Re: [obm-l] grupo abeliano
Como isso vale pra quaisquer x e y em G, também podemos dizer que: (xy)^2 = y^2x^2 faltou essa passagem sutil...valeu :) O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] grupo abeliano
como (xy)^2 = y^2x^2??? --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: on 22.05.05 15:20, Chicao Valadares at [EMAIL PROTECTED] wrote: Minha ferrugem em relaçao ao assunto nao esta deixando fazer esse aqui: como provo se no grupo temos (xy)^3 = x^3y^3, tal grupo é abeliano?? Acho que isso soh eh verdade em geral se a ordem de G nao for um multiplo de 3. Nesse caso, teremos: (xy)^3 = x^3y^3 e (yx)^2 = x^2y^2 == (xy)^2 = y^2x^2. Assim: xy = (xy)^3*(xy)^(-2) = x^3y^3x^(-2)y^(-2) == e = x^2y^3x^(-2)y^(-3) == y^3x^2 = x^2y^3 Se |G| = 3m+1, entao x^(3m) = x^(-1) para todo x em G. Logo: y^(3m)x^2 = x^2y^(3m) == y^(-1)x^2 = x^2y^(-1) == yx^2 = y^2x^2y^(-1) == yx^2 = (xy)^2y^(-1) == yx^2 = xyxyy^(-1) == yx^2 = xyx == yx = xy. Se |G| = 3m+2, entao x^(3m) = x^(-2) para todo x em G. Logo: y^(3m)x^2 = x^2y^(3m) == y^(-2)x^2 = x^2y^(-2) == x^2 = y^2x^2y^(-2) == x^2 = (xy)^2y^(-2) == x^2 = xyxyy^(-2) == x = yxy^(-1) == xy = yx. *** Infelizmente, vou ficar devendo o exemplo de um grupo nao abeliano cuja ordem eh divisivel por 3. Mas com certeza o Nicolau ou o Gugu vao arranjar algum. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] grupo abeliano
on 22.05.05 15:20, Chicao Valadares at [EMAIL PROTECTED] wrote: Minha ferrugem em relaçao ao assunto nao esta deixando fazer esse aqui: como provo se no grupo temos (xy)^3 = x^3y^3, tal grupo é abeliano?? Acho que isso soh eh verdade em geral se a ordem de G nao for um multiplo de 3. Nesse caso, teremos: (xy)^3 = x^3y^3 e (yx)^2 = x^2y^2 == (xy)^2 = y^2x^2. Assim: xy = (xy)^3*(xy)^(-2) = x^3y^3x^(-2)y^(-2) == e = x^2y^3x^(-2)y^(-3) == y^3x^2 = x^2y^3 Se |G| = 3m+1, entao x^(3m) = x^(-1) para todo x em G. Logo: y^(3m)x^2 = x^2y^(3m) == y^(-1)x^2 = x^2y^(-1) == yx^2 = y^2x^2y^(-1) == yx^2 = (xy)^2y^(-1) == yx^2 = xyxyy^(-1) == yx^2 = xyx == yx = xy. Se |G| = 3m+2, entao x^(3m) = x^(-2) para todo x em G. Logo: y^(3m)x^2 = x^2y^(3m) == y^(-2)x^2 = x^2y^(-2) == x^2 = y^2x^2y^(-2) == x^2 = (xy)^2y^(-2) == x^2 = xyxyy^(-2) == x = yxy^(-1) == xy = yx. *** Infelizmente, vou ficar devendo o exemplo de um grupo nao abeliano cuja ordem eh divisivel por 3. Mas com certeza o Nicolau ou o Gugu vao arranjar algum. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Grupo abeliano
Title: Re: [obm-l] Grupo abeliano
on 30.10.03 20:41, Pedro Antonio Santoro Salomão at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caro Cláudio,
Acho que encontrei uma solução para aquele problema do grupo abeliano.
Conforme o enunciado existem n+1 subgrupos de ordem n tais que se H e K forem quaisquer dois deles, vale:
H inter K = {e}
Por uma conta direta usando cardinalidade, que alguém já tinha feito, sabíamos que
G = HK = KH
Vamos mostrar agora que qualquer subgrupo H daqueles do enunciado é normal em G.
Seja h e um elemento de H e g e elemento qualquer de G.
