Re: [obm-l] Equação do 2°
Bem, sabemos que as raízes são (-b+sqrt(delta))/2ae (-b-sqrt(delta))/2a. Trabalhando só nos reais, podemos dizer que a primeira é sempre maior ou igual à segunda. Logo, a diferença das duas é: (-b+sqrt(delta))/2a-(-b-sqrt(delta))/2a= =(-b+sqrt(delta)+b+sqrt(delta))/2a= =2sqrt(delta)/2a= sqrt(delta)/a Na equação específica que vc pediu, fica sqrt[(2+sqrt3)^2-4(7+4sqrt3)(-2)]/(7+4sqrt3) = =sqrt[4+3+4sqrt3+56+32sqrt3]/(7+4sqrt3)= =sqrt[63+36sqrt3]/(7+4sqrt3)= =3sqrt[7+4sqrt3]/(7+4sqrt3) Esse resultado até é bonitinho, mas se vc quiser racionalizar, fica 3sqrt[7+4sqrt3](7+4sqrt3) Bem, se eu não errei nenhuma conta, é isso aí... Confiram! []'s Alexandre Tessarollo (7 + 4 sqrt3)x^2 +(2 + sqrt3)x - 2 = 0 [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá amigos.. Caro Aderbal.. A seguinte questão do quadrado que possui um ponto interior que dista 10 cm de dois vértices e 10 cm do lado , a resolução que eu lhe mandei ,acho que esta correta ?Mais posso ter me enganado em algum lugar ..mais a idéia , acho que é mais ou menos como esta lá.. Vou tentar lhe mandar a figura com tudo direitinho . Rafael, obrigado pela dica , vou tentar passar a figura para esse formato. E para não perder a viagem , vai ai um exercício de equação do 2°. 1-A diferença entre a maior e a menor raiz da equação (7 + 4 sqrt3)x^2 + (2 + sqrt3)x - 2 = 0 Obs: Eu tentei fazer pela Soma e pelo Produto , tipo: Achava a soma o produto , e depois montava um sistema com eles , explicitava na soma x1 e substituía no produto , para encontrar x2 , tentei fazer no braço , mais não consegui . Será que existe alguma relação entre a diferença de raízes ?(Estilo a Soma -b/a e produto c/a) Grato.. Rick Barbosa -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Resolução Geo Plana exerc. 3
[EMAIL PROTECTED] wrote: Aderbal,aí vai novamente a resolução, se algum coléga da lista puder opinar ... Grato.. Como AP = PD = PE Lado do Q(ABCD) = 10 + h(APD) L=10+h h=L-10 Portanto, teremos um triângulo retângulo de hipotenusa PD=10 e catetos h=L-10 e L/2. Fazendo o Pitágorás, fica: 10^2=(L-10)^2+(L/2)^2 100=L^2+100-20L+L^2/4 0=5L^2/4-20L 5L(L/4-4)=0 L/4-4=0 L/4=4 L=16 Alguém concorda? Alguém discorda? Alguém não entendeu o que eu fiz? Manifestem-se... []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re:
A terceira raix vale aproximadamente -0,766 664 696 e pode ser obtida como o limite da sequencia definida por f(0) = -1 e f(n+1) = - sqrt (2^f(n)). Fernanda Medeiros wrote: Já vi esta questão antes e são 3 soluções reais; 2 e 4 são fáceis de serem vistas, mas existe uma terceira...alguém consegue achar?? []´s Fê Essa eu já vi diversas similares mas até hoje não aprendi a fazer esse tipo de questão... Mas, se for te ajudar, x=2 é uma soluçào óbvia do equação. Olhando pelo gráfico de x^2 e 2^x (um tanto similar a da exp(x)), vemos que eles se cortam em apenas dois pontos. Resta agora achar o outro. Parêntesis Momento infame e infeliz daquele professor q não sabe responder: Pronto, já resolvi metade do prob com x=2 e indiquei o caminho para a segunda raiz. Agora o resto é com vc Fim do(s) parêntesis []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ O MSN Photos é o modo mais fácil de compartilhar e imprimir suas fotos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re:
P.S. No Excel, o calculo se faz em um minuto. Augusto César Morgado wrote: A terceira raix vale aproximadamente -0,766 664 696 e pode ser obtida como o limite da sequencia definida por f(0) = -1 e f(n+1) = - sqrt (2^f(n)). Fernanda Medeiros wrote: Já vi esta questão antes e são 3 soluções reais; 2 e 4 são fáceis de serem vistas, mas existe uma terceira...alguém consegue achar?? []´s Fê Essa eu já vi diversas similares mas até hoje não aprendi a fazer esse tipo de questão... Mas, se for te ajudar, x=2 é uma soluçào óbvia do equação. Olhando pelo gráfico de x^2 e 2^x (um tanto similar a da exp(x)), vemos que eles se cortam em apenas dois pontos. Resta agora achar o outro. Parêntesis Momento infame e infeliz daquele professor q não sabe responder: Pronto, já resolvi metade do prob com x=2 e indiquei o caminho para a segunda raiz. Agora o resto é com vc Fim do(s) parêntesis []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ O MSN Photos é o modo mais fácil de compartilhar e imprimir suas fotos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Equação do 2°
