RES: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos
Esta solucao do Rogerio é bem interessante! Entretanto, as desigualdades apresentadas valem para qualquer sequencia a_n de numeros positivos tal que Soma(n = 1, oo) 1/a_n divirja - exatamente o caso da sequencia p_n dos numeros primos. De fato, se, para algum k 1, tivermos a_n n^k para um numero finito de indices n, existe entao m tal que a_n = n^k 0 para todo n = m e, portanto, 0 1/a_n = 1/n^k tambem para todo n = m Como k 1, Soma(n=1, oo) 1/n^k converge, do que deduzimos, por comparacao, que Soma(n = 1, oo) 1/a_n tambem converge. Isto, porem, contraria a hipotese de que Soma(n = 1, oo) 1/a_n diverge, concluido-se portanto que, para todo k 1, a desigualdade a_n n^k ocorre infinitas vezes. A sequencia p_n é caso particular desta conclusao geral. Abracos Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rogerio Ponce Enviada em: quarta-feira, 7 de maio de 2008 02:26 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos Ola' Ana, pelo teorema dos numeros primos ( vide http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem ), podemos aproximar p_n da seguinte forma: p_n ~ n*log(n) + n*log(log(n)) Observe que log e' o log neperiano, e que a aproximacao e' por excesso. Assim, basta provar que, quando k1, ha' infinitos n tal que n*log(n) + n*log(log(n)) n^k que e' o mesmo que: log(n) + log(log(n)) n^(k-1) Fazendo as substituicoes e^(k-1)=a , onde a1 log(n)=x podemos reescrever a desigualdade como x + log(x) a^x ou seja, (aplicando logaritmo nos 2 lados): log(x+log(x)) / x log(a) que e' verdadeira para infinitos n , pois a expressao da esquerda converge para 0, quando x-oo. []'s Rogerio Ponce 2008/5/5 Ana Evans Merryl [EMAIL PROTECTED]: Este problema foi apresentado hah cerca de 1 mes, mas ninguem apresentou a solucao. Alguem tem a prova? Seja p_n, n =1,2,3..., a sequencia dos numeros primos. Mostre que, para todo k 1, a desigualdade, p_n n^k ocorre para uma infinidade de índices n. Obrigada = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos
Se vc quiser provar por indução, não é este o racicínio correto. Primeiro, você tem que provar que a prposiçao vale para n =1; Depois, assumindo que seja valida para lgum inteiro positivo n, tem que provar que vale para o inteiro n +1. Não faz sendtido por k = oo Artur [Artur Costa Steiner] -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de saulo nilson Enviada em: sábado, 19 de abril de 2008 19:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos se eu por k=oo o pn sempre vai ser menor do que n^oo, tem que provar que e valido para k=2? On Mon, Apr 7, 2008 at 10:50 AM, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED] wrote: Acho este problema interessante. Encontrei uma solucao, gostaria de ver como os colegas resolvem. Seja p_n, n =1,2,3 a sequencia dos numeros primos. Mostre que, para todo k 1, a desigualdade, p_n n^k ocorre para uma infinidade de índices n.
RES: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos
Não, nada que seja matematicamente válido é trapaça! Mas ha uma outra solucao.. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: domingo, 13 de abril de 2008 09:19 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos Se der pra aproximar p_n por (n*log n), acho que sai fácil! Mas é trapaça da pesada usar o Teorema do Nùmero Primo. Em 08/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Ha uma solucao que nao eh dificil, naoi Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Fernando Enviada em: segunda-feira, 7 de abril de 2008 14:25 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos Prioridade: Alta Olá colega, boa tarde! Eu também encontrei uma solução bastante trivial,... mas a margem é muito pequena para contê-la . r (brincadeirinha...) Devemos manter o bom humor nesta lista, não é mesmo? Amplexo. Fernando - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 07, 2008 10:50 AM Subject: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos Acho este problema interessante. Encontrei uma solucao, gostaria de ver como os colegas resolvem. Seja p_n, n =1,2,3 a sequencia dos numeros primos. Mostre que, para todo k 1, a desigualdade, p_n n^k ocorre para uma infinidade de índices n. -- Ideas are bulletproof. V = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos
Ha uma solucao que nao eh dificil, naoi Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Fernando Enviada em: segunda-feira, 7 de abril de 2008 14:25 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos Prioridade: Alta Olá colega, boa tarde! Eu também encontrei uma solução bastante trivial,... mas a margem é muito pequena para contê-la . r (brincadeirinha...) Devemos manter o bom humor nesta lista, não é mesmo? Amplexo. Fernando _ _ - Original Message - From: Artur Costa Steinermailto:[EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 07, 2008 10:50 AM Subject: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos Acho este problema interessante. Encontrei uma solucao, gostaria de ver como os colegas resolvem. Seja p_n, n =1,2,3 a sequencia dos numeros primos. Mostre que, para todo k 1, a desigualdade, p_n n^k ocorre para uma infinidade de índices n.