Supomos que
ghg^(-1) = k onde k está em algum daqueles subgrupos K do enunciado que seja diferente de H
Mas sabemos que g = k1h1 para k1 e h1 em K e H, respectivamente.
Então temos
k1h1hh1^(-1)k1^(-1) = k
Logo
h1hh1^(-1) = k1^(-1)kk1
O lado esquerdo está em H e o direito em K
Logo devem ser iguais a e.
Concluimos que
h = k = e
o que é uma contradição.
Daí decorre que
ghg^(-1) não pode estar fora de H e, portanto, H é normal.
Como isso vale para qualquer H,
temos que H, K e todos os outros subgrupos do enunciado são normais em G.
Agora fica fácil terminar a demonstração.
Se H e K são subrgrupos normais de G tais que H inter K = {e}, então hk = kh para todo h,k em H e K, respectivamente.
Basta ver que
hkh^(-1)k^(-1) = e, pois
hkh^(-1) está em K e portanto o lado esquerdo acima está em K.
Da mesma forma kh^(-1)k^(-1) está em H e, portanto, o lado esquerdo acima também está em H, concluindo que ele deve ser igual a identidade.
Como H e K podem ser quaisquer daqueles n+1 subgrupos de ordem n do enunciado e como eles cobrem todo G, temos, finalmente, que G é abeliano.
Oi, Pedro:
Voce demonstrou que se h e k pertencem a subgrupos distintos de G, entao eles comutam. Mas e quando h e k pertencerem a um mesmo subgrupo de G?
De qualquer jeito, acho que a chave foi realmente perceber que os subgrupos sao normais. Depois eh soh acertar os detalhes...mas eles precisam ser acertados!
Um abraco,
Claudio.
Achei no começo que precisava usar algum teorema de ação ou algum daqueles teoremas de Sylow, mas no final, só idéias elementares foram necessárias.
Um abraço. Pedro.
Re: [obm-l] Grupo abeliano
Title: Re: [obm-l] Grupo abeliano
- Original Message -
From:
Claudio Buffara
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, November 02, 2003 12:24
PM
Subject: Re: [obm-l] Grupo abeliano
on 30.10.03 20:41, Pedro Antonio Santoro Salomão at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caro Cláudio,Acho que encontrei uma
solução para aquele problema do grupo abeliano.Conforme o enunciado existem n+1 subgrupos de ordem
n tais que se H e K forem quaisquer dois deles,
vale:H inter K =
{e}Por uma conta direta
usando cardinalidade, que alguém já tinha feito, sabíamos
queG = HK =
KHVamos mostrar agora
que qualquer subgrupo H daqueles do enunciado é normal em G.Seja h
e um elemento de H e g e elemento qualquer de
G.Supomos que
ghg^(-1) = k onde k está
em algum daqueles subgrupos K do enunciado que seja diferente de
HMas sabemos que g =
k1h1 para k1 e h1 em K e H, respectivamente.Então temosk1h1hh1^(-1)k1^(-1) = kLogoh1hh1^(-1) = k1^(-1)kk1O lado esquerdo está em H e o direito em
KLogo devem ser iguais a
e. Concluimos
queh = k =
eo que é uma
contradição.Daí decorre
queghg^(-1) não pode
estar fora de H e, portanto, H é normal.Como isso vale para qualquer
H,temos que H, K e todos
os outros subgrupos do enunciado são normais em
G.Agora fica fácil
terminar a demonstração.Se H e K são subrgrupos normais de G tais que H inter K = {e},
então hk = kh para todo h,k em H e K,
respectivamente.Basta
ver quehkh^(-1)k^(-1) =
e, pois hkh^(-1) está em
K e portanto o lado esquerdo acima está em K.Da mesma forma
kh^(-1)k^(-1) está em H e, portanto, o lado esquerdo acima também está em H,
concluindo que ele deve ser igual a identidade.Como H e K podem ser quaisquer daqueles n+1
subgrupos de ordem n do enunciado e como eles cobrem todo G, temos,
finalmente, que G é abeliano.Oi, Pedro:Voce
demonstrou que se h e k pertencem a subgrupos distintos de G, entao eles
comutam. Mas e quando h e k pertencerem a um mesmo subgrupo de G?De
qualquer jeito, acho que a chave foi realmente perceber que os subgrupos sao
normais. Depois eh soh acertar os detalhes...mas eles precisam ser
acertados!
