Re: [obm-l] Outro Problema Legal
on 24.02.04 19:38, benedito at [EMAIL PROTECTED] wrote: PROBLEMA 24 Considere um tabuleiro 10 × 10. Um movimento no tabuleiro se faz avançando 7 quadros para a direita e 3 quadros para baixo. No caso de se sair por uma linha se continua pelo começo (à esquerda) da mesma linha e no caso de acabar uma coluna se continua pelo começo da mesma coluna (acima). Onde se deve começar para que depois de 2004 movimentos terminemos num vértice? Benedito Oi, Benedito: Pelo que eu entendi, acho que eh isso aqui: Facamos a casa situada na linha i e coluna j corresponder ao par (i-1,j-1) onde (1 = i,j = 10). Assim, a casa superior esquerda (linha 1, coluna 1) serah (0,0) e a inferior direita (linha 10, coluna 10) serah (9,9). Suponhamos que a peca comeca na casa (x,y). Entao, apos 2004 movimentos, ela estarah na casa (u,v) onde: 0 = u,v = 9; u == x + 3*2004 (mod 10) == x == u + 8 (mod 10) v == y + 7*2004 (mod 10) == y == v + 2 (mod 10). Assim, (u,v) = (0,0) == (x,y) = (8,2) == linha 9, coluna 3 (u,v) = (9,0) == (x,y) = (7,2) == linha 8, coluna 3 (u,v) = (0,9) == (x,y) = (8,1) == linha 9, coluna 2 (u,v) = (9,9) == (x,y) = (7,1) == linha 8, coluna 2 Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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Ola Pessoal, O tabuleiro pode ser IMAGINADO como uma matriz quadrada de ordem 10. Adotemos esta imagem com a seguinte modificacao : as linhas e colunas estarao numeradas de 0 a 9. Fixado isso e notando que um movimento nao interfere no outro, e facil perceber que : 1) Se Ci e a Coluna Inicial do objeto ( Ci = 0,1,...,9 ) entao apos N movimentos a Coluna Final Cf sera tal que : Ci + 7*N = 10*q + Cf, para algum inteiro q . 2) Se Li e a Linha Inicial do objeto ( Li = 0,1,...,9 ) entao apos N movimentos a Linha Final Lf sera tal que : Li + 3*N = 10*q' + Lf, para algum inteiro q' . O enunciado informa que N=2004 e que a casa final deve ser um verfice, isto e : Ci + 7*2004 = 10*q + Cf = Ci + 14028 = 10*q + Cf onde Cf=0 ou Cf=9. Claramente que se Ci=2 entao Cf=0 ou se Ci=1 entao Cf = 9. Assim, o objeto devera estar nas colunas 1 ou 2. Mas, em qual linha ? Li + 3*2004=10*q' + Lf = Li + 6012 = 10*q' + Lf onde Lf=0 ou Lf=9. Claramente que se Li=7 entao Lf=9 ou se Li=8 entao Lf=0. Assim, o objeto devera estar nas linhas 7 ou 8. Portanto, as valores validos para (Li,Ci) sao (7,1), (7,2), (8,1) e (8,2). Exemplificando, se ele partir de (7,1) terminara em (9,9). Observe que as equacoes Ci + 7*N=10*q + Cf e Li + 3*N = 10*q' + Lf sao equivalentes a 7*N - 10*q = Cf - Ci e 3*N - 10*q' = Lf - Li. Como MDC(7,10)=MDC(3,10)=1 entao qualquer posicao final e ATINGIVEL seja qual for a posicao inicial de onde partirmos, bastando tomarmos um N ( numero de movimentos ) conveniente, pois, conforme nos sabemos, uma equacao diofantina da forma a*x + b*y = c tem solucao (x,y) no anel dos inteiros se, e somente se, MDC(a,b) divide c. PROBLEMA : Se, no problema do Benedito, os movimentos fossem 5 para a direita e 2 para baixo, partindo de uma posicao inicial (Li,Ci) seriam ATINGIVEIS, apos um numero conveniente de movimentos, qualquer posicao final ? Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,0955,250204 From: benedito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Outro Problema Legal Date: Tue, 24 Feb 2004 19:38:32 -0300 PROBLEMA 24 Considere um tabuleiro 10 × 10. Um movimento no tabuleiro se faz avançando 7 quadros para a direita e 3 quadros para baixo. No caso de se sair por uma linha se continua pelo começo (à esquerda) da mesma linha e no caso de acabar uma coluna se continua pelo começo da mesma coluna (acima). Onde se deve começar para que depois de 2004 movimentos terminemos num vértice? Benedito _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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Nao. Usando