sqrt[7+4sqrt3]=2+sqrt3 Alexandre Tessarollo wrote: [EMAIL PROTECTED]"> Bem, sabemos que as razes so (-b+sqrt(delta))/2ae(-b-sqrt(delta))/2a. Trabalhando s nos reais, podemos dizer que a primeira sempre maior ou igual segunda. Logo, a diferena das duas :(-b+sqrt(delta))/2a-(-b-sqrt(delta))/2a==(-b+sqrt(delta)+b+sqrt(delta))/2a==2sqrt(delta)/2a=sqrt(delta)/aNa equao especfica que vc pediu, ficasqrt[(2+sqrt3)^2-4(7+4sqrt3)(-2)]/(7+4sqrt3) ==sqrt[4+3+4sqrt3+56+32sqrt3]/(7+4sqrt3)==sqrt[63+36sqrt3]/(7+4sqrt3)==3sqrt[7+4sqrt3]/(7+4sqrt3)Esse resultado at bonitinho, mas se vc quiser racionalizar, fica3sqrt[7+4sqrt3](7+4sqrt3)Bem, se eu no errei nenhuma conta, isso a... Confiram![]'sAlexandre Tessarollo(7 + 4 sqrt3)x^2 +(2 + sqrt3)x - 2 = 0[EMAIL PROTECTED] wrote: Ol amigos..Caro Aderbal..A seguinte questo do quadrado que possui um ponto interior que dista 10cm de dois vrtices e 10 cm do lado , a resoluo que eu lhe mandei ,achoque esta correta ?Mais posso ter me enganado em algum lugar ..mais a idia, acho que mais ou menos como esta l..Vou tentar lhe mandar a figura com tudo direitinho .Rafael, obrigado pela dica , vou tentar passar a figura para esse formato.E para no perder a viagem , vai ai um exerccio de equao do 2.1-A diferena entre a maior e a menor raiz da equao (7 + 4 sqrt3)x^2 +(2 + sqrt3)x - 2 = 0Obs:Eu tentei fazer pela Soma e pelo Produto , tipo:Achava a soma o produto , e depois montava um sistema com eles , explicitavana soma x1 e substitua no produto , para encontrar x2 , tentei fazer nobra edil;o , mais no consegui .Ser que existe alguma relao entre a diferena de razes ?(Estilo a Soma-b/a e produto c/a)Grato..Rick Barbosa--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br=Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]= =Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]=
Re: [obm-l] Problema do Rafael
(10^n+2)/3 = 100..02/3=33...334 eh o quadrado do numero formado por n-1 algarismos 3 seguidos por um algarismo 4. Vinicius Jos Fortuna wrote: 007001c1e7f5$fa9bc1c0$[EMAIL PROTECTED]"> Pode-se fazer da seguinte forma:x = (10^(2n) - 1)/9y = 4*(10^n - 1)/9x+y+1 = 1/9 * (10^(2n) - 1 + 4*10^n - 4 + 9)x+y+1 = 1/9 * (10^(2n) + 4*10^n + 4)x+y+1 = 1/9 * (10^n + 2)^2 = ((10^n + 2)/3)^2Com isso resta provar que (10^n + 2)/3 um inteiro:10 == 1 (mod 3)= 10^n == 1 (mod 3)= 10^n + 2 == 0 (mod 3)Portanto, 10^n+2 = 3p, com p inteiro ento:x+y+1 = (3p/3)^2 = p^2o que completa a demonstraoAt maisVinicius Fortuna- Original Message -From: "Eduardo Wagner" [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Sent: Sunday, April 21, 2002 6:06 PMSubject: [obm-l] Problema do Rafael Rafael eh aluno da primeira serie do ensino mediodo Colegio Princesa Isabel, no Rio de Janeiro.Ele me pediu que enviasse a voces o seguinteproblema que ele "inventou".O numero x eh formado por 2n algarismos iguais a 1.O numero y eh formado por n algarismos iguais a 4.Mostre que x + y + 1 eh um quadrado perfeito.=Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]= =Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]=
Re: [obm-l] Problema Interessante!
Felipe, fala serio. Sua soluçao estah otima.
Morgado
Felipe Marinho wrote:
Olá pessoal da lista.
Infelizmente só tive a oportunidade de conhecer a lista exatamente
hoje, e apos ver apenas algumas dentre várias materias e artigos que
aqui se passam, eu decidi me juntar a vocês. Obrigado pela oportunidade.
Olha pessoal, eu me deparei com uma questão e vou passar a vocês o
enunciado e a resolução feita por mim. Porem, oque eu venho pedir aqui
é que vocês analisem minha resolução, pois sinceramente eu não sei se
estou certo. Em caso de estiver correta a solução, será que vocês
poderiam me mostrar alguem jeito melhor de resolve-la ? Bem, lá vai a
questão:
1) Quantos são os números inteiros de 2 algarismos que são iguais
ao dobro do produto de seus algarismos?
