[obm-l] PARALAXE ESTELAR!
Ok! Velho Carvalho Valadares Cia. Vocês fazem parte desta constelação cujas estrelas brilham em primeira grandeza...para constatar que o Sol está mais distante da Terra que a Lua, basta observar atentamente as várias fases da Lua...outro fato a corroborar esta hipótese é a ocorrência de eclipses do Sol... Cláudio Ptolomeu, o último grande astrõnomo da antiguidade, propõs um método bastante engenhoso e simples para calcular a distância da Terra à Lua...para relacionar as distâncias e os tamanhos do Sol e da Lua ao raio da Terra, Aristarco observou o que acontece durante um eclipse da Lua...mas, foi Eratóstenes quem fez o mais célebre cálculo do raio da Terra... Quanto ao primeiro problema da torre cilíndrica, cuja corda de 18m do círculo grande tangencia o círculo menor, o vendedor encontra a solução de posse dessa medida, e só dela. A metade de 18 é 9 e o quadrado de 9 é 81. Multiplicado por Pi resulta algo em torno de 255 metros quadrados. Compre 10% a mais para os recortes. Aprendi que faixas como esta, independentemente dos raios (maior ou menor), dependem sòmente da medida da corda. Se é verdade que isso vale para qualquer exemplo, deve valer também quando o círculo central tem raio zero e daí a corda será o diâmetro do círculo maior que cobre toda a faixa. Como a área do círculo é Pi vezes r^2 eu dividi 18 por 2 para encontrar o raio (9 metros) e multipliquei seu quadrado (81 metros quadrados) por Pi (3,14), obtendo a área aproximada de 255 metros quadrados. Prove que em qualquer pentágono convexo existem dois ângulos internos consecutivos cuja soma é maior ou igual a 216º. Abraços! _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questão para provar - IME
Pra n=1: 25=5^2
Pra n=2: 1225=35^2
Pra n=3: 112225=335^2
Parece que pra n=k: ...1...225=...35^2 (com k-1 algarismos
3)
De fato: ...35^2=(...0+5)^2=(...3*10)^2+2*...30*5+5^2=
=(333...3)^2*100+333...3*100+25=100*(333...3^2+333...3)+25 (com k-1 algs 3)
Primeiramente:
...3^2={[10^(k-1)-1]/3}^2=[10^(2k-2)-2*10^(k-1)+1]/9=[1000000-200...00+1]/9=
=[...998000...001]/9=111...110888...889(com k-2 algs 1e 8)
Também:
...110...889
+...333
__
...111...222 (com k-1 algs 1 e2)
Voltando à 100*(333...3^2+333...3)+25:
=100*111...1...22+25=111...1222...2200+25=111...1222...2225 (com k-1
algs 1 e k algs 2) . Fazendo isso prara todos os k naturais resolvemos o
problema.
--
Sempre haverá um Amaraticando!
Re: [obm-l] soma 2
Sauda,c~oes,
Oi Jonas,
Conheço este truque. Mas você deveria conhecer também
a teoria das PA-G, ou seja, as seqüências cujo termo geral é
a_k = [a_1 + (k-1)r]q^{k-1} k=1, r=/0, q=/0,1 =/ diferente
Há uma forma fechada para \sum a_k.
[]'s
Luís
From: Jonas [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] soma 2
Date: Wed, 03 Jan 2007 20:30:12 -0200
Olá LuÃs, para resolver esse tipo de seqüencia eu costumo a escrever na
forma de um triângulo...
S = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...
Se organizarmos os números da seguinte forma:
1/2 +
1/4 + 1/4 +
1/8 + 1/8 + 1/8 +
1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 +
1/32 + 1/32 + 1/32 + 1/32 + 1/32 +
..
Pela soma de PG sabemos que:
a soma da primeira coluna é 1, da segunda é 1/2, da terceira é 1/4.. e
assim por diante (numa prova rigorosa deveria haver uma pequena indução
aqui)
Então a soma pode ser reescrita como
1 + 1/2 + 1/4.. que é 2.
Deve existir algum método mais rápido, mas acho esse bem simples.
Abraços,
J. Renan
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[obm-l] QUESTÕES DE CONCURSOS!
C sabe que A e B estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de A estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de B estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambos, estarem hoje em Paris é 1/7. C, então, recebe um telefonema de A informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de A, C agora estima corretamente que a probabilidade de B também estar hoje em Paris é igual a: (MPU - 04) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e tres delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras - e apenas essas - em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando-se em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a: (MPU - 04) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a: (TCU - 04) A propósito, porque no velho jogo de par-ou-ímpar os dois jogadores terão sempre a mesma probabilidade de vencer, se aparentemente um deles já começa em desvantagem? (BACEN-94) Divirtam-se! _ Experimente o novo Windows Live Messenger! http://get.live.com/messenger/overview = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] soma 2
On Wed, Jan 03, 2007 at 11:20:09AM +, Luís Lopes wrote:
Sauda,c~oes,
E se fosse S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} k^2 ?