RES: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos
É real Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: segunda-feira, 7 de abril de 2008 12:05 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos k é inteiro ou real ? (acho que é real, pra ter graça, porque p_n n^2 parece fácil com uma idéia de ter primos entre p e 2p) On Mon, Apr 7, 2008 at 3:50 PM, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Acho este problema interessante. Encontrei uma solucao, gostaria de ver como os colegas resolvem. Seja p_n, n =1,2,3 a sequencia dos numeros primos. Mostre que, para todo k 1, a desigualdade, p_n n^k ocorre para uma infinidade de índices n. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] Desigualdade II
Eh. x^2 + y^2 = 2xy y^2 + z^2 = 2yz x^2 + z^2 = 2xz 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 = 2xy + 2yz + 2xz = x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + xz E so hah igualdade se x = y = z -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: quinta-feira, 23 de agosto de 2007 16:11 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade II Dá pra usar rearranjo: Se A=B=C e a=b=c Então Aa+Bb+Cc=Ab+Bc+Ca Se fizermos A=a, B=b, C=c, acabou! Outro modo é usar Médias mesmo: x^2+y^2=2xy, escreve para os outros pares de variáveis, soma tudo e fim! Em 23/08/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Bruna, Em geral a gente é tentado a desenvolver (x+y+z)^2 , para resolver esta questão, mas não obtemos sucesso, pois as parcelas x^2, y^2 e z^2, possuem coeficiente 1, e as parcelas xy, xz e yz têm coeficientes 2. Então temos que encontrar uma forma de empatar os coeficientes, ou seja, gostaríamos de ter 2.x^2, 2.y^2 e 2.z^2.Esta é a motivação para perceber que o que deve funcionar (para resolver o problema) é o desenvolvimento de (x - y)^2 + (x - y)^2 + (y - z)^2 que, como é soma de quadrados, é sempre = 0 Abraços, Nehab At 04:08 23/8/2007, you wrote: Olá meninos voltei. rs Mais uma de desigualdade x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz. -- Bjos, Bruna -- Ideas are bulletproof. V
RES: [obm-l] Desigualdade, meninos e meninas... quase-off
Eh, mas se puderem ser negativos a desigualdade nao eh valida. Os meninos aqui, incluinodo este aqui, menino do inicio dos anos 60, viram isso Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab Enviada em: terça-feira, 21 de agosto de 2007 08:04 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade, meninos e meninas... quase-off Não resisti: Pois então menina :-), sua apostila está errada... Abraços, Nehab, um menino, há muito e muito tempo... At 04:43 21/8/2007, you wrote: Olá meninos, na minha apostila só fala que a e b são reais não nulos. -- Bjos, Bruna
RES: [obm-l] desigualdade
Certamente existe uma solucao por fatoracao. Mas, se for valido utilizar algum conhecimento de programacao matematica, este e um caso em que quer minimizar uma funcao f de a,b, c continua, que apresenta simetria, e cujas derivadas parciais existem. Sabemos que um ponto extremo ocorre para a = b = c = 2/3, o qual nos leva a f(2/3, 2/3, 2/3) = 16. Se restringirmos f ao octante nao negativo, entao temos funcao continua em conjunto compacto. Outros pontos o extremos ocorrem quando uma das variaveis e positiva e a s outras nulas, como a=2, b= c =0. A