a mesmo formato : Apos N movimentos - Ci + 5*N = 10*q + Cf Se N e par: Ci + 5*2m = 10*q + Cf - Ci + 10*m = 10*q + Cf - Ci = Cf ( Ci, Cf 10 ) N impar: Ci + 5*(2m+1) = 10*q + Cf - Ci + 5 + 10*m = 10*q + Cf Ci =5 - Ci - 5 = Cf ( 10) Ci 5 - Ci + 5 = Cf ( 10) Com um raciocinio semelhante se deduz que Lf e sempre impar se Li impar e sempre par se Li par. Generalizando: Em uma matriz quadrada de ordem K e impossivel atingir qualquer posicao final a partir de uma posicao aleatoria (Li,Ci) apenas com movimentos d para a direita e b para baixo se d e/ou b sao fatores de K. Fica entao a pergunta: d e b NAO serem fatores de K e condicao suficiente para que qualquer posicao seja atingivel? From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] [snip] PROBLEMA : Se, no problema do Benedito, os movimentos fossem 5 para a direita e 2 para baixo, partindo de uma posicao inicial (Li,Ci) seriam ATINGIVEIS, apos um numero conveniente de movimentos, qualquer posicao final ? Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,0955,250204 [snip] _ Store more e-mails with MSN Hotmail Extra Storage 4 plans to choose from! http://click.atdmt.com/AVE/go/onm00200362ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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Ola Qwert Smith, Entendi seu raciocinio. Ele esta correto. Como Prof lhe daria 10. Entretanto observo que a sua resposta, abaixo destacada, esta mal redigida e um Prof estilo PICUINHA poderia usar este fato para retirar pontos que voce,por justica, nao merece perder. A titulo de exemplificacao, vou contar um fato que ocorreu comigo. Numa prova havia a seguinte questao : Se f:R-R e periodica de periodo T e integravel em qualquer intervalo, mostre que : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f qualquer que seja a constante A A questao e trivialissima e eu coloquei : Como f e integravel em qualquer intervalo, a funcao F(x)=INTEGRAL(x ate x+T) f esta bem definida. Pelo TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO segue que F'(x) = f(x+T) - f(x). Ora, f e periodica de periodo T. Entao F'(x)=0. Isto implica F(x)=constante. Logo, o valor de F(x) nao depende de x. Portanto F(A)=F(0), isto e : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f. A questao valia 3.5 pontos. Eu ganhei 1 ponto nela. Fui ao Prof. ( EU PERGUNTEI ) -- Prof, por que eu perdi ponto nesta questao ? ( RESPOSTA DO PROF ) -- O seu uso do Teorema Fundamental do Calculo nao e usual ... Portanto, e bom ficar atento, porque nao e raro nos depararmos com estas figuras maravilhosas que tem a imensa habilidade de essencializar o trivial e trivializar o essencial. A mediocridade e uma doenca cultural, incuravel, transmissivel por conceitos e procedimentos. Bom, voltando ao Benedito e preservando as definicoes originais que ele deu, fica claro que podemos voltar ao ponto de partida, qualquer que seja as coordenadas iniciais (Li,Ci). Isto seria algo como um ponto fixo. Portanto, tem sentido a pergunta : Seja (Li,Ci) as coordenadas da posicao inicial do objeto. Quais as coordenadas do primeiro ponto fixo ? Isto e, qual as coordenadas que primeiro se repetirao apos um numero inteiro e determinado de movimentos ? Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1332,250204 From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 08:41:20 -0500 Nao. Usando a mesmo formato : Apos N movimentos - Ci + 5*N = 10*q + Cf Se N e par: Ci + 5*2m = 10*q + Cf - Ci + 10*m = 10*q + Cf - Ci = Cf ( Ci, Cf 10 ) N impar: Ci + 5*(2m+1) = 10*q + Cf - Ci + 5 + 10*m = 10*q + Cf Ci =5 - Ci - 5 = Cf ( 10) Ci 5 - Ci + 5 = Cf ( 10) Com um raciocinio semelhante se deduz que Lf e sempre impar se Li impar e sempre par se Li par. Generalizando: Em uma matriz quadrada de ordem K e impossivel atingir qualquer posicao final a partir de uma posicao aleatoria (Li,Ci) apenas com movimentos d para a direita e b para baixo se d e/ou b sao fatores de K. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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Concordo que engoli uns passos, mas achei que foi o suficiente pra mostrar o raciocinio. Nao me importo em dar uma resposta 'perfeita', mas nao gostaria de atrapalhar outros estudantes pulando passos demais de forma que nao de pra acompanhar (de onde saiu isso?'). Acho que nao foi o caso dessa vez, mas vou tomar cuidado. O ponto inicial e sempre o primeiro a ser repetido, ja que so se chega no ponto (Cj,Lj) de um unico ponto(C(j-i),L(j-1)). Seja Nc o numero de movimento ate que (Ci = Cf) Ci = Cf - Ci + 7*Nc = Ci + 10*q - 7*Nc = 0 (mod 10) - Nc = 0 (mod 10) - Nc(min)=10 Seja Nl o numero de movimento ate que (Li = Lf) Li = Lf - Li + 3*Nl = Li + 10*q - 3*Nl = 0 (mod 10) - Nl = 0 (mod 10) - Nl(min)=10 mmc(Nc,Nl) = mmc(10,10) = 10 Generalizando: Nc = mmc(d*K)/d Nl = mmc(b*K)/b N(min) = mmc( Nc,Nl) From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 16:34:22 + Ola Qwert Smith, Entendi seu raciocinio. Ele esta correto. Como Prof lhe daria 10. Entretanto observo que a sua resposta, abaixo destacada, esta mal redigida e um Prof estilo PICUINHA poderia usar este fato para retirar pontos que voce,por justica, nao merece perder. A titulo de exemplificacao, vou contar um fato que ocorreu comigo. Numa prova havia a seguinte questao : Se f:R-R e periodica de periodo T e integravel em qualquer intervalo, mostre que : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f qualquer que seja a constante A A questao e trivialissima e eu coloquei : Como f e integravel em qualquer intervalo, a funcao F(x)=INTEGRAL(x ate x+T) f esta bem definida. Pelo TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO segue que F'(x) = f(x+T) - f(x). Ora, f e periodica de periodo T. Entao F'(x)=0. Isto implica F(x)=constante. Logo, o valor de F(x) nao depende de x. Portanto F(A)=F(0), isto e : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f. A questao valia 3.5 pontos. Eu ganhei 1 ponto nela. Fui ao Prof. ( EU PERGUNTEI ) -- Prof, por que eu perdi ponto nesta questao ? ( RESPOSTA DO PROF ) -- O seu uso do Teorema Fundamental do Calculo nao e usual ... Portanto, e bom ficar atento, porque nao e raro nos depararmos com estas figuras maravilhosas que tem a imensa habilidade de essencializar o trivial e trivializar o essencial. A mediocridade e uma doenca cultural, incuravel, transmissivel por conceitos e procedimentos. Bom, voltando ao Benedito e preservando as definicoes originais que ele deu, fica claro que podemos voltar ao ponto de partida, qualquer que seja as coordenadas iniciais (Li,Ci). Isto seria algo como um ponto fixo. Portanto, tem sentido a pergunta : Seja (Li,Ci) as coordenadas da posicao inicial do objeto. Quais as coordenadas do primeiro ponto fixo ? Isto e, qual as coordenadas que primeiro se repetirao apos um numero inteiro e determinado de movimentos ? Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1332,250204 From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 08:41:20 -0500 Nao. Usando a mesmo formato : Apos N movimentos - Ci + 5*N = 10*q + Cf Se N e par: Ci + 5*2m = 10*q + Cf - Ci + 10*m = 10*q + Cf - Ci = Cf ( Ci, Cf 10 ) N impar: Ci + 5*(2m+1) = 10*q + Cf - Ci + 5 + 10*m = 10*q + Cf Ci =5 - Ci - 5 = Cf ( 10) Ci 5 - Ci + 5 = Cf ( 10) Com um raciocinio semelhante se deduz que Lf e sempre impar se Li impar e sempre par se Li par. Generalizando: Em uma matriz quadrada de ordem K e impossivel atingir qualquer posicao final a partir de uma posicao aleatoria (Li,Ci) apenas com movimentos d para a direita e b para baixo se d e/ou b sao fatores de K. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Watch high-quality video with fast playback at MSN Video. Free! http://click.atdmt.com/AVE/go/onm00200365ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