O problema acima caiu numa Olimpíada Canadense (1974).
S = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...
Esta é a soma de uma progressão aritmético-geométrica
(escrevi sobre ela na lista recentemente).
E se fosse S_n = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ... + n/2^n ?
Há muitas maneiras de fazer. Supondo que sabemos que S = 2,
acho que a mais simples é escrever S_n = 2 - T_n,
T_n = (n+1)/2^(n+1) + (n+2)/2^(n+2) + ...
2 T_n = (n+1)/2^n + (n+2)/2^(n+1) + (n+3)/2^(n+2) + ...
donde subtraindo
T_n = (n+1)/2^n + 1/2^(n+1) + 1/2^(n+2) + ... = (n+2)/2^n
(somamos aqui uma pg infinita) e assim S_n = (2^(n+1)-n-2)/2^n.
Vamos verificar. Seja R_n = (2^(n+1)-n-2)/2^n.
Temos
R_0 = 0/1 = S_0
R_1 = 1/2 = S_1
R_2 = 4/4 = S_2 (evitei simplificar)
R_3 = 11/8 = S_3
e parece estar dando certo. Para termos certeza,
R_n - R_(n-1) = (2^(n+1)-n-2)/2^n - (2^n-(n-1)-2)/2^(n-1)
= (2^(n+1)-n-2-2^(n+1)+2n-2+4)/2^n
= n/2^n.
Claro que é perfeitamente legítimo fazer isso tudo no rascunho
e escrever:
Proposição: S_n = (2^(n+1)-n-2)/2^n.
Demonstração: Por indução. É fácil verificar que a fórmula é correta
para n=0 e n=1. Supondo a fórmula válida para n-1 temos
S_n = S_(n-1) + n/2^n = (2^n-(n-1)-2)/2^(n-1) + n/2^n = (2^(n+1)-n-2)/2^n.
qed
[]s, N.
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[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÕES DE CONCURSOS!
Olá, no jogo de par ou impar ambos tem a mesma probabilidade de vencer pois: 0+0=0 0+1=1 0+2=2 0+3=3 0+4=4 0+5=5 1+0=1 1+1=2 1+2=3 1+3=4 1+4=5 1+5=6 : : continuando, obteremos as sequencias: 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 contando os pares e os impares, temos a mesma quantidade! abracos, Salhab - Original Message - From: Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 04, 2007 10:26 AM Subject: [obm-l] QUESTÕES DE CONCURSOS! C sabe que A e B estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de A estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de B estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambos, estarem hoje em Paris é 1/7. C, então, recebe um telefonema de A informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de A, C agora estima corretamente que a probabilidade de B também estar hoje em Paris é igual a: (MPU - 04) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e tres delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras - e apenas essas - em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando-se em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a: (MPU - 04) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a: (TCU - 04) A propósito, porque no velho jogo de par-ou-ímpar os dois jogadores terão sempre a mesma probabilidade de vencer, se aparentemente um deles já começa em desvantagem? (BACEN-94) Divirtam-se! _ Experimente o novo Windows Live Messenger! http://get.live.com/messenger/overview = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.16.4/615 - Release Date: 3/1/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÕES DE CONCURSOS!
Olá, A: pulseira de prata B: pulseira de ouro C: ganhou de Joao D: ganhou de Pedro P(A/C) = P(A inter C)/P(C) P(C/A) = P(A inter C)/P(A) = P(A/C) * P(C) = P(C/A) * P(A) P(A/C) = 4/9 [probabilidade da pulseira ser de prata, dado que ela foi dada por Joao] P(C) = 9/20 [probabilidade da pulseira ser de Joao] P(A) = 12/20 [probabilidade da pulseira ser de prata] = P(C/A) = 4/9 * 9/20 * 20/12 = 4/12 = 1/3 abracos, Salhab - Original Message - From: Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 04, 2007 10:26 AM Subject: [obm-l] QUESTÕES DE CONCURSOS! C sabe que A e B estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de A estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de B estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambos, estarem hoje em Paris é 1/7. C, então, recebe um telefonema de A informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de A, C agora estima corretamente que a probabilidade de B também estar hoje em Paris é igual a: (MPU - 04) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e tres delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras - e apenas essas - em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando-se em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a: (MPU - 04) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a: (TCU - 04) A propósito, porque no velho jogo de par-ou-ímpar os dois jogadores terão sempre a mesma probabilidade de vencer, se aparentemente um deles já começa em desvantagem? (BACEN-94) Divirtam-se! _ Experimente o novo Windows Live Messenger! http://get.live.com/messenger/overview = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.16.4/615 - Release Date: 3/1/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÕES DE CONCURSOS!