É verdade, faltou o final da demonstração. E
esse final parece também interessante.
Se n=2 ou 3, então qualquer um daqueles
subgrupos é abeliano e acabou. Consideramos n=4. Então há pelo menos 5
subgrupos distintos.
Se h1 e h2 e estão em H, então
escolhemos K,V, M e Noutros4 subgrupos (conforme o enunciado)
distintos de H.
Então h1 = kv e h2 =mn (ondek,v,m e
n e estão em K,V,M,Nrespectivamente, e esse elementos
comutam, como vimos antes). Temos então:
h1h2 = kvmn = vkmn = .. = mnkv =
h2h1
o completa a demonstração.Acho
queagora não falte nenhum detalhe.
Um abraço. Pedro.
Um abraco,Claudio.Achei
no começo que precisava usar algum teorema de ação ou algum daqueles
teoremas de Sylow, mas no final, só idéias elementares foram
necessárias.Um abraço.
Pedro.
Re: [obm-l] Grupo abeliano
Title: Re: [obm-l] Grupo abeliano
Oi, Pedro:
Agora realmente acabou! Obrigado pela solucao engenhosa.
Talvez seja interessante tentar achar todos os n para os quais exista um grupo G nas condicoes do enunciado.
Por enquanto eu achei o 4-grupo (n=2) e Z_3 x Z_3 (n=3) e tenho a impressao de que para todo primo p o grupo Z_p x Z_p tem a tal propriedade.
Jah Z_4 x Z_4 nao tem, mas pode ser que algum outro grupo de ordem 16 a tenha.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 16:14, Pedro Antonio Santoro Salomão at [EMAIL PROTECTED] wrote:
- Original Message -
From: Claudio Buffara mailto:[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, November 02, 2003 12:24 PM
Subject: Re: [obm-l] Grupo abeliano
on 30.10.03 20:41, Pedro Antonio Santoro Salomão at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caro Cláudio,
Acho que encontrei uma solução para aquele problema do grupo abeliano.
Conforme o enunciado existem n+1 subgrupos de ordem n tais que se H e K forem quaisquer dois deles, vale:
H inter K = {e}
Por uma conta direta usando cardinalidade, que alguém já tinha feito, sabíamos que
G = HK = KH
Vamos mostrar agora que qualquer subgrupo H daqueles do enunciado é normal em G.
Seja h e um elemento de H e g e elemento qualquer de G.
Supomos que
ghg^(-1) = k onde k está em algum daqueles subgrupos K do enunciado que seja diferente de H
Mas sabemos que g = k1h1 para k1 e h1 em K e H, respectivamente.
Então temos
k1h1hh1^(-1)k1^(-1) = k
Logo
h1hh1^(-1) = k1^(-1)kk1
O lado esquerdo está em H e o direito em K
Logo devem ser iguais a e.
Concluimos que
h = k = e
o que é uma contradição.
Daí decorre que
ghg^(-1) não pode estar fora de H e, portanto, H é normal.
Como isso vale para qualquer H,
temos que H, K e todos os outros subgrupos do enunciado são normais em G.
Agora fica fácil terminar a demonstração.
Se H e K são subrgrupos normais de G tais que H inter K = {e}, então hk = kh para todo h,k em H e K, respectivamente.
Basta ver que
hkh^(-1)k^(-1) = e, pois
hkh^(-1) está em K e portanto o lado esquerdo acima está em K.
Da mesma forma kh^(-1)k^(-1) está em H e, portanto, o lado esquerdo acima também está em H, concluindo que ele deve ser igual a identidade.
Como H e K podem ser quaisquer daqueles n+1 subgrupos de ordem n do enunciado e como eles cobrem todo G, temos, finalmente, que G é abeliano.
Oi, Pedro:
Voce demonstrou que se h e k pertencem a subgrupos distintos de G, entao eles comutam. Mas e quando h e k pertencerem a um mesmo subgrupo de G?
De qualquer jeito, acho que a chave foi realmente perceber que os subgrupos sao normais. Depois eh soh acertar os detalhes...mas eles precisam ser acertados!
É verdade, faltou o final da demonstração. E esse final parece também interessante.
Se n=2 ou 3, então qualquer um daqueles subgrupos é abeliano e acabou. Consideramos n=4. Então há pelo menos 5 subgrupos distintos.