Fazendo tal numero como 10x + y, temos:
10x + y = 2xy
10x - 2xy + y = 0
2x(5-y) + y = 0
E analisando a ultima equação, conclui que y deve ser necessariamente
maior que 5, pois 2x(5-y) terá que resultar em um número negativo,
pois somado a y irá se igualar a zero. Se (5-y) fosse positivo, a
equação nunca seria verdadeira. Então, (5-y) 0:
(5-y) 0
y 5 == y = {6,7,8,9}
Depois de achar os possiveis valores para y, seguimos:
Para y=6, temos:
10x + 6 = 12x
2x = 6 == x=3
Com isso, achamos como solução o número 36 que satisfaz a questão.
Para y=7, temos:
10x + 7 = 14x
4x = 7 -- x não é um numero inteiro.
Para y=8, temos:
10x + 8 = 16x
6x = 8 -- x não é um número inteiro.
Para y=9, temos:
10x + 9 = 18x
8x = 9 -- x não é um número inteiro.
--- 000
Com isso, achei que a única solução que satisfaz a questão é o número 36.
Peço a voces que me ajudem na resolução ou em qualquer dica de como
resolve-la de uma maneira mais inteligente e eficaz.
Obrigado desde já,
Abraços
Felipe Marinho
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[obm-l] treino para olímpiadas....
Ola rapaziadapreciso conferir essas resoluções para ter certeza que fiz de forma ótimizadaalguem poderia dar uma força? 1) prove que 1/1999(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*1997/19991/44. 2)Seja n um numero natural que n=2. Mostre que (1/n+1)*(1+1/3++1/(2n-1))(1/n)*(1/2+1/4++1/2n). 3)Prove que(a+b)*(a+c)=2*sqrt(abc(a+b+c)). 4)mostre que para cada inteiro positivo n, 121^n-25^n+1900^n-(-4)^n é divisível por 2000. 5)Seja c o comprimento da hipotenusa de um triangulo retangulo cujos catetos são a e b. Prove que a+b=sqrt(2c). Quando a igualdade ocorre? Sex, y, z são números positivos, mostre que x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2=y/x+z/y+x/z. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] treino para olímpiadas....
diga ae man,td blz? questão 3(obm.2001.3 fase) note que (a+b)*(a+c)=a^2+ab+ac+bc=a(a+b+c)+bc. usando desigualdade entre medias aritmetica e geometrica temos a(a+b+c) +bc=2(sqrt(a(a+b+c)bc))=2sqrt(abc(a+b+c) logo (a+b)*(a+c)=2sqrt(abc(a+b+c)) ta ae! []´s Henrique From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] treino para olímpiadas Date: Sat, 20 Apr 2002 09:45:25 EDT Ola rapaziadapreciso conferir essas resoluções para ter certeza que fiz de forma ótimizadaalguem poderia dar uma força? 1) prove que 1/1999(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*1997/19991/44. 2)Seja n um numero natural que n=2. Mostre que (1/n+1)*(1+1/3++1/(2n-1))(1/n)*(1/2+1/4++1/2n). 3)Prove que(a+b)*(a+c)=2*sqrt(abc(a+b+c)). 4)mostre que para cada inteiro positivo n, 121^n-25^n+1900^n-(-4)^n é divisível por 2000. 5)Seja c o comprimento da hipotenusa de um triangulo retangulo cujos catetos são a e b. Prove que a+b=sqrt(2c). Quando a igualdade ocorre? Sex, y, z são números positivos, mostre que x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2=y/x+z/y+x/z. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] questões
ae galera,necessito de uma mão nessas questões: 1.seja f:N-R uma função tal que f(1)=3 e f(m+n)+f(m-n)-m+n-1= =f(2m)+f(2n)/2 . 2.mostre que a^n +1/a^n=n^2(a+1/a -2) pra todo inteiro posotivo n e todo real posotivo a. valeu té+ Henrique _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Filosófica...