Olá, P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AinterB) A = figura B = carta de paus no baralho temos 12 cartas com figura, entao: P(A) = 12/52 no baralho temos 13 cartas de paus, entao: P(B) = 13/52 no baralho temos 3 cartas com figura de paus, entao: P(A inter B) = 3/52 = P(AUB) = 12/52 + 13/52 - 3/52 = 22/52 = 11/26 abraços, Salhab - Original Message - From: Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 04, 2007 10:26 AM Subject: [obm-l] QUESTÕES DE CONCURSOS! C sabe que A e B estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de A estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de B estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambos, estarem hoje em Paris é 1/7. C, então, recebe um telefonema de A informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de A, C agora estima corretamente que a probabilidade de B também estar hoje em Paris é igual a: (MPU - 04) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e tres delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras - e apenas essas - em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando-se em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a: (MPU - 04) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a: (TCU - 04) A propósito, porque no velho jogo de par-ou-ímpar os dois jogadores terão sempre a mesma probabilidade de vencer, se aparentemente um deles já começa em desvantagem? (BACEN-94) Divirtam-se! _ Experimente o novo Windows Live Messenger! http://get.live.com/messenger/overview = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.16.4/615 - Release Date: 3/1/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] soma 2
Sauda,c~oes, Oi Nicolau, Eu já sabia o que perguntei. Quis apenas chamar a atenção para que depois de se conhecer um resultado particular deve-se tentar generalizá-lo. E o contrário também pois resultados particulares de resultados gerais também podem ser interessantes. O Polya já disse isso no livro A Arte de resolver Problemas. []'s Luís _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÕES DE CONCURSOS!
Olá, P(A) = 3/7 P(B) = 2/7 P(A inter B) = 1/7 P(B|A) = P(AinterB)/P(A) = 1/7 * 7/3 = 1/3 abraços, Salhab - Original Message - From: Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 04, 2007 10:26 AM Subject: [obm-l] QUESTÕES DE CONCURSOS! C sabe que A e B estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de A estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de B estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambos, estarem hoje em Paris é 1/7. C, então, recebe um telefonema de A informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de A, C agora estima corretamente que a probabilidade de B também estar hoje em Paris é igual a: (MPU - 04) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e tres delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras - e apenas essas - em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando-se em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a: (MPU - 04) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a: (TCU - 04) A propósito, porque no velho jogo de par-ou-ímpar os dois jogadores terão sempre a mesma probabilidade de vencer, se aparentemente um deles já começa em desvantagem? (BACEN-94) Divirtam-se! _ Experimente o novo Windows Live Messenger! http://get.live.com/messenger/overview = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.16.4/615 - Release Date: 3/1/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] quest�o para provar - IME
Oi, Renato: Multiplique por 9 e veja que o resultado é da forma (a + 5)^2 . Esta questão já pintou por aqui. Em outro ano caiu também no IME a seguinte (mesma solução) ...4.89 é quadrado n vezes (n-1 vezes) Abraços, Nehab At 18:39 3/1/2007, you wrote: opa galera, tudo bom com vcs? escuta, eu encontrei essa questão do IME de 2004, se não me engano, e não tava com idéia, e tava precisando de um help aqui a questão é a seguinte prove que esse número: ...1.25 é quadrado para todos os números N=1 (n-1 vezes) (n vezes) agradeço desde já :D renato _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] construir segmento
A construção de \sqrt[4][ a^4 + b^4] feita lá na antiga RPM foi assim: Façamos a^2=d.m e b^2=d.n, assim d é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos a e b e m e n são as respectivas projeções sobre a hipotenusa dos catetos a e b. Portanto d, m, n são construtíveis sem o uso do segmento unitário. Agora fica fácil, a^4 + b^4 = d^2 [ m^2 + n^2 ] e \sqrt[2][ a^4 + b^4 ]=d.\sqrt[ m^2 + n^2 ]e \sqrt[2][ d.\sqrt[ m^2 + n^2 ] é apenas a média geométrica entre os segmentos d e \sqrt[m^2 + n^2 ], todos construtíveis como manda o figurino. Agora a questão posta por você me parece que é equivalente a construir o segmento de medida x sendo dado o segmento de medida \sqrt[x] . Acho que isso não é possível sem usar o segmento unitário. Usando o segmento unitário é óbvio. Saludos Arconcher.
[obm-l] Re: [obm-l] questão para provar - IME
Olá, cara, faca assim: 1.25 = (10...0 + ... + 100 + 10 + 1)*10^(n+1) + (20...0 + ... + 200 + 20 + 2)*10 + 5 agora, vc tem 2 PGs.. eh soh escrever a soma de PG e fatorar.. pronto! abracos, Salhab - Original Message - From: João Nestares [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, January 03, 2007 6:39 PM Subject: [obm-l] questão para provar - IME opa galera, tudo bom com vcs? escuta, eu encontrei essa questão do IME de 2004, se não me engano, e não tava com idéia, e tava precisando de um help aqui a questão é a seguinte prove que esse número: ...1.25 é quadrado para todos os números N=1 (n-1 vezes) (n vezes) agradeço desde já :D renato _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.16.4/615 - Release Date: 3/1/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