Se h1 e h2 e estão em H, então escolhemos K,V, M e N outros 4 subgrupos (conforme o enunciado) distintos de H.
Então h1 = kv e h2 = mn (onde k,v,m e n e estão em K,V,M,N respectivamente, e esse elementos comutam, como vimos antes). Temos então:
h1h2 = kvmn = vkmn = .. = mnkv = h2h1
o completa a demonstração. Acho que agora não falte nenhum detalhe.
Um abraço. Pedro.
Um abraco,
Claudio.
Achei no começo que precisava usar algum teorema de ação ou algum daqueles teoremas de Sylow, mas no final, só idéias elementares foram necessárias.
Um abraço. Pedro.
Re: [obm-l] Grupo abeliano
Title: Re: [obm-l] Grupo abeliano
Cláudio,
Eu também estava tentando fazer isso. A idéia é
considerar o problemapelo inverso. Só para lembrar, todo grupo abeliano
finitoé isomorfoà soma diretade p-grupos cíclicos ou seja,
aZ_(p1^a1)+ Z_(p2^a2) ++ Z_ps^(as) onde pi é um primo e ai
um inteiro =1(essa decomposição é única a menos de permutações). Agora
estou usando a notação aditiva, que acho mais fácil para grupos
abelianos.
Então só temos que procurar grupos desse tipo e que
satisfaçam
Produtório pi^ai= n^2 para algum inteiro
n.
No caso que estamos considerando,
todoelemento tem ordem divisível por n. Então já descartamos os casos onde
produtório pi^ai(para pi distintos) não é divisível por n.
Por exemplo
Z_2+ Z_2+ Z_16 tem ordem 64 mas tem um
elemento com ordem 16. Podemos descartar esse caso.
Z_9 + Z_8 + Z_2 também é descartado.
Z_2 + Z_8 tem ordem 16 mas tem um elemento com
ordem 8. Também descartamos. (Z_16 também está fora)
Para ordem 16, falta verificar, então, os
casos
Z_2 + Z_2 + Z_4
e
Z_2 + Z_2 + Z_2 + Z_2
Oprimeiro caso não dá, já que (0,0,1) tem ordem 4 e geraria um dos
subgrupos; não haveria mais espaço para (1,0,1).
Parao segundo encontrei
H1 = {(0,0,0,0), (1,0,0,0), (0,1,0,0), (1,1,0,0)}
H2 = {(0,0,0,0), (1,0,1,0), (0,1,0,1), (1,1,1,1)}
H3 = {(0,0,0,0), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (0,0,1,1)}
H4 = {(0,0,0,0), (0,1,1,1), (0,1,1,0), (0,0,0,1)}
H5= {(0,0,0,0), (1,0,1,1), (0,0,1,0), (1,0,0,1)}
que, se eu não errei nas contas, está nas condições do problema. E esse
seria o único caso com ordem 16 nessas condições.
Vamos considerar agora o caso G = Z_p x Z_p, para p
primo.
Basta encontrarmos p+1 subgrupos de G com ordem p e
intersecção (0,0).
Seja
H0 = subgrupo gerado por (0,1)
H1 = subgrupo gerado por (1,1)
...
Hp = subgrupo gerado por (p-1,1)
Hp+1 = subgrupo gerado por (1,0)
Não é muito difícil ver que esses Hi tem ordem p e
são disjuntos a menos de (0,0). Então com certeza está nas condições do problema
a questão está resolvido para esse caso.
A pergunta que fica é:
Para quais n,Z_n + Z_n satisfaz aquelas
condições? Será que vale só para primos?
Ou mais geralmente, para quais n, existe solução
desse problema?
Um abraço. Pedro.