On Wed, Feb 25, 2004 at 04:34:22PM +, Paulo Santa Rita wrote: Se f:R-R e periodica de periodo T e integravel em qualquer intervalo, mostre que : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f qualquer que seja a constante A A questao e trivialissima e eu coloquei : Como f e integravel em qualquer intervalo, a funcao F(x)=INTEGRAL(x ate x+T) f esta bem definida. Pelo TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO segue que F'(x) = f(x+T) - f(x). Ora, f e periodica de periodo T. Entao F'(x)=0. Isto implica F(x)=constante. Logo, o valor de F(x) nao depende de x. Portanto F(A)=F(0), isto e : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f. A questao valia 3.5 pontos. Eu ganhei 1 ponto nela. Fui ao Prof. ( EU PERGUNTEI ) -- Prof, por que eu perdi ponto nesta questao ? ( RESPOSTA DO PROF ) -- O seu uso do Teorema Fundamental do Calculo nao e usual ... Portanto, e bom ficar atento, porque nao e raro nos depararmos com estas figuras maravilhosas que tem a imensa habilidade de essencializar o trivial e trivializar o essencial. A mediocridade e uma doenca cultural, incuravel, transmissivel por conceitos e procedimentos. Eu não resisto à tentação de tumultuar um pouco... Que tipo de integral é esta? Se for de Lebesgue, então você *não pode* (a primeira vista) afirmar que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x; você só pode afirmar que F'(x) = 0 para quase todo ponto. E o fato da função F ser contínua e ter derivada zero qtp *não* é suficiente para garantir que F é constante! Mesmo se a integral for de Riemann, você continua sem poder afirmar (a primeira vista) que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x. Isto só vale se f for sabidamente contínua em x e x+T (ou algo similar). Note que o enunciado não diz que f é contínua nem nada do gênero apesar de que talvez fosse esta a intenção. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
Ola Carissimo Prof Nicolau e demais colegas desta lista ... OBM-L, A integral era de Riemann. Se f e continua entao e integravel e sua integral indefinida e derivavel, logo, e uma primitiva. Portanto, EU PODERIA usar o Teorema Fundamental tal como usei. No enunciado estava claro ( se nao coloquei isso aqui, foi esquecimento ) que f era continua em R (numeros reais) Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1718,250204 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 17:48:57 -0200 Eu não resisto à tentação de tumultuar um pouco... Que tipo de integral é esta? Se for de Lebesgue, então você *não pode* (a primeira vista) afirmar que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x; você só pode afirmar que F'(x) = 0 para quase todo ponto. E o fato da função F ser contínua e ter derivada zero qtp *não* é suficiente para garantir que F é constante! Mesmo se a integral for de Riemann, você continua sem poder afirmar (a primeira vista) que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x. Isto só vale se f for sabidamente contínua em x e x+T (ou algo similar). Note que o enunciado não diz que f é contínua nem nada do gênero apesar de que talvez fosse esta a intenção. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
Nicolau escreveu: Que tipo de integral é esta? Se for de Lebesgue, então você *não pode* (a primeira vista) afirmar que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x; Mesmo se a integral for de Riemann, você continua sem poder afirmar (a primeira vista) que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x. Neste caso então, a forma de responder a questão teria que embutir na solução a interpretação que o candidato deu à ela? Como examinador vc consideraria uma determinada solução para o problema como válida, devido à particuliaridade da interpretação dada pelo candidato? (sei que