[obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Dúvida

[a47065]

Rafael Ando, e demais colaboradores,

 

1.  Muito grato pela resposta. 

2.  Realmente é isso, pois sãos os: f1, f2, f4, f8 e f10 (1, 3, 21 e
55).

 

Abraços fraternais,

 

Rubens

 

De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Rafael Ando
Enviada em: segunda-feira, 8 de setembro de 2008 15:28
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] [obm-l] Dúvida

 

bom, segundo o site:
http://mathworld.wolfram.com/TriangularNumber.html

existem apenas os 4 que vc citou mesmo.

2008/9/8 a47065 <[EMAIL PROTECTED]>

Doutores

 

1.   Boa tarde;

2.   Qual eh a técnica para descobrir os números de Fibonacci que são
números triangulares?

3.   Número de Fibonacci: {Fn} = {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,..., n}

4.   Número triangular: {NT} = {1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,...,n}

5.   Encontrei: {1, 3, 21,55, ?}

6.   Dizem que existe uma conjectura ... que existem 5 números de
Fibonacci que são números triangulares. Como as determino?

 

Sds

 

Rubens 



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database 3425 (20080908) __

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Rafael


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Re: [obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Renji,

concordo que sempre é possível demonstrar usando a notação de somatório, mas
não concordo com a informalidade dos três pontinhos. Veja que é apenas uma
questão de notação, e existe uma "bijeção" entre elas... isto é, representam
exatamente a mesma coisa.

Sum[i=a .. b] { f(i) } == f(a) + f(a+1) + ... + (b)

É o mesmo que escrevermos df(x)/dx ao invés de f'(x).

abraços,
Salhab




2008/3/4 Rodrigo Renji <[EMAIL PROTECTED]>:

> bem saiu um simbolo errado no texto que eu escrevi
> ao inves de
>
> soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k)= +f(n)
> com
> soma [k=1, 1] f(k)= f(1)
>
>
> é
>
>
> soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k) +f(n)
> com
> soma [k=1, 1] f(k)= f(1)
>
> apareceu um "=" a mais na primeira que não era pra ter
>
> eu costumo usar sempre essa definição acima, para demonstrar problemas
> de somatórios
> acho a notação de pontinhos (a1+...+an) informal, tento não usar
> apesar de dar uma "visão" as vezes do que esta acontecendo com o
> somatorio, mas acho que se pode desenvolver as técnicas de somatorio o
> suficiente para nao precisar abrir em pontinhos =P (abrindo as vezes,
> o primeiro, ou ultimo termo apenas nas demonstrações)
>
> se precisar de mais alguma ajuda só postar
> abraços o/
> Em 04/03/08, Rubens Kamimura<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> >
> >
> >
> >
> > Olá Marcelo Salhab,
> >
> >
> >
> > Muito grato.
> >
> >
> >
> > Sds
> >
> >
> >
> > Rubens Kamimura
> >
> > Assistente Técnico III - CREA/SP 5062246285
> >
> > CESP - Companhia Energética de São Paulo
> >
> > OMPTD - Capacitação e Desenvolvimento
> >
> > Caixa Postal, 58 - CEP 15385-000
> >
> > Ilha Solteira/SP - Brasil
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> > Tel. +55-18-3704-4240 ramal 136/137
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> > www.cesp.com.br
> >
> > email: [EMAIL PROTECTED]
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> > Mens In Corpore Tantun Molen Regit
> >
> > UNYK : 132 XOU
> >
> > P Antes de imprimir pense em sua responsabilidade e compromisso com o
> MEIO
> > AMBIENTE.
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
> nome
> > de Marcelo Salhab Brogliato
> >  Enviada em: terça-feira, 4 de março de 2008 14:29
> >  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >  Assunto: Re: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática
> >
> >
> >
> >
> > Olá Rubens,
> >
> >  Essas demonstrações seguem todas a mesma idéia...
> >  vou fazer apenas o 2.1
> >  veja que para n=1 é válido
> >
> >  vamos supor valido para K e vamos mostrar que vale para K+1.
> >  isto é:
> >  Hipótese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 = [k(k+1)(2k+1)]/6
> >  Tese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6
> >
> >  Demo:
> >  Sabemos que: 1^2 + 2^2 + .. + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6
> >  somando (k+1)^2 em ambos os lados, temos:
> >  1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2
> >
> >  vamos apenas fatorar o lado direito, e mostrar que ele é igual a
> > (k+1)(k+2)(2k+3)/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6
> >  k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 = (k+1)[ k(2k+1)/6 + (k+1) ] = (k+1)[ 2k^2 + k
> +
> > 6k + 6 ]/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6
> >
> >  logo, está provado por indução.
> >
> >  abraços,
> >  Salhab
> >
> >
> >
> >
> >
> > 2008/3/3 Rubens Kamimura <[EMAIL PROTECTED]>:
> >
> > Olá turma da LISTA!!!
> >
> >  Alguém desta LISTA, se habilitariam em me elucidar tal questão?
> >
> >  1. Sabendo, por definição, que: a^0=1 e a^1=a, como poderemos provar
> por
> >  indução matemática sobre n, que a^m.a^n = a^(m+n), para qualquer m,n
> >  pertencente ao conjunto dos números naturais?
> >
> >  2. Como podemos provar por indução matemática:
> >  2.1. 1^2+ 2^2+...+n^2 = [n(n+1)(2n+1)]/6, (n maior igual 1);
> >  2.2. 1^3+ 2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2, (n maior igual 1);
> >  2.3. 1.2+2.3+...+n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]/3, (n maior igual 1);
> >
> >  Abraços
> >
> >  leigo e neófito...
> >
> >
> >
> =
> >  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >  
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >
> =
> >
> >
> >
> >  --
> >  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >  acredita-se estar livre de perigo.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática

[Rodrigo Renji]

agora me lembrei de outra coisa tb... tem um tempo eu fiz uma página
de internet com propriedades básicas de somatório (bem básicas mesmo!!
hehehe)  o link abaixo  se quiser ver
http://iishp.5gbfree.com/matematica/soma/somas.html

depois vou escrever mais (incluindo aplicação nos problema desse
email) e colocar em outra página

abraços o/

Em 05/03/08, Rubens Kamimura<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Renji,
>
>  1. grato pelo retorno, valeu.
>
>  Sds
>
>  Rubens
>
>  -Mensagem original-
>
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
>
> de Rodrigo Renji
>  Enviada em: terça-feira, 4 de março de 2008 18:03
>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática
>
>
>  bem saiu um simbolo errado no texto que eu escrevi
>  ao inves de
>
>  soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k)= +f(n)
>  com
>  soma [k=1, 1] f(k)= f(1)
>
>
>  é
>
>
>  soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k) +f(n)
>  com
>  soma [k=1, 1] f(k)= f(1)
>
>  apareceu um "=" a mais na primeira que não era pra ter
>
>  eu costumo usar sempre essa definição acima, para demonstrar problemas
>  de somatórios
>  acho a notação de pontinhos (a1+...+an) informal, tento não usar
>  apesar de dar uma "visão" as vezes do que esta acontecendo com o
>  somatorio, mas acho que se pode desenvolver as técnicas de somatorio o
>  suficiente para nao precisar abrir em pontinhos =P (abrindo as vezes,
>  o primeiro, ou ultimo termo apenas nas demonstrações)
>
>  se precisar de mais alguma ajuda só postar
>  abraços o/
>  Em 04/03/08, Rubens Kamimura<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>  >
>  >
>  >
>  >
>  > Olá Marcelo Salhab,
>  >
>  >
>  >
>  > Muito grato.
>  >
>  >
>  >
>  > Sds
>  >
>  >
>  >
>  > Rubens Kamimura
>  >
>  > Assistente Técnico III - CREA/SP 5062246285
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>  > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
>  > de Marcelo Salhab Brogliato
>  >  Enviada em: terça-feira, 4 de março de 2008 14:29
>  >  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  >  Assunto: Re: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática
>  >
>  >
>  >
>  >
>  > Olá Rubens,
>  >
>  >  Essas demonstrações seguem todas a mesma idéia...
>  >  vou fazer apenas o 2.1
>  >  veja que para n=1 é válido
>  >
>  >  vamos supor valido para K e vamos mostrar que vale para K+1.
>  >  isto é:
>  >  Hipótese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 = [k(k+1)(2k+1)]/6
>  >  Tese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6
>  >
>  >  Demo:
>  >  Sabemos que: 1^2 + 2^2 + .. + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6
>  >  somando (k+1)^2 em ambos os lados, temos:
>  >  1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2
>  >
>  >  vamos apenas fatorar o lado direito, e mostrar que ele é igual a
>  > (k+1)(k+2)(2k+3)/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6
>  >  k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 = (k+1)[ k(2k+1)/6 + (k+1) ] = (k+1)[ 2k^2 + k +
>  > 6k + 6 ]/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6
>  >
>  >  logo, está provado por indução.
>  >
>  >  abraços,
>  >  Salhab
>  >
>  >
>  >
>  >
>  >
>  > 2008/3/3 Rubens Kamimura <[EMAIL PROTECTED]>:
>  >
>  > Olá turma da LISTA!!!
>  >
>  >  Alguém desta LISTA, se habilitariam em me elucidar tal questão?
>  >
>  >  1. Sabendo, por definição, que: a^0=1 e a^1=a, como poderemos provar por
>  >  indução matemática sobre n, que a^m.a^n = a^(m+n), para qualquer m,n
>  >  pertencente ao conjunto dos números naturais?
>  >
>  >  2. Como podemos provar por indução matemática:
>  >  2.1. 1^2+ 2^2+...+n^2 = [n(n+1)(2n+1)]/6, (n maior igual 1);
>  >  2.2. 1^3+ 2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2, (n maior igual 1);
>  >  2.3. 1.2+2.3+...+n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]/3, (n maior igual 1);
>  >
>  >  Abraços
>  >
>  >  leigo e neófito.

[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática

[Rubens Kamimura]

Renji,

1. grato pelo retorno, valeu.

