Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
Sauda,c~oes,
Num velho caderno vi que a soma
S = \sum_{i=0}^\infty 1/(1+i^2) tem um valor
conhecido (pode ser que fique melhor começando
com i=1, não me lembro).
Algo como \pi coth (???). Como achá-lo? Olha os
complexos aí de novo (será?).
O que podemos dizer se o denominador for 1 + i^k,
k=3,4,5,?
Alguma referência para estudar tais séries?
[]'s
Luís
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
Sauda,c~oes,
Obrigado Eduardo e Nicolau.
Vou tentar achar o livro do John B. Conway.
Dei uma pensada e após uma rascunhada consegui
mostrar que
B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.
As listas têm este problema: é tão fácil perguntar que
esquecemos que nós mesmos podemos ter a resposta
para nossos problemas.
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: segunda-feira, 8 de abril de 2002 19:32
Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
Oi Luis Lopes,
eu realmente nao sei se vai ajudar, mas o exercicio 13 da pagina 76 do
livro
Functions of One Complex Variable do John B. Conway fala sobre essa
funcao.
De uma olhada.
Eduardo Casagrande Stabel.
From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
Sauda,c~oes,
Seja H_n^(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... + 1/n^r.
Então sum (1/k^2) = H_\infty^(2).
Quando r é par, temos o seguinte resultado:
H_\infty^(r) = {1\over2} |B_r| {(2\pi)^r\over r!},
onde B_r é um número de Bernoulli (ver minha msg
raio de convergência).
Se r=2, B_2=1/6. Então H_\infty^(2) =
{1\over12} {4\pi^2\over 2} = \pi^2/6.
Uma pergunta sobre os números de Bernoulli e
a expansão em séries de z/(e^z-1).
Como provar que os coeficientes desta série
são dados por B_0=1 (cálculo direto) e
B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.
Alguma referência?
[]'s
Luís
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
On Mon, Apr 08, 2002 at 06:19:38PM -0300, Luis Lopes wrote:
Sauda,c~oes,
Seja H_n^(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... + 1/n^r.
Então sum (1/k^2) = H_\infty^(2).
Quando r é par, temos o seguinte resultado:
H_\infty^(r) = {1\over2} |B_r| {(2\pi)^r\over r!},
onde B_r é um número de Bernoulli (ver minha msg
raio de convergência).
Se r=2, B_2=1/6. Então H_\infty^(2) =
{1\over12} {4\pi^2\over 2} = \pi^2/6.
Uma pergunta sobre os números de Bernoulli e
a expansão em séries de z/(e^z-1).
Como provar que os coeficientes desta série
são dados por B_0=1 (cálculo direto) e
B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.
Alguma referência?
Fiquei um pouco confuso. O que é explicação, o que é pergunta?
Em todo caso, há alguma coisa sobre B_n no livro Matemática Concreta
de Graham, Knuth, Patashnik. []s, N.
=
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
Sauda,c~oes,
Oi Nicolau,
Vou olhar a referência com calma (já consultei ela
muito, para outros assuntos).
Explico o que quero: como achar o termo geral a_n
no desenvolvimento de f(z) = z/(e^z-1) ?
Bom, talvez a idéia seja ao contrário: achar f(z) tal que
a_n é dado por (com possível correção envolvendo 1/n!)
B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.
Imagino que primeiro Bernoulli descobriu estes números
tentando achar as fórmulas de somas de i^k.
O problema posto desta maneira foi resolvido na ref.
abaixo para o caso dos números de Fibonacci.
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: terça-feira, 9 de abril de 2002 13:42
Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
On Mon, Apr 08, 2002 at 06:19:38PM -0300, Luis Lopes wrote:
Sauda,c~oes,
Seja H_n^(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... + 1/n^r.
Então sum (1/k^2) = H_\infty^(2).
Quando r é par, temos o seguinte resultado:
H_\infty^(r) = {1\over2} |B_r| {(2\pi)^r\over r!},
onde B_r é um número de Bernoulli (ver minha msg
raio de convergência).
Se r=2, B_2=1/6. Então H_\infty^(2) =
{1\over12} {4\pi^2\over 2} = \pi^2/6.
Uma pergunta sobre os números de Bernoulli e
a expansão em séries de z/(e^z-1).
Como provar que os coeficientes desta série
são dados por B_0=1 (cálculo direto) e
B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.
Alguma referência?
Fiquei um pouco confuso. O que é explicação, o que é pergunta?
Em todo caso, há alguma coisa sobre B_n no livro Matemática Concreta
de Graham, Knuth, Patashnik. []s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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=
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
Sauda,c~oes,
Seja H_n^(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... + 1/n^r.
Então sum (1/k^2) = H_\infty^(2).
Quando r é par, temos o seguinte resultado:
H_\infty^(r) = {1\over2} |B_r| {(2\pi)^r\over r!},
onde B_r é um número de Bernoulli (ver minha msg
raio de convergência).
Se r=2, B_2=1/6. Então H_\infty^(2) =
{1\over12} {4\pi^2\over 2} = \pi^2/6.
Uma pergunta sobre os números de Bernoulli e
a expansão em séries de z/(e^z-1).
Como provar que os coeficientes desta série
são dados por B_0=1 (cálculo direto) e
B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.