no seu caso vc não faria questões com ambiguidade, mas suponha que estivesse corrigindo a prova de outra pessoa). []s -- Ronaldo L. Alonso _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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On Wed, Feb 25, 2004 at 08:18:49PM +, Paulo Santa Rita wrote: A integral era de Riemann. Se f e continua entao e integravel e sua integral indefinida e derivavel, logo, e uma primitiva. Portanto, EU PODERIA usar o Teorema Fundamental tal como usei. No enunciado estava claro ( se nao coloquei isso aqui, foi esquecimento ) que f era continua em R (numeros reais) Se f era contínua então você tem razão, o professor é que foi criador de caso. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
On Wed, Feb 25, 2004 at 06:21:18PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Nicolau escreveu: Que tipo de integral é esta? Se for de Lebesgue, então você *não pode* (a primeira vista) afirmar que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x; Mesmo se a integral for de Riemann, você continua sem poder afirmar (a primeira vista) que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x. Neste caso então, a forma de responder a questão teria que embutir na solução a interpretação que o candidato deu à ela? Como examinador vc consideraria uma determinada solução para o problema como válida, devido à particuliaridade da interpretação dada pelo candidato? (sei que no seu caso vc não faria questões com ambiguidade, mas suponha que estivesse corrigindo a prova de outra pessoa). Parece que na questão original f era mesmo contínua, então está tudo certo. A diferença entre integral de Riemann e de Lebesgue é basicamente que a de Lebesgue é definida para mais funções então mudar de integral muda a classe de funções sendo discutida. Depende do contexto saber qual suposição é mais razoável e a minha opinião dependeria deste contexto. Num curso de cálculo seria natural supor f contínua mesmo que o enunciado não dissesse; num curso de medida seria uma clara distorção do enunciado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
Ola Pessoal, Eu vou aproveitar este bate-papo com o Prof Nicolau para esclarecer uma confusao que tenho visto ocorrer com muitos estudantes, em relacao a integral de Riemann. Se f:[a,b] - R e integravel entao f:[a,x] - R e integravel para todo x em [a,b]. Este fato e facilmente demonstravel usando os conceitos de soma superior e inferior e fica aqui como exercicio. O que quero fixar neste momento e que este fenomeno nos permite definir uma funcao : G:[a,b] - R dada for G(x)=INTEGRAL(a ATE x) f(x)dx Esta funcao e chamada INTEGRAL INDEFINIDA de f mas ( e este mas e bem grande ) esta definicao NAO GARANTE que a funcao G E DERIVAVEL ... Exemplo 1 : f:[1,3] - R f(x) = 5 se 1 = x 2 e f(x) = 7 se 2 = x = 3 Esta funcao e evidentemente integravel e faz sentido definir uma funcao G como fizemos acima. Todavia, G, nao obstante continua, NAO E DERIVAVEL no ponto x=2, justamente o ponto de descontinuidade de f. O quero dizer e que muitas propriedades interessantes de G dependem de outras propriedades interessantes de f. E o estudo da integral de Riemann tem esta faceta, vale dizer, a partir de uma compreensao de f inferimos propriedades em G. Exemplo 2 : Se f :[a,b]-R integravel for limitada entao G e necessariamente continua ( mais : G sera uniformemente continua ! ) Se f:[a,b]- for continua ( e portanto integravel ) entao G e derivavel. E este ultimo fenomeno, facilmente demonstravel e que fica aqui como exercicio, que permite definir a FUNCAO PRIMITIVA. G sera uma primitiva de f se, alem de ser definida como falamos acima, for derivavel. E MUITO IMPORTANTE PERCEBER ESTA DIFERENCA : Toda primitiva e uma integral indefinida, mas nem toda integral indefinida e uma primitiva. Se G e primitiva de f entao G'(x)=f(x). Claramente