funcao assume entao o valor 24 16. Se permitirmos valores negativos, entao fazendo c = 0 e b = 2 - a, obtemos uma funcao polinomila do segundo grau em a cujo temos lider eh positivo. Assim, atendendo a + b + c =2 podemos fazer a funcao ir para oo. Concluimos que (2/3, 2/3, 2/3) é minimo global e, portanto, f(a, b, c) = 3(a^3+b^3+c^3)+10(ab+bc+ca) = f(2/3, 2/3, 2/3) = 16 para todos (a, b, c) com a + b + c =2, havendo igualdade sse a = b = c = 2/3 [Artur Costa Steiner] -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Julio Sousa Enviada em: segunda-feira, 25 de junho de 2007 02:44 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] desigualdade Se a+b+c=2 , então prove que: 3(a^3+b^3+c^3)+10(ab+bc+ca) =16 -- Atenciosamente Júlio Sousa
RES: [obm-l] desigualdade
De modo geral, para todo n=1 temosP_n = 1/2* 3/4 *(2n-1)/(2n) = Produto(i =1,n)(1 - 1/(2n)). Pela desigualdade MA = MG, para n1 temos que (P_n)^(1/n) (1/n) * Soma (i=1,n)(1 - 1/(2n)) = 1 - (1 + 1/2 +1/n)/(2*n) .Para n1,vale a desigualdade1 + 1/2 +1/n ln(n+1), de modo que(P_n)^(1/n) 1 - ln(n+1)/(2n). Finalmente, concluimos que, para n 1, P_n (1 - ln(n+1)/(2n))^n. No caso, temos n=100, o que nos mostra que . (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) 0,096849, uma estimativa bem mais rigorosa do que a apresentada. Acho que o limite inferior apresentado estah incorreto. Quando n-- oo, vemos que (1 - ln(n+1)/(2n))^n --0, logo P_n -- 0. Na terminologia adotada em produtos infinitos, temos que P_n diverge para 0. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Danilo NascimentoEnviada em: segunda-feira, 7 de novembro de 2005 20:53Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] desigualdade Prove a desigualdade. 1/15(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)1/10 Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!
RES: [obm-l] desigualdade
Sejam a=(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) e b=(2/3)*(4/5)*(6/7)...*(98/99) -- note que tem 50 termos em a, mas apenas 49 termos em b. Também, note que ab=1/100, isto é, b=1/(100a). Bom, como 3/42/3; 5/64/5; ... ; 99/10098/99; temos, multiplicando tudo, que 2ab. Como 1/22/3; 3/44/5; 5/66/7;...; 97/9898/99; 99/1001; temos, multiplicando tudo, que ab. Assim, b/2ab. Como b=1/100a: 1/(200a) a 1/(100a) 1/225 1/200 a^2 1/100 1/15 a 1/10 Abraço, Ralph -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Danilo NascimentoEnviada em: segunda-feira, 7 de novembro de 2005 19:53Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] desigualdade Prove a desigualdade. 1/15(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)1/10 Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!
RES: [obm-l] desigualdade
Isso nao prova nada. Ele esta tentando provar a desigualdade partindo do pricipio que ela eh verdadeira...Eh como um advogado tentar provar que seu cliente e inocente partindo do principio que ele eh inocente... Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de JúniorEnviada em: segunda-feira, 12 de setembro de 2005 23:05Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] desigualdadeUm amigo resolveu de uma forma tao simples...Vejam se procede a demonstração:Mostre que ln 2 (2/5)^(2/5).log 2 (na base 2) = 1 ln 2 "evidente"1 ln 2 (2/5)^(2/5)1 (2/5)^(2/5) 5^(2/5) 2^(2/5) . FIM.Júnior.
