largura da coroa
vai aumentando na
medida que tornamos a reta que passa pelo centro da circunferencia vertical.
Fica aqui uma licao maior : quando um problema parecer dificil, tente
leva-lo para um outro dominio,
onde seja possivel usar uma outra linguagem. Neste caso, no dominio da
geometria o problema ficou facil.
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
2,1241,170204
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: RE: [obm-l] Duvida - Minimo de funcao
Date: Sun, 15 Feb 2004 18:52:58 -0300
Oi Joao.
Eu nao achei uma forma facil de resolver isto. Por Analise, parece
complicado, as derivadas parciais da funcao se complicam. Popr inspecao
algebrica, tambem nao.
Veja que, nos reais, devemos, na realidae, ter |v|=2. Pareceu-me que o
minimo esta em (3,2). E utilizando o algoritmo do Excel de fato cheguei a
este ponto, na fronteira do conjunto viavel, com f(3,2) =1, .
Mas estah me parecendo um tanto complicado provar isto analiticamente.
Talvez haka uma solucao simples, mas eu nao vi.
Artur
--Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of João Silva
Sent: Sunday, February 15, 2004 2:39 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Duvida - Minimo de funcao
Alguem sabe como se resolve:
- Sejam u e v numeros reais tais que | u | é menor que ou igual a 3 e
| v | é menor que ou igual a 7. Determine o valor minimo da expressão
f(u,v) = (u - v)^2 + { [ (144 - 16u^2)^1/2 ] / 3 - (4 - v^2)^1/2}^2
=
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[obm-l] Duvida - Minimo de funcao
Alguem sabe como se resolve:
- Sejam u e v numeros reais tais que | u | é menor que ou igual a 3 e
| v | é menor que ou igual a 7. Determine o valor minimo da expressão
f(u,v) = (u - v)^2 + { [ (144 - 16u^2)^1/2 ] / 3 - (4 - v^2)^1/2}^2Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
[obm-l] Maximo e minimo
Ai vao 3 problemas: 1) Vários retângulos são desenhados numa superfície plana, de modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 18.769 áreas distintas não subdividas. Qual o número mínimo de desenhos de retângulos necessário para formar o padrão descrito? 2) Vários segmentos retos são traçados numa superfície plana, de modo que os cruzamentos entre suas linhas produzem 1.597 áreas distintas não subdividas. Qual o número mínimo de traços necessário para formar o padrão descrito? 3) São desenhados 1 + 10^1.234.567.890 triângulos numa superfície plana. Qual é o número máximo de áreas distintas não subdividas que podem ser formadas pela intersecção desses triângulos? Aguardo respostas... MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. 2 months FREE* = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: Minimo
Gostaria que vcs verificassem se minha resposta está CORRETA, uma vez q nao me propus a utilizar derivadas... Seja f(x) = x^x , para x real positivo... Se k é também um real positivo, entao f(x+k) = (x+k)^(x+k) Ora, para que f(x+k) f(x), entao: (x+k)^(x+k) x^x Entao: [(x+k)/x]^x 1/[(x+k)^k] Mas como sabemos que [(x+k)/x]^x = [1 + (k/x)]^x e^k para todo k e x real, entao: 1/[(x+k)^k] e^k , ou x+k 1/e -- x 1/e - k Como isto vale para TODO k real positivo, entao NECESSARIAMENTE: x 1/e ou x = 1/e. Ou, seja, para todo x = 1/e a funcao f(x) é crescente. Por outro lado, para que f(x-k) f(x), entao (x-k)^(x-k) x^x Logo, [(x-k)/x]^x (x-k)^k . Como [(x-k)/x]^x = [1 - (k/x)]^x, que é menor que [(1/e)^k] para todo k e x reais positivos, entao: (x-k)^k[(1/e)^k]--x-k 1/e-- x 1/e + k Como isto vale para TODO k real positivo, entao NECESSARIAMENTE: x 1/e ou x = 1/e . Ou, seja, para todo x = 1/e a funcao f(x) é decrescente. Mas se f(x) é decrescente até x = 1/e e é crescente a partir deste valor, entao o valor MÍNIMO de f(x) é obrigatoriamente f(1/e) = (1/e)^(1/e). Correto? - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 19 de Outubro de 2001 06:57 Terezan Subject: Re: Minimo On Thu, Oct 18, 2001 at 09:50:40PM -0200, Anselmo Alves de Sousa wrote: Olah! Mais uma vez venho aqui com uma duhvida. E quem diria? O professor ... Legal. Aplicando a primeira derivada resolvemos rapidamente. O problema é que a resposta foi dada na forma de raiz de indice e de 1/e. Gostaria de saber se existe significado para raizes de indice irracionais. Outro exemplo: raiz de indice pi. A explicação mais simples e elementar que eu conheço é a seguinte. LEMA: Dado um número real a 1 existe uma única função crescente f: R - R satisfazendo f(1) = a e f(x+y) = f(x) f(y). Dado um número real 0 a 1 existe uma única função crescente f: R - R satisfazendo f(1) = a e f(x+y) = f(x) f(y). Aceitando este lema definimos a^x = f(x). A raiz de índice x de a é f(1/x). Por alguma razão esta apresentação parece ser incomum. Parece que a maioria dos autores acha que é necessário falar de limites para definir a^x. Na pior das hipóteses é necessário usar conceitos de sofisticação comparável ao de limite para *provar* o lema, mas não para definir. []s, N.