Sds

Rubens

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Rodrigo Renji
Enviada em: terça-feira, 4 de março de 2008 18:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática

bem saiu um simbolo errado no texto que eu escrevi
ao inves de

soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k)= +f(n)
com
soma [k=1, 1] f(k)= f(1)


é


soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k) +f(n)
com
soma [k=1, 1] f(k)= f(1)

apareceu um "=" a mais na primeira que não era pra ter

eu costumo usar sempre essa definição acima, para demonstrar problemas
de somatórios
acho a notação de pontinhos (a1+...+an) informal, tento não usar
apesar de dar uma "visão" as vezes do que esta acontecendo com o
somatorio, mas acho que se pode desenvolver as técnicas de somatorio o
suficiente para nao precisar abrir em pontinhos =P (abrindo as vezes,
o primeiro, ou ultimo termo apenas nas demonstrações)

se precisar de mais alguma ajuda só postar
abraços o/
Em 04/03/08, Rubens Kamimura<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>
>
>
> Olá Marcelo Salhab,
>
>
>
> Muito grato.
>
>
>
> Sds
>
>
>
> Rubens Kamimura
>
> Assistente Técnico III - CREA/SP 5062246285
>
> CESP - Companhia Energética de São Paulo
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>
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>
> Tel. +55-18-3704-4240 ramal 136/137
>
> Tel./Fax +55-18-3704-6800
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> email: [EMAIL PROTECTED]
>
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>
> UNYK : 132 XOU
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> AMBIENTE.
>
>
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>
>
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>
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
> de Marcelo Salhab Brogliato
>  Enviada em: terça-feira, 4 de março de 2008 14:29
>  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  Assunto: Re: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática
>
>
>
>
> Olá Rubens,
>
>  Essas demonstrações seguem todas a mesma idéia...
>  vou fazer apenas o 2.1
>  veja que para n=1 é válido
>
>  vamos supor valido para K e vamos mostrar que vale para K+1.
>  isto é:
>  Hipótese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 = [k(k+1)(2k+1)]/6
>  Tese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6
>
>  Demo:
>  Sabemos que: 1^2 + 2^2 + .. + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6
>  somando (k+1)^2 em ambos os lados, temos:
>  1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2
>
>  vamos apenas fatorar o lado direito, e mostrar que ele é igual a
> (k+1)(k+2)(2k+3)/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6
>  k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 = (k+1)[ k(2k+1)/6 + (k+1) ] = (k+1)[ 2k^2 + k +
> 6k + 6 ]/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6
>
>  logo, está provado por indução.
>
>  abraços,
>  Salhab
>
>
>
>
>
> 2008/3/3 Rubens Kamimura <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> Olá turma da LISTA!!!
>
>  Alguém desta LISTA, se habilitariam em me elucidar tal questão?
>
>  1. Sabendo, por definição, que: a^0=1 e a^1=a, como poderemos provar por
>  indução matemática sobre n, que a^m.a^n = a^(m+n), para qualquer m,n
>  pertencente ao conjunto dos números naturais?
>
>  2. Como podemos provar por indução matemática:
>  2.1. 1^2+ 2^2+...+n^2 = [n(n+1)(2n+1)]/6, (n maior igual 1);
>  2.2. 1^3+ 2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2, (n maior igual 1);
>  2.3. 1.2+2.3+...+n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]/3, (n maior igual 1);
>
>  Abraços
>
>  leigo e neófito...
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>  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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Re: [obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática

[Rodrigo Renji]

bem saiu um simbolo errado no texto que eu escrevi
ao inves de

soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k)= +f(n)
com
soma [k=1, 1] f(k)= f(1)


é


soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k) +f(n)
com
soma [k=1, 1] f(k)= f(1)

apareceu um "=" a mais na primeira que não era pra ter

eu costumo usar sempre essa definição acima, para demonstrar problemas
de somatórios
acho a notação de pontinhos (a1+...+an) informal, tento não usar
apesar de dar uma "visão" as vezes do que esta acontecendo com o
somatorio, mas acho que se pode desenvolver as técnicas de somatorio o
suficiente para nao precisar abrir em pontinhos =P (abrindo as vezes,
o primeiro, ou ultimo termo apenas nas demonstrações)