A luz também não é matéria? Se o universo duplicar de tamanho, os fótons da luz também duplicam de tamanho, e sua velocidade também. Isso é o que eu acho, não entendo muito de física. Mas de qualquer forma, antes de tentar responder a essa pergunta (ou concluir que ela é indecidível, como eu e o Ricardo Miranda), devemos definir uma coisa: O que é tamanho? Imagino que é necessário um referencial. Se todo o universo duplicar de tamanho, como fica o referencial? Pelo pouco que sei de física, o referencial é baseado na própria velocidade da luz. Nesse caso, dizer que o universo duplicou de tamanho é absolutamente a mesma coisa que dizer que a velocidade da luz reduziu pela metade. Neste caso, sua resposta estaria certo. Mas qual seria o referencial do tempo? Rogério From: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Filosófica... Date: Fri, 19 Apr 2002 22:28:36 -0300 Veja quantos metros a luz anda em um segundo. Constataremos que a velocidade da luz caiu para a metade do que conhecíamos! Será que essa resposta serviu? Vinicius Fortuna - Original Message - From: Rafael WC [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 19, 2002 5:38 PM Subject: [obm-l] Filosófica... Com a informação de que tudo no universo tinha duplicado de tamanho no decorrer da noite passada, como se poderia verificar a veracidade de tal informação? Alguém se arrisca??? Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! Tax Center - online filing with TurboTax http://taxes.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Russas
Para o problema 1 existe uma solução que prova ainda que 3(x+y)+1 e 4(x+y)+1 são quadrados perfeitos. Veja que 3x^2+ x= 4y^2+ y = 3(x^2- y^2) + (x-y)= y^2 = = (x-y)(3x+3y+1)=y^2 Seja d=mdc(x-y, 3x+3y+1). Suponha d1. Então existe p primo ; p|d. Então p|y^2 - p|y - p|(x-y) + y= x - p|(x+y) - p| 3(x+y) + 1 - 3(x+y) = 1, absurdo. Logo d=1 - x-y e 3(x+y)+1 são ambos quadrados. Se, na equação original, somarmos x^2 e fizermos uma fatoração semelhante, concluímos que 4(x+y)+1 é quadrado perfeito. -- Mensagem original -- Olá pessoal, Olhem estas questões: 1. Para os inteiros positivos x e y é verdadeira a igualdade : 3x^2 +x=4y^2+y. Mostre que x-y é um quadrado perfeito. 2.Seja ABC um triangulo retangulo de hipotenusa AC .Sabendo que sobre o lado BC existem pnts D e E tais que BÂD=DÂE=EÂC e EC=2BD . Determineos angulos do triangulo. 3.Eliminando-se o 2000º algarismo an expansão decimal da fração 1/p,p primo5, obtemos a fração a/b; mostre q p|b. Se alguém puder me dar uma luz eu agradeço! []´s H! _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] alguém sabe?
Na verdade, é possível provar que
{x0/ x^x^x^x... converge}= [e^(-e), e^(1/e)]
-- Mensagem original --
Olá Rui,
Meu amigo Artur me apresentou esse problema na
semana passada:
Para x e^(1/e), temos x=e^(1/e+y), onde y 0
logo x^x = e^((1/e+y)*e^(1/e+y)) e^(e^(1/e+y-1)+y)
, pois e^(1/e+y) 1. E como e^x 1 + x para todo x,
temos e^(e^(1/e+y-1)+y) e^(1/e+2y). Por inducao se
prova que:
x^x^x^...^x e^(1/e+n*y)
n vezes
Logo a sequencia diverge, eh claro. para x =
e^(1/e),
temos: Utilizando a desigualdade e^x = 1 + (e-1)x,
quando x =1 temos.
e^(1/e) = 1 + (e-1)/e.
(e^(1/e))^(e^(1/e)) = e^(1/e*(1+(e-1)/e)) e como:
1/e + (e-1)/(e^2) 1 temos e^(1/e*(1+(e-1)/e)) =
1+(e-1)/e + ((e-1)/e)^2. Por inducao concluimos que
x^x^x^...^x = 1 + (e-1)/e + ((e-1)/e)^2
+...+((e-1)/e))^n = e, para todo n. Logo x^
converge e sabemos que converge para e.
Mandei um e-mail inutil, desculpe!
Abracos,
Humberto Silva Naves
--- Rui Viana [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá a todos da lista,
Outro dia um amigo meu me apresentou o seguinte
problema :
Qual a solução para a equação x^x^x^x...=2 ?
Bom, a principio x^x^x...=2 = x^2 = 2 = x =
2^(1/2)
Mas a equação x^x^x...=4 teria então a solução x =
4^(1/4) = 2^(1/2) ???
Então agente fez um teste e descobriu que
(2^(1/2))^(2^(1/2))... converge
para 2 e não para 4 (não provamos isso)
Daí agente decidiu tentar :
Já que seguindo essa linha de raciocinio x^x^x...=n
tem solução x=n^(1/n),
faça f(n) = n^(1/n).
Eu queria saber para que valor g(n) =
f(n)^f(n)^f(n)... converge ??
Parece que pra 0n1/e g é uma função concava,
1/ene g(n)=n e depois para
ne g(n) é convexa e converge para algum valor.
Alguém consegue provar qualquer desses fatos sobre
g(n) ?
[]'s,
Rui L Viana F
[EMAIL PROTECTED]
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Re: [obm-l] Problema Interessante!
Ol Felipe e Morgado,
A soluo do felipe est realmente boa e didtica.
Entretanto, gostaria de acrescentar uma pequena observao
que minimizaria a parte final de sua soluo.
Note que
De
10x + y = 2xy
> 10x - 2xy + y = 0
> 2x(5-y) + y = 0 (*)
voc, poderia observar que 5-y 0 , ou seja y > 5, mas
tambm que y par
pois y = -2x(5-x).
