Re: [obm-l] Sistema exponencial
Houve um engano no meu outro email. Acho que usei errado o T. da Funcao Implicita. Ele nao garante a existência de solucoes para o sistema dado, pelo menos noa da forma com eu havia feito. Vou pensar noutra solucao. Abracos Artur __ Do you Yahoo!? Yahoo! Search - Find what youre looking for faster http://search.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Sistema exponencial
Uma solucao direta e x=a=0 e y0, nao? From: Márcio Pinheiro [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Sistema exponencial Date: Tue, 02 Mar 2004 19:33:54 + Olá, pessoal. Gostaria de ajuda na seguinte questão: Encontrar os valores de x e de y, para os quais x^y=a e y^x = a+1. Discutir as soluções para os possíveis valores de a. Desde já, agradeço. Márcio. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ FREE pop-up blocking with the new MSN Toolbar get it now! http://clk.atdmt.com/AVE/go/onm00200415ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sistema exponencial
Eu estou pensando na seguinte abordagem. A funcao f(x)= x^x eh continua para x0 e tende a 1 quando x-0+. Sua derivada eh f'(x) = (x^x)(1 + ln(x)). Logo, f eh estritamente decrescente em (0,1/e), alcanca um minimo em x =1/e e eh estritamente crescente em (1/e, inf). Temos tambem que f(1) = 1. Logo, para a=1 a equacao x^x = a tem uma unica solucao. Isto equivale a dizer que, para a=1, o sistema x^y = a e y^x = a tem pelo menos uma solucao, obtida fazendo-se x=y. Como as derivadas parciais de F(x,y) = (x^y, y^x) sao continuas para x0 e y0, eh de se espear que, para valores razoavelmente gandes de a, de modo que 1 represente pouco com relacao a a, o sistema x^y =a e y^x =a+1 tenha solucao. Isto estah me levando a acreditar que o conjunto dos valores de a que tornam o sistema possivel eh ilimitado. Estah ateh me parecendo que existe um a_0 tal que este conjunto esteja contido em [a_0 , inf). Eh claro que estah enrolacao nao prova absolutamente nada, eh apenas uma linha de ideias. O T. da Funcao Implicita, que eu usei equivocadamente da outra vez, nao estah parecendo ajudar muito. Artur Sua der --- Márcio Pinheiro [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, pessoal. Gostaria de ajuda na seguinte questão: Encontrar os valores de x e de y, para os quais x^y=a e y^x = a+1. Discutir as soluções para os possíveis valores de a. Desde já, agradeço. Márcio. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Yahoo! Search - Find what youre looking for faster http://search.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sistema exponencial
On Tue, Mar 02, 2004 at 07:33:54PM +, Márcio Pinheiro wrote: Encontrar os valores de x e de y, para os quais x^y=a e y^x = a+1. Discutir as soluções para os possíveis valores de a. Eu não sei dar uma solução completa para este problema, mas tenho algumas observações a fazer. Não vou demonstrar quase nada, é tudo matemática experimental. Escreva x = e^u, y = e^v. Defina w = f(u,v) = exp(v exp(u)) - exp(u exp(v)). As curvas de nível w = 0 (azul) e w = 1 (vermelho) estão mostradas na figura atachada: a curva vermelha dá as soluções da equação (a menos da mudença de variável entre (x,y) e (u,v)) para a arbitrário. Podemos observar que a curva vermelha tem duas componentes, ambas parecem ser assintóticas ao eixo horizontal. O valor de a = exp(u exp(v)) parece crescer monotonamente quando percorremos a componente da esquerda, indo de 0 a +infinito. Já na curva da direita, o valor de a tende a +infinito nas duas pontas e parece ter um único mínimo local. O ponto de mínimo local pelas minhas contas é aproximadamente x = 4.313517, y = 1.982000, a = 18.123252. Se isto tudo estiver certo a equação tem uma única solução para a amin (na curva da esquerda), duas soluções para a = amin (uma em cada curva) e três soluções para a amin (uma na curva da esquerda e duas na curva da direita). Falta provar (ou desmentir!) tudo isso e ver se amin ~= 18.123252 admite uma expressão bonitinha. []s, N. attachment: plot.gif
Re: [obm-l] Sistema exponencial
Acho que podemos usar o Teorema da Funcao Implicita.
Definamos f(x,y)= x^y e g(x,y) = y^x. f e g tem
derivadas parciais continuas em {(x,y) | x0, y0}. Se
J eh o Jacobiano do sistema avaliado em x=u e y=v,
entao J = [determinante [y*(x^(y-1)) ,x^y * ln(x) ;
y^x * ln(y) , x*(y^(x-1))]|(u,v) = [x^y * y^x *(1 -
ln(x) * ln(y))]|(u,v) = u^v * v*u * (1 - ln(u) *
ln(v)). Se J nao se anular em (u,v), podemos entao
afirmar com base no T. da Funcao Implicita que x e y
podem ser explicitados em funcao de u e de v.
Eh facil que ver que, se ln(u) * ln(v) 1, entao J
0 e o sistema f(x,y) = u e g(x,y) = v tem solucao.
No seu caso, temos u =a e v =a+1, par a0. Logo
podemos afirmar que teremos solucao sempre que ln(a) *
ln(a+1) 1. Se definirmos h(a) = ln(a) *
ln(a+1,)vemos que h eh continua para a0 e eh negativa
em (0,1)Deste forma, neste intervalo h(a) =1 nao se
verifica. Em a=1 h se anula e para a1 eh facil ver
que h eh estritamente crescente e positiva. Logo,
existe um e apenas um valor de a, digamos a0,
necessariamente positivo, para o qual h(a0) =1. Eh
tambem facil de ver que a0 e . Neste valor, nao
podemos garantir, com base no T. da F. Implicita, que
seu sistema tem solucao. Mas para todos os outros
valores de a0 ele tem. Entretanto, trabalhando com
um computador, verfiquei que a0 =~ 2,3072. E
resolvendo seu sistema numericamente vi que ele tem
solucao pra este valor a0 (O T. da F. Implicita eh
se, mas nao somente se). Disto concluimos que seu
sistema tem solucao para todo a0. Se a a0, podemos
afirmar que tem solucao unica. Agora, achar uma
expressao bonitinha e fechada de x e de y em funcao de
a nao parece muito facil
Artur
P.S. Eu no momentomnao estou lembrado de todos os
detalhes do T. da F. Implicita, mas acho que eh isto.
--- Márcio Pinheiro [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá, pessoal.
Gostaria de ajuda na seguinte questão:
Encontrar os valores de x e de y, para os quais
x^y=a e y^x = a+1. Discutir
as soluções para os possíveis valores de a.
Desde já, agradeço.
Márcio.
_
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