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>
> Olá Marcelo Salhab,
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>
> Muito grato.
>
>
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> Sds
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> Rubens Kamimura
>
> Assistente Técnico III - CREA/SP 5062246285
>
> CESP - Companhia Energética de São Paulo
>
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>
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>
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>
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> AMBIENTE.
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> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
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>  Enviada em: terça-feira, 4 de março de 2008 14:29
>  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  Assunto: Re: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática
>
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>
> Olá Rubens,
>
>  Essas demonstrações seguem todas a mesma idéia...
>  vou fazer apenas o 2.1
>  veja que para n=1 é válido
>
>  vamos supor valido para K e vamos mostrar que vale para K+1.
>  isto é:
>  Hipótese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 = [k(k+1)(2k+1)]/6
>  Tese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6
>
>  Demo:
>  Sabemos que: 1^2 + 2^2 + .. + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6
>  somando (k+1)^2 em ambos os lados, temos:
>  1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2
>
>  vamos apenas fatorar o lado direito, e mostrar que ele é igual a
> (k+1)(k+2)(2k+3)/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6
>  k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 = (k+1)[ k(2k+1)/6 + (k+1) ] = (k+1)[ 2k^2 + k +
> 6k + 6 ]/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6
>
>  logo, está provado por indução.
>
>  abraços,
>  Salhab
>
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> 2008/3/3 Rubens Kamimura <[EMAIL PROTECTED]>:
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> Olá turma da LISTA!!!
>
>  Alguém desta LISTA, se habilitariam em me elucidar tal questão?
>
>  1. Sabendo, por definição, que: a^0=1 e a^1=a, como poderemos provar por
>  indução matemática sobre n, que a^m.a^n = a^(m+n), para qualquer m,n
>  pertencente ao conjunto dos números naturais?
>
>  2. Como podemos provar por indução matemática:
>  2.1. 1^2+ 2^2+...+n^2 = [n(n+1)(2n+1)]/6, (n maior igual 1);
>  2.2. 1^3+ 2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2, (n maior igual 1);
>  2.3. 1.2+2.3+...+n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]/3, (n maior igual 1);
>
>  Abraços
>
>  leigo e neófito...
>
>
> =
>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
>
>
>  --
>  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questão de indução mate mática

[Rubens Kamimura]

Olá Marcelo Salhab,

 

Muito grato.

 

Sds

 

Rubens Kamimura 

Assistente Técnico III - CREA/SP 5062246285

CESP - Companhia Energética de São Paulo

OMPTD - Capacitação e Desenvolvimento

Caixa Postal, 58 - CEP 15385-000

Ilha Solteira/SP - Brasil

Tel. +55-18-3704-4240 ramal 136/137

Tel./Fax +55-18-3704-6800

www.cesp.com.br

email: [EMAIL PROTECTED] 

Mens In Corpore Tantun Molen Regit

UNYK : 132 XOU

P Antes de imprimir pense em sua responsabilidade e compromisso com o MEIO
AMBIENTE.

 

 

 

De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Marcelo Salhab Brogliato
Enviada em: terça-feira, 4 de março de 2008 14:29
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática

 

Olá Rubens,

Essas demonstrações seguem todas a mesma idéia...
vou fazer apenas o 2.1
veja que para n=1 é válido

vamos supor valido para K e vamos mostrar que vale para K+1.
isto é:
Hipótese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 = [k(k+1)(2k+1)]/6
Tese: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6

Demo:
Sabemos que: 1^2 + 2^2 + .. + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6
somando (k+1)^2 em ambos os lados, temos:
1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2

vamos apenas fatorar o lado direito, e mostrar que ele é igual a
(k+1)(k+2)(2k+3)/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6
k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 = (k+1)[ k(2k+1)/6 + (k+1) ] = (k+1)[ 2k^2 + k + 6k
+ 6 ]/6 = (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6

logo, está provado por indução.

abraços,
Salhab




2008/3/3 Rubens Kamimura <[EMAIL PROTECTED]>:

Olá turma da LISTA!!!

Alguém desta LISTA, se habilitariam em me elucidar tal questão?

1. Sabendo, por definição, que: a^0=1 e a^1=a, como poderemos provar por
indução matemática sobre n, que a^m.a^n = a^(m+n), para qualquer m,n
pertencente ao conjunto dos números naturais?

2. Como podemos provar por indução matemática:
2.1. 1^2+ 2^2+...+n^2 = [n(n+1)(2n+1)]/6, (n maior igual 1);
2.2. 1^3+ 2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2, (n maior igual 1);
2.3. 1.2+2.3+...+n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]/3, (n maior igual 1);

Abraços

leigo e neófito...


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
=



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 

[obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática

[rubens.kamimura]

Caro Rodrigo Renji e toda LISTA;

1. Bom dia;
2. Muito grato pela resposta;
3. Pelo fato já exposto anteriormente, sou iniciante na matéria, ... agora vou 
decifrar a tua explicação.

Sds,


Rubens Kamimura 
Assistente Técnico III - CREA/SP 5062246285
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-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rodrigo Renji
Enviada em: segunda-feira, 3 de março de 2008 21:40
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] [obm-l] Questão de indução matemática

oi, vou tentar te ajudar com esses problemas




vou usar uma notação simplificada, a de somatorio, (temo que isso
dificulte sua leitura =/)
vou escrever o somatorio como
soma [k=1, n] f(k) que é o mesmo que informalmente a

soma [k=1, n] f(k)= f(1)+f(2)++f(n-1)+f(n)
que definido por recorrencia por

soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k)= +f(n)
com
soma [k=1, 1] f(k)= f(1)
e
soma [k=1, n] f(k)= 0 se  n<1, isto é, se o limite superior é menor
que o inferior
mas o que voce precisa saber realmente é que

soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k)= +f(n)
com
soma [k=1, 1] f(k)= f(1)

soma [k=1, n] f(k)= f(1)+f(2)++f(n-1)+f(n)

isto é, que esse simbolo
soma [k=1, n] f(k)= equivale a toma a soma de f(k), com k variando de 1 até n

f(1)+f(2)++f(n-1)+f(n)

o que vai ser usado nas demonstrações vai ser isso
soma [k=1, n+1] f(k)=soma [k=1, n] f(k)= +f(n).
(eu considero mais formal e compacto usar a notação de somatorio)
agora vamos pra primeira