Re: RES: [obm-l] Desigualdade com complexos
Apesar de mais trabalhosa eu gostei mais da solução do Gugu. Abs.Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caro Pedro,Muito bacana esta solução (embora ligeiramente menos elementar que aminha) - eu devia ter visto isso...Abraços,GuguP.S.: Claro que dá para tirar os -1, mas aí fica bem mais trivial:Isso segue, por exemplo, de |e^(a+bi)|=e^a=e^((a^2+b^2)^(1/2)).|e^z - 1| = |z + z^2/2 + z^3/3! + |e^|z| - 1 = |z| + |z|^2/2 + |z|^3/3! + ...Truncando-se as somas, usando desigualdade triangular e tomando o limite,obtem-se o resultado. Poderia omitir o "-1" nesse caso?Um abraço. Pedro.-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nomede Carlos Gustavo Tamm de Araujo MoreiraEnviada em: Monday, July 25, 2005 12:47 PMPara: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] Desigualdade com complexos Caro Danilo, Fazendo z=a+bi, queremos provar que (e^a.cosb-1)^2+(e^a.senb)^2=(e^((a^2+b^2)^(1/2)-1)^2, o que equivale ae^(2a)-2e^a.cosb=e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2)).Vamos mostrar que 0=x=y implica e^(2y)-2e^y-(e^(2x)-2e^x=e^x(y^2-x^2).Escrevendo y=x+h, isso equivale a e^(x+2h)-2e^h-e^x+2=h^2+2hx (apss dividirpor e^x). Isso pode ser escrito como e^x(e^h-1)(e^h+1)-2(e^h-1)=h(h+2x), ouseja, (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x), mas e^h-1=h,e^x-1=x e e^(x+h)-1=x+h, donde e^(x+h)+e^x-2=2x+h e (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x).Agora, usamos isso para y=(a^2+b^2)^(1/2) e x=a, obtendoe^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2))-(e^(2a)-2e^a)=e^a.b^2. Queremosprovar que o lado esquerdo e' =2e^a.(1-cosb), e logo (dividindo por e^a)basta mostrar que b^2=2(1-cosb), mas 1-cosb=2(sen(b/2))^2=2.(b/2)^2=b^2/2,donde b^2=2(1-cosb), cqd. Abragos, Gugu Pessoal , alguem sabe fazer essa ?prove que para todo numero complexo z , vale |e^z-1| menor ou igual a e^|z|-1 Abs.=Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
RES: [obm-l] Desigualdade com complexos
|e^z - 1| = |z + z^2/2 + z^3/3! + | e^|z| - 1 = |z| + |z|^2/2 + |z|^3/3! + ... Truncando-se as somas, usando desigualdade triangular e tomando o limite, obtem-se o resultado. Poderia omitir o -1 nesse caso? Um abraço. Pedro. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira Enviada em: Monday, July 25, 2005 12:47 PM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade com complexos Caro Danilo, Fazendo z=a+bi, queremos provar que (e^a.cosb-1)^2+(e^a.senb)^2=(e^((a^2+b^2)^(1/2)-1)^2, o que equivale a e^(2a)-2e^a.cosb=e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2)). Vamos mostrar que 0=x=y implica e^(2y)-2e^y-(e^(2x)-2e^x=e^x(y^2-x^2). Escrevendo y=x+h, isso equivale a e^(x+2h)-2e^h-e^x+2=h^2+2hx (apss dividir por e^x). Isso pode ser escrito como e^x(e^h-1)(e^h+1)-2(e^h-1)=h(h+2x), ou seja, (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x), mas e^h-1=h,e^x-1=x e e^(x+h)-1=x+h, donde e^(x+h)+e^x-2=2x+h e (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x). Agora, usamos isso para y=(a^2+b^2)^(1/2) e x=a, obtendo e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2))-(e^(2a)-2e^a)=e^a.b^2. Queremos provar que o lado esquerdo e' =2e^a.(1-cosb), e logo (dividindo por e^a) basta mostrar que b^2=2(1-cosb), mas 1-cosb=2(sen(b/2))^2=2.(b/2)^2=b^2/2, donde b^2=2(1-cosb), cqd. Abragos, Gugu Pessoal , alguem sabe fazer essa ? prove que para todo numero complexo z , vale |e^z-1| menor ou igual a e^|z|-1 Abs. = Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Desigualdade com complexos