que se f for de classe C^1 entao tem derivada e esta derivada e continua. Daqui segue que f e uma primitiva de f'. Claramente que nao estou dizendo que f precisa ser C^1 para ter primitiva. Entao fica claro que PRIMITIVA e INTEGRAL INDEFINIDA sao conceitos diferentes. Eu acho que esta confusao deriva de alguns livros que misturam sutilmente estes conceitos. Mas e certo que nao raro muitos estudantes confundem estas coisas. Eu sei que me afastei um pouco do nosso tema, MATEMATICA OLIMPICA, mas penso ser justificavel para que a minha resposta abaixo fique clara. Alem disso, eu acredito que este esclarecimento pode ser util para algumas pessoas. Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1941,250204 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 19:43:48 -0200 On Wed, Feb 25, 2004 at 08:18:49PM +, Paulo Santa Rita wrote: A integral era de Riemann. Se f e continua entao e integravel e sua integral indefinida e derivavel, logo, e uma primitiva. Portanto, EU PODERIA usar o Teorema Fundamental tal como usei. No enunciado estava claro ( se nao coloquei isso aqui, foi esquecimento ) que f era continua em R (numeros reais) Se f era contínua então você tem razão, o professor é que foi criador de caso. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
Eu sei que me afastei um pouco do nosso tema, MATEMATICA OLIMPICA, mas penso ser justificavel para que a minha resposta abaixo fique clara. Alem disso, eu acredito que este esclarecimento pode ser util para algumas pessoas. Sempre é util caro Paulo. Essa lista, na minha humilde opiniao, já deveria ter mudado seu escopo para MATEMATICA faz tempo. Tem muita gente boa reunida por aqui e acredito que perdemos muitas discussoes interessantes devido ao medo de muitos participantes não opinarem sobre certo assunto ou iniciarem alguma discussao por que o tema da lista é MATEMATICA OLIMPICA e temos um adiministrador bem observador (apesar de eu nao me lembrar de ele ter reprimido alguem por estar discutindo matematica sem ser olimpica). De qualquer forma, fica ai minha sugestão. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski When we ask advice, we are usually looking for an accomplice. Joseph Louis LaGrange = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
On Wed, Feb 25, 2004 at 08:03:48PM -0300, niski wrote: Eu sei que me afastei um pouco do nosso tema, MATEMATICA OLIMPICA, mas penso ser justificavel para que a minha resposta abaixo fique clara. Alem disso, eu acredito que este esclarecimento pode ser util para algumas pessoas. Sempre é util caro Paulo. Essa lista, na minha humilde opiniao, já deveria ter mudado seu escopo para MATEMATICA faz tempo. Tem muita gente boa reunida por aqui e acredito que perdemos muitas discussoes interessantes devido ao medo de muitos participantes não opinarem sobre certo assunto ou iniciarem alguma discussao por que o tema da lista é MATEMATICA OLIMPICA e temos um adiministrador bem observador (apesar de eu nao me lembrar de ele ter reprimido alguem por estar discutindo matematica sem ser olimpica). De qualquer forma, fica ai minha sugestão. De fato não vejo problema nenhum em discutirmos matemática não olímpica, a matemática olímpica é apenas uma referência para que a discussão não fique solta demais. Tem muitos problemas que são enviados para esta lista que, sem querer ser grosseiro, me parecem triviais demais para serem considerados matemática olímpica, mas eu não reclamo disso, não interpreto que isto seja um abuso a ser reprimido. Por outro lado alguns excelentes problemas já foram discutidos aqui que me parecem técnicos demais até para o nível U, e também não reclamo disso. Neste caso quem empurrou o Paulo fui eu mesmo, aliás: não resisti a fazer um comentário que não era propriamente de matemática olímpica. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