2.1. 1^2+ 2^2+...+n^2 = [n(n+1)(2n+1)]/6, (n maior igual 1);

com a notação de somatorio isso se escreve
soma [k=1, n] k^2=[n(n+1)(2n+1)]/6

para n=1 temos
soma [k=1, n] k^2= 1^2=1
e no outro lado temos
[1(1+1)(2+1)]/6= 1(2)(3)/6=1, entao a base da indução esta provada

agora vamos tomar por hipotese de que
soma [k=1, n] k^2=[n(n+1)(2n+1)]/6

e provar para (n+1)

soma [k=1, n+1] k^2=[(n+1)(n+2)(2n+3)]/6
mas primeiro vamos expandir  [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6, pois provavelmente nao vamos
chegar na forma fatorada bunitinha como esta acima
 [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6=1+13n/6 +3n^2 /2 +n^3/3

vamos expandir tb [n(n+1)(2n+1)]/6
[n(n+1)(2n+1)]/6= n/6 +n^2/2 +n^3/3

agora vamos pra demonstração
soma [k=1, n+1] k^2=soma [k=1, n] k^2 + (n+1)^2 (pela definição de
somatorio), mas pela hipotese temos
soma [k=1, n] k^2 =[n(n+1)(2n+1)]/6 que expandido é = n/6 +n^2/2 +n^3/3
somando com (n+1)^2 = n^2 +2n+1, ficamos com
n/6 +n^2/2 +n^3/3 + n^2 +2n+1=n^3/3+ 3n^2/2 +13n/6 +1= [(n+1)(n+2)(2n+3)]/6

=x, tenta fazer o resto se nao conseguir ou nao entender algo, tenta responder

o/
2.2. 1^3+ 2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2, (n maior igual 1);
2.3. 1.2+2.3+...+n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]/3, (n maior igual 1);

Em 03/03/08, Rubens Kamimura<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Olá turma da LISTA!!!
>
>  Alguém desta LISTA, se habilitariam em me elucidar tal questão?
>
>  1. Sabendo, por definição, que: a^0=1 e a^1=a, como poderemos provar por
>  indução matemática sobre n, que a^m.a^n = a^(m+n), para qualquer m,n
>  pertencente ao conjunto dos números naturais?
>
>  2. Como podemos provar por indução matemática:
>  2.1. 1^2+ 2^2+...+n^2 = [n(n+1)(2n+1)]/6, (n maior igual 1);
>  2.2. 1^3+ 2^3+...+n^3 = (1+2+...+n)^2, (n maior igual 1);
>  2.3. 1.2+2.3+...+n(n+1) = [n(n+1)(n+2)]/3, (n maior igual 1);
>
>  Abraços
>
>  leigo e neófito...
>
>
>  =
>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>  =
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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[obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Equação Trigonométr ica - Ajuda na solução

[Artur Costa Steiner]

Acho que podemos resolver por numeros complexos, utilizando a formula de Euler, 
que nos leva a que cos u = (e^(iu) + e(-iu)/2i. Assim, Soma (k =1, n) cos(kx)= 
Soma (k =1, n) (e^(inx) + e(-inx)/2i = 1/2i Soma (k =1, n)e^(inx) + e(-inx). 
Assim, temos a soma dos n primeiros termos de uma PG, a primeira com razao 
e^(ix), a segunda com razao e(-ix). Usando as conhecidas formulas da soma, 
chegamos a uma expressao fechada.

Estou sem tempo para desenvolver agora
Artur


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Marcus Vinicius Braz
Enviada em: quinta-feira, 31 de maio de 2007 15:12
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] [obm-l] Equação Trigonométrica - Ajuda na solução


=
Resolver:

cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ... + cos(nx) = 1/2

n é inteiro positivo.
=
Bem, consegui provar que:

cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ... + cos(nx) = Sn

2*Sn = [ sen{x*[(2*n+1)/2]} / sen(x/2) ] - 1

Travei a partir daí, ou seja, substituindo Sn = 1/2 na esquação acima.

Alguma alma brilhante com a famosa frase: "Experimente multiplicar ambos os 
lados por..." 

Abraços

_
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Res: [obm-l] OBM

[Klaus Ferraz]

Legal essa solucao ai. Tava tentando usar que os numeros pitagoricos podem ser 
escritos como x=2ab, y=a^2-b^2 e z=a^2+b^2. Tem um artigo sobre isso na eureka 
7. Mas num consegui nada não.