- Original Message -
From:
Claudio Buffara
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, November 02, 2003 5:49
PM
Subject: Re: [obm-l] Grupo abeliano
Oi, Pedro:Agora realmente acabou! Obrigado pela solucao
engenhosa.Talvez seja interessante tentar achar todos os n para os
quais exista um grupo G nas condicoes do enunciado.Por enquanto eu
achei o 4-grupo (n=2) e Z_3 x Z_3 (n=3) e tenho a impressao de que para todo
primo p o grupo Z_p x Z_p tem a tal propriedade.Jah Z_4 x Z_4 nao tem,
mas pode ser que algum outro grupo de ordem 16 a tenha.Um
abraco,Claudio.on 31.10.03 16:14, Pedro Antonio Santoro
Salomão at [EMAIL PROTECTED] wrote:
- Original Message - From: Claudio Buffara
mailto:[EMAIL PROTECTED] To:
[EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 02, 2003 12:24
PMSubject: Re: [obm-l] Grupo abelianoon 30.10.03 20:41,
Pedro Antonio Santoro Salomão at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caro Cláudio,Acho que
encontrei uma solução para aquele problema do grupo
abeliano.Conforme o
enunciado existem n+1 subgrupos de ordem n tais que se H e K forem
quaisquer dois deles, vale:H inter K = {e}Por uma conta direta usando cardinalidade, que alguém já
tinha feito, sabíamos queG = HK = KHVamos mostrar agora que qualquer subgrupo H daqueles do
enunciado é normal em G.Seja h e um elemento de H e g
e elemento qualquer de G.Supomos que ghg^(-1) = k onde k está em algum daqueles
subgrupos K do enunciado que seja diferente de
HMas sabemos que g =
k1h1 para k1 e h1 em K e H, respectivamente.Então temosk1h1hh1^(-1)k1^(-1) =
kLogoh1hh1^(-1) = k1^(-1)kk1O lado esquerdo está em H e o direito em
KLogo devem ser
iguais a e. Concluimos queh = k = eo que é uma contradição.Daí decorre queghg^(-1) não pode estar fora de H e, portanto, H
é normal.Como isso
vale para qualquer H,temos que H, K e todos os outros subgrupos do enunciado são
normais em G.Agora
fica fácil terminar a demonstração.Se H e K são subrgrupos normais de G tais que H
inter K = {e}, então hk = kh para todo h,k em H e K,
respectivamente.Basta ver quehkh^(-1)k^(-1) = e, pois hkh^(-1) está em K e portanto o lado esquerdo
acima está em K.Da mesma forma kh^(-1)k^(-1) está em H e, portanto,
o lado esquerdo acima também está em H, concluindo que ele deve ser
igual a identidade.Como H e K podem ser quaisquer daqueles n+1 subgrupos de
ordem n do enunciado e como eles cobrem todo G, temos, finalmente, que G
é abeliano.Oi, Pedro:Voce demonstrou que
se h e k pertencem a subgrupos distintos de G, entao eles
Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Oi, Duda:
Infelizmente, tenho que discordar. H_(n+1) soh teria n elementos se a ordem
de g fosse n. Mas nesse caso, G seria ciclico e, portanto, abeliano.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 00:12, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano.
Defina o grupo H = G x G x ... x G,
onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo elemento
tem único inverso (g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para g em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H. Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é verdade.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Oi Eduardo,
Eu acho que vc se confundiu na definição de H. Do jeito que vc colocou,
H teria n^n elementos. Eu acho que vc estava querendo dizer GxG, estou certo?
Nesse caso, H teria n^2 elementos...
Ateh mais,
Yuri
-- Mensagem original --
Oi, Duda:
Infelizmente, tenho que discordar. H_(n+1) soh teria n elementos se a ordem
de g fosse n. Mas nesse caso, G seria ciclico e, portanto, abeliano.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 00:12, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano.
Defina o grupo H = G x G x ... x G,
onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação
herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo elemento
tem único inverso (g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para
g
em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H. Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é verdade.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que
G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[]'s, Yuri
ICQ: 64992515
--
Use o melhor sistema de busca da Internet
Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Vôcê tem razão, erro meu...
From: [EMAIL PROTECTED]
Oi Eduardo,
Eu acho que vc se confundiu na definição de H. Do jeito que vc colocou,
H teria n^n elementos. Eu acho que vc estava querendo dizer GxG, estou
certo?
Nesse caso, H teria n^2 elementos...
Ateh mais,
Yuri
-- Mensagem original --
Oi, Duda:
Infelizmente, tenho que discordar. H_(n+1) soh teria n elementos se a
ordem
de g fosse n. Mas nesse caso, G seria ciclico e, portanto, abeliano.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 00:12, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano.
Defina o grupo H = G x G x ... x G,
onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação
herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo
elemento
tem único inverso
(g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para
g
em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H.
Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é
verdade.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que
G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[]'s, Yuri
ICQ: 64992515
--
Use o melhor sistema de busca da Internet
Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Oi Cláudio!