Assim, restaria apenas voc estudar as possibilidades: y = 6 ou
y = 8.
Donde resulta rapidamente de (*) que y= 6 e consequentemente
x= 3
Portanto, 36 o nico numero satisfazendo as condies
do enunciado.
Um abrao a todos
PONCE
Augusto Csar Morgado wrote:
Felipe, fala serio. Sua soluao estah otima.
Morgado
Felipe Marinho wrote:
> Ol pessoal da lista.
> Infelizmente s tive a oportunidade de conhecer a lista exatamente
> hoje, e apos ver apenas algumas dentre vrias materias e artigos
que
> aqui se passam, eu decidi me juntar a vocs. Obrigado pela
oportunidade.
>
> Olha pessoal, eu me deparei com uma questo e vou passar a
vocs o
> enunciado e a resoluo feita por mim. Porem, oque
eu venho pedir aqui
> que vocs analisem minha resoluo,
pois sinceramente eu no sei se
> estou certo. Em caso de estiver correta a soluo,
ser que vocs
> poderiam me mostrar alguem jeito melhor de resolve-la ? Bem, l
vai a
> questo:
>
> 1) Quantos so os nmeros inteiros
de 2 algarismos que so iguais
> ao dobro do produto de seus algarismos?
>
> Fazendo tal numero como 10x + y, temos:
>
> 10x + y = 2xy
> 10x - 2xy + y = 0
> 2x(5-y) + y = 0
>
> E analisando a ultima equao, conclui que y deve ser
necessariamente
> maior que 5, pois 2x(5-y) ter que resultar em um nmero
negativo,
> pois somado a y ir se igualar a zero. Se (5-y) fosse positivo,
a
> equao nunca seria verdadeira. Ento, (5-y)
0:
>
> (5-y) 0
> y > 5 ==> y = {6,7,8,9}
>
> Depois de achar os possiveis valores para y, seguimos:
>
> Para y=6, temos:
> 10x + 6 = 12x
> 2x = 6 ==> x=3
>
> Com isso, achamos como soluo o nmero 36 que
satisfaz a questo.
>
> Para y=7, temos:
> 10x + 7 = 14x
> 4x = 7 -->
x no um numero inteiro.
>
> Para y=8, temos:
> 10x + 8 = 16x
> 6x = 8 -->
x no um nmero inteiro.
>
> Para y=9, temos:
> 10x + 9 = 18x
> 8x = 9 -->
x no um nmero inteiro.
>
> --- 000
>
> Com isso, achei que a nica soluo que satisfaz
a questo o nmero 36.
>
> Peo a voces que me ajudem na resoluo ou em
qualquer dica de como
> resolve-la de uma maneira mais inteligente e eficaz.
>
> Obrigado desde j,
> Abraos
>
> Felipe Marinho
>
> _
> Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo mvel:
> http://mobile.msn.com
>
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Email - Prof. Raul Agostino - Livro
O co-autor do livro eh Antonio Luiz Santos, colaborador permanente da Eureka. Logo, se nao achamo Raul, procurem o Antonio Luiz. Frederico Reis Marques de Brito wrote: Desculpe-me se te respondo com outera pergunta, mas que tiopo de problemas constam deste livro? A que tipo de leitor se destinam? Agradeço a informação. Frederico R. M. Brito - BH - MG From: Eduardo Quintas [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Email - Prof. Raul Agostino - Livro Date: Fri, 19 Apr 2002 16:44:52 -0300 Alguém possui o email do prof. Raul Agostino ? Gostaria de adquirir mesmo que xerox os exemplares do livro : PROBLEMAS SELECIONADOS DE MATEMÁTICA. Eu possuo o vol. 1 mas sei que existem outros volumes... Estou interessado principalmente no exemplar de Geometria Plana. valeu pessoal. Nicolau - não brigue comigo pelo email. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] Problema Interessante!