Caro Pedro, Muito bacana esta solução (embora ligeiramente menos elementar que a minha) - eu devia ter visto isso... Abraços, Gugu P.S.: Claro que dá para tirar os -1, mas aí fica bem mais trivial: Isso segue, por exemplo, de |e^(a+bi)|=e^a=e^((a^2+b^2)^(1/2)). |e^z - 1| = |z + z^2/2 + z^3/3! + | e^|z| - 1 = |z| + |z|^2/2 + |z|^3/3! + ... Truncando-se as somas, usando desigualdade triangular e tomando o limite, obtem-se o resultado. Poderia omitir o -1 nesse caso? Um abraço. Pedro. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira Enviada em: Monday, July 25, 2005 12:47 PM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade com complexos Caro Danilo, Fazendo z=a+bi, queremos provar que (e^a.cosb-1)^2+(e^a.senb)^2=(e^((a^2+b^2)^(1/2)-1)^2, o que equivale a e^(2a)-2e^a.cosb=e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2)). Vamos mostrar que 0=x=y implica e^(2y)-2e^y-(e^(2x)-2e^x=e^x(y^2-x^2). Escrevendo y=x+h, isso equivale a e^(x+2h)-2e^h-e^x+2=h^2+2hx (apss dividir por e^x). Isso pode ser escrito como e^x(e^h-1)(e^h+1)-2(e^h-1)=h(h+2x), ou seja, (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x), mas e^h-1=h,e^x-1=x e e^(x+h)-1=x+h, donde e^(x+h)+e^x-2=2x+h e (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x). Agora, usamos isso para y=(a^2+b^2)^(1/2) e x=a, obtendo e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2))-(e^(2a)-2e^a)=e^a.b^2. Queremos provar que o lado esquerdo e' =2e^a.(1-cosb), e logo (dividindo por e^a) basta mostrar que b^2=2(1-cosb), mas 1-cosb=2(sen(b/2))^2=2.(b/2)^2=b^2/2, donde b^2=2(1-cosb), cqd. Abragos, Gugu Pessoal , alguem sabe fazer essa ? prove que para todo numero complexo z , vale |e^z-1| menor ou igual a e^|z|-1 Abs. = Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Desigualdade de complexos
Seja r = |z[2]|/|z[1]| que é menor que 1 por hipótese. Voce gostaria de mostrar que nr^(n-1) 1/(1-r) = 1 + r + r^2 + + r^(n-1) + . Observe que r^(n-1) 1 r^(n-1) r . . . r^(n-1) r^(n-2) r^(n-1) = r^(n-1) Somando os dois lados, obtem-se nr^(n-1) 1+ r + + r^(n-2)+ r^(n-1) 1/(1-r) obtendo o resultado. Um abraço. Pedro. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Fabio Niski Enviada em: Wednesday, February 23, 2005 6:42 PM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade de complexos Fabio Niski wrote: Pessoal, travei nesse problema aqui. Alguem tem alguma sugestao/solucao? Sejam z[1], z[2] numeros complexos tais que |z[1]| |z[2]|. Mostre que, para todo n = 2, n*(|z[2]/z[1]|)^(n-1) |z[1]|/(z[1] - z[2]) Ops, apenas uma errata n*(|z[2]/z[1]|)^(n-1) |z[1]|/(|z[1]| - |z[2]|) = Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] desigualdade
Esta eh a famosa desigualdade das médias aritmetica e geometrica, a prova jah foi apresentada aqui uma porcao de vezes, por diversos processos. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de fagner almeida Enviada em: Sunday, February 20, 2005 11:54 AM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] desigualdade será que uma alma caridosa pode prova para mim essa questão. está nesse endereço http://img237.exs.cx/img237/2624/desigualdade3fh.gif ou anexada = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Desigualdade
Imagine que y é um parâmetro e para cada y você tem um polinômio em x de grau 2. Encontre o discriminante desse polinômio em função de y: delta = -20(y^2 + 2y + 1). Agora mostre que esse discriminante é 0 para todo y diferente de 1 (nesse caso a primeira expressão é 0) e para y=1, a primeira expressão é sempre 0 exceto em x=7 quando ela vale 0. Um abraço. Pedro. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bruno França dos Reis Enviada em: Sunday, December 19, 2004 11:42 AM Para: OBM Assunto: [obm-l] Desigualdade Alguém dá uma mão nesse aqui? Mostre que x^2 - 2xy + 6y^2 - 12x + 2y + 41 =0, quaisquer x, y reais. abraço bruno -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