Na verdade o H_(n+1) tem n elementos. O conjunto H_(n+1) é formado por TODAS
as n-uplas com coordenadas iguais, por definição, acho que você entendeu que
fosse o grupo gerado por um elemento do tipo (g,g,g,...,g).
Mesmo assim, o problema é que H tem n^n elementos e não n^2, como salientou
o Yuri.
Abraço,
Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, Duda:
Infelizmente, tenho que discordar. H_(n+1) soh teria n elementos se a
ordem
de g fosse n. Mas nesse caso, G seria ciclico e, portanto, abeliano.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 00:12, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano.
Defina o grupo H = G x G x ... x G,
onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação
herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo
elemento
tem único inverso
(g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para g
em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H.
Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é
verdade.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que
G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Verdade! Eu estava com grupos ciclicos na cabeca e acabei nao vendo o mais
obvio.
A unica coisa que eu deduzi ateh agora eh que G eh igual ao produto de
quaisquer dois dos subgrupos mencionados no enunciado. Infelizmente, se H e
K sao dois tais subrupos, a comutatividade HK = KH (=G) nao implica na
comutatividade de dois elementos quaisquer de G.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 15:48, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Cláudio!
Na verdade o H_(n+1) tem n elementos. O conjunto H_(n+1) é formado por TODAS
as n-uplas com coordenadas iguais, por definição, acho que você entendeu que
fosse o grupo gerado por um elemento do tipo (g,g,g,...,g).
Mesmo assim, o problema é que H tem n^n elementos e não n^2, como salientou
o Yuri.
Abraço,
Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, Duda:
Infelizmente, tenho que discordar. H_(n+1) soh teria n elementos se a
ordem
de g fosse n. Mas nesse caso, G seria ciclico e, portanto, abeliano.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 00:12, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano.
Defina o grupo H = G x G x ... x G,
onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação
herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo
elemento
tem único inverso
(g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para g
em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H.
Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é
verdade.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que
G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Ola Claudio, Hmmm, algumas observacoes... Como existem n+1 subgrupos de ordem n com intersecao trivial dois a dois, estes dao conta de exatamente (n+1)*(n-1) + 1 elementos.. ou seja, n^2 - 1 + 1 = n^2 elementos Logo estes sao todos os elementos de G! Acho que isto é o suficiente para dizer que G é produto direto destes (n+1) subgrupos... Se mostrarmos que cada um destes subgrupos é abeliano, o problema esta resolvido.. Infelizmentenao estou tendo nenhuma ideia. Talvez nao exista nenhum novo subgrupo de G estritamente contidoem algum destes subgrupos. Daí eles seríam cíclicos O que vc acha ? []s Felipe -- Using M2, Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/m2/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Grupo Abeliano
on 30.10.03 21:32, Felipe Pina at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Claudio, Hmmm, algumas observacoes... Como existem n+1 subgrupos de ordem n com intersecao trivial dois a dois, estes dao conta de exatamente (n+1)*(n-1) + 1 elementos.. ou seja, n^2 - 1 + 1 = n^2 elementos Logo estes sao todos os elementos de G! Concordo. Acho que isto é o suficiente para dizer que G é produto direto destes (n+1) subgrupos... De fato, se A e B sao dois tais subgrupos, entao como: |AB| = |A||B|/|A inter B| = n^2, acho que dah pra deduzir que G = AB, para quaisquer dois subgrupos distintos A e B (dentre os n+1 mencionados no enunciado). Se mostrarmos que cada um destes subgrupos é abeliano, o problema esta resolvido.. Infelizmentenao estou tendo nenhuma ideia. Somos dois. Talvez nao exista nenhum novo subgrupo de G estritamente contidoem algum destes subgrupos. Daí eles seríam cíclicos O que vc acha ? Nao necesariamente. Se n for composto, entao pelo teorema de Cauchy, para cada primo p que divide n, cada um dos subgrupos terah um subgrupo de ordem p. Quem me passou o problema disse que ele tem uma solucao engenhosa... Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano. Defina o grupo H = G x G x ...
x G, onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo elemento
tem único inverso (g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para g em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H. Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é verdade.
Abraço,
Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Só faltou dizer que a interseção os H_i tem em comum só {(e,e,e,...,e)}...
From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano. Defina o grupo H = G x G x
...
x G, onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação
herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo elemento
tem único inverso (g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para g em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H. Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é verdade.
Abraço,
Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