Solucoes todas otimas, rapidas e diretas. Mas... se voce quiser outro jeito... ok: 10x - 2xy + y = 0 Ponha o 2x em evidencia... 2x(5-y)+y=0 Junte uma constante para criar um multiplo do 5-y (no caso, -1(5-y))... 2x(5-y)-(5-y)=-5 (2x-1)(5-y)=-5 (2x-1)(y-5)=5 Entao 2x-1 e y-5 sao divisores de 5... Como 2x-10, tem-se (2x-1,y-5) = (1,5) ou (5,1). O primeiro dah (x,y)=(1,10) (nao pode), o segundo dah (x,y)=(3,6) (OK!). (Veja bem, esta solucao fica PIOR do que as outras, pois hah poucos casos a considerar... Mas eu queria fazer este comentario para dar uma dica quando o pessoal enfrentar coisas parecidas onde hah MUITAS opcoes para x e y no comeco do problema... Com este metodo, voce acharia *todas* as solucoes inteiras da equacao dada.) Abraco, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re.: 0,9999... = 1
Olah Pessoal! Essa discussao jah esfriou um pouco, mas acho que a pergunta do JF nao foi devidamente respondida, entao estou enviando minha opiniao sobre o problema. Pensando nesse problema, pude colocar em termos formais isso q a propria intuicao jah nos diz: que 0,999... = 1 Podemos dizer q um numero A eh igual a outro B, quando nao ha numero entre eles. Logicamente, entre dois numeros distintos, ha uma infinidade de numeros, e entre um numero e ele mesmo, nao ha nenhum numero, afinal, ele eh ele mesmo : ) Vamos tentar encontrar um numero entre 0,999.. e 1. Acrescentando uma casa decimal n num ponto x qq: 0,999... 999n.. = se n9, 0,99..n.. menor que 0,999.. e 1 se n=9, 0,99..n.. igual a 0,999.. se n9, 0,99..n.. maior q 0,999.. e maior que 1 Logo, nao existem numeros entre 0,999.. e 1. 0,999.. = 1 Mas, tipo, alem das demonstracoes jah existentes eu achei outra bem simploria, mas que reforça a igualdade: 1/11 = 0,09090909.. 10/11 = 0,909090.. 1/11 + 10/11 = 0,09090909.. + 0,90909090.. 11/11 = 0,99... 1 = 0,999... Espero que tenha te esclarecido um pouco mais :c) T+ pessoal Ezer F. da Silva - Queimados, RJ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] função
1)Qual é a MELHOR maneira de saber se uma função é sobrejetora , sem conhecer seu gráfico ? 2)Fiquei com uma dúvida após ler a EUREKA! Nº9: como eu posso garantir que uma função tem ponto fixo? []´s. Adriano. __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Problema Interessante!
Legal Raph, bem lembrado PONCE Ralph Teixeira wrote: Solucoes todas otimas, rapidas e diretas. Mas... se voce quiser outro jeito... ok: 10x - 2xy + y = 0 Ponha o 2x em evidencia... 2x(5-y)+y=0 Junte uma constante para criar um multiplo do 5-y (no caso, -1(5-y))... 2x(5-y)-(5-y)=-5 (2x-1)(5-y)=-5 (2x-1)(y-5)=5 Entao 2x-1 e y-5 sao divisores de 5... Como 2x-10, tem-se (2x-1,y-5) = (1,5) ou (5,1). O primeiro dah (x,y)=(1,10) (nao pode), o segundo dah (x,y)=(3,6) (OK!). (Veja bem, esta solucao fica PIOR do que as outras, pois hah poucos casos a considerar... Mas eu queria fazer este comentario para dar uma dica quando o pessoal enfrentar coisas parecidas onde hah MUITAS opcoes para x e y no comeco do problema... Com este metodo, voce acharia *todas* as solucoes inteiras da equacao dada.) Abraco, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] um problema diferente, decorrente da geometria
Olá amigos, Estive trabalhando esta semana em um problema de geometria que levou-me a seguinte pergunta: Existe algum natural n tal que arctg(1/sqrt(1) ) + arct(1/sqrt(2) )+ arctg(1/sqrt(3)+...+arctg(1/sqrt(n)) seja um multiplo inteiro de 180 graus. Qualquer ajuda é bem vinda Obrigado PONCE = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Idade das 3 filhas.
Estava no #matematica da BrasIRC (propaganda básica, caso alguem aí use IRC, entre lá :) irc.matrix.net.br), e o colega Carlos Alberto me propos o seguinte problema: Dois matemáticos, Nicolau e Edmilson, se encontram na rua. Após cumprimentarem-se, Edmilson pergunta: Vc tem 3 filhas, não é? Q idades elas têm?.Ao q Nicolau prontamentente responde: O produto das idades de minhas 3 filhas é 36 e a soma dessas idades é o nº desta casa aí em frente. Após observar o nº da casa e pensar um pouco Edmilson afirma: Faltam dados!, e NIcolau responde: Ah, sim, esqueci, a mais velha toca piano!. E com isso Edmilson foi capaz d dizer as idades das 3 filhas de Nicolau. Ql sao as idades? Depois de pensarmos um pouco, chegamos à solucao. Alguem se habilita? = []s -- Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] http://rm2.hpg.ig.com.br/ ___ Yahoo! Empregos O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas! http://br.empregos.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Idade das 3 filhas.