- Mensagem original 
De: claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l 
Enviadas: Sexta-feira, 15 de Dezembro de 2006 8:22:25
Assunto: Re:[obm-l] OBM


-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Thu, 14 Dec 2006 15:32:35 -0800 (PST)
Assunto: [obm-l] OBM

> (OBM)Sejam x,y e z inteiros, se x^2+y^2=z^2 entao xy é multiplo de 6.
> Vlw.
> 
x e y nao podem ser ambos impares, caso contrario teriamos z^2 == 2 (mod 4), o 
que eh impossivel.
Logo, xy eh multiplo de 2.
Se xy nao for multiplo de 3, entao x^2 == y^2 == 1 (mod 3) ==> 
z^2 == 2 (mod 3) ==>
contradicao, pois um quadrado perfeito soh pode ser congruente a 0 ou 1 (mod 3).
Logo, xy eh multiplo de 3 ==> 
xy eh multiplo de 6.

[]s,
Claudio.


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__
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RES: [obm-l] OBM Nivel Universitario 2a. fase - 2005

[Artur Costa Steiner]

Eu nao 
sei bem o que estah sendo disctutido, mas a serie Soma (1/n) eh DIVERGENTE. Eha 
a famosa serie harmonica
Artur
 

   
   
  > a serie soma(1/n) e convergente, possui um 
  maximo em n=1 e um minimo em n=00 que e 0, e nao possui pontos de 
  divergencias.
  a serie
  soma 1/an tambem e convergente, e deve ser analisada da seguinte 
  maneira
  1/a(n+1) = (an)^2005/((an)^2006)+1), tem um valor maximo em 1/a1=1 e 
  converge para  zero, notar que an^2006+1 converge mais rapidamente que 
  an^2005, como as duas funçoes sao convergentes, nao possuem descontinuidades, 
  da teoria de series a soma 1/n*1/an tambem vai convergir. 
  Problema 6
   
  ars=(ir +js)!/ir!js!

[obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questões da minha lista de Cálculo!

[Artur Costa Steiner]

Joao Victor, estas questoes nao sao dificeis. Na 5a vc fez o mais dificil.
Se f(x) = g(x) + C para todo real x e f(a) = g(a),entao f(a) = g(a) + C =>
f(a) = f(a) + C  e aih morreu Neves, né? 

A 1a e uma simples aplicacao do T, valor medio ao intervalo [x,y].

Ajudando com a 4a que me pareceu a mais interessante (eu mandei a solucao de
uma outra  na mesma linha que eh ateh mais interessante):

Para todo x<>0, temos que  f ''(x) =  (f '(x) - 4)/x  A existencia de f''
implica na diferenciabilidade de f' e, portanto, na sua continuidade em R.
Logo, para x<>0 f'' eh dada pela relacao entre duas funcoes continuas (a do
denominador eh a funcao identidade), sendo assim continua para todo x<>0.
Por inflexao horizontal entendo um ponto a no qual f'(a) = f''(a) = 0. Se
f''(a) =0, entao a equacao funcional dada implica que f'(a) = 4 >0, de modo
que as condicoes da inflexao horizontal nao sao satisfeitas.
Artur 

 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Joáo Vitor
Enviada em: sábado, 4 de junho de 2005 16:42
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] [obm-l] Questões da minha lista de Cálculo!


Amigos da OBM,

aí vão mais algumas questões de calculo:

1. Verifique que todo x, y pertencente a [a,b] teremos | lnx - lny | <= |
x-y |/a
 *dica: Usar Teorema do vaor médio!



2. O polinômio de Taylor de ordem n de uma função f em torno do ponto x = 0
é definido por

Pn (f ;0) = f(0) + f '(0)*x (1/2!)*f ''(0)*x^2 + (1/3!)*f '''(0)*x^3
+...+(1/n!)*F^n (0)*x^n

Determine o polinômio de taylor de ordem 5 das funções exponencial, seno,
cosseno, em torno do ponto x =0



3. Use Derivação implícita para determinar as derivadas das funções arcsen:
(-pi/2, pi/2) ->R,
arccos: (o,pi) ->R e arctg: (-pi/2, pi/2) ->R.


4. Seja f derivável até a segunda ordem em R e tal que, para todo x,
tenhamos que

   x*f ''(x) + f '(x) = 4

*Mostre que f '' é contínua em todo x diferente de 0.
*Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal.


5. Prove que se f ' (x) = g' (x) para todo x pertençente aos reais então
tias funções diferempor uma contatante.
Daí conclua que se as derivadas de duas funções são iguais e as funções
coincidem em um ponto Xo então
tais funções são iguais.

  *Obs: a primeira parte da 5ª questão eu conseguir fazer, mas a segunda
não!

Abraço a todos!
João Vitor Goes
Fortaleza - CE


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[obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questões da minha lista de Cálculo!