Alguma referência?
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Jose Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: quinta-feira, 4 de abril de 2002 22:22
Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
Muito obrigado mesmo por esta interessantissima referencia!
Aproveito para comentar que a demonstracao de Euler (que foi a primeira),
reproduzida pelo Paulo Santa Rita (estava sumido, hein?) emprega seres
muito
estranhos (tais como relacoes de Girard para polinomios infinitos[sic])
que hoje nao sao aceitos em Matematica. No entanto, a demonstracao numero
7
do texto recomendado pelo Bruno indica (muito sumariamente) como as ideias
de Euler podem ser traduzidas em termos atuais, ou seja, no contexto de
produtos infinitos (acompanhados das necessarias discussoes sobre
convergencia).
JP
- Original Message -
From: Bruno F. C. Leite [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, April 04, 2002 12:50 PM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
Há um artigo na página http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/rjc.html, na seção
Miscellaneous articles and surveys: Evaluating zeta(2), que demostra
isso de 14 maneiras diferentes!
O link direto é http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.dvi
ou
http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.ps
ou
http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf
Espero ter ajudado.
Bruno Leite
http://www.ime.usp.br/~brleite
At 12:25 04/04/02 -0300, you wrote:
árdua tarefa..
-- Mensagem original --
O Paulo Santa Rita já respondeu isso. Procure nos arquivos.
[EMAIL PROTECTED] wrote:
sabemos que sum(1/k^2), k=1 até infinito = pi^2/6
alguém sabe me dizer pq ???
agradeço desde já
Gabriel Haeser
www.gabas.cjb.net
Mathematicus nascitur, non fit
Matemáticos não são feitos, eles nascem
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
Oi Luis Lopes,
eu realmente nao sei se vai ajudar, mas o exercicio 13 da pagina 76 do livro
Functions of One Complex Variable do John B. Conway fala sobre essa funcao.
De uma olhada.
Eduardo Casagrande Stabel.
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Quando r é par, temos o seguinte resultado:
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Se r=2, B_2=1/6. Então H_\infty^(2) =
{1\over12} {4\pi^2\over 2} = \pi^2/6.
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Como provar que os coeficientes desta série
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B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.
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Luís
-Mensagem Original-
De: Jose Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: quinta-feira, 4 de abril de 2002 22:22
Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
Muito obrigado mesmo por esta interessantissima referencia!
Aproveito para comentar que a demonstracao de Euler (que foi a
primeira),
reproduzida pelo Paulo Santa Rita (estava sumido, hein?) emprega seres
muito
estranhos (tais como relacoes de Girard para polinomios
infinitos[sic])
que hoje nao sao aceitos em Matematica. No entanto, a demonstracao
numero
7
do texto recomendado pelo Bruno indica (muito sumariamente) como as
ideias
de Euler podem ser traduzidas em termos atuais, ou seja, no contexto de
produtos infinitos (acompanhados das necessarias discussoes sobre
convergencia).
JP
- Original Message -
From: Bruno F. C. Leite [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, April 04, 2002 12:50 PM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
Há um artigo na página http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/rjc.html, na seção
Miscellaneous articles and surveys: Evaluating zeta(2), que demostra
isso de 14 maneiras diferentes!
O link direto é http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.dvi
ou
http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.ps
ou
http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf
Espero ter ajudado.
Bruno Leite
http://www.ime.usp.br/~brleite
At 12:25 04/04/02 -0300, you wrote:
árdua tarefa..
-- Mensagem original --
O Paulo Santa Rita já respondeu isso. Procure nos arquivos.
[EMAIL PROTECTED] wrote:
sabemos que sum(1/k^2), k=1 até infinito = pi^2/6
alguém sabe me dizer pq ???
agradeço desde já
Gabriel Haeser
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
Muito obrigado mesmo por esta interessantissima referencia! Aproveito para comentar que a demonstracao de Euler (que foi a primeira), reproduzida pelo Paulo Santa Rita (estava sumido, hein?) emprega seres muito estranhos (tais como relacoes de Girard para polinomios infinitos[sic]) que hoje nao sao aceitos em Matematica. No entanto, a demonstracao numero 7 do texto recomendado pelo Bruno indica (muito sumariamente) como as ideias de Euler podem ser traduzidas em termos atuais, ou seja, no contexto de produtos infinitos (acompanhados das necessarias discussoes sobre convergencia). JP - Original Message - From: Bruno F. C. Leite [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, April 04, 2002 12:50 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2) Há um artigo na página http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/rjc.html, na seção Miscellaneous articles and surveys: Evaluating zeta(2), que demostra isso de 14 maneiras diferentes! O link direto é http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.dvi ou http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.ps ou http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf Espero ter ajudado. Bruno Leite http://www.ime.usp.br/~brleite At 12:25 04/04/02 -0300, you wrote: árdua tarefa.. -- Mensagem original -- O Paulo Santa Rita já respondeu isso. Procure nos arquivos. [EMAIL PROTECTED] wrote: sabemos que sum(1/k^2), k=1 até infinito = pi^2/6 alguém sabe me dizer pq ??? agradeço desde já Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net Mathematicus nascitur, non fit Matemáticos não são feitos, eles nascem -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = Mathematicus nascitur, non fit Matemáticos não são feitos, eles nascem -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