Como o produto das idades é 36, podemos ter: 1, 1, 36 1, 2, 18 1, 3, 12 1, 4, 9 1, 6, 6 2, 2, 9 2, 3, 6 3, 3, 4 Se só com a soma das idades, faltavam dados, a soma tem que aparecer como pelo menos duas possibilidades acima: 1, 1, 36 38 1, 2, 18 21 1, 3, 12 16 1, 4, 9 14 1, 6, 6 13 -- As uúnicas somas que repetem 2, 2, 9 13 -- são essas 2, 3, 6 11 3, 3, 4 10 Como a filha mais velha toca piano, não pode ser 1,6,6, pois não haveria somente uma mais velha. Entao ficamos com 2,2,9: As duas mais novas são gêmeas, com 2 anos e a pianista tem 9 anos. []'s Douglas Carvalho = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ajuda algebra basica
Ol Adherbal, Vai algumas sugestes para os seus problemas : (1) Se p eh primo e p.n +1 quadrado perfeito , mostre que n+1 a soma de p quadrados perfeitos. Uma soluo possvel Seja a um inteiro positivo tal que p.n + 1 = a^2. Dai segue-se que p.n = a^2 - 1 = (a+1).(a-1) (*) Como p primo, tem-se da igualdade acima ao menos uma das possibilidades abaixo: (I) a + 1 = k.p e a - 1 = k.p - 2 (k um inteiro positivo) (II)a + 1 = k.p + 2 e a - 1 = k.p (k um inteiro positivo) Considerando a primeira possibilidade, segue-se de (*) p.n= kp(kp-2) Decorre dai, n + 1 = p. (k^2) - 2k + 1 = (p - 1 ) (k^2) + k^2 -2.k + 1 = ( p - 1) (k ^2) + (k - 1 )^2 (**) Raciocinando de modo semelhante, decorre da segunda possibilidade que n + 1 = p. (k^2) + 2k + 1 = (p - 1 ) (k^2) + k^2 +2.k + 1 = ( p - 1) (k ^2) + (k + 1 )^2 (***) Portanto, podemos afirmar a partir dos casos (**) e (***), que n + 1 a soma de (p - 1 ) + 1, ou seja, p quadrados perfeitos. (2) Se a e b so inteiros consecutivos, mostre que a^2 +b^2 +(ab)^2 quadrado perfeito. Uma soluo possvel Sendo a e b inteiros consecutivos, podemos escrever sem perda nenhuma de generalidade que b = a+1, (devido a simetria existente entre a e b na expresso E ). Assim, a expresso E = a^2 + b^2 + (ab)^2 pode ser reescrita da seguinte forma E = a^2 +(a+1)^2 + [a(a+1)]^2. Portanto, podemos escrever a^2 + b^2 + (ab)^2 = a^2 + (a+1)^2 + [a(a+1)]^2. = a^2 + a^2 + 2a + 1 + [a(a+1)]^2. = 1 + 2a(a+1) + [a(a+1)]^2. = [ 1 + a(a+1) ] ^ 2 Logo, a expresso dada corresponde a um quadrado perfeito. (3)Se N est entre 2 quadrados perfeitos sucessivos e difere detes por x e y ,respectivamente, prove que N-xy um quadrado perfeito. Uma soluo possvel Para um natural N dado, seja a um inteiro tal que a^2 N (a+1)^2. Nestas condies, consideremos x = N - a^2 e y = (a+1)^2 - N. Assim, N-xy = N + [N - a^2] [N - (a+1)^2] = N + [N - a^2] [ (N -a^2) - (2a+1)] = N + [N - a^2]^2 - 2.[N - a^2].a - N + a^2 =[N - a^2]^2 - 2.[N - a^2].a + a^2 = [N - a^2 + a]^2 =[N + a - a^2 ]^2 Portanto, N - xy um quadrado perfeito. (4).fatore (b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3 Uma soluo possvel (b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3 = b^3-c^3-3bc(b-c) + c^3 - a^3 - 3ca(c-a) + a^3 - b^3 -3ab(a-b) = -3[ (b^2)c -(c^2)b + (c^2)a-(a^2)c + (a^2)b - (b^2)a ] = -3[ (a^2)b - (b^2)a + (c^2)a -(c^2)b - (a^2)c +(b^2)c ] = -3[ ab(a-b) + (c^2).(a-b). - c (a^2 -b^2) ] = -3[ (a-b)] (ab + c^2 - c(a+b) ] = -3[a-b][ c^2 - ca - cb + ab ] = -3[a-b][ c^(c-a) - b(c-a) ] = -3. (a-b) .(c-a). (c - b) (5).Fatore x^4 +y^4 Uma soluo possvel x^4 + y^4 = ( x^2 + y ^2 ) ^2 - [(sqrt(2) .(xy)]^2 = (x^2 + y^2 + sqrt(2).xy ).(x^2 + y^2 - sqrt(2).xy ) (6).Se n um inteiro dado pela soma de dois nmeros triangulares, ento existem inteiros a e b tais que n = [a(a+1)]/2 + [b(b+1)]^2 ( ocorreu um erro no enunciado proposto por voc, verifique!). Para um natural n, prove que: i) Se n a soma de dois nmeros triangulares, ento 4n + 1 a soma de 2 quadrados perfeitos. ii) Se 4n + 1 a soma de dois quadrados perfeitos, ento n a soma de dois nmeros tringulares. Uma soluo possvel i) n = [a(a+1)]/2 + [b(b+1)]^2 4n+1 = 2.(a^2) + 2 a + 2.(b^2) + 2b + 1 4n+1 = .[(a^2) -2 ab + .(b^2) ]+ [(a^2) + .(b^2) +1+ 2a + 2b +2ab] 4n+1 = .