[Artur Costa Steiner]

Ajudando com a primeira:

Seja x pertencente a R. Para todo real h<>0, temos que [f(x+h) - f(x)]/h
=[f(x)*f(h) - f(x)]/h = f(x)* [(f(h) - 1)/h] = f(x)* [(f(h) - f(0))/h]. Por
hipótese, f eh derivavel em 0 e f'(0) = 1. Pela definicao de derivada, temos
que lim (h=> 0) [(f(h) - f(0))/h] = f'(0) = 1. Logo, lim (h => 0) [f(x+h) -
f(x)]/h = f'(x) = f(x) * lim (h => 0) [f(h) - f(0)]/h = f(x) * f'(0) = f(x)
* 1, de modo que f'(x) = f(x) para todo real x.

Na (2), diferencie g e , na (3), aplique o teorema do valor medio do calculo
diferencial ao intervalo [x, y]. 

Artur



-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Joáo Vitor
Enviada em: quarta-feira, 1 de junho de 2005 16:57
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] [obm-l] Questões da minha lista de Cálculo!


Mais 3 questões de Cálculo 1:

1. Seja  f : R-> R uma função derivável satisfazendo a seguinte condição:

  f(a+b) = f(a) * f(b) para todo a, b pertençente aos reais

Sabendo que f(0) = f '(0) = 1, mostre q f '(x) = f (x) para todo x
perteçente aos reais



2. Seja  f : R-> R uma função derivável satisfazendo a seguinte condição:

   f '(x) = c f(x) para todo x pertencente aos reais

Sendo c uma cte. Se g(x) = e^(-cx) * f(x) varifique g = K(cte) é contante
e conclua  que f(x) = k*e^(cx).


3. Verifique que para todo x, y pertençentes a [a,b] teremos |ln x - ln y|
<= |x-y|/a


Um abraço a todos da lista!
João Vitor
Fortaleza- CE


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[obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Questões da minha lista de Cálculo!

[Artur Costa Steiner]

Vou por ora colaborar com o primeiro problema: 


1. Seja  y = y(x) uma fanção derivável até a segunda ordem
no intervalo aberto I tal que para todo x pertencente I

 f '' (x) + x f '(x) - [f(x)]^2 = 0  e f(x) direferente de 0

   *Verifique que f ''  é contínua em I
   *Prove que f não admite pontos de máximos local em I


Para todo x de I, temos que f '' (x) =  [f(x)]^2 - x f '(x) . A
diferenciabilidade de f em I implica a sua continuidade, que, por sua vez,
implica a continuidade de f^2. A existência de f'' em I implica que f' seja
derivavel e, portanto, continua. Logo a funcao x -> x*f'(x) eh continua em
I. Temos, portanto, que, f'' eh dada pela diferenca de duas funcoes
continuas, o que implica que ela propria seja continua em I. 

Se algum u de I for extremo local de f, entao, como I eh aberto e f
derivavel, temos f'(u) = 0. Pela equacao funcional a que f satisfaz, temos
entao que f''(u) = [f(u)]^2. Como f nunca se anula em I, segue-se que f''(u)
>0, o que acarreta que u seja ponto de mínimo local. Logo, f nao admite
máximos locais em I. 

Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

RES: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3

[Humberto Silva Naves]

Tenho uma outra solução.

Suponha, por absurdo, que exista uma distribuição dos algarismos com no
máximo 3 algarismos distintos por linha (e por coluna).
Para cada posição do tabuleiro, marque o número de posições na mesma linha
como o mesmo algarismo.
Se a primeira linha for: 0  0  0  2  2  2  5  5  5  5
Iremos marcar:   3  3  3  3  3  3  4  4  4  4
Já que existem 3 posições com o algarismo 0, 3 com o algarismo 2 e 4 com o
algarismo 5.
A soma dos números marcados de cada coluna deverá ser menor ou igual a 3 *
10 = 30, pois temos no máximo 3 algarismos em cada coluna. Mas isso é um
absurdo, já que a soma dos números marcados de cada linha é pelo menos: 3^2
+ 3^2 + 4^2 = 34, logo a soma de todos os números marcados é pelo menos 34 *
10 = 340, portanto uma coluna deverá ter soma maior ou igual a 34.
Humberto


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Fabio Dias Moreira
Enviada em: segunda-feira, 18 de outubro de 2004 18:09
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3

Igor Castro said:
> É! me confundi... contei 5 alg diferentes umas 10 vezes na sétima 
> linha :P mas enfim.. ok.. 4 alg diferentes sempre... essa era a 
> resposta então? como provar que não tem um quadrado com 3? 2?
> [...]

Para simplificar o argumento, eu vou dizer que uma _fila_ é uma linha ou
coluna qualquer do tabuleiro.

Lema: Se C é um conjunto de filas que contêm todas as ocorrências de um dado
algarismo, então C tem pelo menos sete filas.

Prova: Suponha que |C| = k. Suponha ainda que h dessas k filas são
horizontais. Então as dez ocorrências do algarismo em questão devem estar
contidas na interseções das h filas horizontais com as k-h filas verticais,
donde h(k-h) >= 10. Mas por MA-MG, h(k-h) <= [(h+k-h)/2]^2 = k^2/4, logo k
>= sqrt(40) ==> k >= 7.