(a-b)^2 + (a+b+1)^2 Dai resulta que 4n + 1 uma soma de dois quadrados perfeitos. ii) Seja 4n+1 = x^2 + y ^2, com x e y inteiros. Existem (sempre) inteiros a e b tais que x = a - b e y = ( a+b+1), onde a = (x+y-1)/2 e b =(y-x-1)/2 ( verifique) Dai, 4n+1 = (a-b)^2 + (a+b+1)^2 4n+1 = .[(a^2) -2 ab + .(b^2) ]+ [(a^2) + .(b^2) +1+ 2a + 2b +2ab] 4n+1 = 2.(a^2) + 2 a + 2.(b^2) + 2b + 1 n = [a(a+1)]/2 + [b(b+1)]^2 Dai resulta que n a soma de dois nmeros triangulares. Nota: Para aqueles que no conhecem nmeros tringulares, visite o site abaixo: http://www.educ.fc.ul.pt/semtem/semtem99/sem26/ Um abrao e desculpe-me por qualquer erro PONCE Adherbal Rocha Filho wrote: Oi! >ae, alguem poderia me dar um help nessas questoes? >1. se p eh primo e pn+1 eh quadrado perfeito ,mostre que n+1 eh a soma de p >quadrados perfeitos. > 2.se a e b so inteiros consecutivos,mostre que a^2 +b^2 +(ab)^2 eh >quadrado perfeito. > 3.se N estah entre 2 quadrados perfeitos sucessivos e difere detes >por x e y ,respectivamente,prove que N-xy eh quadrado perfeito. > 4.fatore (b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3 5.Fatore x^4 +y^4 6.supondo que n (inteiro) eh a soma de dois ns triangulares, >n=a^2+a/2 + b^2 +b/2 >expresse 4n+1 como soma de 2 quadrados. reciprocamente, se 4n+1 eh a soma >de 2 quadrados ,prove que n eh a soma de 2 numeros triangulares. > > Muito obrigado > Adherbal > > > > >_ >O MSN Photos o modo mais fcil de compartilhar e imprimir suas fotos: >http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx > >= >Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]>
Re: [obm-l] Re.: 0,9999... = 1
Oi gente, sou nova no grupo e espero fazer boas contribuições para as discussões... Respondendo a pergunta do Rafael, quando nos referimos a um número cujo o último algarismo é conhecido e é diferente dos outros, ou seja, esse número não é uma dízima estamos nos referindo a um número com finitas casas decimas. Como vc mesmo disse: não podemos considerar infinitos zeros entre a vírgula e o 1 (no caso de 1,...0001). Logo, se estamos falando de um número com finitas casas decimais esse número não será igual a outro que não tenha o mesmo símbolo que ele. Jessica. - Original Message - From: Rafael WC [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 21, 2002 1:10 AM Subject: Re: [obm-l] Re.: 0,... = 1 Será que haveria também um número do tipo: 1,...0001 = 1 Ou limitando o final do número não podemos considerar infinitos zeros entre a vírgula e o 1? Rafael. --- [EMAIL PROTECTED] wrote: Olah Pessoal! Essa discussao jah esfriou um pouco, mas acho que a pergunta do JF nao foi devidamente respondida, entao estou enviando minha opiniao sobre o problema. Pensando nesse problema, pude colocar em termos formais isso q a propria intuicao jah nos diz: que 0,999... = 1 Podemos dizer q um numero A eh igual a outro B, quando nao ha numero entre eles. Logicamente, entre dois numeros distintos, ha uma infinidade de numeros, e entre um numero e ele mesmo, nao ha nenhum numero, afinal, ele eh ele mesmo : ) Vamos tentar encontrar um numero entre 0,999.. e 1. Acrescentando uma casa decimal n num ponto x qq: 0,999... 999n.. = se n9, 0,99..n.. menor que 0,999.. e 1 se n=9, 0,99..n.. igual a 0,999.. se n9, 0,99..n.. maior q 0,999.. e maior que 1 Logo, nao existem numeros entre 0,999.. e 1. 0,999.. = 1 Mas, tipo, alem das demonstracoes jah existentes eu achei outra bem simploria, mas que reforça a igualdade: 1/11 = 0,09090909.. 10/11 = 0,909090.. 1/11 + 10/11 = 0,09090909.. + 0,90909090.. 11/11 = 0,99... 1 = 0,999... Espero que tenha te esclarecido um pouco mais :c) T+ pessoal Ezer F. da Silva - Queimados, RJ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! Games - play chess, backgammon, pool and more http://games.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Você podia estar baixando sua musica predileta, enquanto lia esse e-mail. Não perca tempo, tenha acesso rápido a internet com o Super iG. http://registro.ig.com.br/superig = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