Marque todas as filas que contém algum algarismo zero, todas as que contém
algum algarismo um, ... até o nove. Pelo Lema, pelo menos 70 filas foram
marcadas; como o tabuleiro possui apenas 20 filas, o PCP implica que alguma
fila foi marcada pelo menos quatro vezes, logo esta fila possui quatro
algarismos distintos.

Unindo esta demonstração ao tabuleiro que o Paulo José enviou para a lista,
está demonstrado que o maior valor de n que satisfaz ao enunciado é n=4.

[]s,

--
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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=

Re: [obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Máximos e Mínimos

[Mario Salvatierra Junior]

Use multipicador de lagrange.

On Wed, 14 Jul 2004, David M. Cardoso wrote:

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> > 
> > 2) Se 3x + 4y = 100, qual é o valor mínimo de Sqrt (x^2 + ^y^2).
> 
> y=(100-3x)/4
> 
> f(x) = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(16x^2 + (100-3x)^2) / 4
> f(x) = sqrt(16x^2 + 1 - 600x + 9x^2) / 4 =
>  = sqrt(25x^2 - 600x + 1)/4 = (5/4)*sqrt(x^2 - 24x + 400)
> 
> Basta fazer a derivada e igualar a zero.
> Sou novo em calculo mas acho q o (5/4) pode descartar,
> e deve ter jeito melhor de fazer a derivada, mas bem.. eu fiz assim:
> 
> g(x) = f(x) * f(x) = x^2 - 24x + 400
> g'(x) = 2x - 24 = 2*f'(x)*f(x)
> 
> f'(x) = 0 = (2x - 24)/2*f(x)
> 
> x = 12 eh solução
> 
> f(12) = ... contas ... = 20
> 
> 20 eh o valor minimo.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> 

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  Good bye!
   Mario Salvatierra Junior
Mailing Address:
IMECC - UNICAMP
Caixa Postal 6065
13083-970 Campinas - SP
Brazil
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Máximos e Mínimos

[David M. Cardoso]

> 
> 2) Se 3x + 4y = 100, qual é o valor mínimo de Sqrt (x^2 + ^y^2).

y=(100-3x)/4

f(x) = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(16x^2 + (100-3x)^2) / 4
f(x) = sqrt(16x^2 + 1 - 600x + 9x^2) / 4 =
 = sqrt(25x^2 - 600x + 1)/4 = (5/4)*sqrt(x^2 - 24x + 400)

Basta fazer a derivada e igualar a zero.
Sou novo em calculo mas acho q o (5/4) pode descartar,
e deve ter jeito melhor de fazer a derivada, mas bem.. eu fiz assim:

g(x) = f(x) * f(x) = x^2 - 24x + 400
g'(x) = 2x - 24 = 2*f'(x)*f(x)

f'(x) = 0 = (2x - 24)/2*f(x)

x = 12 eh solução

f(12) = ... contas ... = 20

20 eh o valor minimo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: [obm-l] obm

[Cesar]

Eu acredito que seja vírus. Ouvi falar que tem um vírus espalhado por aí que
entra na lista de endereço das pessoas e fica envinado e-mails, o objetivo é
justamente esse, ficar enchendo a caixa de correio das pessoas.

Rodrigo Cesar


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Salvador Addas
Zanata
Enviada em: quinta-feira, 16 de outubro de 2003 11:53
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] obm




Voces estao recebendo esses milhares de emails, vindo como se fossem do
Nicolau, sem nada? Ou sera que eh pau no meu micro?


On Thu, 16 Oct 2003,  wrote:

>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Incoming mail is certified Virus Free.
Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: 6.0.521 / Virus Database: 319 - Release Date: 23/09/03

---
Outgoing mail is certified Virus Free.
Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).
Version: 6.0.521 / Virus Database: 319 - Release Date: 23/09/03

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: [obm-l] OBM 2003

[Rodrigo Maranhão]

Na verdade o ponto P que seria mínimo AP+BP+CP seria A congruente a P.

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Johann Peter
Gustav Lejeune Dirichlet
Enviada em: segunda-feira, 15 de setembro de 2003 12:59
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] OBM 2003

Essa foi feta pelo Edmilson,acho.
Basicamente ce tem que testar dois casos:ou o p
esta num cateto ou na hipotenusa.Calcula em cada
caso o minimpo e ve quanto da... 
--- Thiago Cerqueira <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > Aí galera:
> Fiz hj a 2ª fase da olimpíada Brasileira de
> Matemáti. Tinha uma questção que viajei:
> 
> Q1) Seja ABC um triângulo retângulo em A,
> defina P, um ponto pertencente ao perimetro de
> ABC, tal que a somo AP+BP+CP seja mínima.
> 
> 
> E aí? Como faço?
> Espero a resposta. Shine, Gugu, Onofre, Quero
> ver!
> 
> Uma abraço
> 
>THIAGO CERQUEIRA DE JESUS
> 
>
_
> Quer ajudar o Brasil e não sabe como?
> AjudaBrasil:
> http://www.ajudabrasil.org/mail.html.
>

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> Instruções para entrar na lista, sair da lista
> e usar a lista em
>
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai
dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito
mais! www.cade.com.br/antizona

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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